62 62
BAB VI BAB VI
DEFLEKSI BALOK DEFLEKSI BALOK
6.1.6.1. PendahuluanPendahuluan
Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila terbebani. Dalam
terbebani. Dalam struktur bangustruktur bangunan, seperti nan, seperti : balok : balok dan plat dan plat lantai lantai tidak bolehtidak boleh melentur terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis melentur terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya.
(ketakutan) pemakainya.
Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan defleksi pada
persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tigaini hanya akan dibahas tiga metode, yaitu metode integrasi ganda
metode, yaitu metode integrasi ganda ((””doubel integr doubel integr ations”ations”), luas bidang momen), luas bidang momen (”Momen Area Method”)
(”Momen Area Method”), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode, dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang
bentang sekaligus. sekaligus. Sedangkan Sedangkan metode metode luas luas bidang bidang momen momen sangat sangat cocokcocok dipergunakan untuk mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi.
terdeformasi.
6.2.6.2. Metode Integrasi GandaMetode Integrasi Ganda
Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digambarkan Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digambarkan sebagaimana gambar 6.1, dimana
sebagaimana gambar 6.1, dimana y y adalah defleksi pada jarak adalah defleksi pada jarak x x, dengan, dengan x x adalah adalah jarak lendutan
jarak lendutan yang ditinjau,yang ditinjau, dxdx adalah jarak mn, adalah jarak mn, d d sudut mon, dan sudut mon, dan r r adalah jari- adalah jari- jari lengkung.
jari lengkung.
Gambar 6.1. Balok sederhana yang mengalami lentur Gambar 6.1. Balok sederhana yang mengalami lentur Berdasarkan gambar 6.1. didapat besarnya
Berdasarkan gambar 6.1. didapat besarnya dx = r tg d dx = r tg d karena besarnya
karena besarnya d d relatif sangat kecil maka tgrelatif sangat kecil maka tg d d d d sajasaja sehinggasehingga persamaannya d
persamaannya dapat ditulis menjadiapat ditulis menjadi dx = r.d
dx = r.d atauatau
dx dx d d r r
1
1
Jika dx bergerak kekanan maka besar
Jika dx bergerak kekanan maka besarnya dnya d akan semakin mengecil atau semakin akan semakin mengecil atau semakin berkurang sehing
berkurang sehingga didapat persamaanga didapat persamaan
dx dx d d r
r
1
1
Lendutan relatif sangat kecil sehingga Lendutan relatif sangat kecil sehingga
dx dx dy tg dy
tg
, sehingga didapat persamaan, sehingga didapat persamaan
222
1 2
1
dx dx
y y d d dx
dx dy dy dx dx d d r
r
Persamaan tegangan Persamaan tegangan
EI EI M M r
r
1
1 , sehingga didapat persamaan, sehingga didapat persamaan 22
2 2
dx dx y y d d EI
EI M
M
Sehingga didapat persamaan
Sehingga didapat persamaan M M dx
dx y y d EI d
EI
2 2 2 2
(6.1)
(6.1)
d d
O O
rr
m m nn dx
dx y
y
x x
d d A
A BB
Persamaan 6.1 jika dilakukan dua kali integral akan didapat persamaan Persamaan 6.1 jika dilakukan dua kali integral akan didapat persamaan
V dx V dx dM dM dx
dx dy EI dy
EI
qqdx dV dx y dV y EI
EI
6.2.1. Contoh 1 Aplikasi pada balok
6.2.1. Contoh 1 Aplikasi pada balok sederhana dengan beban meratsederhana dengan beban merataa
Gambar 6.2. Balok Sederhana dengan beban merata Gambar 6.2. Balok Sederhana dengan beban merata
Dari gambar 6.2 besarnya momen pada jarak x sebesar Dari gambar 6.2 besarnya momen pada jarak x sebesar
M
M x x = R = R A A . x - . x -
2 2 1 1 q xq x22
M M x x = = 22
qL qL
. x - . x - 22
1 1
q x q x
2 2
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat
