LAPORAN PROJEK STOKASTIK

(1)

LAPORAN CASE METHOD PENGANTAR PROSES STOKASTIK PENGAMATAN CUACA

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Proses Stokastik Dosen Pengampu : Andreas Rony Wijaya, S.Mat., M.Sc.

Disusun Oleh :

Angwin Meilisa Aulia (M0723012) Arinta Abiaksa Pramadian (M0723016) Kevin Surya Prayoga Wibowo (M0723048) Muhammad Rizqi Abroori (M0723060)

PROGRAM STUDI STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2025

(2)

A. Pendahuluan

Cuaca sangat mempengaruhi manusia dalam melaksanakan berbagai maca aktivitas. Salah satu unsur yang mempengaruhi cuaca dan iklim adalah suhu udara, kelembaban, tekanan udara, kecepatan angin dan curah hujan. Sehingga melakukan peramalan cuaca harian menjadi bagian penting dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam mengantisipasi dan mengelola dampak dari perubahan cuaca yang mempengaruhi berbagai sektor.

Pengamatan cuaca di wilayah Kecamatan Jebres tepatnya sekitar Universitas Sebelas Maret (UNS) untuk mendapatkan data cuaca yang terjadi, setelah mendapatkan data kemudian akan dilakukan proses perhitungan untuk bisa meramalkan cuaca satu hari hingga beberapa hari kedepannya.

Dalam konteks tersebut, perhitungan yang digunakan menggunakan metode Rantai Markov. Metode Rantai Markov adalah salah satu pendekatan statistik yang telah banyak digunakan dalam berbagai bidang, termasuk peramalan cuaca.

Sifat Markov dalam pendekatan ini menunjukkan bahwa peramalan cuaca di masa depan hanya tergantung pada cuaca saat ini, dan tidak bergantung pada keadaan cuaca pada hari sebelumnya.

B. Pendefinisian Kasus

Pengamatan cuaca dilakukan selama bulan maret sampai sebelum lebaran tepatnya mulai tanggal 26 februari hingga 26 april. Pengamatan cuaca dibagi menjadi 4 waktu yaitu Pagi (6–10), Siang (10–14), Sore (14–18), Malam (18–

22). Kelompok kami mendapatkan bagian untuk di pagi hari yaitu pada jam 6- 10. Kami mencatat cuaca dengan kategori dan urutan terang, mendung, gerimis, hujan, dan hujan badai. Maksud dari urutan disini adalah apabila terjadi terang kemudian gerimis lalu hujan kemudian terang kembali maka yang dicatat adalah hujan begitu juga seterusnya.

Proses stokastik di definisikan sebagai berikut

1. Ruang State S : {Terang, Gerimis, Mendung, Hujan, Hujan Badai}

2. Waktu : Diskrit (Hari ke-1 sampai hari ke-31)

3. Jenis proses: Markov chain (rantai Markov) waktu diskrit, ruang state hingga (finite), homogen (jika probabilitas transisinya tetap setiap waktu).

C. Rekap Data

(3)

Berikut merupakan hasil dari rekap data cuaca di sekitar kampus UNS yang sudah dikumpulkan selama 31 hari, dimulai dari tanggal 26 Februari 2025 – 28 Maret 2025.

Tanggal Pengamatan

Kondisi Cuaca

Terang Mendung Gerimis Hujan Hujan Badai

26 ✓ - - - -

27 ✓ - - - -

28 ✓ - - - -

1 ✓ - - - -

2 ✓ - - - -

3 - ✓ - - -

4 ✓ - - - -

5 ✓ - - - -

6 - ✓ - - -

7 ✓ - - - -

8 ✓ - - - -

9 ✓ - - - -

10 ✓ - - - -

11 ✓ - - - -

12 ✓ - - - -

13 ✓ - - - -

14 ✓ - - - -

15 ✓ - - - -

16 ✓ - - - -

17 ✓ - - - -

18 - ✓ - - -

19 ✓ - - - -

20 ✓ - - - -

21 ✓ - - - -

22 - ✓ - - -

23 ✓ - - - -

(4)

24 - ✓ - - -

25 ✓ - - - -

26 ✓ - - - -

27 ✓ - - - -

28 ✓ - - - -

Dari hasil pengamatan tersebut didapatkan probabilitas transisinya adalah sebagai berikut :

Probabilitas Transisi Terang Mendung

Terang 21 5

Mendung 5 0

Dari pengamatan yang dilakukan selama 31 hari tersebut didapatkan hasil 5 hari cuaca mendung dan 26 hari cuaca terang.

