lecture 13 z scores (1)

(1)

Dalam distribusi normal standar

• rata-rata = median = modus

Distribusi normal baku adalah jenis distribusi normal khusus untuk variabel acak kontinu Z dengan dimensi yang sama. Distribusi inilah yang menjadi dasar konversi skor-z kita.

Selama kita memiliki nilai rata-rata dan simpangan baku, skor z memungkinkan kita membandingkan skor individual pada satu distribusi dengan rata-rata = 0 dan setiap simpangan baku dinyatakan sebagai +1, -1, dst.

Skor z +1 = 1 SD di atas rata-rata. Skor z -1 = 1 SD di bawah rata-rata. Skor z 0 = skor berada tepat di atas rata-rata.

Dalam SND, kami juga memiliki rumus untuk mengonversi "skor mentah" apa pun menjadi skor az. Rumus skor z yang paling umum adalah untuk data populasi di bawah ini, tetapi kami memiliki rumus yang lebih umum.

• sd=1 dan mean=0

Kuliah 13: Skor Z

Skor Z Skor Z

sangat bagus. Skor Z memungkinkan kita menghindari kerumitan menghafal aturan aljabar. Di akhir kuliah 12 "Distribusi Normal", kami mengambil 4 skor berbeda dan menempatkannya pada satu distribusi agar dapat dibandingkan. Prosesnya cukup

melelahkan. Untungnya, kami memiliki rumus yang memungkinkan kami membandingkan skor dengan cepat menggunakan mean dan SD yang berbeda...

13_zscores.pdf

Distribusi Normal Standar (SND) atau “kurva normal”

Ingat dari bacaan, kuliah 12 “distribusi normal,” bahwa distribusi normal standar adalah sama dengan kurva normal.

dengan =

S

x ÿ µ

(2)

ÿ=

s=

= simpangan baku populasi

= rata-rata populasi

= simpangan baku sampel

= rata-rata sampel

µ

(x ÿ x) ÿ 2

(x ÿ ) ÿ 2

n ÿ1

N

dengan =

x ÿ x S

Nilai z sebesar 1 sama dengan satu SD. Nilai z sebesar 0,5 sama dengan ½ SD, dan nilai z sebesar 0,1 sama dengan 1/10 SD.

dari SD dan seterusnya dan seterusnya. Skor z negatif menunjukkan bahwa item tersebut “di bawah” rata-rata dan

Skor z positif menunjukkan bahwa skor berada di bawah rata-rata. Skor z 0 menunjukkan bahwa skor berada tepat di atas rata-rata.

) dan deviasi standar populasi (ÿ) adalah sebagai berikut:

) dan simpangan baku populasi (s) adalah sebagai berikut:

rumus untuk rata-rata sampel ( rumus untuk rata-rata populasi (

berarti.

=

ÿx

µ ÿx

N

x =

N

dengan =

x ÿ µ S

Data sampel (kurang umum)

Cara menafsirkan skor z

Data populasi (paling umum) Rumus skor Z

Jadi, skor az +1 = 1 SD di atas rata-rata. Skor z -1 = 1 SD di bawah rata-rata. Skor z

(3)

sumber: www.psychometric-success.com/images/PT0502.gif

Berlatih menghitung beberapa skor-z

Garis skor-t adalah dimensi “x” atau “skor mentah” di mana mean = 50 dan SD = 10. Pada z dimensi mean = 0 dan setiap deviasi standar dinyatakan sebagai satuan satu. Itulah sebabnya pada gambar di bawah ini z-score 0 sama dengan mean untuk garis t-score 50. Jadi anggaplah

Perhatikan gambar di bawah ini. Perhatikan bagaimana skor-z dan "skor mentah" dapat berada pada dimensi yang sama.

Skor z +1 (1 SD di atas rata-rata) setara dengan skor mentah (skor t) 60. Pada skor mentah

dimensi meannya adalah 50 dan setiap deviasi standarnya adalah 10. Jadi mean +1 SD = 50 + 10 = 60.

Berikut ini beberapa data untuk berlatih melakukan beberapa z skor.

sumber: http://www.sci.sdsu.edu/class/psychology/psy271/Weeks/psy271week06.htm

(4)

x ÿ

S

µ S

µ

dengan = dengan =

x ÿ

x ÿ µ

dengan =

S

= 10 10 10

€

= 0

€

=

€

S S

€

S

10

€

40 ÿ 50

€

60 ÿ 50 10 50 ÿ 50

10

€

µ µ

µ

X=60

= 10

= 0 (lihat bagaimana skor-z 0 jatuh tepat pada nilai rata-rata?)