2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2
2 x x qxqx qL
qL dx
dx y y d EI d
EI
Diintegral terhadap x sehingga didapat Diintegral terhadap x sehingga didapat
222 2 2 2
2 2 1 1 2
2 x x qxqx qL
qL dx
dx y y d EI d
EI
1 1 3 3 2
2
6 6 4
4 qxqx C C qLx
qLx dx
dx dy EI dy
EI
q q
L L
B B A
A
x
x BMDBMD
Momen maksimum terjadi pada x =
Momen maksimum terjadi pada x = L L22, dan pada tempat tersebut terjadi defleksi, dan pada tempat tersebut terjadi defleksi maksimum ,
maksimum ,
00 dx dx dydy , sehingga persamaannya menjadi, sehingga persamaannya menjadi
1 1 3 3 2
2
6 6 2 2 4
4 2 0 2
0 C C
L q L L q
qL L qL
1 1 3 3 3
3
16 16 48
0 48
0
qLqL
qLqL
C C24 24
3 3 1
1
qL C qL
C
Sehingga persamaan di atas akan menjadi Sehingga persamaan di atas akan menjadi
24 24 6
6 4
4
3 3 3
3 2
2 qxqx qLqL qLx
qLx dx
dx dy EI dy
EI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali t
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadierhadap x sehingga menjadi
EI EI
dxdxdydy
qLxqLx44 22
qxqx6633
qLqL2424332 2 3
3 4
4 3
3
24 24 24
24 12
12 qxqx qLqL x x C C qLx
y qLx y EI
EI
Pada x = 0, l
Pada x = 0, lendutan y = 0, sehingga didapatendutan y = 0, sehingga didapatC C 22, dan persamaannya menjadi, dan persamaannya menjadi 0 = 0 + 0 + 0 +
0 = 0 + 0 + 0 + C C 22 C
C 22 = 0 = 0
0 24 0 24 24
24 12
12
3 3 4
4 3
3
qLxqLx qxqx qLqL xxy y EI
EI
22 22 33 33
24
24 Lx Lx x x L L EI
EI qx y qx
y
33 22 22 33
24
24 L L Lx Lx x x EI
EI qx y qx
y
Pada x =
Pada x = L L22 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
3 3 2
2 3
3 max
max 22 22 22
24 24
2
2 L L LL L
L L
EI L EI L q L q y
y
8 8 2 2 48
48
3 3 3 3 3 3 max
max
L L L L L EI L EI qL y qL
y
8 8 5 5 48
48
3 3
max max
L L EI EI qL y qL
y
Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah bentang didapat : Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah bentang didapat :
EI EI qL y qL
y 384384 5 5 44
max
max
(6.2)(6.2)6.2.2. Contoh 2 Aplikasi
6.2.2. Contoh 2 Aplikasi pada cantilever dengan beban meratapada cantilever dengan beban merata
Gambar 6.3. Balok Cantilever dengan Beban Merata Gambar 6.3. Balok Cantilever dengan Beban Merata Dari gambar 6.3 besarnya momen pada jarak x sebesar
Dari gambar 6.3 besarnya momen pada jarak x sebesar M
M x x = = --
2 2 1 1 q xq x22
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat
2 2 2
2 2 2
2 2 1 1qxqx dx
dx y y d EI d
EI
Diintegral terhadap x sehingga didapat Diintegral terhadap x sehingga didapat
222 2 2 2
2 2 1 1qxqx dx
dx y y d EI d
EI
1 1 3 3
6
6 C C qx
qx dx
dx dy EI dy
EI
q q
L L
BMD BMD
x x
Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi,
defleksi,
00 dx dx dydy , sehingga persamaannya menjadi, sehingga persamaannya menjadi
1 1 3 3
6 0 6
0 C C qx
qx
6 6
3 3 1
1
qL C qL
C
Sehingga persamaan di atas akan menjadi Sehingga persamaan di atas akan menjadi
6 6 6
6
3 3 3
3 qLqL qx
qx dx
dx dy EI dy
EI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali t
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadierhadap x sehingga menjadi
6 6 6
6
3 3 3
3 qLqL qx
qx dx
dx dy EI dy
EI
2 2 3
3 4
4
6 6 24
24 qLqL x x C C qx
y qx y EI
EI
Pada x = L, lendutan y = 0, se
Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapathingga didapatC C 22
2 2 4 4 4
4
6 6 24
0 24
0
qLqL
qLqL
C C8 8
4 4 2
2
qL C qL
C
Persamaannya menjadi Persamaannya menjadi
8 8 6
6 24
24
4 4 3
3 4
4 qLqL x x qLqL qx
qx y y EI
EI
44 44 33 33 44
24
24 x x L L x x L L EI
EI q y q
y
Pada x = 0
Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapatakan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
