Kekompatibilitasan Persamaan Gelombang dengan Transformasi Lorentz
(Suplemen Matakuliah Fisika Modern)
M. Ardhi K
Kelompok Riset Fisika Matematis Jurusan Fisika, FST UIN Walisongo
Andaikan ψ(x, t) merupakan fungsi gelombang yang memenuhi persamaan gelombang
−1 c2
∂2ψ
∂t2 +∂2ψ
∂x2 = 0. (1)
Pada artikel ini akan ditunjukkan bahwa persamaan gelombang (1) kompatibel dengan transformasi Lorentz
x0 =γ(x−vt),
t0 =γ(t−vx/c2). (2)
Andaikan pers.(1) berlaku untuk suatu kerangka acuanK(x, t), dan ada kerangka lain, katakanlahK0(x0, t0) yang bergerak dengan kecepatanvterhadapK. Jika persamaan gelombang (1) kompatibel dengan transformasi Lorentz, maka melalui transformasi tersebut seharusnya akan diperoleh persamaan gelombang di K0 seperti berikut ini
−1 c2
∂2ψ
∂t02 + ∂2ψ
∂x02 = 0. (3)
Berikut ini akan ditunjukkan bagaimana mendapatkan pers.(3). Karena ψ merupakan fungsi 2 peubah, yaknixdant, maka berlaku1
∂ψ
∂x = ∂ψ
∂x0
∂x0
∂x +∂ψ
∂t0
∂t0
∂x,
∂ψ
∂t = ∂ψ
∂x0
∂x0
∂t +∂ψ
∂t0
∂t0
∂t.
(4)
Berdasarkan transformasi Lorentz (2), dapat dihitung
∂x0
∂x =γ, ∂t0
∂x =−γv c2, ∂x0
∂t =−γv, ∂t0
∂t =γ (5)
1silahkan merujuk pada buku Mary L. Boas,Mathematical Methods in The Physical Sci- ences, Bab 4 mengenai aturan rantai.
1
sehingga
∂ψ
∂x =γ∂ψ
∂x0 −γv c2
∂ψ
∂t0,
∂ψ
∂t =−γv∂ψ
∂x0 +γ∂ψ
∂t0.
(6)
Dengan menurunkan persamaan terakhir, dan memanfaatkan pers.(5) diperoleh
∂2ψ
∂x2 = ∂
∂x
∂ψ
∂x
= ∂
∂x0
γ∂ψ
∂x0 −γv c2
∂ψ
∂t0 ∂x0
∂x + ∂
∂t0
γ∂ψ
∂x0 −γv c2
∂ψ
∂t0 ∂t0
∂x
=
γ∂2ψ
∂x02 −γv c2
∂2ψ
∂x0∂t0 ∂x0
∂x +
γ ∂2ψ
∂t0∂x0 −γv c2
∂2ψ
∂t02 ∂t0
∂x
=γ
γ∂2ψ
∂x02 −γv c2
∂2ψ
∂x0∂t0
−γv c2
γ ∂2ψ
∂t0∂x0 −γv c2
∂2ψ
∂t02
=γ2∂2ψ
∂x02 −γ2v c2
∂2ψ
∂x0∂t0 −γ2v c2
∂2ψ
∂t0∂x0 +γ2v2 c4
∂2ψ
∂t02
=γ2∂2ψ
∂x02 −2γ2v c2
∂2ψ
∂t0∂x0 +γ2v2 c4
∂2ψ
∂t02
(7)
dan
∂2ψ
∂t2 =∂
∂t
∂ψ
∂t
= ∂
∂t
−γv∂ψ
∂x0 +γ∂ψ
∂t0
= ∂
∂t
−γv∂ψ
∂x0
+ ∂
∂t
γ∂ψ
∂t0
=−γv
∂
∂x0
∂ψ
∂x0 ∂x0
∂t + ∂
∂t0
∂ψ
∂x0 ∂t0
∂t
+γ
∂
∂x0
∂ψ
∂t0 ∂x0
∂t + ∂
∂t0
∂ψ
∂t0 ∂t0
∂t
.
=γ2v2∂2ψ
∂x02 −γ2v ∂2ψ
∂t0∂x0 −γ2v ∂2ψ
∂x0∂t0 +γ2∂2ψ
∂t02.
=γ2v2∂2ψ
∂x02 −2γ2v ∂2ψ
∂t0∂x0 +γ2∂2ψ
∂t02.
(8)
Selanjutnya, pers.(8) dikalikan dengan −1/c2 kemudian dijumlahkan dengan pers.(7) sehingga diperoleh
−1 c2
∂2ψ
∂t2 +∂2ψ
∂x2 =γ2
1−v2 c2
∂2ψ
∂x02 −γ2 c2
1−v2
c2
∂ψ
∂t02. (9) Akhirnya, karena
1
γ2 = 1−v2
c2, (10)
sekarang pers.(9) menjadi
−1 c2
∂2ψ
∂t2 +∂2ψ
∂x2 =γ2 1 γ2
∂2ψ
∂x02 −γ2 c2
1 γ2
∂ψ
∂t02
=−1 c2
∂ψ
∂t02 + ∂2ψ
∂x02.
(11)
2
