DOSEN PENGASUH: Dr. TAGOR MANURUNG, SE., MM.
PRODI MANAJEMEN (Semester I)
PRODI EKBANG (Semester I Reguler &
Khusus)
BAB I
HIMPUNAN
A. PENGERTIAN HIMPUNAN
HIMPUNAN ADALAH SUATU KUMPULAN
SEJUMLAH OBJEK. OBJEK-OBJEK YANG
MEMBENTUK HIMPUNAN ADALAH ANGGOTA-
ANGGOTA, ATAU UNSUR, ATAU ELEMEN
B. PENULISAN MATEMATIS (NOTASI)
1. P A
2. A C B
3. A = B
‘P’ merupakan anggota / elemen dari
‘A’
Himpunan ‘A’
merupakan bagian dari himpunan ‘B’
Himpunan ‘A’ sama
dengan himpunan ‘B’
C. OPERASI HIMPUNAN
1. GABUNGA N (UNION) A U B ARTINYA
SEMUA
OBJEK YANG DIMILIKI
HIMPUNAN
‘A’ DAN ‘B’.
DIAGRAM VENNU B
A
2. IRISAN (INTERSECTI ON)
A Ո B ARTINYA OBJEK YANG DIMILIKI
HIMPUNAN ‘A’
DAN ‘B’ SECARA BERSAMA
DIAGRAM VENN:
U
3. SELISIH A – B ARTINYA SEMUA OBJEK YANG DIMILIKI OLEH ‘A’ TANPA MEMPERHITUNGKA N YANG DIMILIKI OLEH ‘B’
DIAGRAM VENN:
‘A – B’ ‘B – A’
U U
4. PELENGKAP
‘Ā ‘ARTINYA OBJEK YANG BUKAN
ANGGOTA HIMPUNAN A
DIAGRAM VENN :
Ā B
CONTOH SOAL
Berikut ini ilustrasi tentang pengoperasian Himpunan:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
P = {1,2,3,4,5}
Q = {4,5,6,7,8}
R = {6,7,8,9}
1. PUQ = {1,2,3,4,5,6,7,8}
2. PUR = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3. QUR = {4,5,6,7,8,9}
4. PՈQ = {4,5}
5. PՈR = {O}
6. QՈR = {6,7,8}
7. P-Q = {1,2,3}
8. P-R = {1,2,3,4,5}
9. Q-R= {4,5}
10.P = {6,7,8,9}
11. Q = {1,2,3,9}
12. R = {1,2,3,4,5}
TUGAS
Tentukanlah:
1. PՍQ = 7. P-Q =
2. PUR = 8. P-R =
3. QUR = 9. Q-R =
4. PՈQ = 10. P =
5. PՈR = 11. Q =
6. QՈR = 12. R =
Ս =
1, 2, 3 , 4 . 5. 6, 7, 8, 9P = 4, 5, 6, 7, 8
Q = 1, 2, 3, 6, 9
R = 2, 3, 9
BAB II DERET
A. DERET HITUNG 1. Pengertian
Deret Hitung adalah suatu deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap bilangan tertentu.
bilangan yang membedakan suku-suku dalam deret hitung dinamakan “pembeda (b) “
misalnya : 5, 10, 15, 20, 25 , 30 b = 5
60, 50, 40, 30, 20, 10, b = -10
2. Suku ke – ռ dari deret hitung ( Sn ) rumus : Sn = a + ( n – 1 ) b
a = suku pertama n = suku ke – n
contoh : tentukan Suku ke – 4 dari deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30
jawab : Sn = a + ( n – 1 ) b S4 = 5 + ( 4 – 1 ) 5
S4 = 5 + 15
S4 = 20
3. Jumlah n suku ( Jn ) rumus : Jn = ∑ Si i = 1 Jn = n ( a + Sn ) 2
Jn = n { 2a + ( n – 1 ) b } 2
Jn = n.a + ( n – 1 ) b
contoh : tentukan jumlah Suku pertama hingga suku keenam : 5, 10, 15, 20, 25, 30
jawab : Jn = ∑ Si i = 1
J6 = S1 + S2 + S3 + S 4 + S5 + S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105
Jn = n ( a + Sn ) 2
J6 = 6 ( 5 + 30 ) 2
= 3 ( 35 ) = 105
Jn = n { 2a + ( n – 1 ) b } 2
= 6 { 2.5 + ( 6 -1 ) 5 } 2
= 3 ( 10 + 25 ) = 105
Jn = n.a + ( n – 1 ) b
= 6.5 + ( 6 – 1 ) 5 = 30 + 3 ( 5 ) 5
= 105
B. DERET UKUR
1. Pengertian
Deret Ukur adalah Suatu Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap bilangan tertentu.