44
max
max 00 00 33
24
24 L L
EI EI q y q
y
EI EI qL y qL
y 2424 3 3
max
max
Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung batang) didapat : Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung batang) didapat :
EI EI qL y qL
y 88
4 4 max
max
(6.3)(6.3)6.2.3. Contoh 3 Aplikasi pada cantilever dengan titik 6.2.3. Contoh 3 Aplikasi pada cantilever dengan titik
Gambar 6.4. Balok Cantilever dengan Beban Titik Gambar 6.4. Balok Cantilever dengan Beban Titik
Dari gambar 6.4 besarnya momen pada jarak x sebesar Dari gambar 6.4 besarnya momen pada jarak x sebesar
M
M x x = = - - PxPx
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 sehingga didapat
Px dx Px
dx y y d EI d
EI
2 2 2 2
Diintegral terhadap x sehingga didapat Diintegral terhadap x sehingga didapat
Px Px dxdx y y d EI d EI 22
2 2
1 1 2 2
2
2 C C Px
Px dx
dx dy EI dy
EI
Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi Momen maksimum terjadi pada x = L, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi,
defleksi,
00 dx dx dydy , sehingga persamaannya menjadi, sehingga persamaannya menjadi
1 1 2 2
2 0 2
0
PL PL
C CP P
L L
BMD BMD
x x
2 2
3 3 1
1
PL C PL
C
Sehingga persamaan di atas akan menjadi Sehingga persamaan di atas akan menjadi
2 2 2
2
2 2 2
2
PL PL Px
Px dx
dx dy EI dy
EI
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali t
Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadierhadap x sehingga menjadi
2 2 2
2
2 2 2
2 PL PL Px
Px dx
dx dy EI dy
EI
2 2 2
2 3
3
2 2 6
6 PL PL x x C C Px
y Px y EI
EI
222 2 3
3 33 6
6 L L L L C C Px
y Px y EI
EI
Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat Pada x = L, lendutan y = 0, sehingga didapat C C 22
222 2 2
2 33 6
0 6
0
PL PL L L
L L
C C3 3
3 3 2
2
PL C PL
C
Persamaannya menjadi Persamaannya menjadi
3 3 3
6 3 6
3 3 2
2 3
3 PLPL
L L x
Px x y Px y EI
EI
33 33 22 22 33
6
6 x x xL xL L L P
y P y EI
EI
33 33 22 22 33
6
6 x x xL xL L L EI
EI q y q
y
Pada x = 0
Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapatakan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat
00 00 22 33
6
6 L L
EI EI
q y q
y
EI EI PL y PL
y 33
3 3 max
max
Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan bebat titik (pada ujung batang) Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan bebat titik (pada ujung batang) didapat :
didapat :
EI EI qL y qL
y 88
4 4 max
max
(6.4)(6.4)6.2.4. Contoh 4 Aplikasi pada balok
6.2.4. Contoh 4 Aplikasi pada balok sederhana dengan beban titiksederhana dengan beban titik
Gambar 6.5. Balok Sederhana dengan beban titik Gambar 6.5. Balok Sederhana dengan beban titik Dari gambar 6.5 besarnya reaksi dukungan dan momen sebesar Dari gambar 6.5 besarnya reaksi dukungan dan momen sebesar
L L Pb R Pb
R A A
,, dandanL L Pa R Pa
R B B
M M x x = =
L L Pbx
Pbx untukuntuk x x aa
M M x x = =
L L Pbx
Pbx -- P P (( x-a x-a)) untukuntuk x x aa
Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 persamaan garis elastis Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan 6.1 persamaan garis elastis sehingga didapat
sehingga didapat untuk
untuk x x aa
L L Pbx Pbx dx
dx y y d EI d
EI
2 2 2 2
untuk
untuk x x aa 22 (( ))
2 2
a a x x P L P L Pb Pbxx dx
dx y y d EI d
EI
Diintegral terhadap
Diintegral terhadap x x sehingga didapat sehingga didapat
1 1 2 2
2
2 C C L
L Pb Pbxx dx
dx dy EI dy
EI
P P
L L
B B A
A
x
x BMDBMD
a
a bb
2 2 2 2 2
2
2 2
)) ((
2
2 P P x x aa C C L
L Pbx Pbx dx
dx dy EI dy
EI
Pada
Pada x x = =aa, dua persamaan di atas , dua persamaan di atas hasilnya akan sama.hasilnya akan sama.
Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan : Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan :
3 3 1
1 3 3
6
6 C C x x C C L
L Pbx y Pbx
y EI
EI
untukuntuk x x aa4 4 2
2 3 3 3
3
6 6
)) ((
6
6 P P x x aa C C x x C C L
L Pb Pbxx y
y EI
EI
untukuntuk x x aaPada
Pada x x == aa, maka nilai, maka nilai C C 11 harus sama dengan harus sama dengan C C 22, maka, maka C C 33 == C C 44, sehingga, sehingga persamaannya men
persamaannya menjadi :jadi :
3 3 1
1 3 3 3
3
6 6
)) ((
6
6 P P x x aa C C x x C C L
L Pb Pbxx y
y EI
EI
Untuk
Untuk x x = 0, maka = 0, maka y y = 0, sehingga nilai = 0, sehingga nilai C C 33 = =C C 44 = 0 = 0 Untuk
Untuk x x = = L L, maka, maka y y = 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi : = 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi : 0
6 0 6
)) ((
6 0 6
0 11
3 3 3
3
P P L L aa C C LLL L PbL
PbL
Besarnya
Besarnya L L – – aa = =bb
L L Pb Pb PbL
C PbL
C 66 66
3 3 1
1
22 22
1
1 66 L L bb L
L Pb C Pb
C
Sehingga setelah disubstitusi menghasilkan persamaan : Sehingga setelah disubstitusi menghasilkan persamaan :
22 22 22
6
6 L L bb x x EIL
EIL Pbx y Pbx
y
untukuntuk x x aa
EI EI a a x x P x P
x b b L EIL L EIL Pbx y Pbx
y 66 66
3 3 2
2 2 2 2
2
untukuntuk x x aa (6.5)(6.5)6.3.6.3. Metode Luas Bidang MomenMetode Luas Bidang Momen Pada pembahasan di atas
Pada pembahasan di atas telah dihasilkan lendutan yang berupa persamaan.telah dihasilkan lendutan yang berupa persamaan.
Hasil tersebut masih bersifat umum, namun mempunyai kelemahan apabila Hasil tersebut masih bersifat umum, namun mempunyai kelemahan apabila
diterapkan pada struktur dengan pembebanan yang lebih kompleks, maka dirasa diterapkan pada struktur dengan pembebanan yang lebih kompleks, maka dirasa kurang praktis, karena harus melalui penjabaran secara matematis.
kurang praktis, karena harus melalui penjabaran secara matematis.
Metode luas bidang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama Metode luas bidang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama apabila dipakai pada konstruksi
apabila dipakai pada konstruksi dengan pembebanan yang lebih kompleks. Namundengan pembebanan yang lebih kompleks. Namun demikian metode ini sedikit lebih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak demikian metode ini sedikit lebih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak secara matematis tetapi bersifat numeris.
secara matematis tetapi bersifat numeris.
Gambar 6.6. Gambar Balok yang mengalami Lentur Gambar 6.6. Gambar Balok yang mengalami Lentur
Dari gambar 6.6 tersebut didapat persamaan Dari gambar 6.6 tersebut didapat persamaan
dx dx d d r r
1
1 == EI EI M M
atau dapat ditulis menjadi atau dapat ditulis menjadi
d d
O O
rr
m m nn
dx
dx d d A
A BB
B’B’
B”
B”
AB AB
d d
BMD BMD
dx EI dx EI M d M
d
(6.6)(6.6)Dari persamaan 6.6 dapat didefinisikan sebagai berikut : Dari persamaan 6.6 dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi I :
Definisi I : Elemen sudut d Elemen sudut d yang dibentuk yang dibentuk oleh dua oleh dua tangen arah tangen arah pada dua pada dua titiktitik yang berjarak dx,
yang berjarak dx, besarnya sama dengan luas bidang momen antarabesarnya sama dengan luas bidang momen antara dua titik tersebut
dua titik tersebut dibagi dengan EI.dibagi dengan EI.
