Dokumentasi Ilmiah MIKE 21

MIKE 21

Modul Gelombang Spektral

Dokumentasi Ilmiah

+45 4516 9333 Dukungan +45 4516 9292 Telefaks mike@dhigroup.com www.mikepoweredbydhi.com

HAK CIPTA Dokumen ini mengacu pada perangkat lunak komputer eksklusif, yang dilindungi oleh hak cipta. Semua hak dilindungi undang- undang. Dilarang menyalin atau memperbanyak manual ini atau program terkait lainnya tanpa persetujuan tertulis dari DHI.

Untuk detailnya, silakan lihat 'Perjanjian Lisensi Perangkat Lunak DHI'.

KEWAJIBAN TERBATAS Kewajiban DHI terbatas sebagaimana ditentukan dalam Bagian III 'Perjanjian Lisensi Perangkat Lunak DHI':

'DALAM KEADAAN APA PUN DHI ATAU PERWAKILANNYA (AGEN DAN PEMASOK) TIDAK BERTANGGUNG JAWAB ATAS KERUGIAN APA PUN TERMASUK, TANPA BATASAN, KERUGIAN KHUSUS, TIDAK LANGSUNG, INSIDENTAL, ATAU KONSEKUENSIAL ATAU KERUGIAN ATAS HILANGNYA KEUNTUNGAN ATAU TABUNGAN BISNIS, GANGGUAN BISNIS, HILANGNYA INFORMASI BISNIS, ATAU KERUGIAN KEUANGAN LAINNYA YANG TIMBUL DARI PENGGUNAAN ATAU KETIDAKMAMPUAN UNTUK MENGGUNAKAN PRODUK PERANGKAT LUNAK DHI INI, MESKIPUN DHI TELAH

DIBERITAHUKAN MENGENAI KEMUNGKINAN TERJADINYA KERUGIAN TERSEBUT. PEMBATASAN INI BERLAKU UNTUK KLAIM CEDERA PRIBADI SEJAUH YANG DIIZINKAN OLEH HUKUM. BEBERAPA NEGARA ATAU NEGARA BAGIAN TIDAK MENGIZINKAN PENGECUALIAN ATAU PEMBATASAN

TANGGUNG JAWAB ATAS KERUGIAN KONSEKUENSIAL, KHUSUS, TIDAK LANGSUNG, INSIDENTAL, DAN,

KARENANYA, BEBERAPA BAGIAN DARI PEMBATASAN INI MUNGKIN TIDAK BERLAKU BAGI ANDA. DENGAN ANDA MEMBUKA PAKET TERSEGEL INI ATAU MENGINSTAL ATAU MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK, ANDA TELAH

MENERIMA BAHWA BATASAN DI ATAS ATAU BAGIAN MAKSIMUM YANG BERLAKU SECARA HUKUM DARI BATASAN INI BERLAKU UNTUK PEMBELIAN PERANGKAT LUNAK INI.

Dokumentasi Ilmiah Modul Gelombang Spektral

1 Pendahuluan ...1

2 Area Aplikasi...3

3 Persamaan Dasar...5

3.1 Umum ...5

3.2 Persamaan Konservasi Aksi Gelombang...6

3.3 Fungsi Sumber...8

3.3.1 Masukan angin...8

3.3.2 Interaksi gelombang kuadruplet...14

3.3.3 Interaksi gelombang triad ...19

3.3.4 Penutupan putih (whitecapping) ...19

3.3.5 Gesekan bawah ...21

3.3.6 Pemecah ombak ...22

3.4 Difraksi ...24

4 Implementasi Numerik ...26

4.1 Diskretisasi Ruang ...26

4.2 Integrasi Waktu ...28

4.3 Kondisi Batas ...30

4.4 Difraksi ...30

4.5 Struktur...30

4.5.1 Pendekatan istilah sumber...31

4.5.2 Pendekatan fluks konvektif ...32

5 Data Keluaran...34

5.1 Jenis Bidang...34

5.2 Format Keluaran ...41

6 Referensi ...42

6.1 Referensi Lain yang Relevan ...44

LAMPIRAN

LAMPIRAN A

Parameter Gelombang Spektral

1 Pendahuluan

MIKE 21 SW adalah model gelombang angin spektral generasi baru yang didasarkan pada mata jaring tidak terstruktur. Model ini mensimulasikan pertumbuhan, peluruhan, dan transformasi gelombang yang dibangkitkan oleh angin dan gelombang ombak di daerah lepas pantai dan pesisir.

Gambar 1.1 21 SW adalah alat bantu numerik yang canggih untuk prediksi dan analisis iklim gelombang di daerah lepas pantai dan pesisir

MIKE 21 SW mencakup dua formulasi yang berbeda:

• Formulasi parametrik terpisah arah

• Formulasi spektral sepenuhnya

Formulasi parametrik directional decoupled didasarkan pada parameterisasi

persamaan konservasi aksi gelombang. Parameterisasi dibuat dalam domain frekuensi dengan memasukkan momen ke-nol dan momen pertama spektrum aksi gelombang sebagai variabel dependen mengikuti Holthuijsen (1989).

Formulasi spektral sepenuhnya didasarkan pada persamaan konservasi aksi gelombang, seperti yang dijelaskan dalam misalnya Komen dkk (1994) dan Young (1999), di mana spektrum aksi gelombang frekuensi arah adalah variabel dependen.

Persamaan konservasi dasar diformulasikan dalam koordinat Cartesian untuk aplikasi skala kecil atau koordinat bola kutub untuk aplikasi skala besar.

MIKE 21 SW mencakup fenomena fisik berikut ini:

• Pertumbuhan ombak oleh aksi angin

• Interaksi gelombang-gelombang non-linier

• Disipasi karena pembatasan putih

Diskritisasi persamaan yang mengatur dalam ruang geografis dan spektral dilakukan dengan menggunakan metode volume hingga yang berpusat pada sel. Dalam domain geografis, teknik mesh tidak terstruktur digunakan. Integrasi waktu dilakukan dengan menggunakan pendekatan langkah fraksional di mana metode eksplisit multi-urutan diterapkan untuk perambatan aksi gelombang.

2 Aplikasi Area

MIKE 21 SW digunakan untuk penilaian iklim gelombang di daerah lepas pantai dan pesisir - dalam mode prakiraan dan prakiraan.

Area aplikasi utama adalah desain struktur lepas pantai, pesisir, dan pelabuhan di mana penilaian beban gelombang yang akurat sangat penting untuk desain yang aman dan ekonomis dari struktur-struktur ini. Data terukur sering kali tidak tersedia selama periode yang cukup lama untuk memungkinkan penetapan estimasi yang cukup akurat tentang kondisi laut yang ekstrem. Dalam hal ini, data terukur dapat dilengkapi dengan data hindcast melalui simulasi kondisi gelombang selama badai historis dengan menggunakan MIKE 21 SW.

MIKE 21 SW khususnya dapat digunakan untuk prediksi dan analisis gelombang secara simultan pada skala regional (seperti Laut Utara, lihat Gambar 2.1) dan skala lokal (pantai barat Jutlandia, Denmark, lihat Gambar 2.3). Resolusi spasial dan temporal yang kasar digunakan untuk bagian regional dari mesh dan mesh adaptif batas dan kedalaman beresolusi tinggi menggambarkan lingkungan perairan dangkal di garis pantai.

Gambar 2.1 Aplikasi prakiraan MIKE 21 SW di Laut Utara dan Laut Baltik. Grafik ini menunjukkan medan gelombang yang diilustrasikan oleh tinggi gelombang signifikan di atas mesh komputasi

MIKE 21 SW juga digunakan sehubungan dengan perhitungan transpor sedimen, yang sebagian besar ditentukan oleh kondisi gelombang dan arus yang diakibatkan oleh gelombang. Arus akibat gelombang dihasilkan oleh gradien dalam tekanan radiasi yang terjadi di zona ombak. MIKE 21 SW dapat digunakan untuk menghitung kondisi gelombang dan tekanan radiasi yang terkait.

