MAKALAH LOGIKA FAZI
Disusun guna memenuhi tugas Mata Kuliah Logika Fazi.
Dosen Pengampu:
Ervin Oktavianingtyas, S.Pd., M.Pd.
Rafiantika Megahnia Prihandini, S.Pd,. M.Si.
Oleh:
Kelompok 6
1. Mei Diana (190210101021)
2. Inayah Wulandari (190210101061) 3. Audia Melania Triananda (190210101133)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER
2022
2 DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ... 2
A. GAMBARAN LOGIKA KLASIK ... 3
B. LOGIKA GANDA ... 9
C. PROPOSISI FAZI ... 15
3.1. Proposisi tanpa syarat dan tidak memenuhi syarat ... 15
3.2. Proposisi tanpa syarat dan memenuhi syarat ... 18
3.3 Proposisi bersyarat dan tidak memenuhi syarat ... 21
3.4 Proposisi bersyarat dan berkualifikasi ... 22
DAFTAR PUSTAKA ... 24
3 A. GAMBARAN LOGIKA KLASIK
Pada bagian ini hanya dimaksudkan untuk memberikan gambaran singkat tentang konsep dasar tentang logika klasik dan untuk memperkenalkan materi yang akan kita pelajari yaitu logika Fuzzy. Logika adalah ilmu yang menggunakan prinsip penalaran dalam semua bentuk kemungkinan yang ada.
Logika klasik mempelajari tentang proposisi yang harus benar atau salah. Setiap proposisi atau pernyataan memiliki kebalikan yang disebut negasi. Sebuah proposisi dan negasinya diperlukan untuk mengansumsikan nilai kebenaran yang berlawanan.
Pada bidang logika ada yang disebut sebagai logika proposisional, berhubungan dengna kombinasi variabel yang berdiri sendiri untuk proposisi yang sembarangan. Variabel ini bisanya disebut variabel logika (variabel proposisional). Masing-masing variabel mewakili proposisi hipotesis yang dapat diasumsikan salah satu dari dua nilai kebenarannya. Variabel tidak terikat pada salah satu nilai kebenaran kecuali proposisi tertentu menggantikannya. Salah satu perhatian utama dari logika proposisional adalah studi tentang aturan dengan logika baru.
Asumsikan bahwa n variabel logika
v v
1, ,...
2v
ndiketahui. Variabel logika baru dapat didefinisikan oleh fungsi yang memberikan nilai kebenaran tertentu ke variabel baru untuk masing-masing kombinasi nilai kebenaran dari variabel yang diberikan. Fungsi ini biasanya disebut dengan fungsi logika. Karena n variabel logika dapat mengansumsikan 2n nilai kebenaran prospektif, ada 22nkemungkianan fungsi logika dari variabel-variabel ini.
Masalah utama dari logika proposisional adalah ekspresi dari semua fungsi logika n variabel
nN
, jumlah yang tumbuh sangat cepat dengan meningkatnya nilai n, dengan bantuan sejumlah kecil fungsi logika sederhana.Fungsi sederhana ini adalah:
4
Operasi logika dari satu atau dua variabel disebut logika primitif. Ini diketahui bahwa ini dapat dicapai hanya dengan beberapa himpunan logika primitif. Kami mengatakan bahwa himpunan primitif selesai jika ada fungsi logika dari variabel
v v
1, ,...
2v
n dapat disusun oleh sejumlah primitif ini. Dua dari banyak himpunan lengkap primitif mendominasi logika proposisional: (i) negasi, konjungsi, dan disjungsi (ii) negasi dan implikasi. Kita dapat membentuk rumus lain fungsi logika. Rumus logika kemudian didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:1. Jika v adalah variabel logika, maka v dan v adalah formula logika.
2. Jika a dan b adalah formula logika maka a b dan a b juga formula logika.
3. Hanya formula logika yang didefinisikan oleh dua peraturan sebelumnya.
Setiap rumus logika dari jenis ini mendefinisikan fungsi logika dengan menyusun dari tiga fungsi utama. Untuk menentukan fungsi unik, urutan komposisi individu yang akan dilakukan harus ditentukan dalam beberapa cara.
Ada berbagai cara yang dilakukan ini pesanan dapat ditentukan. Yang paling
5
umum adalah penggunaan tanda kurung. Jenis rumus logika lainnya dapat ditentukan dengan mengganti beberapa dari tiga operasi dalam definisi ini dengan operasi lain atau dengan memasukkan beberapa operasi tambahan. Kita boleh mengganti, misalnya, a b dan a b didefinisi dengan ab. Sedangkan setiap rumus logika yang tepat mewakili satu fungsi logika dan yang terkait variabel logika, rumus yang berbeda mungkin mewakili fungsi dan variabel yang sama. Ketika rumus logika a dan b ekivalen, kita tulis ab. Sebagai contoh,
v1v2
v2v3
v2v3
v2v3
v1v3
v1v2
Seperti yang dapat diverifikasi dengan mudah dengan mengevaluasi masing- masing rumus untuk kedelapan kombinasi kebenaran nilai variabel logika
1
, ,...
