Materi persiapan ujian Kalkulus

Kalkulus, dalam bahasa yang lebih sederhana, ialah aljabar dan geometri tingkat tinggi yang digunakan untuk memecahkan masalah

(misalnya fisika) yang bersifat rumit (kompleks)

Pertanyaan: Berapa energi yang diperlukan untuk mendorong kotak kayu sepanjang lintasan miring (mendaki) tersebut?

Kotak didorong sepanjang lintasan miring yang sudut kemiringannya tetap. Jika

kotak kayu didorong dengan tenaga yang tetap maka akan bergerak dengan kecepatan yang tetap pula. Besarnya

kakas (force) yang diperlukan untuk mendorong dapat

ditentukan berdasarkan

Hukum Newton yaitu F = m.a (m = massa, a = percepatan) atau F = m 𝒙

𝒕^𝟐

Jika sudut kemiringan berubah terus sepanjang lintasan maka tenaga

yang diperlukan dan kecepatan gerakan kayu juga akan ikut berubah. Semakin datar sudut

pendakian semakin rendah tenaga dorong yang diperlukan. Semakin tajam sudut pendakian semakin besar tenaga dorong yang

diperlukan. Oleh karena itu tenaga dorong dan kecepatan gerak kotak kayu akan berubah terus sepanjang lintasan dan waktu. Energi rata- rata yang diperlukan untuk

mendorong kotak kayu tersebut dapat dihitung berdasarkan prinsip KALKULUS.

Cara matematis untuk menyatakan segala sesuatu yang

BERUBAH terus

Hal yang paling menarik ialah:

Kalkulus memungkinkan kita untuk menZOOM suatu bagian yang sangat kecil dari suatu “masalah yang besar” dan memecahkan

masalah bagian kecil tersebut dengan teori-teori matematika. Dengan kata lain – penyelesaian sebuah masalah besar didekati dari

penyelesaian masalah kecil..

Matematika Kalkulus

3 m

4 m

200 m

Matematika: Berapa luas atap rumah ?

Kalkulus : Berapa luas kubah ?

 Kalkulus ialah bagian matematika yg terutama

melibatkan pengertian dan penggunaan diferensial dan integral fungsi serta konsep yg berkaitan

 Diferensial ialah analisis matematis tingkat tinggi tentang laju perubahan fungsi dengan adanya

perubahan dari variabel fungsi;

 Perubahan dinyatakan dengan huruf Yunani, Delta atau ∆

 Contoh – KECEPATAN ialah laju perubahan jarak per satuan waktu atau 𝒔� = ^𝒅𝒙_𝒅𝒕

Diferensial ialah LANDAIAN

Andaikan ada seekor semut yang bergerak ke satu

arah. Grafik perpindahannya dari waktu ke waktu, atau perpindahan sebagai fungsi waktu, ialah seperti

gambar berikut:

x(t)

t t + ∆t

x(t +∆t)

A

B

Pada waktu t, semut ada di titik A dan posisinya ada di x atau secara matematis semut ada di koordinat x(t).

Pada waktu (t +∆t), semut bergerak menuju titik B yang posisi koordinatnya ialah

x(t + ∆t)

Garis potong dan landaian

t x(t)

t + ∆t x(t +∆t)

A

B

Andaikan antara titik A dan B dihubungkan dengan sebuah garis potong AB maka LANDAIAN ialah arah kemiringan garis AB.

𝑳𝑳𝑳𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒚_𝟐 − 𝒚_𝟏

𝒙_𝟐 − 𝒙_𝟏 = 𝒙 𝒕 + Δ𝒕 − 𝒙(𝒕)

𝒕 + Δ𝒕 − 𝒕 = 𝒙 𝒕 + Δ𝒕 − 𝒙(𝒕) Δ𝒕

Garis singgung

Jika titik A bersifat tetap dan titik B bergerak sepanjang kurva mendekati titik A maka ∆t akan mendekati NOL.