Gambar 2.2 Ilustrasi area aplikasi yang umum

Gambar 2.3 Contohmesh komputasi yang digunakan untuk transformasi statistik gelombang lepas pantai dengan menggunakan formulasi parametrik yang dipisahkan secara terarah

MIKE 21 SW juga dapat diaplikasikan dalam skala global seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4 Contohaplikasi global MIKE 21 SW. Hasil dari model tersebut dapat digunakan sebagai kondisi batas untuk prakiraan skala regional atau model hindcast

3 Persamaan Dasar

3.1 Umum

Dinamika gelombang gravitasi dijelaskan oleh persamaan transpor untuk kerapatan aksi gelombang. Untuk aplikasi skala kecil, transpor dasar biasanya diformulasikan dalam koordinat Cartesian, sedangkan koordinat polar bola digunakan untuk aplikasi skala besar.

→

Spektrum kerapatan aksi gelombang bervariasi dalam ruang dan waktu dan merupakan fungsi dari dua parameter fase gelombang. Dua parameter fase gelombang dapat berupa gelombang

vektor bilangan

k

dengan magnitudo, k, dan arah, θ. Atau, fase gelombang

Parameter-parameter ini juga dapat berupa arah gelombang, θ, dan frekuensi sudut relatif (intrinsik), σ = 2πfr, atau frekuensi sudut absolut, ω = 2πfa. Dalam model ini, perumusan dalam hal arah gelombang, θ, dan frekuensi sudut relatif, σ, memiliki

telah dipilih. Kerapatan aksi,

N ( σ , θ )

, berhubungan dengan kerapatan energi

E( σ , θ )

oleh N = E

σ ^(3.1)

Untuk perambatan gelombang pada kedalaman dan arus yang bervariasi secara perlahan, hubungan antara frekuensi sudut relatif (seperti yang diamati dalam kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan arus) dan frekuensi sudut absolut, ω, (seperti yang diamati dalam kerangka acuan yang tetap) diberikan oleh hubungan dispersi linier

σ = gk tanh (kd) = ω - k → → ⋅ U

^(3.2)

→

di mana g adalah percepatan gravitasi, d adalah kedalaman air dan

U

adalah kecepatan saat ini vektor. Besarnya kecepatan kelompok, cg, dari energi gelombang relatif terhadap arus diberikan oleh

c

=

∂σ

= 1 ⎛

1

+

2kd

⎞

σ

g ∂k

2

⎜

sinh( 2kd) k

⎟

⎝ ⎠

(3.3)

Kecepatan fase, c, dari gelombang relatif terhadap arus diberikan oleh

c = σ

k

^(3.4)

Spektrum frekuensi terbatas pada rentang antara frekuensi minimum,

σ

min , dan frekuensi maksimum,

σ

max . Spektrum frekuensi dibagi menjadi bagian prognostik deterministik untuk frekuensi yang lebih rendah dari frekuensi cut-off dan bagian diagnostik analitik untuk frekuensi yang lebih tinggi dari frekuensi cut-off. Frekuensi cut- off dinamis yang bergantung pada kecepatan angin lokal dan frekuensi rata-rata digunakan seperti pada model WAM Cycle 4 (lihat WAMDI Group (1988) dan Komen dkk. (1994)). Bagian deterministik dari spektrum ditentukan dengan menyelesaikan

N(x, x

⎛

σ

^{⎞− m}

E ( σ , θ )

^{= E}

( σ

max

, θ )

^⎜

σ

^⎟

⎝ max ⎠

(3.5)

di mana m adalah sebuah konstanta. Dalam model ini, m = 5 diterapkan. Frekuensi prognostik maksimum ditentukan sebagai

σcut−off = min

[

^σmax , max( 2.5σ ,4σPM )

]

(3.6)

di mana

σ

_max adalah frekuensi diskrit maksimum yang digunakan dalam model gelombang deterministik,

σ

adalah frekuensi relatif rata-rata dan

σ

PM

= g /(28u

₁₀ ) adalah puncak Pierson-Moskowitz frekuensi untuk gelombang yang

berkembang penuh (

U

₁₀ adalah kecepatan angin pada ketinggian 10 m di atas permukaan laut

level) Ekor diagnostik digunakan dalam perhitungan transfer non-linear dan dalam perhitungan parameter integral yang digunakan dalam fungsi sumber. Di bawah frekuensi minimum, kerapatan spektral diasumsikan nol.

Sebagai standar, frekuensi rata-rata, yang digunakan dalam Persamaan (3.6), dihitung berdasarkan seluruh spektrum. Untuk kondisi gelombang yang didominasi oleh

gelombang, hal ini dapat menghasilkan frekuensi cut-off yang terlalu rendah dan dengan demikian meremehkan gelombang angin yang dibangkitkan secara lokal. Prediksi- prediksi dapat ditingkatkan dengan menghitung frekuensi rata-rata berdasarkan hanya bagian angin-laut dari spektrum. Pemisahan antara angin-laut dan gelombang dapat diperkirakan dengan menggunakan definisi-definisi di Bagian 5.1.

3.2 Konservasi Aksi Gelombang Persamaan

Persamaan yang mengatur adalah persamaan keseimbangan aksi gelombang yang diformulasikan dalam koordinat kartesian maupun bola (lihat Komen et al. (1994) dan Young (1999)).

Koordinat kartesian

Dalam koordinat Kartesian horizontal, persamaan konservasi untuk aksi gelombang dapat dituliskan sebagai

∂N + ∇ ⋅ (→

N ) = S

∂t

v

σ

^(3.7)

di mana →

σ , θ , t)

adalah kerapatan aksi, t adalah waktu,

→

→

= (x, y

) adalah Kartesius

koordinat,

v = (c

_x

, c

_y

, c

_σ

, c )

_θ

→

adalah kecepatan rambat kelompok gelombang dalam empat

ruang fase dimensi

x

, σ dan θ, dan S adalah istilah sumber untuk keseimbangan energi persamaan.

∇

adalah operator diferensial empat dimensi dalam ruang

→ x

, σ, θ. Keempat kecepatan propagasi karakteristik diberikan oleh

d

→

→ →

(c , c ) = x

= c + U

x y

dt

^{g (3.8)}

c

= = +

d σ

∂

σ

⎡∂

d

→

⋅ ∇ d⎤ - c→ ⋅ ∂U

σ

dt

∂d⎣⎢∂t

U

_x

⎥⎦ ^g

k

∂s

(3.9)

→

x

dθ 1 ⎡ ∂σ ∂d

^{→ ∂ ⎤}

c

_θ == - ⎢ + k ⋅

U dtk

⎣

∂d ∂m

∂m ⎦⎥

(3.10)

Di sini, s adalah koordinat ruang dalam arah gelombang θ, dan m adalah koordinat yang tegak lurus terhadap s. ∇_x adalah operator diferensial dua dimensi dalam ruang-x.

Koordinat bola

ˆ

→

Dalam koordinat bola, properti yang dilestarikan adalah kerapatan aksi

N (x, σ , θ , t)

. Di sini,

→ = adalah koordinat bola

,

di mana ϕ adalah garis lintang dan λ adalah garis bujur.

