Materi 5 Mekanika Teknik

(1)

18 Berikut contoh perhitungan Gaya Luar dan Gaya dalam

`Gaya –gaya yang dihitung berikut adalah gaya luar meliputi reaksi perletakan sedang beban diketahui dan gaya dalam meliptui gaya momen (M), gaya lintang (D) dan gaya normal N). Perhitungan berikut ditetapkan putaran momen serah jarum (+) dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam (-)

A. Balok Sederhana diatas dua perletakan Contoh 1

Diketahui balok diatas dua perletakan dengan beban titik P seperti tergambar

Ditanyakan :

1. Reaksi perletakan

2. Gaya M, D dan N disertai dengan gambar

Penyelesaian

 Mb = 0 Va L – P b = 0 Va = P b / L

 Ma = 0 -Vb L + P a = 0 Vb = P a / L Kontrol  V = 0 Va + Vb – P = 0

P b / L – P a / L = 0 (ok)

2. Gaya M, D (Gaya normal tidak ada pada soal tidak ada gaya sesjajar batang) Perhatikan gambar karena terdapat dua lapangan yaitu AC dan CB maka dilakukan dua pemotongan pot. 1 sepanjang X1 dan pot. 2 sepanjang X2 a. Gaya Momen (M)

Pot. 1 0 < X1 < a Mx1 = Va X1

a b

L

A B

P

C

C P

a b L

Va Vb

A B

2 1

C

a b L

Va Vb

A B

X1 P

X2

(2)

19 0 < X2 < b

Mx2 = - (-Vb X2)

diberi tanda negatif didepan karena meninjau kari kanan kekiri.

b. Gaya Lintang (D) Pot. 1

Dx1 = dMx/dx Dx1 = Va Pot. 2

Dx2 = -dMx/dx Dx2 = -Vb

Contoh 2

Soal 2 sama dengan soal 1 diatas hanya perbedaannya pada beban P miring (membentuk sudut) sehingga penyelesaianya gaya P diuraikan menjadi gaya vertikal dan horizontal dengan pertanyaan sama dengan contoh 1

Penyelesaian

1. Reaksi Perletakan

 Mb = 0

Va L – P sin α b = 0 Va = P sin α b / L

 Mb = 0

- Vb L + P sin α a = 0 Vb = P sin α a / L

 V = 0

Va + Vb - P sin α = 0

P sin α a / L + P sin α b / L - P sin α = 0

 H = 0

Ha – P cos α = 0 Ha = P cos α Gambar bidang momen

Gambar bidang Lntang

A C B

Mc (+)

A (+) C B

(-) Va

Vb a b

L

Va Vb

A B

P

C

P



a b L

A B

C

P

 P cos 

P sin 

Ha

a b L

Va Vb

A B

C

(3)

20 2. Gaya M, D dan N

Perhatikan gambar karena terdapat dua lapangan yaitu AC dan CB maka dilakukan dua pemotongan pot. 1 sepanjang X1 dan pot. 2 sepanjang X2

a. Gaya Momen (M) Pot. 1

0 < X1 < a Mx1 = Va X1 0 < X2 < b Mx2 = - (-Vb X2)

diberi tanda negatif didepan karena meninjau kari kanan kekiri.

b. Gaya Lintang (D) Pot. 1

Dx1 = dMx/dx Dx1 = Va Pot. 2

Dx2 = - dMx/dx Dx2 = - Vb

c. Gaya Normal (N) Pot 1

Nx1 = - Ha = - P cos α (hanya terjadi pada bentang AC)

Pot. 2

Nx2 = 0 (karena tidak ada gaya yang sejajar dengan batang pada bentang CB)

P

 P cos 

P sin 

P cos 

P sin 

P



A (-) C B

Ha P cos 

Ha

Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang

Gambar bidang Normal a b

L

Va Vb

A B

a b

L

Va Vb

A B

X1 X2

A B

C C

C

Mc (+)

A (+) C B

(-) Va

Vb a b

L

Va Vb

A B

C

(4)

21 Contoh 3

Diketahui balok diatas dua perletakan dengan beban terbagi rata q seperti tergambar

Ditanyakan :

2. Gaya M, D dan N disertai drengan gambar Penyelesaian

 Mb = 0

Va L – Q L/2 = 0 Q = q L

Va L – q L L/2 = 0 Va L – ½ q L² = 0 Va = ½ q L

 Ma = 0

-Vb L + Q L/2 = 0

- Vb L + q L L/2 = 0 - Vb L + ½ q L² = 0 Vb = ½ q L

Kontrol  V = 0 Va + Vb – Q = 0

½ q L + ½ q L - Q = 0 (ok) 2. Gaya M, D dan N

Perhatikan gambar karena beban menerus satu bentang maka potongan hanya satu.