D. Pembahasan

1. Matriks Probabilitas Transisi

Himpunan State yang mungkin terjadi dalam pengamatan cuaca, S{Cerah, Mendung, Gerimis, Hujan, Hujan Badai}

Dimana:

n: indeks yang menunjukkan hari ke – n

Xn merupakan realisasi dari cuaca pada pagi hari ke – n

𝑥_𝑛 = {

𝐶𝑒𝑟𝑎ℎ ∶ 0 𝑀𝑒𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 ∶ 1

𝐺𝑒𝑟𝑖𝑚𝑖𝑠 ∶ 2 𝐻𝑢𝑗𝑎𝑛 ∶ 3 𝐻𝑢𝑗𝑎𝑛 𝐵𝑎𝑑𝑎𝑖 ∶ 4

Waktu pengamatan setiap pagi mulai jam 06 – 10, selama 31 hari Jenis Proses Stokastik Markov chain (rantai Markov) waktu diskrit

Cuaca pada suatu hari hanya dipengaruhi oleh cuaca pada hari sebelumnya 𝑃𝑟{𝑋_𝑛+1 = 𝑗|𝑋_𝑛 = 𝑖} = 𝑃_𝑖𝑗

(5)

Matriks Probabilitas Transisi

𝑃 = 0 1

0

1 [0,8 0,21 0 ] Diagram

Gambar 1. Diagram Transisi dengan software R

Gambar 2. Diagram Transisi Kondisi ketika Cerah :

26 31 Kondisi ketika Mendung :

5 31 2. Probabilitas Transisi n Langkah

(6)

Peluang transisi n langkah dari rantai markov memenuhi (chapman- kolmogorov equations) :

Yang merupakan elemen dari :

Dari matriks probabilitas transisi yang sudah diketahui sebelumnya, dicari untuk probabilitas transisi n langkahnya.

a. Untuk n = 2

𝑃² = 𝑃²⁻¹ 𝑥 𝑃

𝑃² = [0,8 0,21 0 ] [0,8 0,21 0 ] = [0,84 0,16 0,8 0,2 ] 𝑃² = [0,84 0,16

0,8 0,2 ] Intepretasi :

• Jika hari ini terang, maka peluang cuaca terang dua hari lagi adalah 0,84.

• Jika hari ini terang, maka peluang cuaca mendung dua hari lagi adalah 0,16.

• Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca mendung dua hari lagi adalah 0,2.

• Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca terang dua hari lagi adalah 0,8.

b. Untuk n = 3

𝑃³ = 𝑃³⁻¹ 𝑥 𝑃 𝑃³ = [0,84 0,16

0,8 0,2 ] [0,8 0,2

1 0 ] = [0,832 0,168 0,84 0,16 ] 𝑃² = [0,832 0,168

0,84 0,16 ] Intepretasi :

• Jika hari ini terang, maka peluang cuaca terang tiga hari lagi adalah 0,832.

(7)

• Jika hari ini terang, maka peluang cuaca mendung tiga hari lagi adalah 0,168.

• Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca mendung tiga hari lagi adalah 0,16

• Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca terang tiga hari lagi adalah 0,84.

3. Probabilitas Pada State k Pada Waktu n Diketahui rumus umumnya :

𝑷_𝒌^𝒏 = 𝑷(𝑿_𝒏 = 𝒌) = ∑ 𝑷_𝒋𝑷_𝒋𝒌^𝒏

𝟏

𝒋=𝟎

a. Probabilitas pada state 0 (terang) terjadi pada hari ke-2 𝑃(𝑋₂ = 0) = 𝑃₀ . 𝑃₀₀² + 𝑃₁ . 𝑃₁₀² 𝑃(𝑋₂ = 0) = 1 . 0,84 + 0. 0,8 = 0,84 Intepretasi :

Jika hari ini terang, maka peluang cuaca terang dua hari lagi adalah 0,84

𝑃(𝑋₂ = 1) = 𝑃₀ . 𝑃₀₁² + 𝑃₁ . 𝑃₁₁² 𝑃(𝑋₂ = 1) = 1 . 0,16 + 0. 0,2 = 0,16 Intepretasi :

Jika hari ini terang, maka peluang cuaca mendung dua hari lagi adalah 0,16.

b. Probabilitas pada state 1 (mendung) terjadi pada hari ke-2 𝑃(𝑋₂ = 0) = 𝑃₀ . 𝑃₀₀² + 𝑃₁ . 𝑃₁₀²

𝑃(𝑋₂ = 0) = 0 . 0,84 + 1. 0,8 = 0,8 Intepretasi :

Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca terang dua hari lagi adalah 0,8.

