DISKUSI 3
PENGANTAR PROSES STOKASTIK 1 Nama : Magdalena Sagala
NIM : 048285808 Prodi : S1 Statistika Soal:
1. Jelaskan sifat-sifat Rantai Markov Diskrit (RMD)!
2. Jelaskan yang dimaksud proses melakukan transisi!
3. Jelaskan apa yang dimaksud dengan state terakses (accessible)!
4. Jelaskan apa yang dimaksud state yang irreducible!
5. Jelaskan yang dimaksud dengan state recurrent dan transient!
Jawaban:
1. Proses Markov adalah proses stokastik masa lalu tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan dating bila masa sekarang diketahui. Sebuah rantai Markov adalah suatu urutan dari variable acak- variabel acak X1, X2, X3, … dengan sifar Markov, yaitu mengingat keadaan masa depan dan masa lalu keadaan yang independent. Suatu Rantai Markov Diskrit disebut homogen terhadap waktu jika untuk semua n = 0,1,2,…
Sifat-sifat Matriks Stokastik:
Misal P = (pij) adalah matriks stokastik berukuran NxN dari suatu Rantai Markov Diskrit {Xn, n≥0}
dengan state space S = {0, 1, 2, …, N} maka:
1) pij ≥ 0 ; 1 ≤ I, j ≤ N 2) ∑𝑁𝑗=1𝑝𝑖𝑗= 1; 1 ≤ 𝑖 ≤𝑁 Bukti:
1) pij non negatif sebagai akibat langsung dari probabilitas bersyarat.
2) ∑𝑁𝑗=1𝑝𝑖𝑗= ∑𝑁𝑗=1𝑃(𝑋𝑛+1= 𝑗|𝑋𝑛= 𝑖) = 𝑃(𝑋𝑛+1∈ 𝑆|𝑋𝑛= 1)
Karena 𝑋𝑛+1 pasti mengambil nilai tertentu dalam S dan tidak bergantung pada nilai Xn maka nilai probabilitasnya adalah 1 (satu).
2. Rantai Markov dapat direpresentasikan sebagai suatu graf dengan himpunan verteksnya ruang keadaan dan peluang-peluang transisi digambarkan sebagai himpunan sisi yang berarah dengan bobot sisi menyatakan peluangnya. Grag yang merepresenasikan rantai Markov tersebut dinamakan diagram transisi dari rantai Markov tersebut.
3. Andaikan kita memiliki suatu RMD {Xn, n = 0, 1, 2, …}. Keadaan/state j dikatakan accessible (dapat dicapai) dari keadaan I, dinotasikan dengan i → j, jika terdapat bilangan bulat n≥0 sehingga 𝑝𝑖𝑗(𝑛) >
0. Sudah tentu, setiap keadaan dapat dicapai oleh dirinya sendiri, sehingga i → i karena 𝑝𝑖𝑖(0) > 1.
Ingat, pengkat pada probabilitas tersebut menyatakan n-langkah bukan menyatakan pangkat yang sesungguhnya.
4. Suatu RMD {Xn, n ≥ 0} dengan state space S = {1, 2, …, N} disebut irreducible jika untuk setiap i dan j dalam S, terdapat k > 0 sedemikian hingga
P [Xn = j|X0 = i] > 0
Atau dengan kata lain, suatu RMD dikatakan irreducible jika state space terdiri dari hanya 1 kelas, artinya semua state berkomunikasi satu sama lain. Sedangkan suatu RMD yang tidak irreducible disebut reducible.
5. Suatu RMD dikatakan recurrent jika 𝑓𝑖𝑖 = 1 dan dikatakan transient jika 𝑓𝑖𝑖 < 1 Syarat cukup dan perlu untuk State Recurrent dan Transient
a) State i recurrent jika dan hanya jika ∑∞𝑛=1𝑝𝑖𝑖𝑛= ∞ b) State i transient jika dan hanya jika ∑∞𝑛=1𝑝𝑖𝑖𝑛< ∞
Sumber:
Materi Insiasi Sesi 3 BMP SATS4322