Kerapatan aksi

Nˆ

berhubungan dengan kerapatan aksi normal N (dan kerapatan energi normal E)

melalui

Nˆdσdθdϕdλ

= Ndσdθdxdy , atau

ˆ

²

ER

²

cos ϕ

N = NR cos ϕ

=

σ

(3.11)

di mana R adalah jari-jari bumi. Dalam koordinat kutub bola, persamaan keseimbangan aksi gelombang dapat ditulis

∂   ∂  ∂  ∂  

N

+ c∂

ϕ N +

c

_λ N +

c

_σ N +

c

_θ N =

S

∂t

∂ϕ ∂λ ∂σ ∂θ σ

^(3.12)

ˆ

→ 2

Di sini

S (x, σ , θ , t) = SR

cos ϕ

adalah fungsi sumber dan sink total. Keempat kecepatan propagasi karakteristik diberikan oleh

d ϕ c

^g

cosθ

^{+ u}

c = =

_{ϕ ϕ}

dt R

(3.13)

c

=

dλ

=

c

_g

sin θ + u

_λ

λ

dtR cos ϕ

^(3.14)

c = = dσ ∂σ ⎡∂d

- (d 1 du_λ +du_ϕ

- u tan ϕ )⎤

σ dt ∂d⎢ ∂t R cos ϕ ∂λ ∂ϕ ^{ϕ ⎥}

⎣ ⎦

⎡ du du _ϕ sin θ du duϕ ⎤

kc cosθ (sin θ ^λ + cosθ ) + (sin θ ^λ + cos θ ) -

- ^g⎢ dϕ dϕ cos ϕ dλ dλ ^⎥

R ⎢

⎢cosθ tan ϕ (u sin ϕ + u cosθ ) ⎥

⎥

⎣ ^{λ ϕ} ⎦

(3.15)

dθ cg sin θ tan ϕ ₁ ∂σ ⎛ ∂d cosθ ∂d ⎞ c_θ =

dt R= +

Rk ∂d⎜ sin θ

∂ϕ⁻ cos ϕ ∂λ ^{⎟ +}

⎝ ⎠

sin θ ⎛⎛ ^{∂u ∂u ϕ ⎞ cos θ ⎛}⎛ ^{∂u ∂uϕ ⎞}

⎜ sin θ^λ + cos θ ⎟ - ⎜ sin θ^λ + cosθ ⎟

R⎝ ∂ϕ ∂ϕ_⎠ R cos ϕ⎝ ∂λ ∂ λ _⎠

(3.16)

Di sini

(u

_ϕ

, u )

_λ

→

adalah komponen dari arus rata-rata kedalaman

U

dalam geografis ruang. Untuk arah gelombang θ, digunakan konvensi bahari (searah jarum jam positif dari arah Utara yang sebenarnya): arah dari mana angin bertiup.

3.3 Sumber Fungsi

Istilah sumber energi, S, mewakili superposisi fungsi sumber yang menggambarkan berbagai fenomena fisik

S =

_Sin + _Sn1 + _Sds + _Sbot + _{Ssurf (3.17)}

Di sini Sin mewakili pembangkitan energi oleh angin, Snl adalah transfer energi gelombang akibat interaksi gelombang-gelombang non-linear, Sds adalah disipasi energi gelombang akibat whitecapping, Sbot adalah disipasi akibat gesekan dasar, dan Ssurf adalah disipasi energi gelombang akibat pemecahan yang diakibatkan oleh kedalaman.

3.3.1 Angin masukan

Dalam serangkaian penelitian oleh Janssen (1989), Janssen dkk. (1989) dan Janssen (1991), ditunjukkan bahwa laju pertumbuhan gelombang yang dibangkitkan oleh angin juga bergantung pada umur gelombang. Hal ini disebabkan oleh ketergantungan hambatan aerodinamis terhadap kondisi laut.

Istilah sumber input, Sin diberikan oleh

S

in

( f ,θ ) = max ( α,γE ( f ,θ ))

^(3.18)

di mana α adalah pertumbuhan linier dan

γ

adalah tingkat pertumbuhan nonlinier.

Pertumbuhan non-linear

Sebuah parameterisasi sederhana dari laju pertumbuhan,

γ,

dari gelombang

diperoleh oleh Janssen (1991) dengan mencocokkan sebuah kurva dengan hasil-hasil numerik yang telah dirincikan sebelumnya. Kurva yang cocok ini lebih baik

dibandingkan dengan pengamatan oleh Snyder dkk., 1981. Janssen menyarankan

γ

=

ε

βσ

x

² (3.19)

di mana

ε

adalah rasio kerapatan udara terhadap frekuensi air. x diberikan oleh

ρ

a

/ ρ

w

dan

σ

adalah lingkaran relatif

x = u

_*

cos ( θ

^-

θ )

c

^{w (3.20)}

β

=

1.2

μ ln

⁴

μ μ

^{≤ 1}

κ

²

β

^{= 0}

μ

^{> 1}

(3.21)

di mana

κ

adalah konstanta von Karman

κ

=0,41 dan

μ

adalah ketinggian kritis tanpa dimensi

μ

^{= k z}c (3.22)

Di sini k adalah angka gelombang dan zc adalah ketinggian kritis yang didefinisikan sebagai ketinggian di atas permukaan laut di mana kecepatan angin sama persis dengan kecepatan fase. Dengan mengasumsikan profil angin logaritmik, ketinggian kritis dapat dituliskan sebagai

z

_c

= z

_o

exp( κ / x)

^(3.23)

Dalam implementasi WAM yang sebenarnya, Persamaan (3.20) dimodifikasi sebagai berikut:

x =

⎛

u

_*

+ z

⎞

cos ( θ

-

θ )

⎜ _α ⎟ w

⎝

c

⎠ ^(3.24)

di mana

z

_α

= 0,011

. Menurut Peter Janssen (komunikasi pribadi, 1995), hal ini adalah diperlukan untuk memperhitungkan hembusan angin dan mendapatkan tingkat

pertumbuhan yang wajar dengan WAM. Dengan menggunakan Persamaan (3.21) - (3.24), laju pertumbuhan akibat masukan angin dapat dihitung sebagai

⎛

ρ

_⎞

⎛

^{1.2 ⎞ ⎡⎛ u ⎞ ⎤2}

γ

= ⎜ ^a ⎟⎜

μ

^ln4

μ ⎟ σ

⎢ ⎜^* + z_α ⎟ cos

( θ

-

θ

w

)

_⎥

μ

^{≤ 1}

⎝ ^ρw ⎠ _⎝

κ

² ⎠ ⎣⎝ c ⎠ ⎦

γ

= 0

μ

> 1

(3.25)

di mana

μ

^{= kz}o

exp( κ / x)

^(3.26)

Untuk kecepatan dan arah angin tertentu, laju pertumbuhan gelombang dengan frekuensi dan arah tergantung pada kecepatan gesekan,

u

_* dan kekasaran laut,

z

_o . Untuk menghitung

u

_* , Janssen mengasumsikan profil logaritmik untuk kecepatan angin u(z) dalam bentuk

u(z) = ln u

_* ⎛

z + z

_ow ⎞

z = z + z

⎜ ⎟

κ

_⎝

z

_ob ^{+ z}_ow⎠ ^{0 ob ow (3.27)}

di mana

z

_ob memodelkan efek gelombang gravitasi-kapiler (dapat dilihat sebagai latar belakang

kekasaran) dan

z

_ow memodelkan efek gelombang gravitasi pendek.

z

_ob diparameterkan sebagai

z0b

=

_zCharnock

u

²

/ g

* (3.28)

Biasanya,

z >> z

_ow dan dalam hal ini

seret seret

*

u

= κu( z)

* ⎛ z ⎞

Dalam ⎜⎜

⎟

⎝ ^z0 ⎠

(3.29)

Tiga formulasi yang berbeda untuk mengestimasi

u

* dan zc telah diimplementasikan dalam model:

Model tanpa pasangan menggunakan hukum hambatan

Di sini, hubungan antara kecepatan angin

U

_w

= u (z)

pada tingkat kecepatan gesekan diberikan oleh formulasi empiris sederhana

z =

_zangin dan angin

u

²_*

= C

_D

⋅ U

²

, C

_{w D}

= α

_seret

+ β

_seret

⋅ U

_w ^(3.30)

di mana

α

drag dan

β

drag adalah dua konstanta. Nilai standarnya adalah

z

_wind

= 10 m

,

α = 6.3 ⋅ 10

⁻⁴ dan

β

^{= 6,6} ⋅

10

⁻⁵ , lihat Smith & Banke (1975). Kemudian laut kekasaran diperoleh dengan menggunakan Persamaan (3.29).

z = z exp

⎛

-

κ U

_w ^⎞

0 angin ⎜ ⎟

⎝ u* ⎠

(3.31)

Model yang tidak berpasangan menggunakan Charnock

Jika

z

_ow diasumsikan kecil dibandingkan dengan

z

_ob , kekasaran udara diberikan oleh

z0

=

_z0b

=

_zcharnock

u

²

/ g

* (3.32)

Untuk kecepatan angin yang diberikan

U

_w

= u(z

) pada level

z = z

_wind dapat diselesaikan dengan Persamaan.

(3.29) dan (3.32) secara iteratif untuk mendapatkan panjang kekasaran

z

0 dan kecepatan gesekan

u

_*

. Sekarang, untuk membatasi jumlah perhitungan berulang jenis ini, nilai

τ

^untuk

berbagai kombinasi

U

_w dapat dihitung sebelumnya dan disimpan. Kisaran

U

_w yang digunakan adalah: 0-50 m/s dalam langkah 0,5 m/s.

Model yang digabungkan

Di sini kekasaran laut diberikan oleh

⎛

τ

⎞^−½

zu

² ⎛

τ

^⎞−½

z

_o = z_ob + z_ow = z_ob ⎜1 − ^w⎟ = charnock *⎜

1

− ^w ⎟

⎝

τ

_⎠

g

⎜

ρ u

² ⎟

⎝ ^{udara *} ⎠

(3.33)

di mana

τ

w adalah tegangan yang diinduksi oleh gelombang, dan

τ

adalah tegangan total

τ

⁼

ρ u

air2 . Untuk suatu

kecepatan angin

U

_w

= u(z)

pada level

z = z

_wind dan tegangan yang diinduksi gelombang, adalah mungkin untuk

Selesaikan Persamaan (3.29) dan (3.33) secara iteratif untuk mendapatkan

u

_* . Untuk membatasi jumlah pengulangan

k / k

w, prognostik

w, diagnostik

perhitungan jenis ini, nilai

τ

untuk berbagai kombinasi

u

₁₀ dan

τ

w adalah

yang telah dihitung sebelumnya dan disimpan. Kisaran

U

10 yang digunakan adalah: 0-50 m/s dalam langkah 0,5 m/s, sedangkan

kisaran

τ

ω adalah: 0-5 ^m2 /s2 dalam langkah 0,05 ^{m2 /s2.}

Tegangan yang disebabkan oleh gelombang,

τ

w dihitung sebagai berikut

τ

=

∂ P

→

df dθ

w

∫ ∂t

angin

(3.34)

di mana

P

adalah momentum gelombang yang diberikan oleh

→ →

P = ρ

w

σE ( f ,θ ) ι

^(3.35)

Di sini

ι

^→ adalah vektor satuan di sepanjang arah gelombang (

ι →

= →

). Dari Persamaan (3.18) kita

memperoleh

∂ P

=

ρ σ ∂ E

ι

^→

= ρ σγFι

^→

∂t ^w ∂t angin w

(3.36)

di mana

γ

adalah laju pertumbuhan gelombang akibat angin. Dengan membagi integral menjadi bagian frekuensi rendah dan tinggi, kita akan mendapatkan

τ

^→_w

= τ

^→w, prognostik

+ τ

^→w, diagnostik (3.37)

di mana

τ =

^{→ max} f

ρ γ π θ

^→

w, prognostik

∫ ∫

^w

E2 f df d l

o θ

(3.38)

τ =

^→ ∞

ρ γE 2πf df d θ

^→

w, diagnostik

∫ ∫

^w

l

fmax θ

(3.39)

Di sini

f

_max adalah frekuensi prognostik maksimum.

Bagian prognostik

τ

^→ dihitung dengan integrasi numerik dari Persamaan (3.38) menggunakan spektrum diskrit yang dihitung. Bagian diagnostik

τ

^→ (berisi nilai

bagian frekuensi dari spektrum) dihitung dengan mengasumsikan bentuk spektrum

f

⁻⁵ , lihat Persamaan.

(3.5). Untuk gelombang frekuensi tinggi ini, selektivitas gelombang dapat dievaluasi dengan menggunakan

ekspresi untuk gelombang air dalam. Dengan demikian,

c = g / 2πf

. Sekarang, dengan mengganti Persamaan (3.5) dengan m = 5 dan Persamaan (3.25) ke dalam Persamaan (3.39), kita memperoleh:

τ^→

(

²π

)

⁴ 5 ρ ²

( )

²

(

^{θ φ}

)

^{θ →}

w, diagnostik = ₂ ⋅ f _max ⋅ _au*

∫

^{E f max,θ cos - ⋅ Iτ d l}

g _θ ^w

(3.40)

di mana

kz

_o

w, diagnostik

∞

df

I =

_τw

∫

f

β

maks

f

^(3.41)

Dengan mengubah variabel f pada Persamaan (3.41) menjadi variabel baru y (didefinisikan sebagai akar kuadrat dari

kekasaran tanpa dimensi, )

y = 2πf z

_o

/ g

^(3.42)

Persamaan (3.41) ditulis ulang sebagai

1

dy

I =

_τω

∫

y

β

maks

y

^(3.43)

di mana _ymax = _2πfmax dan batas atas ditetapkan ke 1,0. Dengan mengasumsikan zch = 0,0185, maka

batas atas sesuai dengan frekuensi sekitar 180 kali frekuensi puncak Pierson Moskowitz.

Persamaan (3.43) dapat ditulis ulang sebagai

I

^τω =

∫

_y¹

1.2

²

μ ln

⁴

μ dy

maks

κ y

^(3.44)

di mana

μ = kz

o

exp(κ / x) = y

²

exp(κ / x)

^(3.45)

x =

⎛

u

_*

+ z

⎞

cos( θ

-

φ ) =

^⎛

u

^{* ⋅ y + z⎞}

cos( θ

-

φ )

⎜ _α ⎟ ⎜ _α ⎟

⎝

C

⎠ ⎜

gz

o ⎟

⎝ ⎠

(3.46)

Dengan mengganti Persamaan (3.46) ke dalam Persamaan (3.45), kita memperoleh

⎧ ⎫

⎪ ⎪

μ

= y²

exp

⎪

κ

⎪

⎛

u

⎞ ⎨ ⎬

⎪⎜ ^* ⋅ y + z_α ⎟

cos( θ

-

φ )

^⎪

⎪⎜

gz

⎟ ⎪

⎩⎝ ^o ⎠ ⎭

(3.47)

Sekarang,

τ

^→ dapat dihitung sebagai

τ^→

(

^2π

)

⁴ 5 ρ ^{2 φ +π / 2}

(

^θ

)

²

(

^{θ φ}

)

^{θ →}

w, diagnostik = _2g ⋅ f _max ⋅ _au*

∫

^{∫ E f max, cos - ⋅ Iτw d l}

θ =φ -π / 2

(3.48)

Di mana

aku

w diberikan oleh Persamaan (3.44) dan

μ

diberikan oleh Persamaan (3.47).

z

_o

/ g

τ

w ^w

*

τ

τ

w o

Dari Persamaan (3.44) dan (3.47), jelas bahwa untuk nilai

z

_o

, u

_*

dan ( θ

-

θ

w

)

,

I

_τ

(z

₀

, u

_*

, (θ -θ

w

))

dapat dihitung. Untuk meningkatkan efisiensi,

I

_τ dapat dihitung sebelumnya untuk berbagai nilai parameter dependen, dengan cara yang sama

dilakukan untuk

τ

^{. Atau}

jika

z = αu

²

/ g

, maka dapat disimpulkan bahwa

I

adalah fungsi dari

w

α, u

*

dan (θ - φ )

. Dengan demikian, sebuah tabel dapat dihitung untuk

I

dengan parameter sebagai berikut

w

rentang:

α

bergerak dari 0,01 → 0,11, langkah 0,001;

u

_* bergerak dari 0 → 5 m/s, langkah 0,05;

( θ

-

φ )

bergerak dari -

π / 2 → π / 2, langkahπ /12

.