bilangan yang membedakan suku-suku dalam deret ukur dinamakan
“pengganda (P) “
misalnya : 5, 10, 20, 40, 80, 160, P = 2
800, 400, 200, 100, 50, 25 P = 0,5 2. Suku ke – n dari Deret Ukur ( Sn )
rumus : Sn = ap n-1
contoh : tentukan suku ke – 3 dari deret ukur : 5,10, 20, 40, 80, 160
jawab : Sn = ap n-1 S3 = 5.2 3-1 = 5.4 = 20
3. Jumlah n – suku ( Jn )
rumus : Jn = a (1 – p n ) p < 1 1 - p
Jn = a (p n – 1 ) p > 1 P-1
contoh : tentukan jumlah suku pertama hingga suku ketiga dari deret hitung ; 5, 10, 20, 40, 80, 160
800, 400, 200, 100, 50, 25 jawab :
Jn = a (1 – p n ) 1 – p
J3 = 800 (1 – 0,5 3 ) 1 – 0,5
= 800 ( 1 – 0,125 ) 0,5
= 1400
Jn= a (p n – 1 ) P-1
= 5 (23 – 1 ) 2-1 J3 = 5 ( 7 ) 2- 1
= 35
C. PENERAPAN EKONOMI DERET HITUNG DAN DERET
UKUR
1. Model perkembangan Usaha Deret Hitung contoh :
Penerimaan PT. Sumber Abadi pada tahun pertama sebesar Rp. 200 juta dan perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 juta
hitunglah penerimaan perusahaan pada tahun ke 5 dan hitunglah penerimaan perusahaan mulai tahun pertama hingga tahun ke lima 2. Model bunga Majemuk Deret Ukur
rumus : Fn = P ( 1 + i ) n Pembayaran Bunga 1 kali dalam 1 tahun Fn = P ( 1 + i/m ) m.n Pembayaran bunga lebih dari 1 kali dalam 1 tahun
FN = Jumlah di masa datang P = Jumlah Sekarang
I = tingkat bunga per tahun
n = jumlah tahun
m = Frekwensi pembayaran bunga
Contoh :
Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebesar Rp. 5 juta dengan jangka waktu 2 tahun . Tingkat bunga Bank sebesar 8 % per tahun berapakah nilai yang harus dibayar pada saat pelunasan. Jika sistem pembayaran bunga dirubah menjadi per semester, berapakah nilai yang harus dibayar pada saat pelunasan.
3. Model Pertumbuhan Penduduk Deret Ukur rumus : Pt = P1. Rt-1 R = 1 + r
Pt = Jumlah penduduk tahun ke – t
P1 = Jumlah penduduk pada tahun dasar r = Persentase Pertumbuhan
i = indeks tahun Contoh :
Jumlah penduduk suatu kota adalah sebanyak 10 juta jiwa pada tahun 2002. tingkat pertumbuhan penduduk adalah 4 % per tahun.
Berapa jumlah penduduk pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhan penduduk menurun menjadi 3% pertahun, berapa
jumlah penduduk Kota tersebut Lima tahun kemudian ( tahun 2010 ).