=1 (lihat bagaimana skor-z +1 adalah 1 SD di atas rata-rata?)

= 10

=50

=50 X=50

X=40

=50

= 10

berarti?)

= ÿ1 (lihat bagaimana z-score -1 adalah 1 SD di bawah

€

10

€

= -10

skor z dan probabilitas

€

Setelah Anda memiliki skor az, Anda dapat mencarinya di tabel dan mencari area antara skor z dan rerata di bawah

kurva distribusi normal standar (kurva normal). Lihat buku kami. Beberapa tabel skor z memberikan area di bawah

kurva antara rerata dan skor z. Pada gambar di bawah, 0,3413 atau 34,13% dari keseluruhan kurva terletak di

antara rerata dan skor az +1.

(5)

Artinya, 34,13% kurva berada di area tersebut. Kita dapat menggunakan luas area di bawah kurva normal.

Bayangkan ada sebuah tes yang skornya “berdistribusi normal.” Misalnya, ada 34,13%

untuk membuat pernyataan probabilitas.

Seperti yang Anda lihat pada gambar di bawah, area antara z=+1 dan rata-rata (z=0)= 0,3413 atau 34,13%.

[z=+1].

peluang bahwa skor yang dipilih secara acak akan berada di antara rata-rata [z=0] dan 1 sd di atas rata-rata

Beberapa tabel z memberikan luas di bawah kurva dari skor-z hingga ke ekor kurva. Pada gambar di bawah, luas dari skor 1,2 hingga ke ekor kurva adalah 0,1151 atau 11,51% dari seluruh luas di bawah kurva.

sumber:

http://genome.imim.es/~eeyras/courses/MasterUPF/SplicingRegulation/

Luas di bawah kurva normal juga merupakan probabilitas!

(6)

antara mean dan z= -1 juga 34,13%.

Jadi kebalikan dari contoh tes di atas juga benar. Bayangkan ada tes di mana skornya

antara a rata-rata dan z=+1 adalah luas yang sama dengan a antara rata-rata dan z=-1. Luas tersebut Saya tidak memiliki gambar z-score negatif, tetapi karena kurva normal simetris, area tersebut

“terdistribusi normal.” Ada kemungkinan 34,13% bahwa skor yang dipilih secara acak akan berada di antara rata-rata [z=0] dan 1 sd DI BAWAH rata-rata [z=+1].

95% z=1,96= 0,4750 seri

UNTUK KELAS TATAP MUKA (online dapat diabaikan tetapi Anda akan terbiasa dengan skor-z ini saat Anda mengerjakan soal latihan di kelas ini: dua skor-z

yang sangat penting adalah 95 dan 99%

kurva normal simetris sehingga skor z negatif sama dengan skor z positif

99% z=2,575 = 0,4950 gambar (perhatikan masalah 3 digit)

sumber: http://genome.imim.es/~eeyras/courses/MasterUPF/SplicingRegulation/

(7)

Temukan skor z untuk .4500 atau 45%

Membaca Tabel

0.0

.0438 .0517

Dengan

.0478 .0040

.0793 .0000

0.2

.00

.0120

.0871 .0080

.0832

.02

.0398

.03 .01

0.1

.0910

• temukan z-score pada tabel dan beritahu berapa banyak area (atau probabilitas!) antara skor tersebut dan

tabel yang hanya memberi Anda dua digit (100). Area untuk .4500 berada di antara skor-z catatan di atas. Namun, berikut beberapa latihan atau konsep latihan tambahan.

• menghitung skor-z untuk suatu nilai yang diketahui nilai tersebut, nilai rata-ratanya, dan simpangan bakunya.

Seperti yang akan Anda lihat, luas 0,4500 atau 45% akan sering digunakan dalam kursus ini. Namun, Anda tidak dapat menemukannya di z-

dari 1,64 dan 1,65. Lihat bagian tabel di bawah ini:

“panduan” yang bisa saya berikan. Tidak mungkin memberikan “daftar” yang lebih lengkap daripada daftar kuliah.

memberi tahu seberapa besar luas antara dua skor-z -- atau variasi pada tema tersebut.

Tujuan dari latihan ini adalah untuk

•

2. dan melakukan berbagai latihan menggunakan tabel itu.

1. Pelajari cara membaca tabel-z di buku Anda. Dalam buku Statistika: Kursus Pertama karya Sanders dan Smidt, tabel-z terdapat di sampul depan (dan di Lampiran 2) dan berjudul "Area di Bawah Distribusi Probabilitas Normal Baku".

