49
IV. DEFLEKSI BALOK ELASTIS:
METODE INTEGRASI GANDA
4.1. Defleksi Balok
Sumbu sebuah balok akan berdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya semula apabila berada di bawah pengaruh gaya terpakai. Defleksi Balok adalah lendutan balok dari posisi awal tanpa pembebanan. Defleksi (Lendutan) diukur dari permukaan netral awal ke permukaan netral setelah balok mengalami deformasi.
Karena balok biasanya horizontal, maka defleksi merupakan penyimpangan vertikal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Defleksi pada Balok Sederhana
50
Besarnya defleksi ditunjukan oleh pergeseran jarak y. Besarnya defleksi y pada setiap nilai x sepanjang balok disebut persamaan kurva defleksi balok
Beberapa metode yang digunakan untuk mencari lendutan pada balok adalah:
1. Metode Integrasi Ganda.
2. Metode Momen Area 3. Meode Fungsi Singularitas 4. Metode Energi Elastis
4.2. Penurunan Rumus pada Metode Integrasi Ganda
a. Persamaan Kelengkungan Momen
) 1 ...(
...
1
R
R
Keterangan: R = Jari – jari kelengkungan balok E & I Konstan sepanjang balok M & R adalah fungsi dari x
b. Rumus Eksak untuk kelengkungan
) 2 ....(
...
1 1 1
2 2
2 3 2 2 2
dx y d R
dx dy dx
y d R
dx
dy Slope kurva pada setiap titik
Untuk lendutan balok yang kecil, dx
dy adalah kecil maka diabaikan.
51 c. Jadi untuk lendutan yang kecil [dari persamaan (1) dan (2) ] menjadi
) 3 ...(
...
2 2
2 2
dx y d
dx y d
Keterangan: E = Modulus Elastisitas I = Momen inersia M = Momen Lentur
y = Jarak vertikal (lendutan Balok) x = Jarak sepanjang Balok
Momen lentur yang telah didapatkan dari setiap segmen balok diantara titik- titik pembebanan dimana terjadi perubahan pembebanan, kemudian masing-masing akan diintegralkan untuk setiap segmen balok. Untuk menghitung konstanta integrasi dibutuhkan berbagai syarat batas dan kondisi kontinuitas.
Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap, diperlihatkan pada Gambar 4.2.
52
Gambar 4.2. Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap
53
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya
1. Tentukan defleksi maksimum dari balok berikut.
Jawab:
1
. ...
...
...
...
2 2
Px dx PL
y EI d
Px PL M
Integrasi I
2 . ...
...
...
2 1
2
Px C dx PLx
EI dy
Integrasi II
3 ..
...
...
6
2 1 2
3 2
C x Px C
EIyPLx
Dari persamaan (3) x = 0, y = 0 C2 0
Dari persamaan (2) x = 0, dxdy 0 C1 0
2 Px2
dx PLx
EI dy
Persamaan defleksi
6 2
3
2 Px
EIyPLx
ymaks pada x = L
EI y PL
PL
EIy PL maks
3 6
2
3 3
3
54
2. Jika pada soal no.1, panjang balok 3 m dan diberi beban 50 kN, ketebalan balok baja ini 450 mm, memiliki second moment pada axis 300 x 106 mm4 dan E = 200 GN/m2. Tentukan:
a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok
b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok
Jawab:
a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok
mm
EI
PL 7.5
10 300 10 200 3
10 3000 10
50
3 9 6
6 3 3
3
max
b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok Mmaks terjadi pada dinding penyangga
Mmaks = PL = (50 x 103)(3) = 150 kN
I MPa Mc
maks 112.5
10 300
225 . 0 10 150
6
3
3. Carilah persamaan defleksi dari kurva seperti pada gambar!
Jawab:
L M R M
R R F
L M R M
L R M M M
L R
L y
R R
o
2 1
2 1 2
1
0
0
1 ...