2 3v v v
.Ketika variabel diwakili oleh rumus logika selalu benar terlepas dari kebenarannya nilai yang diberikan ke variabel yang berpartisipasi dalam rumus, ini disebut tautology. Ketika selalu salah, itu disebut kontradiksi. Misalnya, ketika dua rumus logika a dan b adalah ekivalen, maka ab adalah tautologi, sedangkan rumus ab adalah kontradiksi.
Contoh beberapa tautologi yang sering digunakan sebagai berikut
(modus ponens) (modus tollens)
(silogisme)
a a b b
b a b a
a b b c a c
Logika proposisional didasarkan pada satu himpunan variabel logika yang terbatas isomorfik ke teori himpunan hingga di bawah korespondensi tertentu antara komponen dua sistem matematika ini. Selanjutnya, kedua sistem ini bersifat isomorfik ke Aljabar Boolean hingga, yang merupakan sistem matematika yang ditentukan oleh entitas abstrak dan sifat aksiomatiknya.
Aljabar Boolean paada sebuah himpunan B didefinisikan sebagai
6
Di mana himpunan B memiliki setidaknya dua elemen 0 dan 1; + dan . adalah operasi biner pada B, dan - adalah operasi unary pada B. Berikut sifat-sifat aljabar boolean:
Dua teori lainnya. Rekan ini dapat diperoleh satu sama lain dengan menerapkan korespondensi subtitusi pada tabel 8.3. semua simbol yang digunakan dalam tabel ini sebelumnya didefinisikan dalam teks kecuali untuk simbol V dan L(V), yang masing-masing menunjukkan disini, satu set variabel logika dan himpunan semua kombinasi nilai kebenaran variabel ini. Kombinasi yang hanya mengandung kebenaran dilambangkan dengan 1; yang hanya berisi kepalsuan saja dilambangkan dengan 0. Diperlukan kardinalitas dari himpunan P(X),B, dan L(V) harus sama. Ini isomorfisme memungkinkan kita, pada dasarnya untuk menutupi semua teori ini dengan mengembangkan hanya satu dari mereka.
7
Logika proposisional hanya berkaitan dengan hubungan logika yang bergantung pada cara proposisi disusun dari proposisi lain dengan operasi logika.
Ini proposisi terakhir diperlukan sebagai keutuhan yang tidak dianalisis. Ini tidak cukup untuk banyak kasus penalaran deduktif yang struktur internal proposisi tidak dapat diabaikan.
Proposisi adalah kalimat yang diungkapkan dalam beberapa bahasa.
Setiap kalimat mewakili proposisi pada dasarnya dapat dipecah menjadi subjek dan predikat. Dengan kata lain, proposisi sederhana dapat diekspresikan secara umum dalam bentuk kanonik.
x adalah P
dimana x adalah symbol subjek, dan P menunjukkan predikat yang mencirikan properti. Misalnya “Austria adalah Negara berbahasa Jerman” adalah proposisi di mana “Austria” singkatan dari subjek (Negara tertentu) dan “Negara berbahasa Jerman” adalah predikat itu mencirikan property tertentu, yaitu property sebagai Negara yang penduduknya berbicara bahasa Jerman. Proposisi ini benar.
Alih-alih berurusan dengan proposisi tertentu, kita dapat menggunakan bentuk umum “x adalah P” dimana x sekarang berarti subjek apa pun dari alam semesta wacana yang ditentukan x. predikat P kemudian memainkan peran fungsi yang untuk setiap nilai bentuk x proposisi. Fungsi ini biasanya disebut predikat dan dilambangkan dengan P(x). Jelas, predikat menjadi proposisi yang benar atau salah ketika subjek tertentu dari X menggantikan x.
Ada baiknya untuk memperluas konsep predikat dengan dua cara.