Ini seharusnya cukup mudah jika Anda menggunakan sedikit akal sehat. Skor-z diberikan dengan kelipatan 0,1 (atau sepersepuluh) di kolom vertikal sebelah kiri dan dengan kelipatan 0,01 (atau seperseratus) di baris horizontal atas. Gunakan berbagai kombinasi sepersepuluh dan ratusan untuk menemukan skor-z yang tepat yang Anda cari. Misalnya, untuk skor-z 0,2, luas area antara skor tersebut dan rata-rata adalah 0,0793. Untuk skor-z 0,23, luas area antara skor tersebut dan kurva adalah 0,0910. Berikut sebagian tabelnya:

Semua yang muncul dalam catatan kuliah ini layak untuk ujian. Ini adalah "buku pelajaran" terbaik.

Setelah Anda menyelesaikan latihan ini, Anda seharusnya dapat:

rata-rata.

Praktik

latihan mini tabel z dan skor z

(8)

1,64 + 1,65/2 = 3,29/2 = 1,645.

Bila diberikan skor-z, kita dapat mengetahui luas area di bawah kurva (antara skor tersebut dan nilai rata-rata).

Misalnya, untuk skor-z 1,0, luas area di bawah kurva adalah 0,3413 atau 34,13% dari keseluruhan. Gambaran konsep ini diberikan di bawah ini:

2. Berapa luas di bawah kurva antara 0,5 dan 1,2? (Petunjuk: Anda harus menggunakan pengurangan untuk menyelesaikan soal ini.)

Apa yang kamu lakukan? Kamu ambil rata-rata dari kedua skor tersebut. Saya akan menunjukkan perhitungannya di bawah ini, tetapi yang mudah

akhir dari z-score terkecil. Berikut perhitungannya

Caranya adalah dengan menambahkan 0,005 di akhir z-score yang lebih kecil: 1,64 + 0,005 = 1,645. Jadi, “tambahkan angka lima” ke z-score yang lebih kecil.

Dengan

3. Skor-z mana yang memiliki area di bawah kurva lebih besar -- 0,2 atau 1,5? (Petunjuk: gambarlah) 1. Berapa luas area di bawah kurva untuk z-score -1,0? (gambar)

Area (atau Probabilitas) di Bawah Kurva

.03 .04

1.6 .4484

.02 .05

.01 .00

.4495

.4452 .4463 .4505

Jawaban untuk 4 pertanyaan berikut ada di bawah.

.4474

(9)

jawaban:

3. skor mentah acak 80 mean = 50 sd = 10 Skor tes ini lebih baik dari berapa persen

4. Luas 0,1700 terletak di bawah kurva z-score NEGATIF. Berapakah z-score tersebut?

5. C&C Honolulu secara rutin mengadakan tes kebugaran bagi para pelamar penjaga pantai. Mereka hanya ingin mengambil 20% dari semua pelamar yang paling bugar. Skor terdistribusi normal dengan rata-rata = 120 dan SD 10.

Berapa skor batas untuk para pelamar ini? x = µ + z ÿ skor

2. kita memiliki skor mentah yang dipilih secara acak = 50 mean = 40 sd = 10 berapa skor z dan

Dari semua skor?

a. x1 = 80, mean = 60 sd = 10, x2 = 40, mean = 45 sd = 5, skor manakah yang lebih baik? b.

Dengan menggunakan jawaban pada nomor 3a, berapakah luas di bawah kurva antara kedua garis z ini?

Berapa luas area di bawah kurva di sebelah kanan skor ini?

1. Berapa probabilitas skor az yang dipilih secara acak akan berada dalam rentang plus atau minus 1 SD dari rata-rata?

Bagaimana dengan skor az plus atau minus dua SD? TERKAIT DENGAN SAT.

Latihan z-score lainnya (jawaban ada di bawah):

10, 20, 30, 40.

1. 34,13% 2. 0,3849 - 0,1915 = 0,1934 deviasi =10.