...
...
...
...
...
2 1 2
x R dx M
y
EI d L
55 Integral I
2
...
...
...
...
...
2 1
2
1 x C
R x dx M
EI dy L
Integral II
3 ...
...
...
...
3 2
2 1 2
3 2
1 x R x C x C
M
EIy L
Dari persamaan (3) x = 0, y = 0 C2 0
x = L, y = 0
6 3
2 1
1
L M L C M
4
. ...
...
6 3
3 2 2
2 1
3 2
1 x R x M L M L x
M
EIy L
M1 = 0
Persamaan (4) menjadi ...... 5
6 6
2 3
2 M Lx
L x EIy M
dan ............... 6 6
2
2 2
2 M L
L x M dx
EI dy
Nilai defleksi maksimum terjadi ketika slope pada persamaan (6) = 0
dengan nilai 4
3
L substitusikan x
27 3 6 3
6 3
2 2 2
3
2 L M L L M L
L
EIymaks M
56
4. Carilah persamaan defleksi pada balok kantilever dengan pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab:
Lw w x w w L x
x
x
Momen pada jarak x:
x Jarak
Lwx x x
w
Px x
3 1
2 1 2
1
1 4
3 2
2
3
24 1
6 1
6 1 3
1 2
1
C Lx
w dx
EI dy
L x w dx
y EI d
L x x w
Lwx M x
Pada x = L, 1 3
24
0 C 1 wL
dx
dy
2 3 5
3 4
24 1 120
1
24 1 24
1
C x wL L x
EIy w
wL L x
w dx
EI dy
57
Pada x = L, 2 4
30
0 C 1 wL
y
4 3
5
30 1 24
1 120
1 x wL x wL
L
EIy w
5. Tentukan persamaan defleksi dari balok kantilever di bawah ini.
Jawab:
M = - M1
1 1 2 1 2
C x dx M
EI dy dx M
y EI d
pada x = 0, 0C1 0 dx
dy
2 2
2 1
1M x C EIy
pada x = 0, y0C2 0
2
2 1
1M x EIy
58
6. Carilah defleksi maksimum pada balok berikut.
Jawab:
Momen lentur pada bagian sepanjang x
1
3 2 2
2
2 2
1
6 2
2
C x w L dx EI dy
x w L dx
y EI d
x w L x
L x L w M
3 1
0 0 w6 L
dx C dy
x
4 3 2
3 3
6 24
6 6
C x wL x w L EIy
wL x w L dx EI dy
x = 0, y = 0 2 4
24w L C
4 3 4
24 6
24 w L
x wL x w L
EIy
Defleksi maksimum pada x = L
8 24
6
4 4
4 wL wL
EIymaks wL
Jadi
EI wL
maks 8
4
59 7. Tentukan defleksi maksimum yang terjadi pada balok berikut.
Jawab:
Px
M 2 untuk 0 < x < L/2
dx Px y EI d
2 1
2 2
untuk 0 < x < L/2
1 2
4
1Px C dx
EI dy
Pada 1 2
16 0 1
2, C PL
dx dy
x L
2 2 3
2 2
16 1 12
1
16 1 4
1
C x PL Px
EIy
PL dx Px
EI dy
Pada x = 0, y = 0 C2 = 0
x PL Px
EIy 3 2
16 1 12
1
ymaks terjadi pada x = L/2
48 96
2 32 96
16 2 2 1 12
1
3 3
3 3
3 2
PL PL
PL EIy PL
L PL L
P EIy
maks maks
Jadi
EI PL
maks 48
3
60
8. Balok seperti pada gambar berukuran 50 x 100 mm dan beban 20 kN dengan a
= 1 m dan b = 0.5 m, carilah defleksi maksimum yang terjadi denga E = 200 GN/m2.
