Respons Struktur terhadap Gempa Bumi

Kampus ITS Manyar, Jl. Menur 127 Surabaya 60116 Telp. : 031 5947637, 5927419

Fax 5938025 E-mail d3manyar@its.ac.id

disampaikan pada Pertemuan ke – 2 & 3

 Penyebab utama dari rusaknya bangunan-bangunan selama gempa adalah repons mereka terhadap gerakan tanah yang masuk melalui pondasinya.

 Gempa merupakan beban dinamik (berubah-ubah terhadap waktu)

 perilaku responsnyapun harus dihitung secara dinamik pula (hitung besaran-besaran respons untuk seluruh ranah waktu).

( ) ( ) t v t v ( ) t v

_t

= +

_g

( ) ( ) ( ) ( )

mv t  + cv t  + kv t = p t

( ) ( ) ( )

g

( )

mv t  + cv t  + kv t = − mv  t

( ) ( ) τ

^{( )}

ω ( τ ) τ ω

τ

ξω

t d

e v

t

v

^t _D

t g D

−

⋅

−

= ¹ ∫

^{− −}

^sin

0

( ) ( )

^{( )}

( ) ( )

0

cos

t

t

g D

v t ^ = ∫ v τ ⋅ e

^{−ξω −τ}

ω t − τ τ ξω d − v t

( ) ² ( )

²

( )

v t = − ξω v t − ω v t

 

Single degree of freedom (sdof) :

3

Multiple degree of freedom (mdof) :

[ ] ^M { } ^v  ⁺ [ ] ^K { } { } ^{v = 0} { } { } ^{v = v}  ^{sin ω t}

{ } ^v  ^{= − ω}

²

{ } ^v [ ] [ ]

( ^{K − ω}

²

^M ) ^{{ } { } v = 0}

(a) Bentuk ragam & Frekwensi :

(b) Kombinasi ragam :



Respons ragam maksimum didapat- kan untuk setiap ragam dari serang- kaian ragam yang mewakili respons strukturnya



Kombinasi dari masing-masing ragam tersebut bisa memakai SAV (Sum of the Absolute Values), SRSS (Square Root of the Sum of the Squares), atau CQC (Complete Quadratic Combination)

5 4 3 2 1

v1 = 1 v2 = 1 v3 = 1 v4 = 1 v5 = 1

Ragam - 1 Ragam - 2 Ragam - 3 Ragam - 4 Ragam - 5

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Co nt oh St ruk tur P or ta l 10 Tin gk at

5

Contoh Struktur di Depan mengalami gempa Denpasar

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Bila St ruk tur dih itun g se ba ga i 3 D

7

Respons Struktur 3D di Depan terhadap gempa Denpasar

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Hati-hati Bahaya Tumbukan antar Bangunan Berdekatan

9

Hati-hati Perbedaan Respons antar Blok Bangunan

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Bangunan Industri mengalami gempa El Centro

11

Bangunan Jembatan mengalami gempa El Centro

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Bangunan Bendungan Urugan mengalami gempa El Centro

13

 Penyebab utama dari rusaknya bangunan-bangunan selama gempa adalah repons mereka terhadap gerakan tanah yang masuk melalui pondasinya.

 Gempa merupakan beban dinamik (berubah-ubah terhadap waktu)

 perilaku responsnyapun harus dihitung secara dinamik pula (hitung besaran-besaran respons untuk seluruh ranah

waktu).

 2 Pendekatan pada perhitungan Mekanika Rekayasa struktur :

 Metoda gaya  hitung gaya redundant  degree of static- ally indeterminacy

 Metoda perpindahan  hitung perpindahan  degree of kinematically indeterminacy  degree of freedom (d.o.f.)

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Masalah Nyata

Masalah Matematika

Solusi

(Penyelesaian) Idealisasi

1. Model struktur

2. Model perpindahan 3. Sifat material

4. Syarat batas 5. Pembebanan 6. Dan lain-lain

Idealisasi dibutuhkan untuk memodelkan masalah-masalah nyata menjadi

masalah matematika.

15

dst. ....

