See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/312491693
Kumpulan Soal Olimpiade dan Pembahasan Bilangan 1
Chapter · January 2017
CITATIONS
0 READS70,363
1 author:
A A Abdillah
University of Birmingham 54 PUBLICATIONS 101 CITATIONS
All content following this page was uploaded by A A Abdillah on 18 January 2017.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN BILANGAN I
SMP
Abdul Azis Abdillah Januari 2017
Soal
1. Angka satuan dari 1 + (1 × 2) + (1 × 2 × 3) + (1 × 2 × 3 × 4) + ... + (1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2017) adalah ...
2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 201720172017 × 2016201620162016 dan y = 201620162016 × 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x − y)
3. Hitunglah
√
54 + 14√ 5 +
√
12 − 2√ 35 +
√
32 − 10√ 7 4. Hitunglah
1 +
2 × 3
1 +
3 × 4 1 4 ×
5 + ...
+
1 2016 × 2017
5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 216204 dan b = 5306? 6. Sederhanakan bentuk berikut ini q2
√ 2√
2... = ...
7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini.
HITAM 4 x MATIH
8. Berapakah hasil dari 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12? 9. Berapakah jumlah digit bilangan 22016 × 52017?
10. Hitunglah nilai dari
1 1 1 1
1 + √ 2 + √
2 + √ 3 + √
3 + √
4 + ... + √
9800 + √ 9801 11. Hitunglah 1 − 13
1000
23
× 1 − 1000
33
× 1 − 1000
× ...
×
20173 1 1000
12. Carilah nilai dari
1 − 1 1 − 1
1 − 1
... 1 − 1
2017
CORETAN AZUL
—
22 32 42 n2
1
13. Buktikan bahwa
1 1 1 1
14. Nilai dari
adalah ...
(OSK 2016)
1! + 2! +
3! + · · · +
2016! < 2 2017 × (20162 − 16) × 2015
2020 × (20162 − 1)
15. Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 x2014 = x2015 x2013 adalah ...
(OSK 2016) 16. Nilai dari
1 . 2 . 4+2 . 4 . 8+ ... + n. 2 n. 4 n 1.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n
23
adalah ...
(OSK 2016)
17. Misalkan [x| menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x = 1 2
+ 2 + 3 + ... + 10 , maka x = ...
(OSK 2016) 18. √
50502 − 49502 = ...
1001 1002 1003 1010
19. Jika a = b , maka b dinyatakan dalam a adalah...
1−b
20. Bentuk sederhana dari
√ 4 − √
15 − √ 4 + √
15 adalah ...
CORETAN AZUL
− −[ |
q
Perhatikan jumlah 4 suku pertama berikut:
Jumlah satu suku pertama yaitu 1, angka satuan (1) Jumlah dua suku pertama yaitu 1 + 2 = 3, angka satuan (3) Jumlah tiga suku pertama yaitu 3 + 6 = 9, angka satuan (9)
Jumlah empat suku pertama yaitu 9 + 24 = 33, angka satuan (3) Perhatikan jumlah 5 suku pertama dan selanjutnya:
Jumlah lima suku pertama yaitu 33 + 120 = 153, angka satuan (3) Jumlah enam suku pertama yaitu 153 + 720
= 873, angka satuan (3) .
Maka jumlah 2017 suku pertama yaitu 153 + 720 = 873, angka satuan (3)
Perhatikan bentuk berikut:
x = 201720172017 × 2016201620162016
= 2017(100010001) × 2016(1000100010001) y = 201620162016 × 2017201720172017
= 2016(100010001) × 2017(1000100010001)
Berdasarkan diatas terlihat bahwa x = y, sehingga nilai dari (x − y)= 0= 02017 2017
Pembahasan
1. Angka satuan dari 1 + (1 × 2) + (1 × 2 × 3) + (1 × 2 × 3 × 4) + ... + (1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2017) adalah ...
2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 201720172017 × 2016201620162016 dan y = 201620162016 × 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x − y)2017
CORETAN
AZUL
Hitunglah √54 + 14√5 + √12 − 2√35 + √32 − 10√7
Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut.
(√a + √b)2 = (a + b) + 2√a.b ←→ (√a + √b) = q(a + b) + 2√a.b (√a − √b)2 = (a + b) − 2√a.b ←→ (√a − √b) = q(a + b) − 2√a.b Maka
q54 + 14√5 + q12 − 2√35 + q32 − 10√7 = q54 + 2√245 + q12 − 2√35 + q32 − 2√175
= (√49 + √5) + (√7 − √5) + (√25 − √7)
= 12 3.
4. Hitunglah 1
2 × 3+
1 +
3 × 4 1 4 ×
5 + ...
