Listrik Statis - UNIKOM Kuliah Online

(1)

Pertemuan 9 :

SISTEM 2D

& REVIEW MATRIKS

KK-Komputasi dan Kecerdasan Buatan Sistem Komputer

Universitas Komputer Indonesia-UNIKOM

Andriyan B. Suksmono

John Adler

(2)

Notasi dan definisi

• Sinyal kontinyu dimensi-satu (1-D) dinyatakan sebagai fungsi satu variabel: f(x), u(x), s(t) dst.

• Sinyal tercuplik dimensi-dua (2-D) dinyatakan sebagai deretan ber-indeks satu: u

_n

, u(n), … dst

• Citra kontinyu dinyatakan sebagai fungsi dua variabel bebas: u(x,y), v(x,y), f(x,y) … dst

• Citra tercuplik dinyatakan sebagai deretan dua-(atau lebih) bilangan riil: u

_mn

, v(m,n), … dst

• Simbol j menyatakan bilangan khayal (-1).

• Konjugasi kompleks dari suatu variabel kompleks z

dinyatakan sbg z*

(3)

Fungsi-fungsi khusus

• Delta Dirac:

• Delta Kronecker

     

 

0

,

', ' ', ' ' ' ,

lim , 1

x y x y

f x y x x y y dx dy f x y x y dxdy

 



  



 

 

 





  



 

     

 

' '

,

, ', ' ', '

, 1

m n

m n m n

x m n x m n m m n n m n

  



 

 

 



  



 

(4)

• Persegiempat (rectangle)

• Fungsi sinc 2-D

• Sisir (comb)

Fungsi-fungsi khusus

 ,  1

¹²

dan

¹²

0 lainnya

x y

rect x y    

  

  sin sin

sinc , x y

x y x y

 



   

' '

comb , ', '

k l

^ ^

 k k l l

 

    

(5)

Sistem linier 2-D

• Dari gbr diatas y(m,n) = H [x(m,n)]. Suatu sistem H disebut linier jika untuk sebarang skalar a1 dan a2 berlaku:

H [a

₁

x

₁

(m,n) + a

₂

x

₂

(m,n)] = a

₁

H [x

₁

(m,n)] + a

₂

H [x

₂

(m,n)]

= a1 y1(m,n) + a2 y2(m,n)

• Jika masukan fungsi delta Kronecker di (m’,n’), maka keluarannya disebut respon impuls dari sistem

h(m,n; m’,n’)  H [(m - m’, n - n’)]

• PSF (point spread function) adalah respons impuls yang masukan dan keluarannya berupa kuantitas bernilai positif (mis. intensitas). Impuls respon bisa bernilai positif, negatif maupun kompleks.

H [.]

x(m,n) y(m,n)

(6)

Sistem linier 2-D

• Masukan dan keluaran sebarang sistem linier dpt dinyatakan sbg:

y(m,n) =m’ n’ x(m’,n’)h(m,n; m’,n’)

• Suatu sistem disebut invarian spasial atau invarian geser jika translasi masukan mengakibatkan translasi pada keluaran. Untuk sistem yang demikian, berlaku

H

[(m, n)] = h(m,n;0,0) sehingga h(m,n; m’, n’) 

H

[(m - m’, n - n’)]

= h(m - m’, n - n’; 0,0) Maka h(m,n; m’, n’) = h(m - m’, n - n’)

• Hubungan masukan-keluaran sistem menjadi:

     

' '

, ', ' ', '

m n

y m n

^ ^

h m m n n x m n

 

    

(7)

Sistem linier 2-D

• Persm. terakhir menyatakan bahwa keluaran sistem merupakan konvolusi antara masukan dengan respon impuls: y(m,n) = h(m,n)x(m,n). Berikut ini ilustrasinya:

m’

n’ x(m’,n’)

h(m’,n’)

m’

n’ x(m’,n’)

h(m-m’,n-n’) A

B C m

n

Keluaran pada (m,n) adalah luas daerah overlap

Putar 180^o dan geser sejauh (m,n)

(8)

Transformasi Fourier 2-D

• Transformasi Fourier 2-D dan inverse-nya dinyatakan sbg



1

,

2

  ,  exp 2 

1 2



F  

^ ^

f x y j   x y  dxdy

 

        

 ,  

1

,

2

 exp 2 

1 2



1 2

f x y

^ ^

F   j   x y  d d  

 

       

f(x,y) F( 

₁

, 

₂

)

(x,y) 1

(x  x₀, y  y₀) exp(j2x₀₁). exp(j2y₀₂) exp(j2x₀₁). exp(j2y₀₂) (₁ -+ ₁, ₂ -+ ₂)

exp[-(x² + y² )] exp[-(₁² + ₂² )]

rect(x, y) sinc(₁, ₂)

tri(x, y) sinc²(₁, ₂)

comb(x, y) comb( ,  )

(9)

Sifat-sifat transformasi Fourier

1. Frekuensi spasial. Jika f(x,y) menyatakan nilai piksel pada koordinat ruang (x,y), maka ₁ dan ₂ adalah frekuensi spasial yang

menyatakan perubahan intensitas terhadap jarak.

