Perhitungan matematika dasar

Jika U adalah skalar, A adalah suatu vektor di ruang 3, dan ∇ adalah suatu operator, buktikan bahwa :

∇ ⋅(U A)=(∇U)⋅A+U(∇⋅A) Penyelesaian :

Pembuktian dari kiri

Diambil sebarang nilai U , yaitu u dimana u∈U , dan u ,U∈R , diambil sebarang vektor A, yaitu A=

{

^A1, A₂, A₃

}

^=Ai∈R , dan ∇=i ∂

∂ x+j ∂

∂ y+k ∂

∂ z=

∑

i

∂

∂ x_i . Perhatikan bahwa,

∇ ⋅(U A)=

∑

i

∂

∂ x_i

(

^{u A}i

)

∇⋅(U A)=

∑

i

(

^{∂ x∂ u}i

A_i+u∂ A_i

∂ x_i

)

∇⋅(U A)=

∑

i

(

^{∂ x∂ u}i

A_i

)

⁺

^∑

ⁱ

(

^{u∂ A∂ x}iⁱ

)

∇ ⋅(U A)=

∑

i

(

^{∂ x∂ u}i

)

^Ai+u

^∑

ⁱ

(

^{∂ A∂ x}iⁱ

)

∇⋅(U A)=(∇U)⋅A+U(∇⋅A)

Jadi, pada pembuktian sisi kiri, terbukti bahwa ∇ ⋅(U A)=(∇U)⋅A+U(∇⋅A) . Pembuktian dari kanan

Diambil sebarang nilai U , yaitu u dimana u∈U , dan u ,U∈R , diambil sebarang vektor A, yaitu A=

{

^A1, A₂, A₃

}

^=Ai∈R , dan ∇=i ∂

∂ x+j ∂

∂ y+k ∂

∂ z=

∑

i

∂

∂ x_i . Perhatikan bahwa,

(∇U)⋅A+U(∇⋅A)=

∑

i

(

^{∂ x∂u}i

)

^Ai+u

^∑

i

(

^{∂ A∂ x}iⁱ

)

(∇U)⋅A+U(∇⋅A)=

∑

i

(

^{∂ x∂u}i

A_i

)

⁺

^∑

ⁱ

(

^{u∂ A∂ x}iⁱ

)

(∇U)⋅A+U(∇ ⋅A)=

∑

i

(

^{∂ x∂u}i

A_i+u∂ A_i

∂ x_i

)

(∇U)⋅A+U(∇⋅A)=

∑

i

∂

∂ x_i

(

^{u A}i

)

(∇U)⋅A+U(∇⋅A)=∇⋅(U A)

Jadi, pada pembuktian sisi kiri, terbukti bahwa (∇U)⋅A+U(∇⋅A)=∇⋅(U A) .

Dengan demikian, terbukti bahwa jika ^U adalah skalar, A adalah suatu vektor di ruang 3, dan ∇ adalah suatu operator, maka ∇ ⋅(U A)=(∇U)⋅A+U(∇⋅A) .