Dari gambar 6.6, apabila
Dari gambar 6.6, apabila dxdx adalah panjang balok AB, maka besarnya sudut yang adalah panjang balok AB, maka besarnya sudut yang dibentuk adalah :
dibentuk adalah :
LLAB
AB dxdx
EI EI M M
0 0
Berdasarkan garis singgung
Berdasarkan garis singgung mm dan dan nn yang berpotongan dengan garis vertikal yang yang berpotongan dengan garis vertikal yang melewati titik B, akan diperoleh :
melewati titik B, akan diperoleh : dx EI dx EI x x M d M d x x d d B B B
B ..
"" ..
''
(6.7)(6.7)Nilai
Nilai M.dx M.dx = = Luas Luas bidang bidang momen momen sepanjangsepanjangdxdx..
M.x.dx
M.x.dx= = Statis momen luas bidang M terhadap titik yStatis momen luas bidang M terhadap titik yang berjarak x dang berjarak x dariari elemen M.
elemen M.
Sehingga dari persamaan 6.7 dapat didefinisikan sebagai berikut : Sehingga dari persamaan 6.7 dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi II :
Definisi II : Jarak Jarak vertikal vertikal pada pada suatu suatu tempat tempat yang dibentuk yang dibentuk dua garis dua garis singgungsinggung pada dua tit
pada dua titik suatu ik suatu balok besarnya balok besarnya sama dengan statsama dengan statis momen is momen luasluas bidang momen terhadap tempat tersebut dibagi dengan EI.
bidang momen terhadap tempat tersebut dibagi dengan EI.
Jarak
Jarak
LL dxdxEI EI x x M BB M
BB 00
'' ..
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yang menjadi persoalan adalah letak Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yang menjadi persoalan adalah letak titik berat suatu luasan, karena letak titik berat tersebut diperlukan dalam titik berat suatu luasan, karena letak titik berat tersebut diperlukan dalam menghitung statis momen luas
menghitung statis momen luas M.dx.x M.dx.x. Letak titik berat dari beberapa luasan dapat. Letak titik berat dari beberapa luasan dapat dilihat pada gambar 6.7.
dilihat pada gambar 6.7.
(a)
(a) Segi Segi empat empat (b) (b) Segi Segi tigatiga
(c)
(c) Parabola Parabola pangkat pangkat 2 2 (d) (d) Parabola Parabola Pangkat Pangkat 22
(e)
(e) Parabola Parabola pangkat pangkat n n (f) (f) Parabola Parabola Pangkat Pangkat nn Gambar 6.7. Letak titik berat
Gambar 6.7. Letak titik berat
6.3.1. Contoh 1 Aplikasi pada
6.3.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban MerataBalok Sederhana dengan Beban Merata Hitung defleksi maksimum (
Hitung defleksi maksimum ( C C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.8, dengan yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.8, dengan metode luas bidang momen.
metode luas bidang momen.
b b
h h
b
2b
2 1 1
A = bh A = bh
b b
b
3b
3 1 1
h h
A = bh/2 A = bh/2
b b
h h
b
8b
8 3 3
A = (2/3)bh A = (2/3)bh
b
4b
4 1 1
h h
b A = bh/3 b A = bh/3
h h
b b
nn
bbn n
2 2 2
2
1 1
bh n bh n
n n A
A
11h h
b n b n 22
1 1
b b
bh bh n
n A
A 11 1 1
Gambar 6.8. Balok sederhana yang menahan beban merata Gambar 6.8. Balok sederhana yang menahan beban merata
Penyelesaian : Penyelesaian :
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar M M C C = = 22
8 8 1 1qLqL
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar =
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar = L L L L 16 16 5 5 2 ..2 8 8 5
5
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar : Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :
EI EI
momen momen bidang
bidang Luas
Luas
C C
EI EI
L qL L qL
C
C ..22
8 8 1 ..1 3 3 2
2 22
EI EI qL qL
C
C 2424
3 3
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C s
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar :ebesar : CC’
CC’ = = C C ==
EI EI
bidang bidang luas
luas momen
momen Statis
Statis
EI EI
L L L qL L qL
C
C 1616
5 ..5 2 ..2 8 8 1 ..1 3 3 2
2 22
EI EI qL qL
C
C 384384 5 5 44
q q
L/2 L/2
B B A
A
2 2
8 8 1 1qLqL
BMD BMD
2 2 ..
