6016232027 Joko Raharjo Tugas 2 Sistem Koordinat dan Proyeksi Peta

TUGAS 2 : SISTEM KOORDINAT DAN PROYEKSI PETA

Oleh :

NAMA : JOKO RAHARJO NRP : 6016232027

DOSEN : M. NUR CAHYADI, ST, MSc, PhD

JURUSAN TEKNIK GEOMATIKA

FAKULTAS TEKNIK SIPIL PERENCANAAN DAN KEBUMIAN INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2024

Tugas :

Menurunkan persamaan proyeksi silinder

PROYEKSI SILINDER

Gambar 3. Proyeksi Silinder

y v x u P Plane V

U S

Sphere _R²: =, =→ ₀²: = , =

1. Langkah Pertama

Definisikan parameter

U

¹

= U , U

²

= V

yang digunakan untuk menggambarkan sebuah point pada “SOURCE”.



=

= U

U

¹ : Spherical longitude, dihitung dari me ridian Greenwich, timur positif



=

= V

U

² : Spherical latitude, dihitung dari equator, utara positif Koordinat Bola :





=RCos Cos

X E1





=RCos Sin

Y E2



=RSin

Z E3

Maka, “SOURCE” adalah XSR2 = X = X + Y + Z

X =

R ( Cos  Cos  E

₁

+ Cos  Sin  E

₂

+ Sin  E

₃

)

2. Langkah Kedua

Tentukan Matrix G dan elemen dS² = GKL dU^K dU^L untuk “SOURCE”

G =

 

_



 



=

2 2 1 2

2 1 1 1

, ,

, ,

G G G G

G G G G_KL G

Maka : G1 =





= 





X X

U

1

G1 =

( )





 +



 +





= 







X

R Cos Cos E

₁

R Cos Sin E

₂

R Sin E

₃

( Cos Sin E

1

Cos Cos E

2

)

R −   +  

1

= G

G2 =





= 





X X

U

2

G2 =

( )





 +



 +





= 







X

R Cos Cos E

₁

R Cos Sin E

₂

R Sin E

₃

( Sin Cos E

₁

Sin Sin E

₂

Cos E

₃

)

R −   −   + 

2

=

G

G11 = (G1)²

G11 =

(

R

(

−CosSinE1+CosCosE2

) )

² (Menggunakan Dot Product) G11 =

R

²

( Cos2 Sin2 + Cos2 Cos2 )

G11 =

R

²

Cos

²

 ( Sin

²

 + Cos

²

 )

G11 =

R

²

Cos

²



G12 = G1.G2

G12 =

R ( − Cos  Sin  E

1

+ Cos  Cos  E

2

)

•

( Sin Cos E

1

Sin Sin E

2

Cos E

3

)

R −   −   + 

(Menggunakan Dot Product)

G12 =

R ( Cos  Sin  Cos  Sin  + 0 + 0 + 0 − Cos  Sin  Cos  Sin  + 0 )

G12 =

R ( Cos  Sin  Cos  Sin  − Cos  Sin  Cos  Sin  )

G12 = 0 G21 = G2.G1

G12 = R

(

−SinCosE1−SinSinE2+CosE3

)

•

(

Cos Sin E₁ Cos Cos E₂

)

R−   +   (Menggunakan Dot Product)

G21 =

R ( Cos  Sin  Cos  Sin  + 0 + 0 + 0 − Cos  Sin  Cos  Sin  + 0 )

G21 =

R ( Cos  Sin  Cos  Sin  − Cos  Sin  Cos  Sin  )

G21 = 0 G22 = (G2)²

G22 =

( R ( − Sin  Cos  E

1

− Sin  Sin  E

2

+ Cos  E

3

) )

²

G22 =

( R2( Sin2 Cos2 + Sin2 Sin2 + Cos2 ) )

G22 =

R

²

( Sin2 ( Cos2 + Sin2 ) + Cos2 )

G22 =

R

²

( Sin2 ( ) 1 + Cos2 )

^{; karena}

( Cos2 + Sin2 )

^{= 1}

G22 =

R

²

( Sin2 + Cos2 )

G22 =

R

²

Metric Matrik Source

G =





 