Jawaban no 1 :
Sn = a + (n – 1 ) b
Ss = 200 juta + ( 5 – 1 ) 130 juta = 200 juta + ( 4 ) 130 Juta
= 720 juta Jn= n ( a + Sn )
2
Js = 5 ( 200 juta + S5 ) 2
= 2,5 ( 200 juta + 720 juta ) = 2,3 milyar
Jawaban no. 2
Fn = P ( 1 + I ) n
= 5 juta ( 1 + 0,08 ) 2
= 5 juta ( 1,1664 )
= 5.832.000
Fn = P (1 + i/m ) m.n
= 5 juta ( 1 + 0,04 ) 4
= 5 juta ( 1,1698)
= 5.849.000
Jawaban no 3 Pt = P1 R
t-1= 10 juta ( 1,04 )
5-1= 10 juta ( 1,1695856) = 11,698,586 jiwa
Pt = P1 R
t-1= 11.698.586 (1,03)
5-1= 11.698.586 (1,12550881)
= 13,166,862 jiwa
BAB III : FUNGSI LINIER
A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel yang lain.
Unsur-unsur pembentuk fungsi yaitu variabel, koefisien dan konstanta.
Misalnya : Fungsi y = a + b x y dan x adalah variabel
a adalah Konstanta b adalah Koefisien
Dalam matematika ekonomi, huruf pertama dari namanya digunakan sebagai Lambang (dalam bahasa asing)
Misalnya : - P untuk harga (price) - Q untuk jumlah (quantity) - C untuk biaya (cost)
B. BENTUK UMUM FUNGSI LINIER
Sesuai dengan namanya maka fungsi linier akan menghasilkan kurva yang membentuk garis lurus (line) dan variabelnya berpangkat satu Contoh : Gambarkan fungsi y=3+2x
Jawaban : Cara tabulasi :
Gambar :
C. PEMBENTUKAN FUNGSI LINIER
Suatu fungsi linier dapat dibentuk dengan cara Dwi-Koordinat yaitu dari dua buah titik koordinat, misalnya titik A (x1, y1) dan B (x2 , y2).
Rumusnya adalah :
Contoh : Bentuklah fungsi linier dari titik A (2,3) dan B (6,5)
Jawab :
4( y – 3 ) = 2 (x –2 ) 4 y – 12 = 2x - 4 4 y = 2 x - 4 + 12 4 y = 2x + 8
Y =
Y = 0,5x +2.
D. PENCARIAN AKAR-AKAR FUNGSI LINIER
1.
Cara Substitusi
Contoh : Hitunglah nilai variabel X dan Y dari dua fungsi linier dibawah ini :
2X + 3Y = 21 X + 4Y = 23
Jawab : X + 4Y = 23 X = 23 – 4Y 2X + 3X = 21
2 (23 - 4Y) + 3Y = 21 46 – 8Y + 3Y = 21
-5Y = 21 – 46 -5Y = -25
Y = - 25 = 5
X + 4Y =23 X + 4 (5) = 23 X + 20 = 23 X = 23 – 20 X = 3
- 5
2. Cara Eliminasi
Contoh : Sama dengan nomor 1 Jawab :
2X + 3Y = 21 X1 2X + 3Y = 21 X + 4Y = 23 X2 2X + 8Y = 46 (-)
0 – 5Y = - 25 Y = - 25 - 5 X + 4Y = 23 X + 4(5) = 23 X + 20 = 23
X + 23 – 20 = 3
BAB IV. PENERAPAN EKONOMI FUNGSI LINIER
A. Fungsi Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar
Fungsi permintaan dan penawaran menunjukkan
hubungan antara harga barang dan jumlah barang, sedangkan keseimbangan pasar terjadi pada saat jumlah barang yang diminta sama dengan jumlah barang yang ditawarkan, serta harga yang diminta sama dengan harga yang ditawarkan.