8 8 5 5 LL
C C
C’
C’
CC
CC
6.3.2. Contoh 2 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Merata 6.3.2. Contoh 2 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Merata
Hitung defleksi maksimum (
Hitung defleksi maksimum ( B B) yang terjadi pada struktur cantilever yang) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.9, dengan menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.9, dengan metode luas bidang momen.
metode luas bidang momen.
Gambar 6.9. Cantilever yang menahan beban merata Gambar 6.9. Cantilever yang menahan beban merata Penyelesaian :
Penyelesaian :
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar M M A A = - = - 22 2 2 1 1qLqL
Letak titik berat ke titik B sebesar = Letak titik berat ke titik B sebesar = L L
4 4 3 3
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :sebesar :
EI EI
momen momen bidang
bidang Luas
Luas
B B
EI EI
qL qL L L
B B
2 2
2 2 1 ..1 3 3 1 1
EI EI qL qL
B B 66
3 3
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar ::
BB
BB’ ’ = = B B ==
EI EI
bidang bidang luas
luas momen momen Statis
Statis
q q
L L
BMD BMD
L 4 L 34 3
A
A BB
B’
B’ B B
2 2
2 12 1 qLqL
B B
EI EI
L L qL qL L L
B B
4 4 3 ..3 2 2 1 ..1 3 3 1
1 22
EI EI qL qL
B B 88
4 4
6.3.3. Contoh 3 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik 6.3.3. Contoh 3 Aplikasi pada Cantilever dengan Beban Titik
Hitung defleksi maksimum (
Hitung defleksi maksimum ( B B) yang terjadi pada struktur cantilever yang) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.10, dengan menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.10, dengan metode luas bidang momen.
metode luas bidang momen.
Gambar 6.10. Cantilever yang menahan beban titik Gambar 6.10. Cantilever yang menahan beban titik Penyelesaian :
Penyelesaian :
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar
Besarnya momen di A akibat beban merata sebesar M M A A = - = - PL PL Letak titik berat ke titik B sebesar =
Letak titik berat ke titik B sebesar = L L
3 3 2 2
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik B adalah sebesar :sebesar :
EI EI
momen momen bidang
bidang Luas
Luas
B B
EI EI
PL PL L L
B B
2 ..
2 1 1
EI EI PL PL
B B 22
2 2
P P
L L
BMD BMD L
3 L 23 2
A A
B B
B’
B’ B B
PL PL
B B
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di B sebesar ::
BB
BB’ ’ = = B B ==
EI EI
bidang bidang luas
luas momen momen Statis
Statis
EI EI
L L PL PL L L
B B
3 32 ..2 2 ..
21 1
EI EI PL PL
B B 33
3 3
6.3.4. Contoh 4 Aplikasi pada Balok
6.3.4. Contoh 4 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban TitikSederhana dengan Beban Titik Hitung defleksi maksimum (
Hitung defleksi maksimum ( C C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.11, dengan yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.11, dengan metode luas bidang momen.
metode luas bidang momen.
Gambar 6.11. Balok sederhana yang menahan beban tit Gambar 6.11. Balok sederhana yang menahan beban titikik
Penyelesaian : Penyelesaian :
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar
Besarnya momen di C akibat beban merata sebesar M M C C = = PL PL
4 4 1 1
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar =
Letak titik berat dari tumpuan A sebesar = L L L L 3 3 1 1 2 ..2 3 3 2
2
Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar : Berdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :
P P
L/2 L/2
B B A
A
PL 4 PL 4 1 1
BMD BMD
2 2 ..