1 derajat kebebasan

= 1 dof

2 derajat kebebasan

= 2 dof

3 derajat kebebasan

= 3 dof Struktur nyata

1 perpindahan 2 perpindahan 3 perpindahan

Pada struktur nyata dapat terdiri dari banyak d.o.f. ( n =  ) Dengan idealisasi dapat ditentukan /dipilih model struktur dengan sejumlah diskret d.o.f. tertentu sehingga masih

cukup tepat mewakili kondisi yang sebenarnya tanpa meng- abaikan pertimbangan-pertimbangan ekonomis dari

solusinya.

( single degree of freedom ) ( multi degree of freedom )

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

v

₁

v

₄

v

₁

B B

v

₅

C'

A A

Struktur nyata Idealisasi

 Rigid joint  3 d.o.f.

 Perletakan jepit  0 d.o.f.

 Perletakan sendi  1 d.o.f.

 Perletakan roll  2 d.o.f.

 Semua jenis deformasi terjadi

 Hanya 1 d.o.f. untuk setiap tingkat /lantai portal

 Deformasi aksial pada balok &

kolom dianggap tak terjadi

 Deformasi geser balok tak terjadi C

v

₆

D

C'

v

₇

v

2

B' v

₃

C B'

D Bangunan

Geser

17

Gerak Osilasi :

Gaya-gaya yang timbul : F

_I

F

_D

F

_S

F

_L

2 2

Keseimbangan gaya-gaya : F

_I

+ F

_D

+ F

_S

= F

_L

SDOF :

1 1

( I ) ( II ) ( III ) ( IV )

MDOF :

2

( I ) ( II ) ( III )

0.5k 1 0.5k 1

m₁

c₁ c₂

SDOF MDOF

k

m c

k1 k₂

m1 m₂

m₁

c₁

m₂

0.5 k c₂ 0.5 k

0.5 k c₁ 0.5 k

c , k m

v

c₁, k₁ m₁

c₂, k₂

m

v₁ v₂

( ) ( ) ( )

I D S

F m v t F c v t F k v t

= ⋅

= ⋅

= ⋅





( ) ( ) ( ) ( )

m v t ⋅  + ⋅ c v t  + ⋅ k v t = p t

[ ] ^{M v} { }  ⁺ [ ] ^{C v} { }  ⁺ [ ] ^{K v} { } { } ^{= P}

( IV ) Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

dimana :

; ;

;

[ ]

1

2

3

0 0 ... 0

0 0 ... 0

0 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ...

_n

m m

M m

m

 

 

 

 

=  

 

 

 

{ }

1 2 3

...

n

v v

v v

v

   

   

=  

   

   





 



{ }

1 2 3

...

n

p p

P p

p

   

   

=  

   

   

[ ]

1 2 2

2 2 3 3

3 3 4

0 ... 0

... 0

0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0

_{n n}

c c c

c c c c

C c c c

c c

+ −

 

 − + − 

 

 

= − +

 

 

 − 

 

{ }

1 2 3

...

n

v v

v v

v

   

   

=  

   

   





 



[ ]

1 2 2

2 2 3 3

3 3 4

0 ... 0

... 0

0 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0

_{n n}

k k k

k k k k

K k k k

k k

+ −

 

 − + − 

 

 

= − +

 

 

 − 

 

; { }

1 2 3

...

n

v v

v v

v

   

   

=  

   

    matriks diagonal

matriks tri-diagonal

matriks tri-diagonal

19

Bila :

 Suku ( II ) = 0

 Suku ( II ) ≠ 0

 Getaran tak teredam (Undamped vibration)

 Getaran teredam (Damped vibration)

 Suku ( IV )

 Suku ( IV )

= ≠ 0 0

Getaran bebas (Free vibration) Getaran paksa (Forced vibration)

 

k _e

k ₁ k ₂

= _{1 1 1}

= +

Serie _{k k k}

e 1 2

k ₁

k _e

Paralel =

k

_e

= k

₁

+ k

₂

H u bu n ga n P eg as

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

( I ) ( II ) ( III )