Pertama, itu wajar untuk diperpanjang ke lebih dari satu variabel. Hal ini mengarah pada gagasan tentang predikat n-ary predikat
P ( x
1, x
2,..., x
n)
, dimanauntuk n=1 merepresentasikan sebuah property dan untuk n > 2 sebuah relasi n- ary antar subjek dari himpunan universal yang ditunjuk
x
i( i N
n)
. Sebagai contoh, x1adalah warga negara x2 adalah predikat biner dimana x1 addalah singkatan dari individu-individu dari populasi yang ditentukan x1dan x2adalah8
singkatan dari masing-masing negara dari set x2 negara yang ditentukan. Disini elemen x2 biasanya disebut objek daripada subjek. Untuk memudahkan, predikat n untuk n=0 didefinisikan sebagai proposisi dalam pengertian yang sama seperti dalam logika proposisional.
Cara lain untuk memperluass cakupan predikat adalah dengan mengukur penerapanya sehubung dengan domain variabelnya. Ada dua jenis kuantifikasi terutama digunakan untuk predikat; mereka disebut sebagai kuantifikasi eksistensial dan kuantifikassi universal.
Kuantifikasi eksistensial dari predikat P(X) dinyatakan dengan bentuk:
) ( ) (x P x
Yang mewakili kalimat “ada individu x (dalam himpunan universal X dari variabel x)sehingga x adalah P” (atau kalimat yang setara beberapa “xX adalah P”). Simbol
disebut pembilang eksistensial. Kami memiliki persamaan berikut :
X x
x P x
P x
) ( ) ( )
( …………(8.1)
Kuantifikasi universal predikat P(x) dinyatakan dengan bentuk : )
( ) (x P x ,
Yang mewakili kalimat “Untuk setiapp x individu (dalam himpunan universal yang ditentukan), x adalah P”(atau kalimat padanannya,” semua xX adalah P”). simbol disebut universal pembilang. Jelas, persamaan berikut berlaku :
X x
x P x
P x
) ( ) ( )
( ………….(8.2)
Untuk predikat n-ary kita dapat menggunakan hingga ke n pembilang dari salah satu jenis, masing-masing diterapkan ke satu variabel contohnya,
) , , ( ) )(
( )
( x
1 x
2 x
3P x
1x
2x
39
Singkatan dari kalimat “ada x1X1sedemikian sehingga untuk semua
2
2 X
x ada x3X3sedemikian sehingga P(x1,x2,x3)”. Missal, jik ]
1 , 0
3 [
2
1X X
X dan P(x1,x2,x3)berarti x1x2 x3maka kalimatnya benar (asumsikan x10dan x3 1).
Kuantifikasi predikat eksistensial dan universal standar dapat dengan mudah dilakukan digeneralisaikan dengan menyusun pembilang Q yang diterapkan pada predikat P(x), xX sebagai hubungan biner.
}, ,
, ) , (
{ N X
Q
dimana , menentukan jumlah elemen x yang masing-masig P(x) benar atau salah. Secara formal,
} )
( {
} )
( {
r adalahbena x
P X x
r adalahbena x
P X x
Misalnyya, ketika Q didefinisikan dengan kondisi 0, kita mendapatkan eksistensial standar pembilang : ketika 0, Q menjadi pembilang universal standar; ketika kita dapatkan apa yang disebut pembilang jamak, diekspresikan dengan kata “paling banyak”. Predikat baru (terkuantifikasi atau tidak) dapat dihasilkan dari predikat yang diberikan oleh logika rumus dengan cara yang sama seperti variabel logika baru diproduksi oleh rumus logika di logika proposisional. Rumus-rumus ini, yang disebut rumus predikat, adalah inti dari predikat logika.
B. LOGIKA GANDA
Asumsi dasar yang mendasari logika klasik (atau logika dua nilai) bahwa setiap proposisi itu benar atau salah - telah dipertanyakan sejak Aristoteles.
Dalam risalahnya On Interpretation, Aristoteles membahas status kebenaran bermasalah dari hal-hal yang bergantung pada masa depan. Proposisi tentang kejadian di masa depan, menurutnya, sebenarnya tidak benar atau sebenarnya
10
salah, tetapi berpotensi baik; oleh karena itu, nilai kebenaran mereka tidak dapat ditentukan, setidaknya sebelum kejadian tersebut. Sekarang dipahami dengan baik bahwa proposisi yang status kebenarannya bermasalah tidak terbatas pada peristiwa masa depan. Sebagai konsekuensi dari prinsip ketidakpastian Heisenberg, misalnya, diketahui bahwa nilai kebenaran dari proposisi tertentu dalam mekanika kuantum secara inheren tidak dapat ditentukan karena keterbatasan pengukuran yang mendasar. Dalam menghadapi proposisi semacam itu, dikotomi benar / salah logika dua nilai klasik harus dilonggarkan dengan mengizinkan nilai kebenaran ketiga, yang dapat disebut tak tentu. Logika dua nilai klasik dapat dikembangkan menjadi tiga nilai dengan berbagai cara.