Karena titik B berimpit dengan titik A maka garis

potong AB berubah menjadi garis singgung di titik A dan memiliki landaian yang berbeda dengan AB.

t x(t)

t + ∆t x(t +∆t)

A

B

A

A

Diferensial atau Turunan

Secara matematis telah kita ketahui bahwa LANDAIAN kurva ialah:

LANDAIAN disebut sebagai Diferensial atau Turunan fungsi atau merupakan fungsi baru yang menyatakan besarnya perubahan dari fungsi asli terhadap salah satu peubahnya. Pada contoh di atas

ialah laju perubahan x terhadap waktu t.

𝑳𝑳𝑳𝒅𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒚_𝟐 − 𝒚_𝟏

𝒙_𝟐 − 𝒙_𝟏 = 𝒙 𝒕 + Δ𝒕 − 𝒙(𝒕)

𝒕 + Δ𝒕 − 𝒕 = 𝒙 𝒕 + Δ𝒕 − 𝒙(𝒕) Δ𝒕

Karena ∆t mendekati NOL maka LANDAIAN dapat ditulis dengan bahasa matematis sebagai berikut:

∆𝐥𝐥𝐥_𝒕→𝟎

𝒙 𝒕 + Δ𝒕 − 𝒙(𝒕)

Δ𝒕 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕

Contoh

Andaikan fungsi gerakan semut persatuan waktu dapat dinyatakan berdasarkan persamaan x(t) = 3t +2

Tentukan laju perubahan fungsi atau tentukan fungsi baru yang menyatakan perubahan x jika t mengalami perubahan.

Penyelesaiannya mudah sekali. Persamaan tersebut mirip dengan persamaan garis y = mx + b dimana m ialah

LANDAIAN atau SLOPE garis yang nilainya ialah 3^.

Apakah hal tersebut sesuai dengan definisi diferensial ???

Contoh

Andaikan fungsi pergerakan semut terhadap waktu dapat

dinyatakan sebagai x(t) = kt³, dimana k = konstanta. Tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Karena ∆t mendekati NOL maka 3t(∆ t) dan (∆ t²) juga mendekati NOL

• Suatu fungsi dapat didiferensialkan di titik x = x₀ jika memiliki turunan atau derivatif di titik tersebut

• Suatu fungsi dapat didiferensialkan pada suatu interval jika memiliki turunan pada setiap titik dalam interval tersebut

• Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f{g(x)}

• Jika y adalah fungsi yang dapat didiferensial-kan terhadap u dan u dapat didiferensialkan

terhadap x, maka y = f{g(x)} adalah fungsi yang dapat didiferensialkan terhadap x

• Turunan atau diferensial ^𝒅𝒚_𝒅𝒙 dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

𝒅𝒚

𝒅𝒙

=

_𝒅𝒅^𝒅𝒚

x

^𝒅𝒅_𝒅𝒙

• Andaikan y = f(x) dan y dapat diturunkan atau didideferensialkan terhadap x maka ^𝒅𝒚_𝒅𝒙 atau y’

disebut turunan pertama dari y = f(x)

• Jika turunan pertama juga dapat

didiferensialkan atau diturunkan terhadap x maka turunannya disebut turunan kedua atau ditulis ^𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙 atau y’’

• Demikian seterusnya untuk turunan ketiga, kempat …. dan ke n

Rumus Umum

1.

_𝐝𝐝^𝐝 (k) = 0, k = konstanta

2.

_𝐝𝐝^{𝐝 (x) = 1}

3.

_𝐝𝐝^{𝐝 (}𝐝^𝐥) = 𝐥𝐝^𝐥−𝟏

4.

_𝐝𝐝^𝐝 (u + v + …) = _𝐝𝐝^𝐝 (u) + _𝐝𝐝^𝐝 (v)

5.

_𝐝𝐝^{𝐝 (ku) = k} _𝐝𝐝^{𝐝 (u)}

6.

_𝐝𝐝^{𝐝 (uv) = u}_𝐝𝐝^{𝐝 (v) + v}_𝐝𝐝^{𝐝 (u)}

Rumus Umum

7.

_𝐝𝐝^𝐝

⁽

^𝐮_𝐤

^{) =}

^𝟏_{𝐤 𝐝𝐝}^𝐝

(u), k = konstanta 8.

