Harapan Matematik Ekspektasi Varians Kov (1)

HARAPAN MATEMATIK

Ekspektasi, Varians, Kovarians, Fungsi Pembangkit Momen, Pertidaksamaan Chebysev, dan Pertidaksamaan Markov

ANNISA AZIZAH

UIN SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

1. EKSPEKTASI Definisi:

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan pmf p(x), maka ekspektasi dari X didefinisikan dengan

𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥. 𝑝(𝑥)

𝑥

Definisi:

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan pdf f(x), maka ekspektasi dari X didefinisikan dengan

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

~

−~

Contoh Soal:

Pengamatan memperlihatkan bahwa banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang

# 0 1 2 3 4

P 0.01 0.05 0.10 0.28 0.22

# 5 6 7 8

P 0.18 0.08 0.05 0.03

Hitung rata-rata (tiap menit) banyaknya kendaraan yang melewati tikungan tersebut

Penyelesaian:

𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥. 𝑝(𝑥)

𝑥

= 0 (0.01) + 1 (0.05) + 2 (0.10) + 3 (0.28) + 4 (0.22) + 5 (0.18) + 6 (0.08) + 7 (0.05) + 8 (0.03)

= 3.94

Artinya, dalam 100 menit terdapat 394 kendaraan yang melewati tikungan tersebut.

Contoh Soal:

Misal X adalah peubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) sejenis bola lampu. Pdf-nya didefinisikan dengan

𝑓(𝑥) = 20.000

𝑥³ ; 𝑥 > 100 Tentukan harapan umur jenis bola lampu tersebut Penyelesaian:

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

~

−~

= ∫_−~¹⁰⁰𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥₁₀₀^~ = ∫ 𝑥.₁₀₀^{~ 20.000}_𝑥3 𝑑𝑥

= 200

Jadi, jenis bola lampu tersebut dapat diharapkan, rata-ratanya, berumur 200 jam.

Sifat-sifat ekspektasi:

1. Jika X peubah acak dengan pdf atau pmf dan u(x) adalah fungsi bernilai riil dimana domainnya adalah nilai-nilai yang mungkin dari X, maka

𝐸[𝑢(𝑥)] = ∑ 𝑢(𝑥). 𝑝(𝑥) Jika 𝑋 diskrit

𝑥

𝐸[𝑢(𝑥)] = ∫ 𝑢(𝑥). 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Jika 𝑋 kontinu

~

−~

2. Jika X peubah acak dengan pmf atau pdf, a dan b adalah konstanta, g(x) dan h(x) adalah fungsi bernilai riil dimana domainnya adalah nilai-nilai yang mungkin dari X, maka 𝐸[𝑎𝑔(𝑥) + 𝑏ℎ(𝑥)] = 𝑎𝐸[𝑔(𝑥)] + 𝑏𝐸[ℎ(𝑥)]

3. 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎𝐸[𝑋] + 𝑏 Contoh Soal:

Banyaknya mobil, X, yang mendatangi suatu layanan jasa pencuci mobil setiap hari antara jam 13-14 mempunyai distribusi peluang

x 4 5 6 7 8 9

P(X = x) 1 12

1 12

1 4

1 4

1 6

1 6

Misal 𝑔(𝑋) = 2𝑋 − 1 menyatakan upah (ribuan rupiah) para karyawan yang dibayar oleh layanan jasa. Carilah rata-rata pendapat karyawan pada jam tersebut.

Penyelesaian:

𝐸[𝑔(𝑋)] = 𝐸[2𝑋 − 1] = ∑(2𝑥 − 1). 𝑝(𝑥)

9

𝑥=4

= 7 (¹

12) + 9 (¹

12) + 11 (¹

4) + 13 (¹

4) + 15 (¹

6) + 17 (¹

6)

= 12.67

Jadi, rata-rata pendapatan karyawan pada jam tersebut adalah Rp. 12.670

2. VARIANSI

Definisi: Variansi adalah ukuran penyebaran untuk peubah acak univariat. Variansi dari peubah acak X didefinisikan dengan

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)²] = 𝐸[𝑋²] − 𝜇²

Contoh Soal:

Misal peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja

X 1 2 3

P(X = x) 0.3 0.4 0.3 Hitung Var (X)

Penyelesaian:

𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥. 𝑝(𝑥) = 2 𝐸[𝑋²] = ∑ 𝑥². 𝑝(𝑥) = 4.6 Maka,

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋²] − (𝐸[𝑋])² = 0.6 Contoh Soal:

Permintaan mingguan air mineral pada suatu daerah pemasaran merupakan peubah acak kontinu X dgn pdf-nya

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1) ; 0 < 𝑥 < 2 Hitung Var (X)

Penyelesaian:

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. 2(𝑥 − 1)𝑑𝑥

2 0

~

−~

= ⁴

3

𝐸[𝑋²] = ∫ 𝑥². 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥². 2(𝑥 − 1)𝑑𝑥

2 0

~

−~

= ⁸

3 Maka, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =8

3 − ( 4 3)

2

=8 9

Jika X peubah acak dan a, b adalah konstanta, maka 1. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋) = 𝐸[(𝑎𝑋 − 𝜇𝑎𝑋)²]

= 𝑎²Var(𝑋)