a. Gaya Momen (M) 0 < X < L

Mx = Va X – Qx X/2 Qx = q X Mx = Va X – q X X/2 sub Va = ½ q L Mx = ½ q L X – ½ q X² Pers. Mx Menghitung jarak M max

dMx/dx = 0

½ q L - q X = 0

X = ½ L (memenuhi karena batas X dari 0 s/d L) q

A B

L

q

Q L/2 L/2

L

Va Vb

A B

Vb

A B

q X

Qx X/2 X/2

(5)

22 Jadi M max (nilai X disub ke pers momen diatas) Mmax = ½ q L (½ L) – ½ q (½ L)²

Mmax = 1/4 q L² – 1/8 q L² = 1/8 q L² b. Gaya Lintang (D)

Dx = dMx/dx Dx = ½ q L - q X

c. Gaya Normal (tidak ada)

Contoh 4

Diketahui balok diatas dua peletakan dengan beban segita terbagi rata q seperti tergambar

Ditanyakan : 1. Reaksi perletkan

2. Gaya M, D dan N disertai drengan gambar Penyelesaian

 Mb = 0

Va L – Q 1/3 L = 0 Q = q L/2

Va L – q L/2 1/3 L = 0 Va L – 1/6 q L² = 0 Va = 1/6 q L

 Ma = 0

-Vb L + Q 2/3 L = 0

- Vb L + q L/2 2/3 L = 0 - Vb L + 1/3 q L² = 0 Vb = 1/3 q L

Kontrol  V = 0 Va + Vb – Q = 0

1/6 q L + 1/3 q L – q L/2 = 0 (ok) Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang Va

Vb (+)

(+)

(-) X/2

Mmax

q

A B

L

Q

1/3 L 2/3 L

L

q

Va Vb

A B

(6)

23 2. Gaya M, D dan N

Qx = qx X/2 qx : q = X : L qx = q X / L jadi Qx = q X/L X/2

Qx = ½ q X²/L

Mx = Va X – Qx 1/3 X Mx = 1/6 q L X – ½ q X²/L 1/3 L

Mx = 1/6 q L X – 1/6 q X³/L Pers. Mx Menghitung jarak M max

dMx/dx = 0

1/6 q L - 3/6 q/L X² = 0

√ atau √ (memenuhi karena batas X dari 0 s/d L)

M max didapat dengan mensub.nilai X ke pers.

Momen diatas.

b. Gaya Lintang (D)

Dx = dMx/dx Dx = 1/6 q L - 3/6 q/L X²

B. Balok Kantilever Contoh 5

Diketahui balok kantilever dengan beban titik P seperti tergambar

2. Gaya M, D dan N disertai drengan gambar Qx

1/3 x 2/3 x

L

q

Va Vb

A B

X qx

Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang L (1/3)^0,5

Mmax

Va

Vb (+)

(+)

(-)

A

P

L B



(7)

24 Penyelesaian

 V = 0

Va – P sin α = 0 Va = P sin α

 H = 0

Ha – P cos α = 0 Ha = P cos α 2. Gaya M, D dan N

Mx =- P X

Jika X = L maka didapat Ma = - P L

b.Ga ya Lintang (D) Dx = - dMx/dx Dx = P

Contoh 6

Diketahui balok kantilever dengan beban terbagi rata q seperti tergambar

2. Gaya M, D dan N disertai drengan gambar P cos 

P sin 

A

P

B Va L

Ha Ma

X

 A

P

L B

 P cos 

P sin 

Va Ha

Ma

Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang

Gambar bidang Normal (-)

(+) Va

Ma

P sin 

Ha

(-)

P cos 

q

A B

L

(8)

25 Penyelesaian

 V = 0

Va – Q = 0 Q = q L Va – q L = 0

Va = q L

Mx =- Qx X/2 Q = q X Mx = ½ q X²

Jika X = L maka didapat Ma = - ½ q L²

b.Ga ya Lintang (D) Dx = - dMx/dx Dx = q X

Atau jika X = L maka Dx = q L

Contoh 7

Diketahui balok kantilever dengan beban segitiga terbagi rata q seperti tergambar

Materi 5 Mekanika Teknik

a b

a b L

a b

L

q

A B

L

A B

L Q

L/2 Va L/2

Ma q

Ma

Va

(-)

(+)

Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang

A B

L

q B L

Qx X

X/2 X/2 A

Va Ma

q

B

L Q

L/3 2/3 L

q

A Va Ma

B L

X/3 Qx 2/3 X A

Va

Ma q X

qx

Ma

(-)

Va

Gambar bidang momen

Gambar bidang Lintang