_𝐝𝐝^𝐝

⁽

^𝐤_𝐮

^{) = k}

_𝐝𝐝^𝐝

⁽

^𝟏_𝐮

^{) = -}

_𝐮^𝐜_{𝟐 𝐝𝐝}^𝐝

^(u)

9.

_𝐝𝐝^𝐝

⁽

^𝐮_𝐯

^{) =}

^{𝐯 𝐝𝐝𝐝 𝐮 − 𝐮} _𝐯𝟐 ^{𝐝𝐝𝐝 𝐯} dimana v ≠ 0

10.

_𝐝𝐝^𝐝

⁽ 𝐮

^𝐥

) = 𝐥𝐮

^{𝐥−𝟏 𝐝𝐮}_𝐝𝐝

Contoh

Hitung berapa harga turunan pertama dari persamaan y = ^{𝟑+ 𝒙}_{𝟑 −𝒙} jika x = 2

Jawab:

Fungsi di atas mirip dengan y = ^𝑼(𝒙)_𝑽(𝒙) dimana U(x) = 3 + x dan V(x) = 3 – x sehingga berdasarkan rumus No. 9

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = 𝒗 𝒅𝒅𝒅𝒙 − 𝒅 𝒅𝒗 𝒗^𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = (𝟑 − 𝒙) 𝒅 𝟑 + 𝒙

𝒅𝒙 − (𝟑 + 𝒙) 𝒅(𝟑 − 𝒙) (𝟑 − 𝒙)^𝟐 𝒅𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = (𝟑 − 𝒙)(𝟏) − (𝟑 + 𝒙)(−𝟏) (𝟑 − 𝒙)^𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = ^{𝟑−𝒙+𝟑+𝒙}_{(𝟑−𝒙)𝟐} atau ^𝒅𝒚_𝒅𝒙 = _{(𝟑−𝒙)}^𝟔 _𝟐 Untuk x = 2 maka ^𝒅𝒚_𝒅𝒙 = _{(𝟑−𝟐)}^𝟔 _𝟐 = 6

Contoh

Buktikan bahwa harga turunan pertama dari persamaan y = ^{𝟑+ 𝒙}_{𝟑 −𝒙} jika x = 2 ialah 6

Jawab:

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = lim_𝒙→_𝟎 𝒇 𝒙 + Δ𝒙 − 𝒇(𝒙) Δ𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = lim_𝒙→_𝟎

𝟑 + 𝒙 + Δ𝒙

𝟑 − 𝒙 − Δ𝒙 − 𝟑 + 𝒙 𝟑 − 𝒙 Δ𝒙

Untuk x = 2 maka:

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = _𝒙𝒍𝑳𝒍→_𝟎

𝟑 + 𝟐 + ∆𝒙

𝟑 − 𝟐 − ∆𝒙 − 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐

∆𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = _𝒙𝒍𝑳𝒍→_𝟎

𝟓 + ∆𝒙

𝟏 − ∆𝒙 − 𝟓

∆𝒙 𝟏

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = _𝒙𝒍𝑳𝒍→_𝟎

𝟓 + Δ𝒙

𝟏 − ∆𝒙 − 𝟓(𝟏 − Δ𝒙) (𝟏 − ∆𝒙)

∆𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = 𝒍𝑳𝒍

𝒙→_𝟎

𝟓 + Δ𝒙 − 𝟓 + ∆𝒙 𝟏 − ∆𝒙

∆𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙 = _𝒙𝒍𝑳𝒍→_𝟎 ^𝟔∆_𝒙

∆_𝒙(𝟏−∆_𝒙) =

𝒅𝒚

𝒅𝒙 =_𝒙𝒍𝑳𝒍→_𝟎 ^(𝟏−𝟔∆_𝒙) = 6

Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi berikut ini

1. g = t⁵ dan h = 12 k⁶ 2. Z = s⁴ + t²

3. K = l⁴ - m² 4. y = 6x⁴ – 9

5. Y = 3x⁸ – 2x⁵ + 6x + 1 6. z = (4x² – 1)(7x³ + x) 7. H = ^𝟓𝒙_𝒙^𝟒_𝟑 ^{+ 𝒙}_+𝟐 ^𝟐

8. g = t^-5

9. Z = 𝒙 + ^𝟏_𝒙 10. K =_𝒕𝟐^𝟏_+𝟕

11. y = (𝟐𝒙^𝟕 − 𝒙^𝟐)(^𝒙−𝟏_𝒙+𝟏)

