Effect of Birth Rate Simulation and Vaccination on Dynamics Measles Epidemic Patterns

(1)

Simulasi Pengaruh Laju Kelahiran dan Vaksinasi Terhadap Pola Dinamika Epidemik Campak

KWARDINIYA ANDAWANINGTYAS^a), MARSUDI^a)

a)Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia diterima 30 Januari 2010, direvisi 19 Maret 2011

ABSTRAK

Penelitian ini dilakukan untuk mendapatkan deskripsi tentang pengaruh laju kelahiran terhadap pola dinamika epidemik penyakit campak yang disajikan sebagai sistem persamaan diferensial tak linier. Dinamika epidemik campak dalam kasus ini berupa model SEIR dengan kelahiran yang diturunkan dari empat kompartemen: Susceptibles, Exposeds, Infectious dan Recovereds. Kemudian dilakukan analisis terhadap parameter model (



) untuk mengetahui bagaimana pengaruh perubahan nilai laju kelahiran terhadap pola dinamika epidemik penyakit campak. Perubahan-perubahan laju kelahiran tidak mengubah pola umum dari epidemik campak tetapi jumlah siklus epidemik, proses epidemik, terjadinya osilasi, ukuran epidemik dan lama kekonvergenan epidemik berubah cukup signifikan. Semakin tinggi nilai laju kelahiran mengakibatkan jumlah siklus epidemik meningkat, proses epidemik turun, osilasi terjadi lebih cepat, ukuran epidemik konvergen ke nilai yang lebih tinggi. Jika laju kelahiran diturunkan, jumlah siklus epidemik turun, periode proses epidemik lebih lama, osilasi terjadi lebih lama, ukuran epidemik turun dengan simpangan dari osilasi naik dan konvergen ke nilai yang lebih rendah.

Kata kunci:model SEIR, laju kelahiran, epidemik, campak.

ABSTRACT

The purpose of this research is to get description about influence of birth rates to the epidemic dynamics pattern of measles is presented as system of nonlinear difrential equations.

In this case, the epidemic dynamics of measles is of the form of the SEIR model with births which is obtained from four compartments: Susceptibles, Exposeds, Infectious dan Recovereds.

Then we analyse parameter model (α) to know the influence of change of birth rates to the epidemic dynamics pattern of measles. The changes of birth rates do not alter common pattern of epidemic measles, but the number of epidemic cycle, epidemic process, oscillation process, epidemic size, and time of epidemic convergent changes significantly. If the birth rate increases so does the epidemic cycle, but the epidemic process decreases, the oscillation is faster, and epidemic size converges to higher level value. If the birth rate decreases, the number of epidemic cycle decreases, epidemic process and oscillation take a longer, the epidemic size decreases with higher variance and converges to lower value.

Key word: SEIR model, the birth rate, epidemic, measles.

---

*Coresponding author : Kwardiniya Andawaningtyas E-mail: [email protected]

(2)

PENDAHULUAN

Penyakit Campak (measles) adalah salah satu penyakit infeksius yang cukup mengganggu dan berpotensi mengancam jiwa anak meskipun ada vaksin MMR (Mumps, Measles dan Rubella) untuk melindungi dan mencegah penyakit menular ini. Sampai saat ini, dinamika populasi dari epidemik penyakit campak masih mendapat perhatian untuk dikaji tetapi di Indonesia kajian menggunakan model matematika masih jarang dilakukan. Hasil penelitian yang telah dilakukan menunjukkan bahwa model deterministik SEIR yang diturunkan dari model kompartemen cukup memadai untuk memahami prinsip dan profil epidemik penyakit campak. Laju infeksi dalam model ini bergantung pada peluang kontak efektif (laju infeksi relatif) dan kesulitannya adalah mengestimasi nilai dari laju infeksi relatif ini. [2] telah mengkaji perilaku kualitatif model SEIR dengan mengestimasi laju infeksi relatif dan diimplementasikan untuk kasus campak di Kabupaten Malang.

Model epidemik campak (model SEIR) diperoleh dengan menerjemahkan mekanisme penyebaran penyakit yang disajikan dalam bentuk persamaan-persamaan diferensial.

Persamaan-persamaan diferensial yang termuat dalam model ini sulit diselesaikan secara analitik sehingga perlu bantuan metode numerik untuk menjelaskan perilaku model. Berdasarkan permasalahan di atas, penelitian ini difokuskan untuk mendapatkan model simulasi dari dinamika epidemik campak dengan laju kelahiran (model SEIR).