+
1 2016 × 2017
CORETAN
AZUL
Ubah a dan b kedalam bentuk berikut a = 216204 = (2162)102 = 46656102 b = 5306 = (53)102 = 125102
Sehingga jelas terlihat bahwa a merupakan bilangan yang terbesar
Misalkan a =2 2 2..., maka a =2a Kuadratkan kedua ruas maka diperoleh
q √ √ √
a2 = 2a a2 − 2a = 0 a(a − 2) = 0
Nilai yang memenuhi adalah a = 0 atau a = 2.
a tidak mungkin bernilai 0, maka a ditolak. Sehingga nilai yang memenuhi adalah a = 2 5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 216204 dan b = 5306?
6. Sederhanakan bentuk berikut ini q2
√ 2√
2... = ...
7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini.
HITAM 4 x MATIH
Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut.
1 1 1
Dari bentuk diatas maka diperoleh
a × (a + 1)aa + 1=−
1 1 1 1 1111 1
2 × 33 × 44 × 5+ + + ... + 1
2016 × 201723=−+−+ ... +
3 4 20162017—
=−11 22017
CORETAN
AZUL
8. Berapakah hasil dari 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12?
Hasil H × 4 harus kurang dari 10 (tidak ada yang disimpan), yang mungkin hanya 1 atau 2.
H tidak mungkin 1, karena HITAM × 4 bersatuan genap, maka H = 2.
Jika H = 2 maka M = 8.
ITA × 4 + 3 = ATI (ingat 3 merupakan simpanan dari 8 × 4)
I × 4 < 10, maka nilai I yang mungkin hanya 0, 1, dan 2, sehingga nilai yang memenuhi adalah I = 1. Akibat ini, haruslah A = 7.
T × 4 + 3 menghasilkan angka akhir T dan dibawa 3, maka haruslah T = 9.
∴ Jadi 21978 4 x 87912
AN
AZUL
CORET
22016 × 52017 = 22016 × 52016 × 5 = (2 × 5)2016 × 5 = 5 × 102016
Sehingga jumlah digit bilangan dari 22016 × 52017 adalah 2017 digit
Rasionalkan setiap penyebut sehingga diperoleh bentuk berikut:
= 1−√2 + √2−√3 + √3−√4 + ... + √9800−√9801
= −(1 −2 + 2 −3 +3 −4 + ... +9800 −9801)1−2√ 2−3√3−4 √√√ 9800−9801√ √
= −(1 −9801)√
= −(1 − 99)
= 98
9. Berapakah jumlah digit bilangan 22016 × 52017?
10. Hitunglah nilai dari
1 1 1 1
1 + √ 2 + √
2 + √ 3 + √
3 + √
4 + ... + √
9800 + √ 9801
11. Hitunglah 1 − 13 1000
23
× 1 − 1000
33
× 1 − 1000
× ...
×
20173 1 1000
12. Carilah nilai dari 1 − 1
1 − 1 1 − 1 ... 1 − 1
Perhatikan pola berikut : 22 − 12 = 3 = 1 + 2 62 − 52 = 11 = 5 + 6 .
maka soal dapat dituliskan dalam bentuk 42 − 32 = 7 = 3 + 4
1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 = 100 + 99 + 97 + 96 + ... + 2 + 1
100(100 + 1) =
2
= 5050
CORETAN AZUL
—Perhatikan bentuk berikut:
= 1 −
= 1 −
= 1 −
13 1000
× 1 − 100023 × ... × 1 − 1000103 × ... × 1 − 201710003
3
= 1 −
1 1000 1 1000 1 1000
× 1 − × 1 −
8 1000 8 1000 8 1000
× ... × 1 − 1000
1000 × ... × 1 − 2017
× ... × (1 − 1) × ... × 1 −
× 1 − × ... × (0) × ... × 1 −
1000 20173
1000 20173
1000
= 0
22 32 42 n2
13. Buktikan bahwa
1 1 1 1
1! + 2! +
3! + · · · +
2016! < 2 1 − 1
22
1 − 1
1 1
32 1 −... 1 −
42 n2 =1 − 1
2 1
1 + 2
1
1 − 3 1
1 + 3
=
... 1 − 1
n
1 + 1 n
1324 n
2233 n + 1 2n
... — 1n + 1 n
n
=
CORET
AN
AZUL
14. Nilai dari
adalah ...
(OSK 2016)
2017 × (20162 − 16) × 2015 2020 × (20162 − 1)
15. Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 x2014 = x2015 x2013 adalah ...
(OSK 2016)
Perhatikan ketaksamaan berikut:
12 13 1 2015
3!3! 4!4!<;<; · · · ;
2016!2016!<
maka 111 1 112
1!2!3!+++ · · · +
2016!1!<+++ · · · + 2! 3!