Beberapa logika tiga nilai, masing-masing dengan alasannya sendiri, sekarang sudah mapan. Hal umum dalam logika ini untuk menunjukkan kebenaran, kepalsuan, dan ketidakpastian masing-masing dengan 1, 0, dan 1/2. Juga umum untuk mendefinisikan negasi a dari proposisi 1a; yaitu,
1 1
0 1,
1 0, dan 2 2. Primitive lainnya, seperti ˄, ˅, dan berbeda dari logika tiga nilai yang lain. Lima dari logika tiga nilai paling terkenal, diberi label oleh nama pencetusnya, didefinisikan dalam empat istilah primitif ini.
a b Lukasiewicz
˄ ˅
Bochvar
˄ ˅
Kleene
˄ ˅
Heyting
˄ ˅
Reichenbach
˄ ˅
11
0 0
0 1 2
0 1
1 0
2
1 1
2 2
1 1
2
1 0
1 1 2
1 1
0 0 1 1
1 1
0 1
2 2
0 1 1 0
1 1 1
0 2 2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
0 1 0 0
1 1 1
2 1 2 2
1 1 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
0 1 1 0
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
0 1 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0 1 1
1 1
0 1
2 2
0 1 1 0
1 1 1
0 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
1 1
2 2
0 1 0 0
1 1 1
2 1 2 2
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 1 0
2
0 1 1 0
0 1 0 0
2
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
0 1 0 0
1 1 1
2 1 2 2
1 1 1 1
0 0 1 1
1 1
0 1
2 2
0 1 1 0
1 1 1
0 2 2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
0 1 0 0
1 1 1
2 1 2 2
1 1 1 1
Kita dapat melihat dari Tabel 8.4 bahwa semua logika primitif yang terdaftar untuk lima logika bernilai tiga sepenuhnya sesuai dengan definisi biasa dari primitif ini dalam logika klasik untuk a, b (0, 1}, dan hanya berbeda satu sama lain. dalam perlakuan mereka terhadap nilai kebenaran baru 1/2. Kita juga dapat dengan mudah memverifikasi bahwa tidak satupun dari logika tiga nilai ini memenuhi hukum kontradiksi (a ˄ ā = 0), hukum eksklusi tengah (a ˅ ā = 1), dan beberapa tautologi logika dua nilai lainnya. Logika tiga nilai Bochvar, misalnya, jelas tidak memenuhi salah satu tautologi logika dua nilai, karena masing-masing primitifnya menghasilkan nilai kebenaran 1/2 setiap kali setidaknya satu dari proposisi a dan b mengasumsikan nilai ini. Oleh karena itu, adalah umum untuk memperluas konsep tautologi yang biasa ke konsep yang lebih luas dari kuasi- tautologi. Kami mengatakan bahwa rumus logika dalam logika tiga nilai yang tidak mengasumsikan nilai kebenaran 0 (kepalsuan) terlepas dari nilai kebenaran yang ditetapkan untuk proposi nya Variabel tion adalah kuasi-tautologi.
Demikian pula, kami mengatakan bahwa rumus logika yang tidak
12
mengasumsikan nilai kebenaran 1 (trutb) adalah semu kontradiksi. dan berguna, menjadi
Setelah berbagai logika tiga nilai diterima sebagai bermakna dan berguna, menjadi diinginkan untuk mengeksplorasi generalisasi ke dalam logika bernilai n untuk sejumlah sembarang nilai kebenaran (n2). Beberapa logika bernilai n sebenarnya dikembangkan pada tahun 1930-an. Untuk n tertentu, nilai kebenaran dalam logika umum ini biasanya diberi label dengan bilangan rasional dalam interval satuan [0, 1]. Nilai-nilai ini diperoleh dengan membagi interval antara 0 dan 1 eksklusif. Himpunan T, nilai kebenaran dari logika bernilai n dengan demikian didefinisikan sebagai:
0 1 2 2 1
0 , , ,..., , 1
1 1 1 1 1
n
n n
T n n n n n
Nilai-nilai ini dapat ditafsirkan sebagai derajat kebenaran. Rangkaian pertama logika bernilai n yang n2diajukan oleh Lukasiewicz pada awal tahun 1930-an sebagai generalisasi dari logika tiga nilainya. Ini menggunakan nilai kebenaran di T, dan mendefinisikan primitif dengan persamaan berikut:
̅
Lukasiewicz, pada kenyataannya, hanya menggunakan negasi dan implikasi sebagai primitif dan mendefinisikan yang lain operasi logika dalam istilah dua primitif ini sebagai berikut:
̅ ̅
13
Dapat dengan mudah diverifikasi bahwa (8.3) memasukkan definisi dari primitif biasa logika dua nilai ketika n = 2, dan mendefinisikan primitif dari logika tiga nilai Lukasiewicz seperti yang diberikan pada Tabel 8.4,
Untuk setiap , logika nilai-n dari Lukasiewicz biasanya dilambangkan dalam literatur oleh . Nilai kebenaran diambil dari , dan primitifnya didefinisikan oleh (8.3). Urutan ( , ..., ) dari logika ini mengandung dua logika kasus ekstrim dan Logika jelas merupakan logika dua nilai klasik yang dibahas di Sec. 8.1. Logika adalah sebuah logika bernilai tak terbatas yang nilai kebenarannya diambil dari himpunan terhitung dari semua rasional angka dalam interval satuan [0, 1].