Dinamika epidemik campak dapat dijelaskan menggunakan model kompartemen (misalnya, [3], [4], [2]. Model kompartemen ini membagi populasi menjadi empat subpopulasi, yaitu: Susceptibles, Exposeds, Infectious dan Recovereds. Model ini berupa model SEIR dan diperoleh dengan ‘menerjemahkan’ model kompartemen ke dalam model matematika diperoleh sistem persamaan diferensial taklinier, yaitu:

= − (= − ) (1)

= − (2)

= − (3)

= (4)

Dimana S=S(t) adalah Susceptibles pada waktu t, E=E(t)adalah Exposeds pada waktu t, I=I(t) adalah jumlah Infectious pada waktu t, R=R(t) adalah jumlah Recovereds ada waktu t, λ(=βI(t))adalah laju infeksi per satuan waktu (β adalah peluang kontak efektif). Parameter- parameter dalam model adalah σ, laju infektivitas per satuan waktu dan γ, laju recoveryper satuan waktu.

Dalam model ini, diasumsikan bahwa individu berinteraksi secara random di dalam populasi dan jumlah populasi tetap (konstan) terhadap waktu, artinya tidak ada susceptibles baru karena kelahiran atau imigrasi, yaitu :

N = S + E + I + R. (5)

Penelitian ini merupakan pengembangan dari model (1) di mana model yang diperhatikan memuat kelahiran dan kematian.

Menurut [3], parameter-parameter model (1) dapat diestimasi menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Laju infeksi (λ) dapat dinyatakan dengan I

 , yaitu dalam peluang kontak efektif (β) dan jumlah infectious pada waktu t (I).

Dengan demikian, jumlah exposeds pada setiap waktu bergantung pada kontak antara infectious dan susceptibles. Dalam hal ini, diasumsikan = di mana R adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi selama periode infectious. Rata- rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah dengan D adalah rata-rata durasi infektivitas. Untuk penyakit campak,Ddiestimasi 7 hari.

2. Laju infektivitas (σ) adalah laju transisi dari exposeds ke infectious. Laju infektivitas dapat diturunkan dari rata-rata periode laten (σ=1/rata-rata periode laten).

Periode laten untuk penyakit campak diestimasi 8 hari.

3. Laju recovery adalah laju transisi dari infectious ke recovereds. [3] mengestimasi

(3)

lajurecovery menggunakan durasi periode infektivitas, yaitu γ=1/rata-rata inefetivitas.

METODE PENELITIAN

Model epidemik campak dengan laju kelahiran dideskripsikan menggunakan model kompartemen. Populasi berukuran N dipartisi ke dalam empat subkelas individu: Susceptibles, Exposeds, Infectious dan Recovereds. Dalam kasus campak, susceptiblesyang terjangkit virus menjadi exposeds (terinfeksi tetapi tidak dapat menginfeksi susceptibles). Setelah melewati periode laten, exposeds menjadi infectious (terinfeksi dan dapat menginfeksi susceptibles baru) dan akhirnya menjadi recovereds.

Penyakit campak memberikan kekebalan yang cukup lama setelah terinfeksi sehingga recovereds dan tidak lagi menjadi susceptibles baru. Untuk mendapatkan Model SEIR untuk dinamika epidemik campak dengan laju kelahiran dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mengestimasi parameter-parameter model (λ, σ, γ, α, dan μ).

2. Menuliskan model SEIR menggunakan sistem persamaan diferensial.

Untuk mendapatkan pola dinamika epidemik SEIR akibat pengaruh laju kelahiran dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Plotting jumlah kasus campak baru terhadap waktu dengan mensimulasikan variasi laju kelahiran.

2. Melakukan analisis pola dinamika epidemik campak dengan cara membandingkan hasil dari (a).

Alat bantu yang digunakan untuk memudahkan perhitungan dan melakukan analisis data dalam penelitian ini adalah program Matlab.

HASIL DAN PEMBAHASAN Epidemik penyakit campak dengan laju kelahiran dapat digambarkan menggunakan model deterministik atau model kompartemen.

Model deterministik ini merupakan model SEIR yang membagi populasi ke dalam empat kompartemen, yaitu: Susceptibles (S), Exposeds(E), Infectious(I), danRecovereds(R) denganS≥0, E≥0, I≥0, R≥0.

Secara skematis, perubahan dari kompartemen susceptibles ke dalamexposeds, infectious, dan akhirnya ke dalam kompartemen recovereds disajikan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Diagram kompartemen model SEIR dengan laju kelahiran

Dengan menerjemahkan model kompartemen di atas ke dalam model matematika diperoleh sistem persamaan diferensial taklinier sebagai berikut:

= − + − (6)

= − − (7)

= − − (8)

= − (9)

dan jumlah populasi adalah

N = S + E + I + R (10)

Diasumsikan bahwa populasi awal berukuranN(konstan), laju kelahiran per satuan waktu adalah α, jumlah susceptible baru per satuan waktu adalah αN. Selain itu μS, μE, μI, μR, masing-asing menunjukkan susceptibles, exposeds, infectious danrecovereds yang mati per satuan waktu. Dalam persamaan 6-8, redundant karena R tidak muncul pada ketiga persamaan lainnya sehingga di dalam analisis selanjutnya laju perubahan individu recovery tidak diperhatikan.