; ; dan :

dimana : = frekwensi putaran sudut alamiah f = frekwensi alamiah

T = perioda /waktu getar alamiah k = kekakuan pegas

m = massa

(Undamped Free-Vibration) Persamaan : atau dalam bentuk lain :

Solusinya :

( ) ( ) ( ) ( )

mv t  + cv t  + kv t = p t

( IV )

k ω = m

f 2 ω

= π 1

T = f

0

mv  + kv = k 0

v v

+ m =



( ) cos k sin k cos sin

v t A t B t A t B t

m m ω ω

= ⋅ + ⋅ = +

21

Bukti :

Konstanta-konstanta A & B dicari dari keadaan awal (initial condition) :

Misal : dan :

Maka akan didapatkan : dan :

Bisa ditulis dalam bentuk yang lebih ringkas :

dimana : dan :

cos sin

v = A ω t + B ω t

sin cos

v  = − A ω ω t + B ω ω t

2 2

cos sin

v = − A ω ω t − B ω ω t



Substitusikan pada persamaan semula :

k

2

v v v v

m ω

+ = +

 

( )

2 2 2

cos sin cos sin 0

A ω ω t B ω ω ω t A ω t B ω t

= − − + + =

(Terbukti)

(0)

0

v = v v  (0) = v 

₀

A = v

0

B ^v

⁰

= ω  Sehingga solusinya menjadi :

( ) v

⁰

sin

0

cos

v t ω t v ω t

= ω  +

( ) ^cos ( )

v t = ρ ω θ t −

2

2 0

0

v v

ρ ω

= +      



₀

0

arctan v θ v

ω

 

=   ⋅  



Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

v, v(t) = simpangan yang berubah-ubah thd. waktu v

₀

= simpangan awal

v

₀

= kecepatan awal

ω = frekwensi putaran sudut  t = waktu

m = massa k = kekakuan dimana :

v(t)

k ω = m

t

θ ^{T = 2} _ω ^π

cos t ρ ω

( )

cos t

ρ ω θ −

23

(Damped Free-Vibration) Persamaan :

Misalkan :

dan : Maka :

Substitusikan pada persamaan semula :

Bila : Maka :

 Persamaan kwadrat dengan akar-akar :

c k 0

v v v

m m

+ + =

 

atau : 0

mv  + cv  + kv = v = e

^λt

v  = λ e

^λt

v  = λ

²

e

^λt

2 ^t

c

^t

k

^t

0

e e e

m m

λ λ λ

λ + λ + =

2

c k

^t

0

m m e λ λ

λ

 + +  =

 

 

t

0 e

^λ

≠

2

c k 0

m m

λ + λ + =

2

2 2

1,2

4 1 1

2 1 2 2 4 2 2

c c k

m m m c c k c c k

m m m m m m

λ

− ±       − × ×    

= × = − ±     − × = − ±     −

2

2

2 2

c c

m ^ m ^ ω

= − ±   −

 

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

a). Bila : 2 0

2 2

=

 −



 



 ω

m c

maka : c = ± 2 m ω

Dalam hal ini, c disebut c

_c

( redaman kritis ), dan sistemnya dikatakan teredam secara kritis ( critically damped )

Dari persamaan di depan didapatkan 2 akar kembar yang real, yaitu : ω

λ = − = − m 2

2

2 , 1

Sehingga solusinya :

( ) ( ^{t A Bt} ) ^e

^t

v = +

^−ω

Konstanta-konstanta A dan B ditentukan dari keadaan awal (initial condition), sbb. :

Misal : ^v ( ) ^{0 = v}

₀

^{dan :} v  ( ) 0 = v 

0

Maka akan didapatkan : A = v

₀

0 0

B = + ⋅ v  ω v

25

v(t)

t v

0

v 

0

b). Bila : 2 0

2 2

>

 −



 



 ω

m c

maka : c > 2 m ω

Karena c > c

_c

(= redaman kritis) maka dalam hal ini c disebut redaman kuat, dan sistemnya disebut teredam secara kuat ( overdamped )