Ketika kita tidak bersikeras mengambil nilai-nilai kebenaran hanya dari himpunan , melainkan menerima sebagai nilai kebenaran setiap bilangan real dalam interval [0, 1], kami memperoleh alternatif bernilai tak terbatas logika.
Primitif dari kedua logika bernilai tak terhingga ini didefinisikan oleh (8.3);
mereka berbeda kumpulan nilai kebenaran mereka. Sementara salah satu logika ini menggunakan himpunan . sebagai nilai kebenaran, maka other menggunakan himpunan semua bilangan real dalam interval [0,1]. Terlepas dari perbedaan ini, dua logika bernilai tak terbatas ini ditetapkan sebagai padanan dasarnya dalam pengertian itu mereka mewakili tautologi yang persis sama.
Namun, kesetaraan ini hanya berlaku untuk logika formula yang melibatkan proposisi; untuk rumus predikat dengan bilangan, beberapa fundamental perbedaan antara kedua logika tersebut muncul.
Kecuali dinyatakan lain, istilah logika bernilai tak terbatas biasanya digunakan dalam literatur untuk menunjukkan logika yang nilai kebenarannya diwakili oleh semua bilangan real dalam interval [0, 1]. Ini juga cukup sering disebut logika Lukasiewicz standar , di mana subskrip 1 adalah singkatan dari (dibaca aleph 1), yang merupakan simbol yang biasa digunakan untuk menunjukkan kardinalitas kontinum.
14
Kita dapat melihat bahwa logika Lukasiewicz standar isomorfik terhadap teori himpunan fuzzy berdasarkan operator fuzzy standar, dengan cara yang sama seperti logika dua nilai adalah isomorfik ke teori himpunan tajam.
Bahkan, nilai keanggotaan , yang digunakan sebagai himpunan fuzzy A pada himpunan universal yang didefinisikan X, dapat diartikan sebagai nilai kebenaran dari proposisi "x adalah anggota himpunan A
"di . Sebaliknya, nilai kebenaran untuk semua dari setiap proposisi "x adalah P "di , di mana P adalah predikat samar (kabur) (seperti tinggi, muda, mahal, berbahaya, dll.), dapat diartikan sebagai derajat keanggotaan yang dikarakterisasi oleh himpunan fuzzy oleh properti P didefinisikan pada X.
Isomorfisme mengikuti kemudian dari fakta bahwa operasi logika , didefinisikan oleh (8.3), memiliki bentuk matematika yang persis sama dengan operasi standar yang sesuai pada himpunan fuzzy.
Logika Lukasiewicz standar hanyalah salah satu dari berbagai logika bernilai tak hingga di pengertian yang sama bahwa teori himpunan fuzzy standar hanyalah salah satu dari variasi teori himpunan fuzzy yang berbeda satu sama lain dengan operasi himpunan yang mereka gunakan. Untuk setiap logika bernilai tak hingga tertentu, kita dapat menurunkan teori himpunan fuzzy isomorfik.
Ketidakcukupan logika tunggal bernilai tak hingga (dan karena itu keinginan dari a variasi logika ini) terhubung dengan gagasan tentang satu set lengkap logika primitif. Diketahui bahwa tidak ada himpunan logika primitif yang lengkap untuk setiap orang yang bernilai tak-hingga logika. Karenanya, dengan menggunakan himpunan primitif hingga yang mendefinisikan logika bernilai tak hingga, kita bisa dapatkan hanya sebagian dari semua fungsi logika dari variabel logika primer yang diberikan. Karena beberapa aplikasi
15
memerlukan fungsi di luar himpunan bagian ini, mungkin perlu digunakan logika alternatif.
C. PROPOSISI FAZI
Proposisi fazi adalah kalimat yang memuat predikat fazi, yaitu predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan fazi. Proposisi fazi yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan fazi. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan fazi itu disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang [0,1].