Untuk keperluan simulasi, dalam penelitian ini diasumsikan bahwa populasi berjumlah 1000000 orang (individu), rata-rata periode laten 8 hari, rata-rata durasi infeksius 7 hari, rata-rata nilai harapan hidup 78 tahun, angka reproduksi dasar R adalah 15 (setiap infectious rata-rata akan menginfeksi 15 susceptibles selama periode infeksius) dan laju kelahiran sama dengan laju kematian.

Recovereds Susceptible R

S

Exposed

E Infectious

I Lahir

Mati λ

μ μ

βI γ

(4)

Parameter-parameter model (laju transisi per satuan waktu (hari)) dihitung menggunakan rumus-rumus dalam tinjauan pustaka estimasi parameter model dan diperoleh:

1. Laju infektivitas (σ) = 0,125/hari 2. Laju recovery (γ) = 0,143/hari 3. Laju Kematian (µ) = 0,0000351/hari 4. Laju infeksi (λ) = 0,00000214 I(t)

5. Peluang kontak efektif (β) = 0,00000214 Dalam simulasi berikut akan diamati dengan teliti tentang dinamika epidemik campak setelah satu individu infectious dimasukkan dalam populasi sehat. Dengan mensimulasikan nilai-nilai laju kelahiran (



) dan menggunakan program Matlab dengan

“help ode45” untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (6),(7),(8) dan (9) khususnya untuk infectious (I) diperoleh hasil sebagai berikut:

(i) α=0,0000351

Gambar 2. Pola epidemic campak denganα=0,0000351

Gambar 2 menunjukkan bahwa dengan menghadirkan mula-mula satu individu pada subpopulasi infectious menghasilkan siklus epidemik campak untuk beberapa hari kemudian. Setiap kali satu individu infectious dimasukkan ke dalam populasi (dengan R>1), individu-individu susceptibles baru karena kelahiran nampak berosilasi dengan bertambahnya waktu namun dengan simpangan dari osilasi yang kecil.

Dengan skala waktu periode 500 hari menunjukkan bahwa dari periode 500 hari pertama ke periode 500 hari kedua terdapat penurunan jumlah siklus epidemik yaitu dari tiga ke dua. Periode proses epidemik kira-kira 120 hari. Seiring dengan bertambahnya waktu,

ukuran epidemik menurun dan nampak konstan (I=250) setelah 540 hari

(ii) α=0,00004914

Pada kasus yang kedua ini, diasumsikan bahwa laju kelahiran 40% lebih tinggi dari kasus pertama (α=0,00004914) dan semua parameter yang lain tetap. Pola kurva infectious atau epidemik campak hampir sama (Gambar 3) tetapi ada kenaikan dalam jumlah infectious.

Jumlah epidemik ada tiga dalam periode 500 hari pertama dan turun menjadi satu pada periode berikutnya. Ukuran epidemik turun dengan variansi yang lebih rendah dan kira-kira setelah 510 hari menuju nilai konstan (I=340).

Gambar 3. Pola epidemik campak denganα=0,00004914

(iii) α=0,00006318

Apabila laju kelahiran dinaikkan 80% lebih tinggi dari kasus pertama(α₌μ=0,00006318) dan semua parameter yang lain konstan, terjadi pola perubahan epidemik yang hampir sama seperti dalam kasus (i). Gambar 4 menunjukkan

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 100 200 300 400 500 600

t(hari)

I(t) ⁰ ⁵⁰⁰ ¹⁰⁰⁰ ¹⁵⁰⁰ ²⁰⁰⁰ ²⁵⁰⁰ ³⁰⁰⁰⁰

100 200 300 400 500 600

t(hari)

I(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 100 200 300 400 500 600

t(hari)

I(t)

(5)

bahwa jumlah siklus epidemik sedikit meningkat pada periode 500 hari pertama dengan periode proses epidemik turun menjadi kira-kira 100 hari dan osilasi terjadi lebih cepat.

Simpangan dari osilasi dan ukuran epidemik turun dan nampak konvergen lebih cepat (kira- kira setelah 390 hari) ke nilai yang lebih tinggi (I=440).

Dengan demikian, perekrutan susceptibles yang lebih besar karena kelahiran mengakibatkan jumlah siklus epidemik meningkat, proses epidemik turun, osilasi terjadi lebih cepat, ukuran epidemik konvergen ke nilai yang lebih tinggi.

