.
Jawaban No 2
KTOM Januari 2024
Diberikan segitiga△ABC dengan lingkaran luarω. Misalkanmdannadalah dua garis berbeda yang melaluiAdan memotong segmenBC diX dan Y, secara berturut-turut. Misalkan pula mdan nmemotong ω di P danQsecara berturut-turut (P ̸=A,Q̸=A). Diketahui bahwa keempat titikX, Y, Q, P konsiklis. Buktikan bahwaAB=AC.
Solusi. Tinjau bahwa terdapat 3 kasus yaitu X, Y keduanya terletak di ruas garis BC, salah satu diantara X, Y terletak di perpanjanganBCatauX, Y keduanya terletak di perpanjanganBC.
• Kasus 1. X, Y keduanya terletaj di ruas garisBC.
A
B X Y C
P Q
Tinjau bahwa
∠ABC= 180◦−∠BAX−∠AXB
∠BAX,∠BQP menghadap busurBP serta∠AXB,∠P XY bertolak belakang, maka
= 180◦−∠BQP −∠P XY
= 180◦−∠P XY −∠BQP XY QP siklis, maka
=∠Y QP −∠BQP =∠BQY =∠BQA=∠BCA
Karena ∠ABC=∠ACB maka △ABC sama kaki, sehingga diperolehAB=AC (Terbukti)
1
• Kasus 2. Salah satu diantaraX, Y terletak di perpanjanganBC. KarenaX, Y simetris makaWLOGY terletak diperpanjangan BC
A
B
X C
P
Y Q
Tinjau bahwa karenaABCQsiklis maka∠ABC= 180◦−∠AQCdemikian karenaA, Q, Y segaris maka∠CQY = 180◦−∠AQC ⇒∠CQY =∠ABC. Lalu perhatikan bahwa XP Y Q siklis maka∠XP Q =∠XY Q =∠CY Q.
Kemudian disi lain tinjauP CQA siklis maka∠ACQ=∠AP Q. Maka dapat disimpulkan
∠ACQ=∠AP Q=∠XP Q=∠XY Q=∠CY Q
Tinjau bahwa ∠BCQ = ∠CY Q+∠CQY = ∠CY Q+∠ABC. Sedangkan kita tau juga bahwa ∠BCQ =
∠ACB+∠ACQ. Disimpulkan
∠BCQ=∠CY Q+∠ABC=∠ACB+∠ACQ=∠ACB+∠CY Q
=⇒∠ABC=∠ACB Demikian △ABC sama kaki denganAB=AC
2
• Kasus 3. X, Y keduanya terletak di perpanjanganBC
A
B
C Y
X P
Q
Misal ∠ABC = α dan ∠P CB = β. Tinjau bahwa ∠ABC = ∠AP C = α, kemudian diperoleh ∠XP C = 180◦−∠AP C = 180◦−α. Kemudian diperoleh ∠P XC = 180◦−∠XP C−∠P CX =α−β, karenaXP QY siklis maka∠P QY = 180◦−∠P QY = 180◦−α+β. Kembali lagi tinjau segi empat siklisABCQ. Kita peroleh
∠AQC= 180◦−∠ABC= 180◦−α. Selain itu∠CQY = 180◦−∠AQC=α. Demikian kita punya
∠P QC=∠P QY −∠CQY = 180◦−2α+β
Kita juga punya ∠AQC= 180◦−α, maka
∠AQP =∠AQC−∠P QC= 180◦−α−(180◦−2α+β) =α−β
KarenaAQCP siklis kita punya∠AQP=∠ACP =α−β. Demikian∠ACB =∠ACP+∠P CB=α−β+β = α=∠ABC. Demikian△ABC sama kaki dengan AB=AC
3