Suku diskriminan : ω ( ) ξω ω ω ξ 1 ω ^ˆ

2

2 2 2

2 2

=

−

=

−

=

 −



 



 m c

ω yang teredam kuat

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Dari persamaan di depan didapatkan 2 akar real yang berbeda Solusinya :

( ) ^{t e} ( ^{A t B t} )

v =

^−ξωt

sinh ω ˆ + cosh ω ^ˆ

dimana : ξ = faktor redaman

> 1

= c

c

ξ c v(t)

t v

0

v 

0

27

c). Bila : 2 0

2 2

<

 −



 



 ω

m c

maka : c < 2 m ω

Karena c < c

_c

(= redaman kritis) maka dalam hal ini c disebut redaman lemah, dan sistemnya disebut teredam lemah ( underdamped )

< 1

= c

c

ξ c ^ Faktor redaman

2 2

2 ,

1

2 2 ω

λ  −



 



± 

−

= m

c m

c

( ) ^ξω

²

^ω

²

ξω ± −

−

=

1 ξ

2

ω

ξω ± −

−

= i _{dimana :} i = − 1

i ω

D

ξω ±

−

= _ ω

_D

= ω 1 − ξ

²

( Frekwensi teredam )

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Bila ditentukan keadaan awal : ^v ( ) ^{0 = v}

₀

^{dan :} v  ( ) 0 = v 

0

Maka akan didapatkan :

2 0 0 2

0 D

v v

ξω v

ρ ω

 + ⋅ 

=   +

 



0 0

0

arctan

D

v v v θ ξω

ω

= + ⋅

⋅

 Solusinya :

( ) t K e ⁽

^{i D}

⁾

^t

K e ⁽

^{i D}

⁾

^t

v =

₁

⋅

^{− ξω+ ω}

+

₂

⋅

^{− ξω−ω}

( ^{ω ω} )

^ξω

^ρ ( ^{ω θ} )

ξω

+ = −

= e

^{− t}

A sin

_D

t B cos

_D

t e

^{− t}

cos

_D

t

Catatan :

Sistem mekanik ( bangunan permesinan )  biasanya teredam kuat

Sistem bangunan teknik sipil  biasanya teredam lemah

29

v(t)

t

e ^{−ξω t}

ρ e ^{−ξω t} cos( ω _D .t - θ )

θ ω

π

= 2 T

v

₀

e ^{- ξω t} _{ρ cos( ω}

D .t - θ ) ρ cos ω _D .t

ρ e ^{−ξω t} cos ω _D .t

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

(Undamped Forced-Vibration)

Persamaan : mv  + kv = p

₀

sin ω t

Misalkan fungsi beban luar : ^p ( ) ^{t = p}

₀

^{sin ω t}

^p0

T

( Persamaan differensial Non-Homogen )

Solusi (penyelesaian) PD Non-Homogen : ^v ( ) ^{t = v}

_c

( ) ^{t + v}

_p

( ) ^t

v

_c

= solusi komplementair  solusi ruas kiri PD  respons getaran bebas v

_p

= solusi partikulir (penyelesaian khusus)

Dari getaran jenis (1) - Getaran bebas tak teredam di depan, didapatkan :

( ) ^{t A t B t}

v

_c

= sin ω + cos ω

Menentukan penyelesaian khusus PD, misalkan : ^v

_p

( ) ^{t = G sin ω t}

maka : v 

_p

= ω G cos ω t

2

sin v 

p

= − ω G ω t

Substitusikan pada pers. semula : mv  + kv = p

₀

sin ω t

t p

t Gk

t

Gm ω

²

sin ω + sin ω =

₀

sin ω

− ^t ( ^{k m} ) ^{p t}

G sin ω − ω

²

=

₀

sin ω

2 0

ω m k

G p

= −

31

Solusi lengkap PD :

( ) ^t

m k

t p B

t A

t

v ω

ω ω

ω cos sin

sin

⁰ ₂

+ − +

=

Bila diperkenalkan notasi baru : ω

β = ω ^ Rasio frekwensi = perbandingan antara frekw. beban dengan frekwensi struktur

Maka solusi di atas akan menjadi :