Perdefinisi telah diketahui bahwa:

𝚫𝒚

𝚫𝒙 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) Jika ∆𝒚 → 𝟎 𝐝𝐝𝐝 ∆𝒙 → 𝟎 𝐥𝐝𝐤𝐝 ∆𝒙

𝚫𝒚

𝚫𝒙

=

^𝒅𝒚_𝒅𝒙 ^atau

∆𝒚 =

^𝒅𝒚_𝒅𝒙

∆𝒙

Hubungan demikian dapat digunakan untuk mendekati harga sebuah fungi

Hitung harga pendekatan dari ^𝟑 𝟏𝟐𝟒 Jawab:

Pilihlah sebuah bilangan yang paling dekat dengan 124 yang akar pangkat tiganya

menghasilkan sebuah bilangan bulat, misal 125 sehingga 𝒚 = ^𝟑 𝒙 = ^𝟑 𝒙𝟏𝟐𝟓 = 𝟓

Karena :

∆𝒚 = 𝒅𝒚

𝒅𝒙 ∆𝒙

Latihan

1. Hitung harga pendekatan dari

a. (2,98)³

b. 𝟏𝟐𝟔, 𝟗𝟗 ^𝟐𝟑

2. Sebuah bola memiliki garis tengah 30 cm.

Tentukan perubahan volume dan luas

permukaannya jika jari-jarinya bertambah panjang 2 mm

∆𝒙 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙

∆𝒙 = 𝟏𝟐𝟒 − 𝟏𝟐𝟓 = −𝟏

∆𝒚 = 𝒅

𝒅𝒙 (^𝟑 𝒙) ∆𝒙 = _𝒅𝒙^𝒅 (𝒙^𝟏𝟑) ∆𝒙

= ^𝟏_𝟑 𝒙^−𝟐𝟑 ∆𝒙 = ^𝟏

𝟑 𝒙^{𝟑 𝟐} ∆𝒙 = ^𝟏

𝟑^𝟑 𝟏𝟐𝟓 ^𝟐(-1)

∆𝒚 = ^𝟏

𝟑^𝟑 𝟓^{𝟑 𝟐}(-1)

= -_𝟕𝟓^𝟏 ≈ −𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟑𝟑

𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) ≈ 𝒅𝒚

𝒅𝒙 ∆𝒙

𝟑 𝟏𝟐𝟒

− 𝟏𝟐𝟓^𝟑 ≈ −𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟑𝟑

𝟑 𝟏𝟐𝟒

≈ 𝟏𝟐𝟓^𝟑 -0,01333

𝟑 𝟏𝟐𝟒

≈ 𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟑𝟑 Jadi ^𝟑 𝟏𝟐𝟒 ≈ 4,98667

Tentukan perubahan sisi sebuah bujur sangkar jika luasnya dari 9 cm² berubah menjadi 9,1 cm²

Andaikan luas bujur sangkar = A dan sisinya = x Maka A = x² atau 𝒙 = 𝑨 ambil A = 9

Luasnya semula 9 cm² berubah menjadi 9,1 cm²

∆𝑨 = 𝟎, 𝟏 𝒄𝒍^𝟐

∆𝒙 = 𝒅𝒙

𝒅𝑨 ∆𝑨

∆𝒙 = 𝒅

𝒅𝑨 𝑨 ∆𝑨

∆𝒙 = _{𝟐 𝑨}^𝟏 (𝟎, 𝟏)=_{𝟐 𝟗}^𝟏 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔

Jadi sisi bujur sangkar bertambah panjang 0,016 cm

Panjang rusuk sebuah kubus hasil pengukuran ialah 6 m dengan kesalahan maksimum 0,01 m.

Hitunglah kesalahan yang terdapat pada penghitungan volumenya.