(iv) α=0,00002808

Gambar 5. Pola epidemik campak denganα=0,00002808

Selanjutnya akan diperiksa jika laju kelahiran diturunkan menjadi 20% lebih rendah dari kasus semula (α=0,00002808) dan semua parameter yang lain tetap. Gambar 5 menunjukkan bahwa pola epidemik hampir sama seperti kasus (i), tetapi jumlah epidemik tampak turun dengan simpangan dari osilasi lebih besar dibandingkan dengan kasus dengan nilai laju kelahiran yang lebih besar. (kasus (i)).

Periode proses epidemik naik menjadi kira-kira 180 hari dan osilasi terjadi lebih lambat. Ukuran epidemik turun dan nampak konvergen lebih lambat (kira-kira setelah 610 hari) ke nilai yang lebih rendah (I=190).

(v) α=0,00002106

Apabila laju kelahiran diturunkan menjadi 40% lebih rendah dari kasus semula (α=0,00002106), tampak bahwa pola perubahan epidemik hampir sama seperti dalam kasus sebelumnya (kasus (iv)).

Gambar 6

menunjukkan bahwa periode proses epidemik lebih lama (kira-kira 220 hari) dan osilasi terjadi lebih lama. Ukuran epidemik turun tetapi simpangan dari osilasi naik dan

nampak konvergen lebih lambat (kira-kira setelah 680 hari) ke nilai yang lebih rendah (I=450).

(vi)

^α=0,00001404

Jika laju kelahiran diturunkan menjadi 60%

lebih rendah dari kasus semula (α=0,00002106), dari Gambar 7 tampak bahwa meskipun pola perubahan epidemik hampir sama seperti dalam kasus (v), tetapi kira-kira pada hari 180 sampai dengan hari 200 tidak ada infectious (

I  0

).

Periode proses epidemik lebih lama (kira-kira 220 hari) dan osilasi terjadi lebih lama. Ukuran epidemik turun dengan simpangan dari osilasi naik dan nampak konvergen jauh lebih lambat (kira-kira setelah 1800 hari) ke nilai yang lebih rendah (I=95).

(vii)

^α=0,00000702

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

t(hari)

I(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

t(hari)

I(t)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

t(hari)

I(t)

(6)

Gambar 8 menunjukkan bahwa Jika laju kelahiran diturunkan menjadi 80% lebih rendah dari kasus semula ( α ₌ μ =0,00000702).

Periode proses epidemik lebih lama (kira-kira 220 hari) dan osilasi terjadi lebih lama. Pada hari ke 200 sampai dengan hari ke 350 tidak ada infectious (I=0). Ukuran epidemik turun dengan simpangan dari osilasi naik dan nampak konvergen jauh lebih lambat (kira-kira setelah 2800 hari) ke nilai yang lebih rendah (

I  50

).

Jadi, semakin rendah nilai laju kelahiran, jumlah siklus epidemik turun, periode proses epidemik lebih lama, osilasi terjadi lebih lama, ukuran epidemik turun dengan simpangan dari osilasi naik dan konvergen ke nilai yang lebih rendah

KESIMPULAN

1. Model deterministik (Model SEIR) yang memuat laju kelahiran dapat memberikan gambaran yang realistik dari dinamika epidemik campak. Sistem persamaan diferensial nonlinier dari model SEIR yang mencakup dinamika rekruitmen susceptible dengan kelahiran dapat membantu menyelidiki osilasi dalam populasi riil.

2. Perubahan-perubahan laju kelahiran dari hasil simulasi tidak mengubah pola umum dari epidemik campak, tetapi jumlah siklus epidemik, proses epidemik, terjadinya osilasi, ukuran epidemik dan lama kekonvergenan epidemik berubah cukup signifikan.

Semakin tinggi nilai laju kelahiran mengakibatkan jumlah siklus epidemik

meningkat, periode proses epidemik turun, osilasi terjadi lebih cepat, ukuran epidemik konvergen ke nilai yang lebih tinggi. Jika laju kelahiran diturunkan, jumlah siklus epidemik turun, periode proses epidemik lebih lama, osilasi terjadi lebih lama, ukuran epidemik turun dengan simpangan dari osilasi naik dan konvergen ke nilai yang lebih rendah.

DAFTAR PUSTAKA

[1]

Wulandari, Y. A., 2007, Analisis Dinamik Model Epidemik Penyakit Campak, Skripsi, FMIPA Unibraw, Malang.

[2]

Trottier, H. and Phillipe P., 2002, Deterministik Modeling of Infectious Diseases: Applications to Measles and Other Similar Infections, The Internet Journal of Infectious Diseases (Online),

Volume 2 Number 1.

http//www.ispud.com/journals/

ijid/volln2/model.xml, Akses: 10 Maret 2009.

[3]

Marsudi dan Handamari, W. E., 2006, Model Deterministik dari Dinamika Epidemik Penyakit Infeksius Menggunakan Persamaan Diferensial. P3M FMIPA Unibraw, Malang.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

t(hari)

I(t)