( ) ^t

k k m

t p B

t A

t

v ω

ω ω

ω sin

1 cos 1

sin

2 0

−

× +

+

=

2

1

= ω k t

t p B

t

A ω

ω β

ω sin

1 cos 1

sin

⁰ ₂

× − +

+

=

Lagi, konstanta A & B ditentukan dari keadaan awal (initial condition) : Misal : ^v ( ) ^{0 = 0 dan : v}  _{( )} ^{0 = 0}

Maka akan didapatkan :

⁰ ₂

1 1

β β

× −

− ⋅

= k

A p

= 0 B

 (Struktur semula dalam keadaan diam)

Sehingga solusi menjadi : ( ) ( ^{t t} )

k t p

v ω β ω

β ^{sin sin} 1

1

2

0

−

× −

=

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW& YT

Dari persamaan di depan :

( ^t )

k

p ω

β ^sin 1

1

2 0

× − ^ disebut komponen steady-state

( ^t )

k

p β ω

β ^sin 1

1

2 0

× − ^ disebut komponen transient

dengan : k p

₀

= perpindahan maksimum statik

1 − β

2

= faktor perkuatan dinamik (dynamic amplification factor) (Damped Forced-Vibration)

Persamaan : mv  + cv  + kv = p

₀

sin ω t

Misalkan fungsi beban luar : ^p ( ) ^{t = p}

₀

^{sin ω t}

Solusi (penyelesaian) PD Non-Homogen : ^v ( ) ^{t = v}

_c

( ) ^{t + v}

_p

( ) ^t

v

_c

= solusi komplementair  solusi ruas kiri PD  respons getaran bebas v

_p

= solusi partikulir (penyelesaian khusus)

Dari getaran jenis (2) - Getaran bebas teredam (lemah) di depan, didapatkan :

( ) ^{t e} ( ^{A t B t} )

v

_c

=

^−ξωt

sin ω

_D

⋅ + cos ω

_D

⋅

33

Menentukan penyelesaian khusus PD : t G

t G

v

_p

=

₁

sin ω +

₂

cos ω maka : v 

_p

= G

₁

ω cos ω t − G

₂

ω sin ω t

2 2

1

sin

2

cos

v

p

= − G ω ω t − G ω ω t



Substitusikan pada pers. semula akan didapatkan : Misalkan :

Suku ini muncul karena respons struktur teredam tidak se-fase dengan beban luarnya

(

²

)

²

^{( )}

²

2 0

1

1 2

1

ξβ β

β +

−

× −

= k G p

(

²

)

²

( )

²

0

2

1 2

2

ξβ β

ξβ +

−

× −

= k G p

Sehingga solusi umum PD Non-Homogen :

( ) ( )

(

²

)

²

^{( )}

²

0

2 1

cos 1

sin ω ω β ξβ

ξω

+

× − +

⋅ +

⋅

=

⁻

k t p

B t A

e t

v

^t _{D D}

( )

{ ^{1 − β}

²

^{sin ω t − 2 ξβ cos ω t} }

×

Transient Steady-state

Konstanta-konstanta A & B ditentukan dari keadaan awal (initial condition) : Misal : ^v ( ) ^{0 = 0 dan : v}  _{( )} ^{0 = 0 } Struktur mula-mula dalam keadaan diam

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

Apabila komponen transient diabaikan, maka solusi akan menjadi :

( ) ( ) ^{( )} { ( ) ^{t t} }

k t p

v β ω ξβ ω

ξβ

β 2 ^{1 sin 2 cos}

1

1

₂

2 2 2

0

− −

+

× −

=

Atau bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih ringkas menjadi :

( ) ^{t = ρ} ( ^{ω t − θ} )

v sin

dimana :

( ^{1 β}

²

)

²⁰

^{( 2 ξβ )}

²

ρ = − + k

p ^{dan : θ = arctan} ( ^{1 2 − ξβ β}

²

)

( )

k maks p

v

maks t

DMF v

statik 0

= ρ

=

( ^{1 − β}

²

) ¹

²

^{+ ( 2 ξβ )}

²

=

DMF

 β

(Dynamic Magnification Factor = DMF) :