Andaikan volume kubus = V dan rusuk kubus = x maka 𝑽 = 𝒙^𝟑 𝐝𝐝𝐝 ^𝒅𝑽_𝒅𝒙=3𝒙^𝟐

Jika ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏 dan x = 6 maka

∆𝑽 = 𝒅𝑽

𝒅𝒙 ∆𝒙

=3(6)²(0,01)=1,08

Jadi kesalahan perhitungan volume ialah 1,08 m³

Jika 𝒉 𝒙 = _𝒈(𝒙)^𝒇(𝒙) dan 𝐥𝐥𝐥_{𝒙→𝑳 𝒈(𝒙)}^𝒇(𝒙) merupakan bentuk tidak tentu ^∞_∞ 𝑳𝒕𝑳𝒅 ^𝟎_𝟎 maka

𝒍𝑳𝒍_𝒙→𝑳 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙)

Hitung

_𝒙→∞

𝐥𝐥𝐥

^{𝟑𝒙−𝟐}_{𝟗𝒙+𝟕}

Cara konvensional

𝒙→∞𝐥𝐥𝐥

𝟑𝒙−𝟐

𝟗𝒙+𝟕 = _𝒙→∞𝐥𝐥𝐥 ^{𝟑−𝟐𝒙}

𝟗+^𝟕_𝒙

= _𝒙→∞𝐥𝐥𝐥 ^{𝟑−∞𝟐}

𝟗+_∞^𝟕

=^𝟑−𝟎_𝟗−𝟎

Jadi _𝒙→∞𝐥𝐥𝐥 ^{𝟑𝒙−𝟐}_{𝟗𝒙+𝟕} = ^𝟏_𝟑

Cara L’Hôpital

𝒙→∞𝐥𝐥𝐥

𝟑𝒙−𝟐

𝟗𝒙+𝟕 = _𝒙→∞𝐥𝐥𝐥 _𝒈^𝒇′_′^{(𝟑𝒙−𝟐)}_{(𝟗𝒙+𝟕)} = ^𝟑_𝟗

Jadi _𝒙→∞𝐥𝐥𝐥 ^{𝟑𝒙−𝟐}_{𝟗𝒙+𝟕} = ^𝟏_𝟑

Hitung

_{𝒙→−𝟑}

𝐥𝐥𝐥

^𝒙_𝒙+𝟑^𝟐−𝟗

Cara konvensional

𝒙→−𝟑𝐥𝐥𝐥

𝒙^𝟐−𝟗

𝒙+𝟑 =_{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 ^{(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟑)}_𝒙+𝟑 =_{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 (𝒙 − 𝟑) = -3 – 3

Jadi _{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 ^𝒙_𝒙+𝟑^𝟐−𝟗 = -6

Cara L’Hôpital

𝒙→−𝟑𝐥𝐥𝐥

𝒙^𝟐−𝟗

𝒙+𝟑 =_{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 ^𝒇_𝒈^′_′^(𝒙_(𝒙+𝟑)^𝟐−𝟗) =_{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 ^𝟐𝒙_𝟏

= 2(-3) Jadi _{𝒙→−𝟑}𝐥𝐥𝐥 ^𝒙_𝒙+𝟑^𝟐−𝟗= -6

Hitung 𝐥𝐥𝐥

_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓

Cara konvensional

𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓 = 𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓 𝐝 ^{𝒙+𝟏𝟏+𝟒}_{𝒙+𝟏𝟏+𝟒}

= 𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 𝒙+𝟏𝟏 −𝟒 𝒙+𝟏𝟏 +𝟒 𝒙+𝟏𝟏 −𝟏𝟔 (𝒙−𝟓) 𝒙+𝟏𝟏+𝟒

= 𝐥𝐥𝐥_{𝒙→𝟓 (𝒙−𝟓)}^{𝒙+𝟏𝟏 −𝟏𝟔}_{𝒙+𝟏𝟏+𝟒}

= 𝐥𝐥𝐥_{𝒙→𝟓 (𝒙−𝟓)} ^𝒙−𝟓_{𝒙+𝟏𝟏+𝟒} = 𝐥𝐥𝐥_{𝒙→𝟓 𝒙+𝟏𝟏+𝟒}^𝟏 = _{𝟓+𝟏𝟏+𝟒}^𝟏 = ^𝟏_𝟗

𝐉𝐝𝐝𝐥 𝐥𝐥𝐥

𝒙→𝟓

𝒙+𝟏𝟏−𝟒 𝒙−𝟓 = ^𝟏_𝟗

Hitung 𝐥𝐥𝐥

_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓

Cara L’Hôpital

𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓 = 𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^𝒇′(_𝒈′^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒)}_{(𝒙−𝟓)}