2. Keunikan (uniqueness). Fungsi kontinyu f(x,y) dan F(_1,₂) bersifat unik satu sama lain. Tak ada rugi-rugi informasi akibat transformasi.

3. Keterpisahan (separability). Perdefinisi, kernel transformasi Fourier adalah separable. Trans. Fourier 2-D dapat dinyatakan sebagai trans. Fourier 1-D berturut-turut sepanjang koordinat ruangnya.

   

^

     





 

  

 f x y j x dx j y dy

F 

₁

, 

₂

, exp 2  

₁

exp 2  

₂

4. Respon frekuensi dan fungsi eigen. Fungsi eigen dari sistem yang invarian geser linier adalah eksponensial kompleks =exp[j2(



₁

x+

₂

y)

)]. Maka keluaran sistem h(x,y) adalah:

g(x,y) = H(₁,₂) exp[j2(₁x+₂y) )].

(10)

• Teorema konvolusi. Transform Fourier dari konvolusi dua fungsi adalah perkalian transform Fourier masing-masing:

g(x,y) = h(x,y)f(x,y)  G(₁,₂) = H(₁,₂)F(₁,₂) Korelasi dpt dinyatakan sbg: C(₁,₂) = H(-₁,-₂)F(₁,₂)

• Formula Parseval. Energi (perkalian skalar) dalam domain ruang sama dengan energi dalam domain transform.

 |f(x,y)|²dxdy =  |F(₁,₂)|²d₁d₂

• Transformasi Hankel . Transform Fourier dari fungsi simetri sirkuler adalah juga sirkuler simetrik.

Sifat-sifat transformasi Fourier

(11)

• Untuk fungsi diskrit, maka pasangan transformasi Fourier 2-D (deret Fourier) adalah

Transformasi Fourier 2-D



1

,

2

  , exp  

1 2



m n

X  

^ ^

x m n j m  n 

 

        

 

2



1 2

 

1 2



, 1 , exp

x m n 4

^ ^

X j m n

 

   



^ ^

        

• Transform Fourier dari respons impuls yang inavarian

geser, H(

₁

,

₂

), disebut sebagai respons frekuensi.

(12)

Teori Matriks

• Deretan 1-D dapat dinyatakan dalam vektor, sedangkan deretan 2-D dapat dinyatakan dalam matriks.

 

 

   

 

^^

















n u u u n

u ...

2 1

u

   

     

^^

















N M a M

a M

a

N a

a a

N a

a a

n m a

, ...

2 , 1

,

...

, 2 ...

2 , 2 1

, 2

, 1 ...

2 , 1 1

, 1 ,

A

 Transposisi: A^T = {a(m,n)}^T = {a(n,m)}

 Aturan transposisi dan konjugasi

1. A*^T = [A^T]*

2. [AB] = B^TA^T

3. [A^-1]^T = [A^T]^-1

4. [AB]* = A*B*

(13)

Matriks Toeplitz dan Circulant

• Matriks Toeplitz T adalah matriks yang memiliki elemen konstan sepanjang diagonal utama dan sub-diagonalnya

• Matriks circulant C adalah matriks yang baris (atau kolomnya)

merupakan pergeseran sirkular dari baris (atau kolom sebelumnya)

 





 

















0 1

2 1

2

2 1

0 1

1 1

0

...

t t

t

t t

t

N

N N

T

 





 









N N

N

c c

c

c c

1 2

2 1

0 1

1 2

1 0

...

C

• Matriks circulant C memenuhi hubungan:

c(m,n) = c((m,n) modulo N)

(14)

Contoh pemakaian

• Suatu sistem LSI (linear shift invariant) h(n)=n, -1n1 diberi masukan x(n) yg bernilai nol diluar 0n4. Keluarannya dinyatakan sbg konvolusi:

y(n) = h(n)x(n)= _0~4h(n-k)x(k).