𝑃(𝑋₂ = 1) = 𝑃₀ . 𝑃₀₁² + 𝑃₁ . 𝑃₁₁² 𝑃(𝑋₂ = 1) = 0 . 0,16 + 1. 0,2 = 0,2 Intepretasi :

Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca mendung dua hari lagi adalah 0,2.

(8)

c. Probabilitas pada state 0 (cerah) terjadi pada hari ke-3 𝑃(𝑋₃ = 0) = 𝑃₀ . 𝑃₀₀³ + 𝑃₁ . 𝑃₁₀³

𝑃(𝑋₃ = 0) = 1 . 0,832 + 0. 0,84 = 0,832 Intpretasi :

Jika hari ini terang, maka peluang cuaca terang tiga hari lagi adalah 0,832.

𝑃(𝑋₃ = 1) = 𝑃₀ . 𝑃₀₁³ + 𝑃₁ . 𝑃₁₁³ 𝑃(𝑋₃ = 1) = 1 . 0,168 + 0. 0,84 = 0,168 Intepretasi :

Jika hari ini terang, maka peluang cuaca mendung tiga hari lagi adalah 0,168.

d. Probabilitas pada state 1 (mendung) terjadi pada hari ke-3 𝑃(𝑋₃ = 0) = 𝑃₀ . 𝑃₀₀³ + 𝑃₁ . 𝑃₁₀³

𝑃(𝑋₃ = 0) = 0 . 0,832 + 1. 0,84 = 0,84 Intepretasi :

Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca terang tiga hari lagi adalah 0,84.

𝑃(𝑋₃ = 1) = 𝑃₀ . 𝑃₀₁³ + 𝑃₁ . 𝑃₁₁³ 𝑃(𝑋₃ = 1) = 0. 0,84 + 1. 0,16 = 0,16 Intepretasi :

Jika hari ini mendung, maka peluang cuaca mendung tiga hari lagi adalah 0,16.

4. State Communicate, Absorbing dan Accesible

Definisi: Suatu keadaan i dikatakan sebagai keadaan menyerap (absorbing state) jika 𝑝_𝑖𝑖 = 1 atau, secara ekuivalen, 𝑝_𝑖𝑗 = 0 untuk setiap j≠ij.

Definisi: Keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika 𝑝_𝑖𝑗^(𝑛) > 0 untuk beberapa n≥0. Ini ditulis sebagai i→j, artinya i mengarah ke j atau j dapat diakses dari i.

Perhatikan bahwa jika i→j dan j→k, maka i→k.

Definisi: Keadaan i dan j berkomunikasi jika i→j dan j→i. Ini ditulis sebagai i↔j.

Perhatikan bahwa i↔i untuk semua i, jika i↔j maka j↔i, dan jika i↔j dan j↔k maka i↔k.

(9)

Dari grafik kita dapat menyimpulkan hubungannya yaitu a. Accesible

i. Keadaan 1 dapat dijangkau dari keadaan 0 melalui transisi dengan probabilitas 0,20.

ii. Keadaan 0 dapat dijangkau dari keadaan 1 melalui transisi dengan probabilitas 1,00. Jadi, semua keadaan dalam diagram ini dapat dijangkau dari keadaan lainnya.

b. Comunicate

i. Keadaan 0 dan keadaan 1 berkomunikasi karena keduanya dapat dijangkau satu sama lain.

c. Absorbing

i. Keadaan 0 tidak absorbing karena ada transisi yang dapat kembali ke keadaan 0 dengan probabilitas 0,80.

ii. Keadaan 1 juga tidak absorbing karena tidak ada transisi yang kembali ke keadaan 1 dengan probabilitas 1,00.