Jawab:
3 /3
6
2 2 2
2
3 L b x x L b
L x PbL dx
EI dy
subsitusikan:
mm
y
mm I
b L L
EIy Pb
45 . 10 1
200 10 167 . 4 10 5 . 1 27
10 3 10
5 . 0 10
5 . 1 10 5 . 0 10 20
10 167 . 4 12 / 100 50
27 3
9 6
3
2 6 / 2 3 2 3
3 3
3
max
4 3 6
3 / 2 2 2 max
9. Carilah defleksi maksimum dari kurva seperti gambar yang mendapatkan pembebanan seragam yaitu 1.5 kN/m1, a = 1 m dan b = 4 m dan ukurannya 75 x 100 mm dan E = 200 GN/m2.
61 Jawab:
12 4 5 10 5 . 1 4
24 1 5 10 5 . 1 4
4
1 5
10 5 . 6 1 / 10 5 . 1
12 24
4 0 6
2 3 4
4 2 3
2 3 3
3
2 4
2 4 2
3
x x
b wL b
a L w b
a x wL wx
saat x = 0 m maka
3
3 4 3 4
4 3 3 3
0 6 3
9
10 4 24
10 1 10
5 10 5 . 1 24
10 1 10 5 . 100 1
12 75 10 1 10
200
yx
. 25 . 2
12 / 10 4 10 1 10 5 10 5 . 1
0
3 2 3
3 3
mm yx
maka max
MPa
I
Mc 21
1 . 0 075 . 12 0
1
05 . 0 10 64 . 2
3 3
max
10. Sebuah balok kantilever seperti pada gambar, terdiri dari bentuk segitiga yang memiliki ketebalan konstan, carilah defleksi yang terjadi.
62
Jawab:
Dari persamaan Bernaulli
3 2
2
2 2 3 2
2
12 12
Ebh PL dx
y d
x L dx P
y h d L
x L E b
dx M y EI d
x L P Px PL M
L x b L U
Integral I
3 1
12 x C
Ebh PL dx
dy
Integrasi II
x = 0, 0C1 0 dx
dy
3 2
6 2
Ebh C y PLx
x = 0, y = 0 C2 = 0
3
6 2
Ebh y PLx
ymaks pada saat x = L
3
6 3
Ebh ymaks PL
63
Latihan Soal
1. Hitunglah defleksi maksimum pada balok di bawah ini dengan menggunakan metoda integrasi ganda! Gunakan E = 200 GN/m2 dan ukuran penampang 50 mm x 100 mm.
2. Hitunglah defleksi maksimum pada ujung bebas balok kantiliver akibat beban pada ujungnya dengan menggunakan metode Integrasi Ganda! Gunakan E = 200 GN/m2 dan ukuran penampang 60 mm x 80 mm.
3. Tentukan defleksi maksimum pada balok dengan pembebanan seperti pada gambar berikut. Balok dari baja dengan E = 300 Gpa dan penampang empat persegi panjang dengan ukuran 15 x 30 mm dan posisi tegak. Gunakan metode Integrasi Ganda!
64
4. Tentukan defleksi maksimum dan dimana terjadi (jarak x dari titik asal O) dari balok dengan pembebanan seperti pada Gambar di bawah ini. Ukuran penampang dan bahan balok sama seperti soal nomor 3. Gunakan metoda Integrasi Ganda!
5. Sebuah poros baja bulat pejal dengan panjang antara pusat bantalan penumpu 2 m dan E = 300 GPa, harus sanggup menahan gaya dorong sebesar 6 kN tegak lurus ke poros. Pada sebarang titik di antara bantalan dimana tegangan maksimum tidak melebihi 65 MPa. Dengan menggunakan metode integrasi ganda hitunglah:
a) Defleksi maksimum di tengah poros b) Diameter poros yang harus digunakan
Tak ada orang yang tahu, bahkan Anda pun tidak tahu, akan sejauh dan setinggi apa Anda bisa terbang,
Until You spread Your Wings.
(Anonim)