Ini dapat dihitung dengan matriks Toeplitz

   

 

   

 

^^















































 

4 3 2 1 0

1 0

0 0

0

0 1

0 0

0

1 0

0

0 1 0

1 0

0 0

1 0

1

0 0

0 1 0

0 0

1

5 4 3 2 1 0 1

x x x x x

y y y y y y y

 Konvolusi dua deretan periodik

menghasilkan deretan yang periodik juga dan dpt dituliskan

y(n) = _0~(N-1)h(n-k)x(k), 0 nN-1 dimana h(-n) = h(N-4) dng N

periodenya. Untuk N=4 dan h(n)=n+3 (modulo 4) dpt dinyatakan sbg

   

     

 





 





 





 







 





 





3 2 1 0

3 0

1 2

2 3 0

1

1 2 3

0

0 1

2 3

3 2 1 0

x x x x

y

(15)

Matriks ortogonal dan matriks uniter

• Suatu matriks A disebut ortogonal jika inverse-nya sama dengan transpose dari matriks tsb:

A

^-1

= A

^T

atau A

^T

A = AA

^T

= I

• Matriks A disebut uniter jika inverse-nya sama dengan konjugasi transpose matriks tsb:

A

^-1

= A*

^T

atau AA*

^T

= A*

^T

A = I

• Sifat ortogonal maupun uniter matriks sangat penting

dalam transformasi citra karena mencerminkan sifat

konservasi energi dari transformasi tsb.

(16)

Medan acak diskrit

• Menurut representasi statistik, setiap pixel dalam citra dapat dianggap sebagai variabel acak (r.v.). Citra merupakan cuplikan dari ensemble yg dapat digambarkan sbg rapat peluang bersama dengan r.v. 262.144 buah untuk citra berukuran 512512, tentu bukan hal yang mudah.

Untuk itu, ensemble cukup dinyatakan dalam momen statistik orde-satu dan orde dua.

• Definisi: Cuplikan deretan 2-D yang berupa r.v. disebut medan acak diskrit. Jika medan tsb representasi dari citra, maka disebut citra acak.

• Mean dan kovariansi medan acak kompleks u(m,n) didefinisikan:

Mean: E[u(m,n)] = (m,n) Kovariansi:

Cov[u(m,n), u(m’,n’)]  E[(u(m,n)-(m,n)). (u*(m,n)-*(m,n))]

= r_u(m,n;m’,n’) (atau = r(m,n;m’,n’) jika konteks jelas)

(17)

• Jika medan bersifat stasioner, maka berlaku:

(m,n) =  = konstan

r_u(m,n;m’,n’) = r_u(m-m’,n-n’)= r (m-m’,n-n’)

Medan acak yg demikian disebut sbg medan yang invarian geser, invarian translasi spasial, homogen, atau stasioner ‘wide sense’

• Jika untuk semua x(m,n) dan x(m’,n’) yang berlainan tidak berkorelasi, maka medan ini disebut medan derau putih

r_x(m,n;m’,n’) = _x²(m,n) (m-m’,n-n’)

• Medan acak disebut Gaussian jika dalam setiap grid terbatas dari medan acak tsb bersifat Gaussian.

• Fungsi autokorelasi dan kovariansi medan acak 2-D bersifat Simetrik: r(m,n;m’,n’) = r*(m’,n’;m,n)

Nonnegativ:

_m_n_m’_n’x(m,n)r(m,n;m’,n’)x*(m’,n’)0, x(m,n) 0, (m,n)

Medan acak diskrit

(18)

• Kovariansi dari medan acak disebut separable jika fungsi tsb dapat dinyatakan sebagai perkalian fungsi kovariansi 1-D:

r(m,n;m’,n’) = r₁(m,m’) r₂(n,n’) medan tak-stasioner r(m;n) = r₁(m)r₂(n) medan stasioner

• Fungsi rapat spektral (spectral density function/SDF) atau fungsi rapat rapat spektral daya S_u(₁, ₂) adalah transformasi Fourier dari r_u(m,n)

S_u(₁, ₂) = _m_n r_u(m,n) exp [-j(₁m + ₂n) ]

• SDF bersifat:

1. Bernilai riil: S*(₁, ₂) = S*(₁, ₂) 2. Non-negatif S(₁, ₂)0, ₁,₂

Medan acak diskrit

(19)

Medan acak diskrit, contoh

(m,n,i)

², 

1/(A(z₁,z₂,z₃)

u(m,n,i)

u(m,n,i) = 

₁

.u(m-1,n,i)+

₂

.u(m,n-1,i) +

₃

. u(m,n,i-1) - 

₁

. 

₂

. u(m-1,n-1,i)-

₁

.

₃

u(m-1,n,i-1)

- 

₂



₃

u(m,n-1,i-1)+

₁



₂

3u(m-1,n-1,i-1) + (m,n,i)

MRF 3-D (x,y;t) diambil pd t tertentu

(20)

Minggu Depan...

Pertemuan ke-10 :

transformasi citra

(21)

TERIMA KASIH