5. Dekomposisi dari ruang state dan klasifikasinya

Dekomposisi ruang state berarti membagi ruang state ke dalam beberapa kelompok (disebut komponen komunikasi) berdasarkan hubungan antar-state, yaitu apakah mereka saling bisa dicapai dan berkomunikasi.

Karena pada kasus pagi hanya terdapat 2 state dan saling berkomunikasi maka tidak perlu dan tidak bisa dilakukan dekomposisi dari ruang state lebih jauh lagi.

6. Irreducible atau Reducible

a. Irreducible (Tak tereduksi)

Suatu rantai Markov disebut irreducible jika setiap state dapat dicapai dari setiap state lainnya dengan probabilitas positif dalam sejumlah langkah hingga. Dalam hal ini, seluruh ruang state membentuk satu komponen komunikasi yang saling terhubung.

(10)

b. Reducible (Tereduksi)

Suatu rantai Markov dikatakan reducible apabila terdapat minimal satu state yang tidak dapat dicapai dari state lainnya dalam sistem.

Dengan kata lain, ruang state dapat dibagi menjadi dua atau lebih subset disjoin (tidak saling beririsan) yang tidak saling berkomunikasi.

Karena semua state pada rantai markov Pengamatan cuaca kelompok kami saling communicate (semua state dapat dicapai dari manapun) maka dapat disimpulkan jika rantai markov ini bersifat Irreducible.

7. Recurrent dan Transient

Misalkan 𝑓_𝑖 adalah probabilitas suatu proses yang dimulai pada state 𝑖 akan kembali ke state 𝑖 dalam satu atau beberapa langkah. State i dikatakan recurrent jika 𝑓_𝑖 = 1 dan transient jika 𝑓_𝑖 < 1.

Berdasarkan pengamatan terhadap matriks probabilitas transisi, diketahui bahwa baik state 0 (cerah) maupun state 1 (mendung) merupakan recurrent state. State cerah memungkinkan kembali ke dirinya sendiri dalam satu langkah. Sementara itu, meskipun state mendung tidak memiliki probabilitas untuk tetap di dirinya sendiri dengan satu langkah, namun masih terdapat jalur transisi kembali ke state mendung melalui cerah, seperti pada lintasan mendung → cerah → mendung. Oleh karena itu, kedua state dalam sistem ini bersifat recurrent.

Penyelesaian menggunakan R :

recurrentStates(mc) #state yang recurrent atau state i yang kembali

#menuju state i setelah n langkah transientStates(mc)

Output:

recurrentClasses(weatherMC) [1]Terang" "Mendung"

(11)

transientStates(weatherMC) character(0)

8. Distribusi Stasioner

Distribusi stasioner (stationary distribution) adalah sebuah vektor probabilitas yang tidak berubah setelah dikalikan dengan matriks transisi dari rantai Markov. Artinya, jika sistem Markov dimulai dari distribusi ini, maka distribusi probabilitas dari state akan tetap sama di setiap langkah ke depan. Agar distribusi stasioner pasti ada dan unik, rantai Markov harus memenuhi dua syarat penting:

1. Irreducible: Semua state saling terhubung, artinya dari setiap state bisa mencapai state lainnya.

2. Aperiodik: Tidak ada pola siklus tetap dalam perpindahan state, sehingga tidak terjebak dalam pola berulang.

Jika kedua syarat ini tidak dipenuhi, maka bisa saja:

• Terdapat lebih dari satu distribusi stasioner, atau

• Rantai Markov tidak konvergen ke distribusi stasioner (bersifat tidak stabil).

Untuk mencari dist stasioner mengggunakan persamaan berikut 𝜋 = 𝑃𝜋

𝜋₀ + 𝜋₁ = 1 [𝜋₀, 𝜋₁] transisi = [𝜋₀, 𝜋₁] Didapatkan SPL sebagai berikut

1. 0,8𝜋₀ + 𝜋₁= 𝜋₀ 2. 0,2𝜋₀+ 0𝜋₁= 𝜋₁ Sehingga diperoleh nilai dari distribusi Stasioner yaitu

𝜋₀ = ⁵₆ dan 𝜋₁ = ¹₆ 𝜋 = [𝜋₀ , 𝜋₁] = [5

6 , 1 6]

(12)