= 𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^{𝟏𝟐 𝒙+𝟏𝟏}_𝟏 ^−𝟏𝟐=𝐥𝐥𝐥 ^𝟏_𝟐

𝒙→𝟓

𝟏 𝒙+𝟏𝟏 ^𝟏𝟐

= 𝐥𝐥𝐥_{𝒙→𝟓 𝟐 𝒙+𝟏𝟏} ^𝟏

=_{𝟐 𝟓+𝟏𝟏}^𝟏 = _{𝟐 𝟏𝟔}^𝟏 =_𝟐(𝟒)^𝟏 Jadi 𝐥𝐥𝐥_𝒙→𝟓 ^{𝒙+𝟏𝟏−𝟒}_𝒙−𝟓 =^𝟏_𝟗

Dengan Teorema L’Hôpital hitunglah harga limit berikut ini

1.

_𝐝→∞𝐥𝐥𝐥 ^(𝐝+𝟏)_{𝐝𝟐+𝟏}^𝟐

2.

_𝐝→∞𝐥𝐥𝐥 ^𝐝𝟐_{𝟑𝐝+𝟕}^−𝟓+𝟏

3.

_𝐝→∞𝐥𝐥𝐥 ^𝟐𝐝_{𝐝𝟐−𝟗𝐝+𝟓}^{𝟐−𝐝+𝟑}

4.

_𝐝→∞𝐥𝐥𝐥 ^𝟑 _𝐝+𝟏^{𝐝𝟐+𝟏}

5.

_𝐝→∞𝐥𝐥𝐥 _{𝐝+ 𝐝}^{𝟐𝐝+𝟑}_𝟑

6.

𝐥𝐥𝐥_𝐝→𝟓 ^{𝟐𝐝𝟐−𝟕𝐝−𝟏𝟓}_𝐝−𝟓

7.

𝐥𝐥𝐥_𝐝→𝟏 ^𝐝_𝐝−𝟏^𝟑−𝟏

8.

_{𝐝→−𝟐}𝐥𝐥𝐥 _{𝐝+𝟔−𝟐}^𝐝+𝟐

9.

_{𝐝→−𝟒}𝐥𝐥𝐥 ^{𝐝+𝟏𝟑−𝟑}_𝐝+𝟒

10.

𝐥𝐥𝐥_𝐝→𝟕 ^{𝟑− 𝐝+𝟐}_𝐝−𝟕

• Andaikan y = f(x) dapat didiferensialkan pada semua titik pada suatu interval tertentu

maka jika ^𝒅𝒚_𝒅𝒙 = 𝟎 dikatakan fungsi tersebut mempunyai harga ekstrim dan jika ^𝒅_𝒅𝒙^𝟐𝒚> 0 maka harga ekstrim tersebut mencapai

minimum, dan sebaliknya jika ^𝒅_𝒅𝒙^𝟐𝒚 < 0 maka harga ekstrim tersebut mencapai maksimum.

Contoh 1

Tentukan dua buah bilangan positif yang jumlahnya 20 dan hasil kalinya terbesar.

Jawab:

Andaikan bilangan pertama ialah x dan bilangan kedua ialah (x-20) dan hasil kalinya ialah

y = x(x-20) = 20x – x²

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 20 – 2x = 2(10 – x)

Syarat ekstrim: ^𝒅𝒚_𝒅𝒙= 2(10 – x) = 0 atau x = 0 dan 10 Syarat ekstrim maksimum ialah ^𝒅_𝒅𝒙^𝟐𝒚 < 0

Jadi bilangan tersebut ialah 10 dan 10.

