MATRIKS, RELASI & FUNGSI - UNIKOM Kuliah Online

(1)

RELASI & FUNGSI

Matematika Diskrit

IF UNIKOM

(2)

MATRIKS

• Susunan skalar elemen-elemen yang terdiri dari baris dan kolom

• A mxn , m baris dan n kolom

 





 







mn m

n n

a a

a

a a

a A

...

1

2 22

21

1 12

11

(3)

Jenis – jenis Matriks

Matriks Segitiga

Matriks Diagonal

Matriks Identitas

Matriks Komutatif

Matriks Invers

(4)

Matriks Segitiga

Untuk setiap matriks persegi A berdimensi nxn

•Matriks segitiga atas, jika untuk semua i > j, a_ij = 0.

A = B = C =

•Matriks segitiga bawah, jika untuk semua i < j, a_ij = 0.

A = H = K =

















nn n n

a a a

a a

a

...

0 0

...

0 0

...

0

...

2 22

1 12

11



















4 0 0

1 1 0

0 3 2



















0 0 0 0

7 3 0 0

5 1 0 0

3 0 1 2

















nn n

n a a

a

a a

a

...

0 ...

...

0 ...

0

2 1

22 21

11

















9 0 7

0 3 1

0 0 2



















7 4 0 0

0 3 1 0

0 0 2 1

0 0 0 3

(5)

Matriks Diagonal

Matriks persegi A berdimensi nxn dengan a_ij = 0 untuk semua i > j dan i < j.

D = D = diag(d₁₁, d₂₂, …, d_nn)

D = Atau D = diag(4,7,0,-5)

Jika D = diag(d₁₁, d₂₂, …, d_nn) dengan d₁₁ = d₂₂ = … = d_nn = k, maka matriksnya disebut matriks skalar

S =

5

















dnn

d d

..

0 0

0 ..

0 0

0 ..

0

0 ..

0

22 11

















5 0

0 0

0 0 0 0

0 0 7 0

0 0 0 4

















4 0 0

0 4 0

0 0 4

(6)

Matriks Identitas

Dari matriks skalar jika k = 1, matriknya disebut matriks identitas.

I₂ = I₃ =

Andaikan B = B I₂ = B Dan I₃ B = B

Matriks Komutatif

Dua matriks persegi A dan B yg berdimensi sama disebut komutatif (commute) jika berlaku AB = BA.

Sebaliknya, disebut anti komutatif (anti-commute) jika berlaku AB = - BA.



 





1 0

0 1

















1 0 0

0 1 0

0 0 1















 

5 0

2 4

1 3

(7)

Matriks Invers

Andaikan A dan B dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku : AB = BA = I, maka B disebut invers A, atau A invers B.

B = A^-1 A A^-1 = A^-1 A = I A = B^-1 B^-1 B = B B^-1 = I

Matriks yang mempunyai invers disebut matriks nonsingular atau matriks yang invertibel.

Sifat : (A^-1)^-1 = A (AB)^-1 = B^-1 A^-1

(8)

Tranpose Matriks

Matriks A = (a_ij) berdimensi mxn, tranposenya adalah A^T = (a_ji) yg berdimensi nxm.

Sifat-sifat :

1. (A^T)^T = A

2. (A + B)^T = A^T + B^T 3. (AB)^T = B^T A^T

(9)

RELASI

(10)

•Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A  B.

•a R b , untuk (a, b)  R  a dihubungankan dengan b oleh R.

•a R b , untuk (a, b)  R  a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.

)

( AxB

R 

(11)

Contoh :

A = {Amir, Budi, Cecep},

B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

•A  B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),(Cecep,

IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

(12)

Ilustrasi

• R = mata kuliah yang diambil mahasiswa

• R={(Amir,IF251),(Amir,IF323),(Budi,IF221),(Budi,IF251),

(Cecep,IF323)} ¹²

Amir Budi Cecep

IF221

IF251

IF342

IF323

(13)

Representasi

1. Diagram Panah

(14)

2. Tabel

(15)

3. Matriks

•Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁, a₂, …, a_m} dan

B = {b₁, b₂, …, b_n}.

• Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m_ij],

 





 

R b

a

R b

m a

j i

ij

0 , ( , )

) ,

( ,

1

(16)

4. Graf berarah

•Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut

simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

•Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang

(loop).

(17)

Contoh graf berarah

R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}

adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

a b

c d

(18)

Sifat relasi

Reflexive

Transitive

Symmetric

Antisymmentric

Invers

(19)

Reflexive

Jika (a, a)  R untuk setiap a  A maka refleksif

•Tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)

 R.