( 0 < θ < 180

^o

)

35

Dari persamaan respons lengkap di depan :

Didiferensiasikan sekali terhadap t didapatkan :

( ) ( )

(

²

)

²

^{( )}

²

0

2 1

cos 1

sin ω ω β ξβ

ξω

+

× − +

⋅ +

⋅

=

⁻

k t p

B t A

e t

v

^t _{D D}

( )

{ ^{1 − β}

²

^{sin ω t − 2 ξβ cos ω t} }

×

( )

^t

( ^sin

D

^cos

D

)

^t

(

D

^cos

D D

^cos

D

)

v t  = − ξ e

^−ξω

A ω ⋅ + t B ω ⋅ + t e

^−ξω

A ω ω ⋅ − t B ω ω ⋅ t

( ) ^{( )} { (

²

) }

0

2 2

2

1 1 cos 2 sin

1 2

p t t

k β ω ω ξβω ω

β ξβ

+ × − +

− +

Disempurnakan diperoleh :

( ) {

^{t D}

^cos

^{D t}

^sin

^D

}

v t  = A e

^−ξω

ω ω ⋅ − t ξ e

^−ξω

ω ⋅ t

{ }

( ) ^{( )}

0

2 2

2

cos sin 1

1 2

t t

D D D

B e t e t p

k

ξω ξω

ξω ω ω ω

β ξβ

− −

− ⋅ + ⋅ +

− +

( )

{ ^{1 β ω}

²

^{cos ω t 2 ξβω sin ω t} }

× − +

Masukkan syarat awal di depan : ^v ( ) ^{0 = 0 dan : v}  ( ) ^{0 = 0}

 diperoleh :

( ) ^{( )}

0

2 2

2

2

1 2

B p

k

ξβ

β ξβ

= ×

− +

( ) ^{( )} (

^{2 2}

)

0

2 2

2

2 1

1

1 2

^D

A p

k

βω ξ β

β ξβ ω

= × × − +

− +

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Pe rp ind aha n R es p ons , v( t) (c m)

Waktu, t (detik)

Komponen Transient Getaran

β = 0.25 β = 0.50 β = 0.75 β = 1.00 β = 1.25 β = 1.50

37

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Pe rp ind aha n R es p ons , v( t) (c m)

Waktu, t (detik)

Komponen Steady State Getaran

β = 0.25 β = 0.50 β = 0.75 β = 1.00 β = 1.25 β = 1.50

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Pe rp ind aha n R es p ons , v( t) (c m)

Waktu, t (detik)

Getaran Total = Transient + Steady State

β = 0.25 β = 0.50 β = 0.75 β = 1.00 β = 1.25 β = 1.50

39

v(t)

t

e ^{−ξω t}

ρ e ^{−ξω t} cos( ω _D .t – θ )

θ ω

π

= 2 T

0

ω

D

π

ω

D

π 2

ω

D

π 3

ω

D

π 4

ω

D

π 5

v

_n

v

_n+

1

P1

P2

P3

P4

L1

L2

L3

Materi - 2 DSRK VC191419 Program STT TRPPBS DTIS FV-ITS DIW & YT



 



− 

= e

^D

v

_n ^ω

ξω ²π

Puncak ke-n :



 



− 

+

= e

^D

v

_n ^ω

ξω ⁴π

Puncak ke-n+1 :

1

e

D

v v

n

n ω

πξ ω 2

1

=

+

1 2

ln 2 2 2

1

n

n D

v v

ω πξ

δ πξ πξ

ω ξ

+

≡ = = =

−  ^{Ingat : ω}

^D

^{= ω 1 − ξ}

²

≈ 1 untuk ξ  0

( ) ( ) ( ) ( )

...

...

! 5 2

! 4 2

! 3 2

! 2 2 2

1

5 4

3 2

2 1

+ +

+ +

+ +

=

=

+

πξ πξ

πξ πξ πξ

e

πξ

v v

n n

Ekspansikan dengan deret :

Bisa diabaikan untuk ξ  0

Faktor redaman :

1

2

1

n n

n

v v ξ v

π

₊⁺

=  −