4. Ubah "skor mentah" ini menjadi skor-z. Untuk semua soal, rata-ratanya = 5 dan standarnya = 5.

ÿÿÿÿÿÿ

3. 1.5 4. .5, 1.5, 2.5, 3.5

(10)

Angka-angka yang perlu diisi ke dalam rumus z-score, lalu Anda dapat memeriksa jawaban Anda di bawah ini. Ingat:

masukkan nilai-nilai berikut ke dalam rumus z-score dan hitung z-score

Di bawah ini Anda akan menemukan sejumlah latihan untuk membantu Anda berlatih menghitung skor-z. Anda akan diberikan 1. z dari plus atau minus 1 = 68% z dari plus atau minus 2 = 95,44%

Contoh cara menyelesaikan soal berikut ini 60

10

berarti

=

skor-z

SD

X-

rata-rata=

X -

x- rata-rata = 50 -

skor-z=

X-

sd=

60

berarti X

skor (x) = 50 z =

60 = -10 = -1

X

=

skor

10 sd=

berarti

SD

(x)=

rata-rata=

50 z=

rata-rata=

10

zscore=

10

5. x = µ + z ÿ

128,45 adalah nilai batas tes x = 120 + .845 (10) = 128,45

Hitung skor z

3. Skor tes z=3 dan lebih baik dari 99,87% dari semua skor (.4987+.5=99,87)

3b. .4772+.3413=.8485 atau 81,85% [ Z1=+2 (.4772) Z2= -1 (.3413).] 4. -.44

3a. x1 memiliki skor yang lebih baik karena z=2 dan dua SD di atas rata-rata. x2 memiliki skor az -1.

2. JAWABAN z=1 15,87% luas daerah sebelah kanan (100-84,13=15,87)

Bahkan lebih banyak lagi latihan praktik z-skor (dan masih banyak lagi di bawah ini!)

Jawaban untuk latihan z-score

µ S

dengan =

x ÿ

(11)

rata-rata=

SD SD

X

dengan=

rata-rata=

dengan=

sd=

X

dengan=

sd=

berarti

rata-rata=

dengan=

= rata-rata=

berarti rata-rata=

X

=

-

dengan=

=

zscore=

-

X-

- rata-rata=

berarti

X-

- rata-rata=

rata-rata=

sd=

skor (x) = 3 5 1

skor (x)= 22 15 3

X-

SD sd=

rata-rata=

X

- skor (x)= 44 50

=

X-

X

=

X-

skor (x)= 33 30

zscore=

5

=

berarti

=

500

=

X-

zscore=

5

X-

SD skor (x) = 30 50 5

rata-rata=

skor (x) = 55 40 5

zscore=

rata-rata=

- SD

sd=

= sd=

X

dengan=

sd=

skor (x) = 550 z =

dengan=

SD

berarti

X

=

100

=

zscore=

=

berarti sd=

zscore=

- SD

berarti -

skor (x) = 20 15 2

=

SD

X-

= rata-rata=

rata-rata=

zscore=

rata-rata=

(12)

skor (x) = 333 z =

X-

SD

berarti

sd=

=

rata-rata=

=

100

zscore=

skor (x) = 13,6 z =

-

berarti

rata-rata=

500 100

= SD

- rata-rata=

X

=

sd=

500 100

rata-rata=

zscore=

rata-rata=

zscore=

- rata-rata=

berarti

SD

sd=

X

zscore=

rata-rata=

500

=

X-

SD

berarti

= X

- skor (x) = 750 z =

= rata-rata=

= 500

100

X-

skor (x) = 350 z =

berarti

sd=

rata-rata=

berarti

rata-rata=

-

skor (x) = 12,1 z =

=

X-

rata-rata=

X

berarti rata-rata=

SD skor (x) = 450 z =

-

500

zscore=

rata-rata=

X

= rata-rata=

100

= rata-rata=

X-

500

=

rata-rata=

skor (x) = 650 z =

zscore=

SD

X

X -

8 2 8

=

zscore=

=

X-

sd=

X - SD

berarti

=

skor (x) = 400 z =

=

100

X-

sd=

X-

sd=

zscore=

SD

2

(13)

berarti

2 50 z=

berarti

- 5

x- rata-rata = 3

44 z=

5 5

X

SD

X

dengan=

rata-rata = 30

33

berarti

15 = 5 = rata-rata=

5 (x)=

rata-rata= 70 sd=

10

50 = -6 =

= -2 =

skor

-

5 -

berarti 50 = -20 =

X-

1

X

20 z=

30 = 3 = X

-

-2 22

(x)=

rata-rata= 50 skor

berarti -

rata-rata = 55

5 30 z=

X-

X

5 (x)=

rata-rata= 15 sd=

2

SD

X-

(x)=

rata-rata= 5

X -

SD

dengan=

X-

=

berarti (x)=

rata-rata= 50 sd=

5 skor

5

SD

2.5 rata-rata = 33 sd

40 = 15 = skor (x) = 13,0 z =

10

X-

berarti

5

-1.2

55 z=

X-

sd=

1

-4

-2

skor

SD

X rata-rata = 50

zscore=

3

10

0.6 rata-rata = 44

(x)=

rata-rata= 40 sd=

5 skor

=

-

berarti

SD

sd=

-

2 (x)=

rata-rata= 30 sd=

SD

X

70 = -20 =

skor

1

5

X-

3 skor

rata-rata=

sd=

5

rata-rata = 20

Jawaban untuk latihan menghitung z-skor di atas

(14)