Nilai kebenaran itu disebut juga Derajat Kebenaran dari pernyataan fazi itu.
Perbedaan mendasar antara proposisi klasik dan proposisi fazi ada di rentang nilai kebenaran. Pada proposisi klasik nilainya hanya benar atau salah, sedangkan pada proposisi fazi benar atau salahnya adalah tergantung derajat. Asumsi kebenaran dan kepalsuan itu dinyatakan dengan nilai 1 dan 0, masing-masing derajat kebenaran dari setiap proposisi fazi diekspresikan dengan angka dalam interval [0,1].
Pada bagian ini, kita fokus pada proposisi fazi sederhana, yang diklasifikasikan ke dalam 4 jenis sebagai berikut:
1. Proposisi tanpa syarat dan tidak memenuhi syarat 2. Proposisi tanpa syarat dan memenuhi syarat 3. Proposisi bersyarat dan tidak memenuhi syarat 4. Proposisi bersyarat dan memenuhi syarat
Untuk setiap jenis diatas, kita memperkenalkan bentuk kanonik yang relevan dan mendiskusikan interpretasinya.
3.1. Proposisi tanpa syarat dan tidak memenuhi syarat
Bentuk kanonik dari proposisi fazi jenis ini yaitu p, diekspresikan dengan kalimat
p : V adalah F.……..(8.4)
Dimana V adalah variabel yang mengambil nilai v dari beberapa himpunan universal V, dan F adalah Himpunan Fazi V yang
16
mempresentasikan predikat fazi, seperti tinggi, mahal, normal, dan lain sebagainya. Diberikan nilai tertentu dari V (katakanlah v), nilai ini milik F dengan tingkat keanggotaan F(v). Nilai keanggotaan ini kemudian diinterpretasikan sebagai derajat kebenaran, T(p), dari proposisi p. Itu adalah,
T(p) = F(v) .……..(8.5)
Untuk setiap nilai tertentu v dari variabel V dalam proposisi p. Ini berarti T adalah efek dari himpunan fazi pada [0,1], yang memberikan tingkat keanggotaan F(v) untuk setiap nilai v dari variabel V.
Untuk mengilustrasikan konsep yang diperkenalkan, misalkan variabel V menjadi suhu udara dibeberapa tempat tertentu di bumi (diukur dalam oF) dan biarkan fungsi keanggotaan yang ditunjukkan pada gambar 8.1a mewakili dalam konteks tertentu yaitu predikat tinggi. Kemudian, dengan asumsi bahwa semua spesifikasi pengukuran yang relevan mengenai suhu diberikan, proposisi fazi yang sesuai p diekspresikan dengan pernyataan:
p : suhu (V) dengan tinggi (F)
Gambar 8.1 Komponen dari proposisi fazi p : suhu (V) dengan tinggi (F)
Derajat Kebenaran T(p), bergantung pada nilai aktual suhu dan pada definisi tinggi predikat yang diberikan; itu didefinisikan oleh fungsi
17
keanggotaan T pada gambar 8.1b, yang mewakili persamaan (8.5).
Misalnya jika v = 85, maka F(85) = 0.75 dan T(p) = 0.75.
Kita dapat melihat bahwa peran fungsi T adalah untuk menyediakan jembatan antara himpunan Fazi dan proposisi fazi. Meskipun hubungan antara nilai keanggotaan di F dan derajat kebenaran dari proposisi fazi terkait p, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (8.5), secara numerik tidak berarti untuk proposisi yang tidak memenuhi syarat, hal ini memiliki signifikansi konseptual.
Dalam beberapa proposisi fazi, nilai variabel V dalam persamaan (8.4) diberikan kepada individu dalam suatu himpunan tertentu I. Artinya variabel V menjadi fungsi V I: V, dimana V(i) adalah nilai V untuk individu i di V. Bentuk Kanonik persamaan (8.4) kemudian dimodifikasi ke bentuk:
p : V(i) adalah F………(8.6) dimana iI.
Pertimbangkan misalnya, bahwa I adalah sekumpulan orang, setiap orang dicirikan oleh umurnya, dan himpunan fazi yang menyatakan predikat muda diberikan. Menunjukkan variabel kita berdasarkan umur dan himpunan fazi kita dengan muda, kita dapat memberikan contoh bentuk umum persamaan (8.6) dengan proposisi fazi secara spesifik
p : Umur (i) adalah Muda
Derajat kebenaran proposisi ini, T(p), kemudian ditentukan untuk setiap orang i dalam I melalui persamaan
T(p) = Muda (Umur(i))
Seperti yang dijelaskan di bagian 7.4, Setiap proposisi bentuk persamaan (8.4) dapat diartikan sebagai fungsi distribusi kemungkinan rf pada V yang ditentukan oleh persamaan
( ) ( ) r vf F v
18
Untuk setiap nilai v V . Jelas, interpretasi ini berlaku untuk proposisi dari bentuk yang dimodifikasi dari persamaan (8.6) juga.