22 21

12 11

G G

G

G

=





 



 

2 2

2

0

0 R Cos

R

= R²





 



 

1 0

2

0 Cos

Elemen dS² untuk “SOURCE”

dS² = GKL dU^K dU^L =

2 11

2

11

G G G G G

G dU

²

+ 2

₁₂

dUdV +

₂₂

dV = d 

²

+ 2

₁₂

d  d  +

₂₂

d 

(

^{2 2 2}

)

2

2

= R Cos  d  + d 

dS

3. Langkah Ketiga

Definisikan Parameter u¹ =u, u² =v yang digunakan untuk menggambarkan sebuah point dalam “Chart”.

y v u x u

u

¹

= = ,

²

= =

Koordinat Kartesian : x = x E1

y = y E2

Maka Chart adalah : xpo2 = x = x E1 + y E2

4. Langkah Keempat

Derive Metric Chart g dan elemen ds² = gkl du^k du^l untuk “Chart”

g =

 

_



 



=

2 2 1 2

2 1 1 1

, ,

, ,

g g g g

g g g g_KL g

( ) ( )

( ) ( )

^=_^{ }_^























 







=























 







 =



1 0

0 1

2 2

1 1

y yE x

yE

y xE x

xE

y y x y

y x x x u

x

k i

g1 =

u  x

= 





x x

1 , g2 =

u y

= 



x x

2

( )

2

1

1

=

 +

= 



= 

x E y E x x

x

g

1

( )

2

1

1

=

 +

= 



= 

y E y E x y

x

g

2

Metric Matrik Chart

g =





 



 1 0

0 1

Elemen ds² = gkl du^k du^l untuk “Chart”

ds² = gkl du^k du^l =

g

₁₁

du

²

+ 2 g

₁₂

dudv + g

₂₂

dv

²

= g

₁₁

dx

²

+ 2 g

₁₂

dx dy + g

₂₂

dy

²

(

^{2 2}

)

2 dx dy

ds = + 5. Langkah Kelima

Definisikan Persamaan Peta, dalam hal ini hubungan antara parameter Source dan Chart u = u (U,V), v = v (U,V)

Mapping Equations

( ) 

=



= R y R f

x ,

Jacobian Matriks

J

  





 













 







=

' '

' '

V V U

V V

U U

U

 







 

















  









= y y

x

x ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) )   





 





















  













= Rf Rf

R R

 

 



= 

 

 



= 

_{' '}

0 0 1 0

0 R f Rf R

J^T





 



= 

_'

0

0

1

R f

Cauchy – Green deformation Tensor C = J^T g J





 



= 

_'

0

0 Rf

R 



 



 1 0

0

1 



 



 0

'

0 Rf

R 



 



= 

_'

0

0 Rf

R 



 



 0

'

0 Rf

R 



 



= 

₂

' 2 2

0 0

f R R

C = J^T g J





 



= 

 

 



= 

2

' 2

'2 2 2

0 0 1 0

0

R f f

R R

Distorsi extremal = distorsi dalam arah parameter garis

= 



 

 =

=

=

 R Cos Cos Cos

R G

C 1 1

2 1 2

2 2

11 2 11 1



1

: distorsi dalam arah lingkaran parallel  = konstanta

' 2 '2

2 '2 2

22 2 22

2

f f

R f R G

C = =   =

=





2

: distorsi dalam arah meridian  = konstanta

Menentukan f yang tidak diketahui dari Postulat equivalensi 

₁



₂

= 1



1



₂

= 1

( ) ( ) ( )



⁼



^{ }

( )

^{ = +}



=





 =

 

=



•

c Sin f

d Cos df

Cos Cos f

f f Cos

' '

' 1 1

1

Postulat untuk  = 0 : y ( ) 0 = 0  const = 0

Persamaan pemetaan akhir dan distorsi : Proyeksi Lambert

( ) 

=



= R y R f

x ,



=



=R y RSin

x ,



1

=

 Cos

1



=





=

=



Cos Cos f

2 ' 2

= 



=



⁻

Cos

1

1

2

1

(Konformalitas dan isometri – tidak ada distorsi pada

equator)

Gambar 4. Proyeksi Lambert