3 3 2 2 LL
C C
C’
C’
CC
CC
EI EI
momen momen bidang
bidang Luas
Luas
C C
EI EI
PL PL L
L
C C
4 4 1 ..1 2 2 1 ..1 2 2 1 1
EI EI PL PL
C C 1616
2 2
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C
Berdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar :sebesar : CC’
CC’ = = C C ==
EI EI
bidang bidang luas
luas momen
momen Statis
Statis
EI EI
L PL L PL L
L
C C
2 2 3 3 2 ..2 4 4 1 ..1 2 2 1 ..1 2 2 1 1
EI PL EI
C PL
C 4848
3 3
6.4.6.4. Metode Luas Bidang Momen Sebagai BebanMetode Luas Bidang Momen Sebagai Beban
Dua metoda yang sudah dibahas di atas mempunyai kelemehana yang Dua metoda yang sudah dibahas di atas mempunyai kelemehana yang sama, yaitu apabila konstruksi dan
sama, yaitu apabila konstruksi dan pembebanan cukup komp pembebanan cukup kompleks. Metode ”Bidangleks. Metode ”Bidang Momen Sebagai Beban” ini pun dirasa lebih praktis dibanding dengan metode Momen Sebagai Beban” ini pun dirasa lebih praktis dibanding dengan metode yang dibahas se
yang dibahas sebelumnya.belumnya.
Metode ini pada hakekatnya berdasar sama dengan metode luas bidang Metode ini pada hakekatnya berdasar sama dengan metode luas bidang momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk membahas masalah ini kita ambil momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk membahas masalah ini kita ambil sebuah konstruksi seperti tergambar pada gambar 6.12, dengan beban titik P, sebuah konstruksi seperti tergambar pada gambar 6.12, dengan beban titik P, kemudian momen dianggap sebagai beban.
kemudian momen dianggap sebagai beban.
Gambar 6.12. Konstruksi Balok Sederhana dan Garis Elastika Gambar 6.12. Konstruksi Balok Sederhana dan Garis Elastika
Dari gambar 6.12, W
Dari gambar 6.12, W adalah luas bidang momen, adalah luas bidang momen, yang besarnyyang besarnyaa
2 .. 2
2..
2 1
1 PaPabb L
L Pab L Pab L W
W
Berdasarkan definisi II yang telah dibahas pada metode luas bidang momen, maka Berdasarkan definisi II yang telah dibahas pada metode luas bidang momen, maka didapat :
didapat :
11 ==
EI EI
B B terhadap terhadap momen
momen bidang
bidang luas
luas momen
momen Statis
Statis
EI b EI b L Pa L
Pabb 11 3
3 1 1 2
1 2
1
EI EI
b b L L Pa Pabb
6 6
1 1
a
a bb
3 3
x x
n n A
A BB
11
L L Pab Pab
BMD BMD
P P
k k ii
m m
2 2 Pab W Pab W
)) 3((
3 1
1 L L
bb AA
B B
L L
b b L L Pab R Pab
R A A
6 6
L L
a a L L Pa Pabb R
R B B
6 6
Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka berdasarkan pendekatan Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka berdasarkan pendekatan geometris akan diperoleh :
geometris akan diperoleh : L
A L
A..
1 1
atauatauL L
A A
1
1
EI EI R R EIL
EIL b b L L Pa
Pabb AA
A
A
66
Dengan cara yang sama akan dihasilkan : Dengan cara yang sama akan dihasilkan :
EI EI R R EIL
EIL a a L L Pa
Pabb BB
B
B
66
Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa :
Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa : Sudut tangen di A dan BSudut tangen di A dan B besarnya sama dengan reaksi perletakan dibagi EI.
besarnya sama dengan reaksi perletakan dibagi EI.
Berdasarkan gambar 6.12 sebenarnya yang akan dicari adalah defleksi Berdasarkan gambar 6.12 sebenarnya yang akan dicari adalah defleksi pada titik
pada titikC C sejauh x meter dari dukungan sejauh x meter dari dukungan A A(potongan(potongani-j-k i-j-k ) yaitu sebesar) yaitu sebesar Zc Zc..