Contoh 2

Udin membeli kawat berduri sepanjang 20 m yang akan digunakan sebagai pagar berbentuk empat persegi

panjang. Tentukan ukuran panjang dan lebar pagar agar luas areal yang dibatasinya menjadi maksimum Jawab:

Soal tersebut dapat dipecahkan dengan mudah

Gambar dulu kawasan yang akan dipagari misalnya seperti gambar di bawah ini:

P = panjang, L = lebar

P P L L

Dari gambar tersebut tampak dengan jelas bahwa keliling pagar tersebut sama dengan panjang keseluruhan kawat berduri atau:

P + P + L + L = 20

2P + 2L = 20 sehingga

P + L = 10 atau P = 10 – L Karena Luas (A) = Panjang x Lebar

A = P x L = (10 – L) x L = 10 L – L²

Syarat agar luas mencapai maksimum ialah:

𝒅𝑨

𝒅𝑳 = 0 dan ^𝒅_𝒅𝑳^𝟐𝑨 < 0

𝒅

𝒅𝑳 𝟏𝟎𝑳 − 𝑳^𝟐 = 𝟎

10 – 2L = 0 atau L = 5 dan P = 10 – 5 = 5 𝒅^𝟐𝑨

𝒅𝑳 = 𝒅

𝒅𝑳 𝟏𝟎 − 𝟐𝑳 = −𝟐

Jadi panjang dan lebar pagar harus berukuran 5 m supaya areal yang dipagari mencapai

maksimum

Soal

Sebuah corong bergaris tengah 8 cm dan tinggi 16 cm berisi cairan yang bergerak turun melalui bagian bawahnya. Cairan tersebut mengalir keluar melalui bagian bawah corong dengan volume tetap 2 cm³ per detik. Hitung kecepatan turunnya

permukaan cairan ketika tinggi permukaan air mencapai 8 cm.

2 cm³ per detik

Garis tengah corong = 8 cm

Jadi jari-jarinya R = 4 cm Volume = ^𝟏_𝟑ΠR²H

Pada saat R = x dan H = y Perhatikan gambar

segitiga 𝒙

𝒚 = _𝑯^𝑹 = _𝟏𝟔^𝟒

𝒙 = 𝟏 𝟒 𝒚 𝑽 = ^𝟏_𝟑Π ^𝟏

𝟒 𝒚 ^𝟐 . 𝒚 = Π

𝟒𝟗 𝒚^𝟑 H =16 cm

8 cm

8 cm y

x R

Air mengalir dengan volume 2 cm³ per detik ini bermakna ada perubahan volume per satuan waktu sehingga :

𝒅𝑽

𝒅𝒕 = ^𝒅

Π

𝟒𝟗𝒚^𝟑

𝒅𝒕 = Π

𝟒𝟗 𝟑𝒚^{𝟐 𝒅𝒚}_𝒅𝒕

𝒅𝑽

𝒅𝒕 = Π 𝟏𝟔 𝒚^𝟐

𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕

𝒅𝒕 = 𝟏𝟔 Π𝒚^𝟐

𝒅𝑽 𝒅𝒕 Karena 𝒅𝑽

𝒅𝒕 = -2 (ingat air bergerak ke bawah) dan y = 8 maka 𝒅𝒚

𝒅𝒕 = Π^𝟏𝟔_(𝟗^𝟐₎ (−𝟐)

𝒅𝒚

𝒅𝒕 = - _𝟐^𝟏Π ⁼ − _{𝟐(𝟑,𝟏𝟒)}^𝟏

Jadi air mengalir turun (tanda negatif) dengan kecepatan 0,16 cm per detik

Soal

Sebuah tanki berisi minyak mengalami kebocoran di bagian bawahnya. Minyak menyebar di permukaan tanah

membentuk sebuah lingkaran dengan kecepatan 2 cm per detik. Berapa

kecepatan perubahan luas permukaan

tanah yang tercemari oleh minyak ketika jari-jari lingkaran tersebut mencapai 60 cm.

Soal

Sebuah lembaran kertas berukuran 16 cm x 30 cm hendak dibuat menjadi sebuah

kotak kue. Untuk itu ujung-ujungnya dipotong dengan bentuk segi empat berukuran sama dan kemudian sisi-

sisinya di lipat ke atas. Tentukan luas kertas yang harus dipotong agar volume kotak menjadi maksimum.