Terdapat beberapa perbedaan signifikan antara prosedur yang dijelaskan di atas dengan apa yang diimplementasikan pada WAM siklus 4. Pada dasarnya, WAM melakukan pendekatan terhadap Persamaan (3.48) sebagai berikut:

τ^→

(

²π

)

⁴ 5 ρ²

∫

^{φ +π / 2}

(

θ

)

³

(

θ φ

)

αθ ^→

w, diagnostik ⋅^{f max ⋅ au*E f} 2w^{max, ����⋅ I 'τ ( , u* )}d mg 2θ =φ -π / (3.49)

di mana

1

1.2 dy

I

_τω

(α , u

_* ) =

∫ κ

²

μ ' ln μ' y

' 4

ymax

(3.50)

⎧ ⎫

⎪ ⎪

μ ' = y

²

exp

^⎪

κ

⎪

⎛

u

⎞ ⎨ ⎬

⎪⎜ ^*

y + z

_α ⎟⎪

⎪⎜

gz

⎟ ⎪

⎩⎝ ^o ⎠ ⎭

(3.51)

dan

m

→ adalah vektor satuan pada arah angin. Penghilangan suku kosinus dalam

Persamaan (3.51) tampaknya merupakan kesalahan (bandingkan Persamaan (3.47) dan Persamaan (3.51)). Kesalahan ini tidak dapat dikompensasi dengan penggunaan ^cos3 (Eq.

(3.49)) dan bukan ^cos2 (Eq. (3.48)). Selanjutnya,

tidak jelas mengapa arah

τ

^→ diubah menjadi arah angin dan bukannya

arah gelombang. Pada saat penulisan laporan ini, implementasi WAM (Persamaan (3.49) hingga

(3.51)) digunakan dalam model ini.

Pertumbuhan linier

Pertumbuhan linier, α, diperoleh dengan mengikuti pendekatan oleh Ris (1997)

→ → → → →

⎧

c

⎛ ⎛

σ

^{⎞−4 ⎞}

⎪

( ( u cos ( θ

^-

θ ))

⁴ )exp⎜- ⎟- ⎜ ⎟ ⎟

cos ( θ

-

θ )

^{> 0}

⎪

g

²

2π

^{* w} _{⎜ ⎝}

σ

^{⎟ w}

⎪ ⎝ ^PM ⎠ ⎠

α

= ⎨

⎪

0cos ( θ

-

θ )

^{≤ 0}

⎪ ^w

⎪⎪

⎩

(3.52)

di mana

c = 1.5

⋅

10

⁻³ dan frekuensi puncak Pierson-Moskowitz didefinisikan oleh

σ = 0.13g 2π

PM

28u

_* ^(3.53)

Kecepatan gesekan u_* diperoleh dengan menggunakan Persamaan (3.30). Koefisien hambatan diberikan oleh (lihat Wu (1982))

⎪⎧1.2875 ⋅ 10 U⁻³ _w < 7,5 m / s C_D = ⎨

⎪ .8 ⋅ 10⁻³ + 6.5 ⋅ 10 U⁻⁵ U ≥ 7,5 m / s

⎩0 _{w w} ^(3.54)

di mana Uw diberikan pada z = 10 m .

3.3.2 Interaksi gelombang quadruplet

Komputasi yang tepat dari ekspresi integral Boltzmann non-linear tiga dimensi untuk

S

_nl (Hasselmann, 1962) terlalu memakan waktu untuk dimasukkan ke dalam model gelombang numerik umum. Oleh karena itu, diperlukan parameterisasi

S

_nl . Diskrit interaction approximation (DIA) adalah parameterisasi yang umum digunakan

untuk

S

_nl ^{di urutan} ketiga

model gelombang generasi. DIA dikembangkan oleh S. Hasselmann dkk., 1985. Uraian di bawah ini diambil dari Komen dkk., 1994 (hal. 226-228).

S. Hasselmann dkk. (1985) membangun operator interaksi non-linear dengan superposisi sejumlah kecil konfigurasi interaksi diskrit yang terdiri dari kombinasi interaksi tetangga dan interaksi jarak terbatas. Mereka menemukan bahwa transfer non-linear yang tepat dapat disimulasikan dengan baik hanya dengan satu pasangan gambar cermin dengan jarak menengah

konfigurasi interaksi. Dalam konfigurasi

→

^{ch ation}

()

, dua nomor gelombang

→

diambil sebagai identik:

k

₁

= k

₂

= k

, sedangkan

k

₃ dan

k

₄ ≠ k terletak pada sudut terhadap

k

seperti yang disyaratkan oleh ^kondisi resonansi1

Konfigurasi kedua diperoleh dari yang pertama dengan merefleksikan bilangan gelombang

k

3

dan

k

₄ terhadap sumbu-k (lihat juga Gambar 3.1). Skala dan arah dari

Nomor gelombang referensi diperbolehkan bervariasi secara terus menerus dalam ruang nomor gelombang.

→ → → →

1 Kondisi resonansi mengharuskan^{k1 + k 2 − k 3 − k 4 = 0} dan^{ω1 + ω 2 − ω 3 − ω 4 = 0} .

Gambar 3.1 Dua konfigurasi interaksi yang digunakan dalam pendekatan interaksi diskrit.

Garis kontur merepresentasikan titik akhir yang mungkin dari vektor k1 dan k4

untuk setiap kuadruplet interaksi dalam ruang interaksi penuh. (dari Komen dkk., 1994).

Operator non-linear yang disederhanakan dihitung dengan menerapkan metode integrasi simetris yang sama dengan yang digunakan untuk mengintegrasikan integral transfer eksak (lihat juga Hasselmann dan Hasselmann, 1985b), kecuali bahwa integrasi dilakukan pada kontinum dua dimensi dan dua interaksi diskrit, bukan pada ruang fase interaksi lima dimensi. Sama seperti pada kasus eksak, interaksi tersebut menghemat energi, momentum, dan aksi.

Untuk konfigurasi:

ω

1

= ω

2

= ω ω

3

= ω (1 + λ ) = ω

+

ω

4

= ω (1 - λ )

=

ω

−

(3.55)

di mana

λ

= 0,25, kesepakatan yang memuaskan dengan perhitungan yang tepat tercapai.

Dari kondisi resonansi, sudut

θ

3

, θ

4 dari bilangan gelombang k3 (k+) dan k4 (k-)

relatif terhadap k ditemukan

θ

3 = 11,5°,

θ

4 = -33,6°.