2015
2016! (*)
Perhatikan bahwa
k k + 1 1
(k + 1)!(k + 1)!(k + 1)!= —
=−11
(k)!(k + 1)! (**)
Dengan menggunakan bentuk pada (**) maka pertaksamaan pada (*) dapat ditulis menjadi:
1 1 1
1!2!3!+++ · · · + 1
2016!<+−+−+−+ · · · +1 1 1 1 1 1 1
1!1!2! 2! 3! 3! 4!
1 2015!
1
— 2016!
1
1!2!3!+++ · · · +1 1 111
1!2!3!+++ · · · +
1 2016!
1 2016!
1 2016!
< 1 + 1 − 1 2016!
< 2 −
< 2 1 2016!
111
1!2!3!+++ · · · +
∴ Terbukti
CORETAN AZUL
Misalkan x = 2016, maka diperoleh bentuk2017 × (2016 − 16) × 2015 = (x + 1) × (x − 16) × (x − 1)2 2 2020 × (20162 − 1)
=
(x + 4) × (x2 − 1) (x2 − 1)(x + 4)(x − 4)
= x − 4
(x + 4)(x2 − 1)
(*)
Kemudian substitusikan nilai x = 2016 pada persamaan (*), sehingga diperoleh nilai 2017 × (2016 − 16) × 2015
2020 × (20162 − 1)
2
= 2016 − 4 = 2012
− −
1.2.4 + 2.4.8 + ... + n.2n.4n 1.3.9 + 2.6.18 + ... + n.3n.9n
2 3 =
4 9
1.2.4(1 + 2 + ... + n) 1.3.9(1 + 2 + ... + n)
2 3
= 8 27
2
3
= 16. Nilai dari 11.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n . 2 . 4+2 . 4 . 8+ ... + n. 2 n. 4 n 23
adalah ...
(OSK 2016)
(x2015 − x2013)x − x2015 − x2013 = 0
x2016 − x2014 = x2015 − x2013
(x − 1)(x− x) = 020152013 (x − 1)(x − 1)(x 013) = 02 2
(x − 1)(x − 1)(x + 1)(x 013) = 02 (*)
Sehingga nilai x yang memenuhi persamaan (*) adalah x = −1, x = 1, dan x = 0
CORET
AN
AZUL
√50502 − 49502 = √(5050 + 4950) − (5050 − 4950)
= 1000
= √(100.000).(100)
17. Misalkan [x| menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x = 1 2
+ 2 + 3 + ... + 10 , maka x = ...
(OSK 2016)
1001 1002 1003 1010
18. √
50502 − 49502 = ...
19. Jika a = b , maka b dinyatakan dalam a adalah...
1−b
[ |
Kita akan menyelesaikan permasalahan ini dengan mencari rentang nilai terdekat dengan x.
Berikut penyelesaiannya
Nilai minimum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut men- jadi 1001, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu
1 + 2 + 3 + ... + 2 10 = 55 = 2 2002
= 36, 4
100110011001 10011001 55
Nilai maximum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 1010, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu
1 + 2 + 3 + ... + 2 10 = 55 = 2 2020
= 36, 73
101010101010 10101010 55
Berdasarkan nilai minimum dan maksimum yang telah kita peroleh yaitu 36, 4 < x < 36, 73 dapat disimpulkan bahwa nilai [x| yang memenuhi adalah 37
CORETAN
AZUL
q20. Bentuk sederhana dari
√ 4 − √
15 − √ 4 + √
15 adalah ...
1 − b Pangkatkan dua pada setiap ruas, maka diperoleh bentuk
a = r b
a2 = b
1 − b Kalikan ke dua ruas dengan (1 − b), maka diperoleh bentuk a2(1 − b) = b a2 − a2b = b
a2 = b + a2b a2 = b(1 + a2)
a2
1 + a2 = b
∴ b
= 1+a2
a2
AN
AZUL
CORET
Biograf Penulis
Abdul Azis Abdillah memiliki minat dalam bidang matematika terapan. Saat ini, kegiatan yang dilakukan selain belajar menulis, juga merupakan salah satu staf pengajar di salah satu perguruan tinggi yang ada di Depok. Penulis dapat dihubungi melalui alamat email berikut : [email protected]
Jika anda ingin memasang iklan pada karya-karya penulis silahkan menghubungi penulis lewat alamat email yang telah disediakan.
13
View publication stats
Misalkan4 −15 −4 +15 = x
Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh bentuk
√ √ √ √
x2 =4 −15 −4 +15
q √ q √ 2
= 8 − 2√16 − 15
= 8 − 2.1
= 6
∴ Sehingga nilai x = √6
= 4 − √15 + 4 + √15 − 2q4 − √15q4 + √15
= q4 − √15 − q4 + √15 q4 − √15 − q4 + √15