Zc = ij = ik Zc = ij = ik – – jk jk
Berdasarkan geometri, maka besarnya
Berdasarkan geometri, maka besarnya ik =ik = A A . x . x, maka, maka x
EI x EI R ik R
ik
AASedangkan berdasarkan definisi II adalah statis momen luasan
Sedangkan berdasarkan definisi II adalah statis momen luasan A-m-n A-m-n terhadap terhadap bidang
bidangm-nm-n dibagi dibagi EI EI , maka, maka
jk = jk =
EI EI
x n x n m m A A luas
luas
..33Sehingga lendutan
Sehingga lendutan Z Z C C yang berjarakyang berjarak x x dari dari A A, adalah :, adalah : Zc = ij = ik
Zc = ij = ik – – jk jk
11 ..33xx Amn Amn luasluas x
x R EI R Z EI
Z C C A A (6.8)(6.8)
Berdasarkan persamaan 6.8 didapat definisi III sebagai berikut : Berdasarkan persamaan 6.8 didapat definisi III sebagai berikut : Definisi III : Lendutan
Definisi III : Lendutan disuatu disuatu titik titik didalam didalam suatu suatu bentangan bentangan balok balok sedrhanasedrhana besarnya sama dengan momen di titik tersebut dibagi dengan EI besarnya sama dengan momen di titik tersebut dibagi dengan EI apabila bidang momen sebagai beban.
apabila bidang momen sebagai beban.
6.4.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok
6.4.1. Contoh 1 Aplikasi pada Balok Sederhana dengan Beban MeratSederhana dengan Beban Merataa Hitung defleksi maksimum (
Hitung defleksi maksimum ( C C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13, yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13, dengan metode luas bidang momen sebagai beban.
dengan metode luas bidang momen sebagai beban.
Gambar 6.13. Balok sederhana yang menahan beban merata Gambar 6.13. Balok sederhana yang menahan beban merata
Penyelesaian : Penyelesaian :
Langkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momen Langkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momen terlebih dahulu, hasilnya sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b. Hasil terlebih dahulu, hasilnya sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b. Hasil momen tersebut kemudian dijadikan beban, sebagaimana diperlihatkan pada momen tersebut kemudian dijadikan beban, sebagaimana diperlihatkan pada gambar 6.13.c. Kemudian dicari atau dihitung besarnya reakasi dan momennya.
gambar 6.13.c. Kemudian dicari atau dihitung besarnya reakasi dan momennya.
Besarnya
Besarnya A A adalah sebesar adalah sebesar R R A A akibat beban momen dibagi dengan akibat beban momen dibagi dengan EI EI , sedangkan, sedangkan
B B adalah sebesar adalah sebesar R R B B akibat beban momen dibagi dengan akibat beban momen dibagi dengan EI EI , dan besarnya, dan besarnya maxmax adalah sebesar
adalah sebesar M M C C akibat beban momen dibagi dengan akibat beban momen dibagi dengan EI EI . Untuk lebih jelasnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penyelesaian dibawah ini.
dapat dilihat pada penyelesaian dibawah ini.
q q
B B A
A
BMD BMD
L/2 L/2
2 2
8 8 1 1qLqL C C
C’
C’
CC
CC
2 2 ..
8 8 5 5 LL
2 2
8 8 1 1qLqL A
A BB
(a) (a)
(c) (c) (b) (b)
Berdasarkan gambar 6.13.a. didapat momen sebagaimana digambarkan pada Berdasarkan gambar 6.13.a. didapat momen sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.b, yang besarnya sebesar
gambar 6.13.b, yang besarnya sebesar M M C C = = 22
8 8 1 1qLqL
Dari bidang momen yang didapat pada gambar 6.13.b dibalik dan dijadikan beban Dari bidang momen yang didapat pada gambar 6.13.b dibalik dan dijadikan beban sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.c. Dari gambar 6.13.c didapat reaksi sebagaimana digambarkan pada gambar 6.13.c. Dari gambar 6.13.c didapat reaksi yang besarnya :
yang besarnya :
3 3 2
2
24 24 1 1 2
2 3 3 2 2 8
8 1
1 L L qLqL qL
qL R
R R
R A A B B
(b