Perkiraan interaksi diskrit memiliki bentuk yang paling sederhana untuk laju perubahan dalam waktu dari kerapatan aksi dalam ruang bilangan gelombang. Sesuai dengan prinsip keseimbangan terperinci, kami memiliki

∂

^⎛ ⎜

N

⎟ ^⎞⎜

⎛

- 2⎞⎟

⎜

N

⎟ =+ 1 Cg⁻⁸

f

⁻¹⁹

[N

²

( N + N )

^{- 2NN N}

]

^Δk,

∂ t

_⎜ ⁺_⎟ ^{⎜ ⎟ + - + -}

⎝

N

₋ ⎠ ⎜ + 1⎟

⎝ ⎠

(3.56)

di mana

∂N /∂t, ∂N

₊

/∂t, ∂N

₋

/∂t

adalah laju perubahan aksi pada bilangan gelombang k, k+,

k-

karena interaksi diskrit dalam elemen ruang-fase interaksi infinitesimal

Δk dan C adalah konstanta numerik. Fungsi sumber bersih Snl diperoleh dengan menjumlahkan

Persamaan (3.56) untuk semua nomor gelombang, arah dan konfigurasi interaksi.

Dalam hal kerapatan energi spektral

E( f

_r

,θ )

, kenaikan ke sumber

sebagai: (S.

Hasselmann et al., 1985)

⎧ − 2

ΔfΔθ

⎫

⎪

ΔfΔθ

^⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎧

δS

nl ⎫

( 1

+

λ )

^⎪

ΔfΔθ

^⎪

⎪δS ⎪

=⎪

Δf Δθ

^⎪

(f , E, E, E)

⎨ nl + ⎬ ⎨ +

⎬ Ø

+ -

δ S

_{nl −} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪

Δ f Δ θ

^⎪

⎪( 1 - λ )

^⎪

⎪ Δf₋

Δθ

^⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(3.57)

di mana

Ø( f , F , F , F ) = C' g⁻⁴ f ¹¹⎡

E ²⎛ E₊

+ E₋ ⎞

- 2EE₊ E₋ ⎤

+ − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎣ ⎝ ⎢ (1 + λ)⁴ (1 - λ) ⁴⎠ (1 - λ² )⁴⎥⎦

(3.58)

di mana C' adalah konstanta numerik yang sebanding dengan C, diberikan sebagai 3,¹⁰⁷,

Δf , Δf

₊

Δf

₋ adalah

resolusi spektral diskrit pada fr, fr,+, dan fr,─, masing-masing. Peningkatan

ΔfΔθ

^dalam

pembilang mengacu pada elemen ruang-fase interaksi-diskrit, sedangkan diferensial dalam penyebut mengacu pada ukuran "tempat sampah" di mana perubahan spektral tambahan

yang disebabkan oleh "tumbukan" disimpan. Pada gambar di atas, kenaikan sudut

Δθ

^pada

θ

1

,θ

3

,θ

4

dianggap sama, sementara ketergantungan frekuensi yang mungkin pada

Δf

diperbolehkan, yaitu

Δf

₊

≠ Δf

₋

≠ Δf

. Persamaan (3.57) dijumlahkan pada semua frekuensi, arah, dan konfigurasi interaksi untuk menghasilkan fungsi sumber netto, Snl.

Analisis di atas dibuat untuk perairan dalam. Perhitungan numerik oleh Hasselmann dan Hasselmann (1981) tentang integral Bolzmann penuh untuk air dengan kedalaman yang berubah-ubah telah menunjukkan bahwa ada hubungan perkiraan antara laju transfer di air dalam dan air dengan kedalaman yang terbatas: untuk spektrum arah frekuensi yang diberikan, transfer untuk kedalaman yang terbatas identik dengan transfer untuk

kedalaman yang tak terbatas, kecuali untuk faktor penskalaan R:

S

_nl

(kedalaman terbatas) = R(kh)S

_nl

(kedalaman tak terbatas),

^(3.59)

di mana

k

adalah angka gelombang rata-rata. Hubungan penskalaan ini berlaku pada kisaran

kh > 1

, di mana perhitungan yang tepat dapat direproduksi secara dekat dengan faktor penskalaan

R( x) = 1 + 5.5 ⎛

1 - 5x ⎞ exp ⎛ - 5x ⎞ , x ⎜ 6 ⎟ ⎜ 4 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.60)

dengan

x = (3 / 4) kh

. Perkiraan ini digunakan dalam model WAM.

Untuk diskritisasi interval frekuensi konstan, Persamaan (3.57) dapat dituliskan sebagai:

⎧

δS

nl ⎫⎧ -

2

⎫

⎪δS ⎪

=⎪

+ λ

^⎪

( f , E , E , E )

⎨ nl +⎬ ⎨

1 ⎬ Ø

+ -

⎪

^δSnl − ⎪ ⎪

1 -

λ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.61)

Untuk diskritisasi frekuensi logaritmik, Persamaan (3.57) menjadi:

⎧

δS

nl ⎫⎧� 2⎫

δ S

⎪ ⎪= ⎪ ⎪

⎨ nl + ⎬ ⎨

1

⎬

Ø( f , E, E

₊

, E )

₋

δ S

_{nl −} ⎪ ⎪ ⎪

1

⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.62)

Kontribusi terhadap suku gradien

(

^∂Snl

/ ∂E )

pada bilangan gelombang yang berinteraksi diperoleh dari:

⎧ − 2

ΔfΔθ

_⋅

∂ø

⎫

⎪

ΔfΔθ ∂E

⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎧

δ (

^∂Snl

/ ∂E )

⎫ ⎪ ΔfΔθ∂ø ⎪

⎪

δ (

^∂S

/ ∂E ) =

^{⎪ ⎪}

(1

⁺

λ ) Δf Δθ

^{⋅ ∂}

E

^⎪

⎨ nl + ⎬ ⎨ + +⎬

⎪ δ (

^∂Snl

/ ∂E

₋ )⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪

ΔfΔθ

∂

ø

⎪

⎪

(1 + λ )

⋅ ⎪

⎪ Δf₋

Δθ ∂E

₋ ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(3.63)

Seperti pada Persamaan (3.57), kontribusi total terhadap

∂S

_nl

/ ∂E

pada frekuensi tertentu f, dan arah

θ

ditemukan dengan menjumlahkan kontribusi dari semua frekuensi, arah dan dua konfigurasi (konfigurasi primer dan cermin).

Asumsi tambahan diperlukan sebelum menghitung Persamaan (3.57) dan Persamaan (3.63) di atas. Alasannya adalah sebagai berikut: Untuk interaksi non-linear, kami selalu mempertimbangkan pertukaran energi antara bilangan gelombang yang berinteraksi yang direpresentasikan dalam frekuensi-

ruang arah sebagai:

( f , θ ) , ( f

+

,θ

±

θ

3

) dan ( f

−

,θ

±

θ

4 ). Frekuensi

f

₊

dan f

₋

diberikan oleh:

f

₊

= (1 + λ ) f

(3.64)

f

₋

= (1 - λ ) f

^(3.65)

di mana

λ

^{= 0,25} . Sekarang, diskritisasi kita dalam ruang frekuensi haruslah terbatas: yaitu kita

diskritisasi dari frekuensi bawah yang terbatas,

f

₁ ke frekuensi atas yang terbatas,

f

_max . Dengan demikian, ada

adalah masalah dalam mengevaluasi Persamaan (3.57) dan Persamaan (3.63) pada dua batas diskritisasi

ruang frekuensi. Pertanyaannya adalah apa yang harus dilakukan ketika

f

₊ > f_max

atau f

₋

<

f ?