Contoh : Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 – Q dan fungsi penawaran adalah P = 3 + 0,5Q
Tentukan harga keseimbangan dan jumlah
keseimbangan, serta gambarkan grafiknya
Jawab : P =15 – Q
P = 3 + 0,5Q Qd = Q5
15 – Q = 3 + 0,5Q -Q – 0,5Q = 3 – 15 -1,5Q = -12
Q = =8 Jumlah Keseimbangan P = 15 – Q
P = 15 – 8 = 7 Harga Keseimbangan
E (8,7) Titik Keseimbangan
Gambar
P
Q 15
7
3
0 8 15
P = 3 + 0,5Q
B. Pengaruh pajak specifik terhadap keseimbangan pasar (equilibrium)
Pajak specifik adalah suatu pajak yang dikenakan terhadap suatu barang, sehingga harga jual semakin meningkat dan jumlah barang semakin menurun. Pajak specifik hanya berpengaruh terhadap kurva penawaran dalam bentuk fungsi P, sehingga kurva penawaran bergeser ke kiri sedangkan kurva permintaan tetap.
Contoh :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 – Q dan fungsi penawaran adalah P = 3 + 0,5Q
Pajak specifik yang dikenakan terhadap barang tersebut sebesar 3 per unit barang.
a.Tentukan keseimbangan pasar sebelum pajak b.Tentukan keseimbangan pasar sesudah pajak
c.Hitung pajak yang ditanggung konsumen (tk = Pe 1 – Pe) d.Hitung pajak yang ditanggung produsen (tp = t –tk)
e.Hitung pajak yang diterima pemerintah (T = t x Qe 1) f.Gambarkan grafiknya
Total biaya (Total Cost = TC) merupakan penjumlahan dari Biaya Tetap (Fixed Cost = FC) dan Biaya Variabel (Variable Cost = VC)
Fixed Cost (FC) = K Variable Cost (VC) =V.Q Total Cost (TC) = FC + VC
Total Penerimaan (Total Revenue = TR) adalah ;
Merupakan hasil kali antara harga barang per unit dengan jumlah barang yang terjual.
TR = P X Q
Dapat disimpulkan bahwa : -Jika TR > TC Laba -Jika TR < TC Rugi
-Jika TR = TC BEP (Profit = 0) - atau = 0
-Contoh :
-Terdapat suatu perusahaan yang mengeluarkan Biaya Tetap (FC) sebesar Rp. 20.000.000,- dan Biaya Variabel (VC) sebesar Rp. 100.000,- per unit. Harga jual barang sebesar Rp.
200.000,- per unit.
-A. Hitunglah besarnya produksi perusahaan pada saat BEP
-B. Coba anda analisa jika perusahaan mampu menjual barang sebanyak 300 unit.
-C. Gambarkan grafiknya
c. Fungsi biaya, penerimaan, dan analisis pulang pOKOK
(break event point = bep)
BAB V. FUNGSI NON LINIER DAN PENERAPAN EKONOMINYA
Fungsi non linier adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya berpangkat dua atau lebih, dan kurvanya berbentuk garis melengkung.
Pada dasarnya yang paling lazim digunakan adalah fungsi kwadrat yaitu fungsi dengan variabel bebasnya berpangkat dua.
Bentuk-bentuk fungsi kwadrat adalah : 1.Lingkaran
2.Elips
3.Hiperbola 4.Parabola Rumus a b c :
Contoh :
Fungsi permintaan suatu barang adalah Q = 19 – P2 dan fungsi penawaran adalah Q = -8 + 2P2
Untuk barang tersebut dikenakan pajak specifik sebesar 1 per unit barang 1.Tentukan keseimbangan pasar sebelum pajak
2.Tentukankesimbangan pasar sesudah pajak
3.Hitunglah pajak yang ditanggung konsumen (tk = Pe1 – Pe) 4.Hitunglah pajak yang ditanggung produsen (tp = t – tk) 5.Hitunglah pajak yang diterima pemerintah (T = t x Qe1)