150 =

- 100

berarti

skor

15 = 7 = 2,333333333

rata-rata = 650 - sd

X

400 z=

100

100 =

100

X-

X

500 = -50 =

X (x)=

rata-rata= 500 sd=

100

333 z=

22 z=

skor

100

X-

1.5

167 = 100

3

rata-rata = 450 -

sd=

SD

750 z=

500 =

X

X-

X

100

berarti (x)=

rata-rata= 15 sd= 3

2.5 650 z=

500 = SD

sd=

skor

berarti (x)=

rata-rata= 500

-1,5 100

X-

500 = 50 =

X-

100 450 z=

berarti

skor

SD

-1 3

500 =

-0,5 rata-rata = 550 -

(x)=

rata-rata= 500 sd=

100

X-

SD skor

SD

X

100 (x)=

rata-rata= 500 sd=

(x)=

rata-rata= 500 sd=

100

rata-rata = 350 -

-1,67 100

berarti

100

X

SD

100

skor (x)=

rata-rata= 500 (x)=

rata-rata= 500 sd=

100 skor

500 = 150 =

X-

rata-rata = 400 -

berarti

100 -

550 z=

100

- skor

rata-rata = 333 -

berarti rata-rata = 22

X-

0,5

500 = 250 = 100

350 z=

-

100 SD

X

rata-rata = 750 - 100

berarti

(15)

Skor Z “% teratas” untuk latihan SAT

x = µ

+ dengan

S

di bawah µ=500 dan ÿ=100 (Anda perlu mencari skor-z dan “x” atau skor batas. Ingat:

Pertanyaan-pertanyaan di bawah ini meminta Anda untuk mencari tahu "nilai batas" untuk tes SAT. Untuk semua soal 2.05

rata-rata = 13,6 - sd

skor

-

SD

22 = -9 = X

= 5,6 =

(x)=

rata-rata= 8

-1.8 rata-rata = 12,1 sd

berarti

2.8 2

skor

8

X-

(x)=

rata-rata= 8 sd=

rata-rata = 13,0 X

2

5

X-

8

2

5 X

2

(x)=

rata-rata= 22 sd= 5

12,1 z=

berarti skor

= 4,1 =

X-

2

13,0 z= -

13,6 z=

berarti

Berapa nilai batas SAT untuk masuk dalam 40% teratas?

Berapa nilai batas SAT untuk masuk dalam 40% terbawah?

Berapa nilai batas SAT untuk masuk dalam 30% teratas?

Berapa nilai batas SAT untuk masuk dalam 30% terbawah?

Berapa nilai batas SAT untuk masuk dalam 1% teratas?

(16)

-2.325

x=

30%

terbawah

0,845

447,5

x=

100

-0,525 x=

*

SD

500

skor z *

dengan=?

500

x=

SD x=

525.5

berarti +

-52,5

30% teratas z=?

x=

20% teratas z=?

1%

terbawah

x=

267,5

-0,255

100

berarti +

-2.325

skor z *

x=

500

40%

terbawah

SD x=

dengan=?

100

500 x=

-0,255

berarti + x=

500

-232,5

SD

0,255 skor z

100 -1.285

berarti +

x=

474.5

SD

skor z *

500 500 x=

10%

terbawah

100

25.5 500

x=

-1.285

x=

100 500

SD

dengan=?

-25,5 berarti +

skor z

500 0,255

371.5

x=

*

berarti + x=

0,525

100

x=

500 -0,845

skor z x=

x=

x= *

dengan=?

500

SD -128,5

berarti +

415.5

-0,845

x=

*

0,845 x=

500

x=

-0,525

500 20%

terbawah

100 x=

52.5 40% teratas

z=?

x= 84.5

-84,5

dengan=?

500

x=

skor z

SD

552.5

skor z *

berarti +

x=

0,525

500

Jawaban untuk soal batas skor SAT:

(17)

100

732.5

1.645

500 1%

teratas z=? 2.325

x=

500

5% teratas z=?

100 x=

x=

664.5

* 2.325

500 1.645

x=

628.5

berarti +

SD

x=

500

skor z *

x=

SD 232.5

skor z 500

x=

1.285 128.5

berarti +

164.5 x=

x=