3.2. Proposisi tanpa syarat dan memenuhi syarat
Proposisi p jenis ini dicirikan oleh bentuk kanonik dari p : V adalah F adalah S………(8.7) atau bentuk kanonik
p : Pro {V adalah F} adalah P………(8.8)
dimana V dan F memiliki arti yang sama dengan persamaan (8.4), Pro {V adalah F} adalah probabilitas fazi dalam kejadian “V adalah F”, S adalah kualifikasi kebenaran fazi, dan P adalah kualifikasi probabilitas fazi. Jika diinginkan, V dapat diganti dengan V(i), yang memiliki arti yang sama seperti pada persamaan (8.6). Kita mengatakan bahwa proposisi persamaan (8.7) memenuhi syarat kebenaran, sedangkan proposisi persamaan (8.8) adalah probabilitas memenuhi syarat. Baik S dan P diwakili oleh himpunan fazi pada interval [0,1].
Contoh proposisi yang memenuhi syarat kebenaran adalah proposisi
“Tina adalah muda sangat benar”, dimana predikat muda dan kualifikasi kebenaran sangat benar diwakili oleh masing-masing himpunan fazi yang ditunjukkan pada gambar 8.2. Dengan asumsi bahwa umur Tina adalah 26, dia termasuk ke himpunan yang mewakili predikat muda dengan tingkat keanggotaan 0.87. Oleh karena itu, proposisi kami termasuk dalam himpunan proposisi yang sangat benar dengan kelas keanggotaan 0.76, seperti di ilustrasikan pada gambar 8.2b. Ini berarti, pada gilirannya, tingkat kebenaran kita memenuhi syarat kebenaran proposisi juga 0.76.
Jika proposisi diubah dengan mengubah predikat (misalnya, menjadi sangat muda) atau kualifikasi kebenaran (misalnya, untuk cukup benar, sangat salah, dan lain sebagainya), kita akan mendapatkan derajat kebenaran masing-masing proposisi ini dengan metode yang sama.
19
Secara umum, derajat kebenaran, T(p), dari setiap proposisinya yang memenuhi syarat kebenaran p diberikan setiap v V dengan persamaan
T(p) = S(F(v))………..(8.9)
Gambar 8.2 Nilai Kebenaran dari Proposisi Fazi
Melihat fungsi keanggotaan G(u) = S(F(v)), dimana v V sebagai predikat sederhana, kita dapat menaksirkan proposisi yang memenuhi syarat kebenaran dari bentuk persamaan (8.7) sebagai proposisi yang tidak memenuhi syarat “V adalah G”
Amati bahwa proposisi yang tidak memenuhi syarat sebenarnya adalah proposisi yang memenuhi syarat kebenaran khusus, dimana kualifikasi kebenaran S dianggap benar. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 8.1b dan 8.2b, fungsi keanggotaan yang mewakili kualifikasi ini adalah fungsi identitas. Itu adalah, S(F(v)) = F(v) untuk proposisi yang tidak memenuhi syarat; karenanya, S dapat diabaikan demi kesederhanaan.
Mari kita bahas proposisi berkualifikasi probabilitas dari bentuk persamaan (8.8). Setiap proposisi dari tipe ini menggambarkan pembatasan elastis pada kemungkinan pembagian probabilitas pada V.
Setiap proposisi diberikan distribusi probabilitas f pada V, kita punya:
20
Pro {V adalah F} =∑
v V ………….(8.10)
Kemudian, derajat T(p) yang proposisi p bentuknya persamaan (8.8) adalah benar diberikan oleh:
T(p) = P ( ∑
v V ………….(8.11)
Sebagai contoh, misalkan variabel V adalah suhu harian rata – rata t dalam ˚F disuatu tempat bumi selama bulan tertentu. Kemudian, proposisi yang memuhi syarat probabilitas:
p : Pro {suhu t (pada tempat dan waktu tertentu) sekitar 75˚F) kemungkinan besar
dapat memberi kita karakterisasi yang bermakna dari satu aspek iklim ditempat tertentu dan waktu dapat dikombinasikan dengan proposisi serupa mengenai aspek lain, seperti kelembapan, curah hujan, kecepatan angin, dan sebagainya. Misalkan dalam contoh kita dapat predikat sekitar 75˚F diwakili oleh himpunan fazi ̅ pada R seperti pada gambar 8.3a dan kualifikasi kemungkinan adalah diekpresikan oleh himpunan fazi pada [0,1] yang didefinisikan pada gambar 8.3b.