₁

Untuk menjawab pertanyaan ini, ada dua asumsi tambahan yang diperkenalkan:

Kasus 1:

f

₊ > f _max

Pertama, spektrum energi di wilayah

f > f

_max diasumsikan mengikuti

f

-5 ekor, karena ini adalah wilayah diagnostik. Kedua, di sekitar

f

_max , terdapat

kontribusi ke

S

_nl dari frekuensi yang lebih tinggi dari frekuensi maksimum yang didiskritkan dalam

model. Frekuensi maksimum

f

_upper , yang menyumbangkan energi ke dalam diskritisasi rentang frekuensi, dapat ditemukan dengan memecahkan:

f

₋

= ( 1 - λ ) f

upper

= f

_max (3.66)

atau

f

_upper

= f

_max

/( 1 - λ )

^(3.67)

Dengan demikian, untuk menghitung dengan benar kontribusi ke

S

_nl di sekitar

f

_max , maka Ruang frekuensi yang didiskritisasi diperluas menjadi

f

_upper dan sebuah -5

f

ekor

diasumsikan di wilayah ini.

Kasus 2:

f

₋

< f

1

Diasumsikan bahwa

E( f , θ ) = 0

di wilayah

f < f

₁ . Ini adalah asumsi yang masuk akal jika ruang frekuensi yang didiskritisasi telah dipilih secara hati-hati untuk menyertakan

semua frekuensi yang mengandung energi.

Lebih lanjut, karena kita mengasumsikan

E = 0

di wilayah

f < f

1 , kontribusi dari wilayah ke rentang frekuensi yang didiskritisasi adalah nol. Untuk meminimalkan penghitungan berulang yang terlibat dalam penghitungan istilah sumber non-linear, sebuah prosedur digunakan, yang terdiri dari lima langkah berikut:

1. Untuk setiap arah diskrit,

θ

, indeks dalam larik arah, di sebelah kanan dan kiri

θ

±

θ

3

, θ

±

θ

4 dihitung dan disimpan.

2. Untuk setiap frekuensi diskrit,

f

, dalam ruang frekuensi yang diperluas, indeks ke kanan dan kiri dari

f

₊

[( 1 + λ ) f ] dan f

−

[( 1 - λ ) f ]

dihitung dan disimpan.

3. Untuk setiap frekuensi, arah, dan konfigurasi yang berbeda, nilai energi spektral

F

(

f

₊

,θ

±

θ

3

), F (f

₋

,θ

±

θ

4 ) ditemukan dengan menggunakan interpolasi bilinear.

Nilai-nilai pada

keempat sudut grid

f - θ

diperoleh dari indeks yang diperoleh dalam langkah-langkah (1) dan (2) di atas.

4. Kontribusi yang dihitung untuk

S

_nl

dan ∂S

_nl

/ ∂E

pada

(f

₊

,θ

±

θ

3

), dan (f

₋

,θ

±

θ )

4

didistribusikan ke titik-titik jala arah frekuensi diskrit di empat sudut grid

f - θ

^.

5. Kontribusi terhadap

δS

nl

( f , θ ) dan δ (∂S

nl

/ ∂E)

_f,θ dihitung dari langkah (3) dan (4) dijumlahkan pada semua frekuensi, arah, dan konfigurasi untuk mendapatkan

S

nl

( f , θ )

dan

(∂S

nl

/ ∂F )

_f,θpada setiap titik mesh

f -θ.

3.3.3 Interaksi triad-gelombang

Di perairan dangkal, interaksi triad-gelombang menjadi penting. Transformasi nonlinier gelombang tak beraturan di perairan dangkal melibatkan pembangkitan sub- dan super- harmonik yang terikat dan interaksi triad yang hampir beresonansi, di mana transfer energi lintas spektral yang substansial dapat terjadi dalam jarak yang relatif pendek.

Proses interaksi triad menukar energi antara tiga mode gelombang yang saling berinteraksi. Interaksi triad-gelombang dimodelkan dengan menggunakan pendekatan yang disederhanakan yang diusulkan oleh Eldeberky dan Battjes (1995, 1996).

S

_nl

(σ , θ ) = S

_{nl +}

(σ , θ ) + S

_{nl −}

(σ , θ )

^(3.68)

di mana

⎛

0, α 2π c J

²

sin( β ) ( cE

²

( σ , θ )

^�⎞

S

( σ , θ ) = max ⎜

^{EBg −} ⎟^nl+ ⎜

2c E ( σ , θ ) E ( σ

_⎝

, θ )

_{- -} ^⎟_⎠

(3.69)

S

_{nl −}

(σ , θ ) = -2S

_{nl +}

(σ

₊

,θ )

^(3.70)

Hal ini berlaku ketika 𝑈𝑟 > 0.1 dan 𝑓(1) ≤ 2.5 𝑓𝑚𝑒𝑎𝑛

Di sini

σ

₋

= σ /2

,

σ

₊

= 2σ

, dan

c

₋

= σ

₋

/ k

₋ - adalah kecepatan fase, di mana k ₋

adalah gelombang angka yang berhubungan dengan

σ

₋ .

α

EB adalah parameter penyetelan. Biphase diparameterkan oleh parameter, β , yang diberikan oleh

β

=

π

⎛

-1 + tanh

⎛

0.2

⎞⎞

2

⎜ ⎜

Ur

⎟⎟

⎝ ⎝ ⎠⎠

(3.71)

Nomor Ursell, Ur, diberikan oleh

Ur = g H

_{m 0}

2 2 σ

²

d

^{2 (3.72)}

di mana σ adalah frekuensi sudut rata-rata. Koefisien interaksi, J, diberikan oleh

k

²

( gd + 2c

²

)

J =

^{- -}

-kd

⎛ gd + 2Bgd k³² -⎛ B +

1

⎞

σ d

^22⎞

⎜ ⎜

3

⎟ ⎟

⎝ ⎝ ⎠ ⎠

(3.73)

di mana B = 1/15.

3.3.4 Whitecapping

= C ds

S

_ds ≈ -ωE (3.74)

Belakangan, disadari bahwa ada mekanisme lain yang juga penting. Mekanisme ini adalah pelemahan gelombang pendek oleh lintasan whitecap yang besar dan luasnya cakupan whitecap (yang tergantung pada kecuraman keseluruhan medan gelombang).

Dengan menggabungkan proses-proses ini, Komen dkk. (1984) mengusulkan fungsi disipasi yang diformulasikan dalam bentuk frekuensi rata-rata. Ungkapan ini

diformulasikan ulang oleh kelompok WAMDI (1988) dalam hal jumlah gelombang agar dapat diterapkan di kedalaman air yang terbatas

⎛ αˆ ⎞ k^m

S

_ds

= -C'

_ds ⎜

α ˆ

^⎟

k

^σE

⎝ ^PM ⎠

(3.75)

dan

C '

_ds

dan m

adalah parameter fitting,

σ

adalah frekuensi sudut relatif rata-rata,

k

adalah adalah bilangan gelombang rata-rata, αˆ adalah kecuraman keseluruhan medan

gelombang dan

α ˆ

_PM adalah nilai αˆ untuk spektrum Pierson-Moskowitz. Kecuraman keseluruhan didefinisikan sebagai

αˆ =

k E

_tot ^(3.76)

di mana

E

_tot adalah energi total spektrum energi dan α

ˆ

_PM

= (3,02 x10

⁻³

)

^1/2. Dalam WAM

siklus 3,

m = 4 dan C'

_ds

= 2.36x10

⁻⁵ (lihat juga Komen dkk., 1984 dan WAMDI kelompok, 1988).