2. 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝐸[(𝑎𝑋 + 𝑏) − 𝜇_{𝑎𝑋+𝑏}] = 𝑎²Var(𝑋)

3. KOVARIANSI

Definisi: Kovariansi adalah ukuran dari hubungan antara 2 (dua) peubah acak X dan Y, dinotasikan dengan Cov(X,Y) yang didefinisikan melalui

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋)(𝑌 − 𝜇𝑌)]

= 𝐸[𝑋𝑌 − 𝑋𝜇_𝑌− 𝑌𝜇_𝑋+ 𝜇_𝑋𝜇_𝑌] = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝜇𝑋𝜇𝑌− 𝜇𝑌𝜇𝑋+ 𝜇𝑋𝜇𝑌

= 𝐸[𝑋𝑌] − 𝜇𝑋𝜇𝑌

= 𝐸[𝑋𝑌] − 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌]

Jika 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 maka dapat dikatakan bahwa X, Y tidak berkorelasi, dimana

𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

√𝑉𝑎𝑟(𝑋)√𝑉𝑎𝑟(𝑌)

𝑉𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) − 𝜇_𝑋+𝑌]² = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) − 𝐸[𝑋 + 𝑌]]² = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) − (𝐸[𝑋] + 𝐸[𝑌])]² = 𝐸[(𝑋 − 𝐸[𝑋]) + (𝑌 − 𝐸[𝑌])]²

⋮

= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌)

4. MOMEN

Momen ke-n dari peubah acak X didefinisikan melalui:

𝐸[𝑋^𝑛] =

∑ 𝑥_𝑖^𝑛. 𝑝(𝑥_𝑖) ; 𝑋 peubah acak diskrit

𝑖

∫ 𝑥^𝑛. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

~

−~

; 𝑋 peubah acak kontinu

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN (MGF) MGF dari peubah acak X didefinisikan melalui:

𝑀_𝑋(𝑡) = 𝐸[𝑒^𝑡𝑋] =

∑ 𝑒^𝑡𝑥𝑖. 𝑝(𝑥_𝑖) ; 𝑋 P. A Diskrit

𝑖

∫ 𝑒^𝑡𝑋. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑋 P. A Kontinu

~

−~

Contoh Soal:

Misal X peubah acak diskrit dengan fungsi peluang 𝑝(𝑥) =1

5 ; 𝑥 = 1,2, … ,5 Tentukan 𝑀𝑋(𝑡)

Penyelesaian:

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸[𝑒^𝑡𝑋] = ∑ 𝑒^𝑡𝑥𝑖. 𝑝(𝑥𝑖)

5

𝑖=1

= ¹

5(𝑒^𝑡+ 𝑒^2𝑡+ 𝑒^3𝑡+ 𝑒^4𝑡+ 𝑒^5𝑡)

5. PERTIDAKSAMAAN CHEBYSHEV

Peluang setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit (1 −_𝑘¹₂) yaitu,

𝑃(𝜇 − 𝑘𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝑘𝜎) ≥ 1 − 1 𝑘²

Misal k = 2, pertidaksamaan ini menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai peluang paling sedikit ¾ untuk mendapat nilai dalam jarak 2 simpangan baku dari nilai rataan.

Contoh Soal:

Suatu peubah acak X mempunyai rataan 8, variansi 9, sedangkan peluang distribusinya tidak diketahui.

Hitung: a. 𝑃(−4 < 𝑋 < 20) b. 𝑃(|𝑋 − 8| ≥ 6)

Penyelesaian:

𝜇 + 𝑘𝜎 = 20 k =4 𝜇 = 8 𝜎 = 3

a. 𝑃(−4 < 𝑋 < 20) = 𝑃(8 − 4.3 < 𝑋 < 8 + 4.3) ≥ 1 −₁₆¹ =¹⁵₁₆

b. 𝑃(|𝑋 − 8| ≥ 6) = 1 − 𝑃(|𝑋 − 8| < 6)

= 1 − 𝑃(−6 < 𝑋 − 8 < 6)

= 1 − 𝑃(8 − 2.3 < 𝑋 < 8 + 2.3) ≤¹₄

6. PERTIDAKSAMAAN MARKOV

Misal X peubah acak bernilai non-negatif. Maka untuk a

> 0 dan 𝑎 ∈ Riil berlaku

𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) ≤𝐸[𝑋]

𝑎 Bukti:

𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑 = ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞ 𝑎 𝑎

0

∞

0

≥ ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^∞

≥ ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^∞ _𝑎^∞ = 𝑎. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎)

Jadi terbukti, 𝐸[𝑋] ≥ 𝑎. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) ≤^𝐸[𝑋]_𝑎

Contoh Soal:

Sebuah kantor pos, rata-rata melayani 10.000 surat perhari.

Berapa peluang jika

a. Keesokan hari kantor pos melayani paling sedikit 15.000 surat

b. Keesokan hari kurang dari 15.000 surat yang dilayani kantor pos

Penyelesaian:

a. 𝑃(𝑋 ≥ 15.000) ≤_15.000^𝐸[𝑋] = ^10.000_15.000=²₃ b. 𝑃(𝑋 < 15.000) = 1 − 𝑃(𝑋 ≥ 15.000)

= ¹

3