Asumsikan sekarang bahwa distribusi probabilitas (diperoleh misalnya, dari statistik relevan selama bertahun – tahun) diberikan sebagai berikut:
Gambar 8.3 Contoh dari Probabilitas Proposisi Yang Memenuhi Syarat
21
Kemudian, menggunakan persamaan (8.10), kita peroleh:
Pro (t mendekati 75˚F) = .01 × .25 + .04 × .5 + .11 × .75 + .15 × 1 + .21 × 1 + .16 × 1 + .14 × .75 + .11 × .5 + .04 × .25 = .8
dan menerapkan hasil ini pada probabilitas fazi seperti pada gambar 8.3b (menurut persamaan (8.11)), kita temukan bahwa T(p) = .95 untuk proposisi. Artinya jika diberikan definisi sekitar 75 dan seperti pada gambar 8.3, memang benar dengan derajat .95 bahwa kemungkinan suhu (pada suatu tempat, waktu, dll) adalah sekitar 75˚F. Karena tingkat kebenaran yang tinggi ini, kita dapat menyimpulkan bahwa proposisi kita adalah karakterisasi yang baik dari situasi aktual. Namun, jika kita ganti kualifikasi yang mungkin ada dalam proposisi kita dengan kemungkinan besar (seperti juga didefinisikan pada gambar 8.3b), tingkat kebenaran proposisi baru hanya akan .32. Tingkat kebenaran yang rendah ini tidak akan membuat proposisi baru menjadi deskripsi yang baik tentang situasi aktual.
Perhatikan bahwa derajat kebenaran tergantung pada predikat F, kualifikasi P, dan diberikan distribusi probabilitas. Sebagai pengganti misalnya, predikat fazi kita sekitar 75 dengan predikat tajam ditahun 70- an kita peroleh:
Pro {t pada tahun 70-an} = ∑
dan T(p) menjadi hampir sama dengan 1 bahkan jika kita menerapkan kualifikasi yang lebih sangat mungkin.
3.3 Proposisi bersyarat dan tidak memenuhi syarat
Proposisi p jenis ini diekspresikan dengan bentuk kanonik:
t 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 f(t) .002 .005 .005 .01 .04 .11 .15 .21 .16 .14 .11 .04 .01 .005 .002 .001
22
p : jika x adalah A, maka y adalah B…………..(8.12)
dimana x, y adalah variabel yang nilainya masing – masing dalam himpunan X, Y dan A, B adalah himpunan fazi pada X, Y masing – masing. Proposisi ini juga dapat dilihat sebagai proposisi bentuk:
(x,y) adalah R…………..(8.13)
dimana R adalah himpunan fazi pada X × Y yang ditentukan untuk setiap dan setiap y Y oleh rumus:
( , ) [ ( ), ( )]
R x y A x B y
dimana menunjukkan operasi biner pada [0,1] yang mewakili implikasi fazi yang sesuai.
Implikasi fazi dibahas secara rinci dalam konteks perkiraan penalaran bagian 11.2 dan 11.3. Disini, mari kita gambarkan hubungan hanya antara persamaan (8.13) dan persamaan (8.12) untuk satu implikasi fazi tertentu, yaitu implikasi lukasiewcz:
( , )a b min(1,1 a b)
…………..(8.14)
Misalkan
1 2 3
.1 .8 1 A x x x dan
1 2
.5 1
B y y kemudian
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 3 3
1 1 7 1 .5 1
, , , , , ,
R y y y y y y
x x x x x x
Ini berarti, misalnya, T (p) = 1 ketika x = x1 dan y = y1; T (p) = .7 ketika x
= x2 dan y = y1; dan seterusnya.
3.4 Proposisi bersyarat dan berkualifikasi
Proposisi jenis ini dapat dicirikan oleh bentuk kanonik
p : jika x adalah A, maka y adalah B adalah S………….(8.15) atau bentuk kanonik
p : Pro {x adalah A ǀ y adalah B } adalah P………….(8.16) Dimana Pro {x adalah A ǀ y adalah B} adalah probabilitas bersyarat.
23
Karena metode yang diperkenalkan untuk jenis proposisi lain dapat digabungkan untuk menangani dengan proposisi jenis ini, kita tidak menganggap perlu untuk membahasnya lebih lanjut.
24
DAFTAR PUSTAKA
Klir, Georgw J. & Yuan, Bo. (1995). Fuzzy Sets And Fuzzy Logic, Theory And Applications. Upper Saddle River: Prentice Hall PTR.