Dengan diperkenalkannya deskripsi Janssen untuk input angin, disadari (Janssen et al., 1989) bahwa fungsi sumber disipasi perlu disesuaikan untuk mendapatkan

keseimbangan yang tepat antara input angin dan disipasi pada frekuensi tinggi. Dengan demikian, Persamaan (3.75) dimodifikasi sebagai (lihat Komen dkk., 1994):

⎛

α

^{ ⎞m} ⎧⎪

k

⎛

k

⎞² ⎫⎪

S

ds

( f , θ )

^{= -C}ds ⎜

α

^{ ⎟}

⎨( 1 - δ )

k + δ

⎜

k

⎟

⎬

^σE

( f , θ )

⎝ ^PM ⎠ ⎪ ⎝ ⎩ ⎠ ⎪⎭

(3.77)

C

_ds

, δ

dan m adalah konstanta. Pada WAM siklus 4, nilai untuk

C

_ds

, δ

dan m berturut- turut adalah 4,^1x10-5 , 0,5 dan 4. Dalam implementasi saat ini, konstanta yang dapat disetel adalah

*

ds ds

/( α

PM

)

⁴ dan

δ

sementara m = 4. Nilai default untuk

C

^*

dan

δ

adalah masing-masing, 4,5 dan 0,5.

Perumusan istilah sumber karena whitecapping adalah standar yang diterapkan pada seluruh spektrum dan parameter gelombang integral yang digunakan dalam perumusan dihitung berdasarkan seluruh spektrum energi

⎛ ^{2π ∞} ⎞ ^pσ

⎜

∫ ∫ E( f , θ ) f

^{p σ}

dfdθ

^⎟

σ

^{= 2πf =}

2 π

^{⎜ 0 0 ⎟}

⎜ ^{2π ∞} ⎟

⎜

∫ ∫ E ( f , θ ) dfdθ

^⎟

⎜ ⎟

⎝ ^{0 0} ⎠

(3.78)

C

ds

di mana pσ = pk = -1 diterapkan. Integral dihitung dengan membagi menjadi dua bagian yang terselesaikan (daerah prognostik) dan bagian yang tidak terselesaikan (daerah deterministik) dengan mengikuti pendekatan yang digunakan dalam Lampiran A. Untuk kondisi gelombang dengan kombinasi angin-laut dan gelombang, hal ini dapat

mengakibatkan peluruhan energi yang terlalu kuat pada komponen gelombang.

Dengan adanya pemisahan antara angin-laut dan swell, prediksi untuk kasus-kasus ini dapat ditingkatkan dengan mengecualikan disipasi pada bagian swell pada spektrum dan dengan menghitung parameter gelombang, yang digunakan dalam perumusan whitecapping, dari bagian angin-laut pada spektrum. Pemisahan angin-laut dan gelombang diestimasi dengan menggunakan definisi-definisi di Bagian 5.1.

Untuk memperbaiki whitecapping untuk kondisi gelombang dengan kombinasi angin-laut dan gelombang Bidlot et. al 2007 mengusulkan perumusan whitecapping yang telah direvisi. Di sini, Persamaan (3.77) masih digunakan, namun frekuensi sudut relatif rata- rata dan angka gelombang rata-rata dihitung dengan menggunakan Persamaan (3.78) dan Persamaan (3.79), dengan pσ = pk = 1 dan nilai default

untuk

C

^* dan

δ

diubah menjadi 2,1 dan 0,6, masing-masing.

3.3.5 Bawah gesekan

Laju disipasi akibat gesekan bawah diberikan oleh

S ( f , θ ) = -(C

+ f (u ⋅ k ) / k )

k

E ( f , θ )

bot f c

sinh 2kd

^(3.80)

dimana

C

_f adalah koefisien gesekan,

k

adalah bilangan gelombang,

d

adalah

kedalaman air,

f

_c ^adalah

koefisien gesekan untuk arus dan u adalah kecepatan arus. Koefisien

C

_f adalah biasanya 0,001-0,01 m/s tergantung pada kondisi dasar dan aliran (Komen et al., 1994).

Nilai default untuk gesekan bawah.

f

_c adalah 0 sesuai dengan tidak termasuk efek arus pada

Empat model untuk menentukan kemungkinan koefisien disipasi diimplementasikan:

1. Koefisien gesekan konstan

C

_f . Pengujian dengan model WAM versi regional (lihat Bab IV dalam Komen dkk., 1994) telah menunjukkan bahwa nilai rata-rata

JONSWAP

dari

C

_f = 2*0,038/g = 0,0077 m/s sudah memadai untuk badai sedang. Nilai default

⎛ ^{2π ∞} ⎞ ^pk

⎜

∫ ∫ E( f , θ ) ( k )

^pk

dfdθ

^⎟

k

= ⎜ _{0 0} ⎟

⎜ 2π ∞ ⎟

⎜

∫ ∫ E ( f , θ ) dfdθ

^⎟

⎜ ⎟

⎝ ^{0 0} ⎠

(3.79)

C

_f

= f u

_wb (3.81)

di mana

u

_b adalah kecepatan orbit gelombang rms di bagian bawah yang diberikan oleh

⎡ ^fmax

σ

^{2 ⎤1/ 2}

u

_b

=

⎢

2 ∫ ∫ sinh

²

(k h) E( f , θ )dθdf ⎥

⎢⎣ ^{f1 θ} ⎥⎦

(3.82)

Nilai default untuk

f

_w adalah 0,^015*21/2 = 0,021.

3. Ukuran kekasaran geometris konstan kN, seperti yang disarankan oleh Weber (1991) dimana koefisien gesekan dihitung dengan Persamaan (3.81) dan faktor gesekan dihitung dengan menggunakan ekspresi Jonsson dan Carlsen, 1966

-5,977 + 5,213 (a / k) -0,194

f

= e ^bN

a / k

>= 2.016389

w b N

f

_w

= 0.24 a

_b

/ k

_N <

2.016389

(3.83)

Di sini_b adalah perpindahan orbit di bagian bawah yang diberikan oleh

⎡ ^fmaks

1

⎤^{1/ 2}

a

_b

=

⎢

2 ∫ ∫ sinh

²

(k h) E( f , θ )dθdf ⎥

⎢⎣ ^{f1 θ} ⎥⎦

(3.84)

Nilai standar untuk kN adalah 0,04 m. Nilai ini disarankan oleh Weber, 1991 sebagai nilai yang sesuai dengan kondisi aliran untuk berbagai spektrum gelombang dan angin laut.

4. Ukuran sedimen median konstan D50, di mana dasar laut dimodelkan sebagai dasar laut yang bergerak. Pendekatan ini pertama kali digunakan pada model gelombang- angin generasi ketiga oleh Tolman (1996). Namun, penerapannya saat ini sangat berbeda dengan perumusan Tolman. Alih-alih menggunakan model Grant dan Madsen untuk menentukan dimensi riak (seperti yang digunakan oleh Tolman), kami menggunakan ekspresi empiris Nielsen (1979) yang didasarkan pada

pengukuran lapangan. Setelah itu, kekasaran dasar dihitung dengan menggunakan ekspresi dari Swart (1976). Terakhir, koefisien gesekan dihitung sebagai hasil kali antara faktor gesekan gelombang (menggunakan ungkapan Jonsson dan Carlsen, 1966) dan kecepatan orbital dasar. Nilai default untuk D50 adalah 0,00025 m.

Rincian formulasi gesekan bawah dapat ditemukan di Johnson dan Kofoed-Hansen (2000).

3.3.6 Gelombang melanggar

Pemecahan yang disebabkan oleh kedalaman (atau pemecahan ombak) terjadi ketika gelombang menjalar ke daerah yang sangat dangkal, dan tinggi gelombang tidak dapat lagi didukung oleh kedalaman air. Formulasi pemecahan gelombang yang diturunkan oleh Battjes dan Janssen (1978) digunakan. Istilah sumber dituliskan sebagai (Eldeberky

8Etot

di mana

α

BJ