•A={1,2,3,4}

•Contoh :

•R1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

•R2= {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }

•Matriks relasi yang refleksif

•Graf memiliki loop pada tiap simpul













1 1 1 1 1

(20)

Transitive (menghantar)

Jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A.

•A={1,2,3,4}

•Contoh :

•R1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }

•R2= {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)}

•Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } menghantar

•Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar

•R = {(3, 4)} selalu menghantar ²⁰

(21)

Symmetric (setangkup)

Jika (a, b)  R, maka (b, a)  R.

•Tidak setangkup, jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)

 R.

•Elemen-elemen matriks diantara diagonal utama merupakan hasil pencerminan , atau

m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n ^















0 1

(22)

Antisymmetric (tolak setangkup)

Jika untuk semua a, b  A, (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b

• Tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R.

• Matriks jika mij = 1 dengan i  j, maka mji = 0 matriks dari relasi tolak-setangkup adalah

jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i  j













0 1

1 0

0 1

(23)

Contoh

•R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } setangkup

• R2 ={(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup

•R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup

•R4 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup

•R5 = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup

•R6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup dan juga tolak- setangkup

•R7 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun tidak tolak-setangkup

(24)

Inversi

•R^–1 = {(b, a) | (a, b)  R }

•Contoh :

P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.

(p, q)  R jika p habis membagi q maka

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R^–1 adalah invers dari relasi R, yaitu Q ke P dengan (q,p) E R^–1 jika q kelipatan dari p

(25)

Klosur Relasi

(closure of relation)

•Misalkan R adalah relasi pada himpunan A.

•R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P, seperti refleksif, setangkup, atau menghantar.

Jika terdapat relasi S dengan sifat P yang

mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan

sifat P yang mengandung R, maka S disebut klosur (closure) atau tutupan dari R [ROS03].

(26)

Klosur Refleksif

•Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A.

•Klosur refleksif dari R adalah R  , yang dalam hal ini

• = {(a, a) | a  A}.

(27)

•R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}

maka  = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)},

sehingga klosur refleksif dari R adalah

R   = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}  {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

= {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}

Contoh

:

(28)

•Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a  b} pada himpunan bilangan bulat.

Klosur refleksif dari R adalah

R   = {(a, b) | a  b}  {(a, a) | a  Z}

= {(a, b) | a, b  Z}

Contoh:

(29)

•Contoh 1: Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 2)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak

refleksif.

•Bagaimana membuat relasi refleksif yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

(30)

•Tambahkan (2,2) dan (3,3) ke dalam R (karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam R)

• Relasi baru, S, mengandung R, yaitu

S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) }

•Relasi S disebut klosur refleksif (reflexive closure) dari R.

(31)

Klosur setangkup

•Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A.

•Klosur setangkup dari R adalah R  R^-1, dengan

•R^-1 = {(b, a) | (a, b) a  R}.

(32)

•R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3}, maka

R^-1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}

sehingga klosur setangkup dari R adalah

R  R^-1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}  {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}

={(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

Contoh:

(33)

•Contoh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A = {1, 2, 3} tidak

setangkup.

•Bagaimana membuat relasi setangkup yang sesedikit mungkin dan mengandung R?

(34)

•Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R

(karena dua elemen relasi ini yang belum terdapat di dalam S agar S menjadi setangkup).

•Relasi baru, S, mengandung R:

S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

•Relasi S disebut klosur setangkup (symmetric closure) dari R.

(35)

Misalkan R adalah relasi {(a, b) | a habis membagi b}

pada himpunan bilangan bulat.

Klosur setangkup dari R adalah

RR^-1 = {(a, b)|a habis membagi b}  {(b, a)|b habis membagi a}

= {(a, b) | a habis membagi b atau b habis membagi a}

Contoh

:

(36)

Klosur menghantar

•Contoh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)} adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}.

R tidak transitif karena tidak mengandung semua pasangan (a, c) sedemikian sehingga (a, b) dan (b, c) di dalam R.

Pasangan (a, c) yang tidak terdapat di dalam R adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).

(37)

•Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi

S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1)}

tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1)  S dan (1, 4)  S, tetapi (3, 4)  S.

(38)

•Klosur menghantar dari R adalah

R^* = R²  R³  …  Rⁿ

•Jika M_R adalah matriks yang merepresentasikan R pada sebuah himpunan dengan n elemen, maka matriks klosur menghantar R^* adalah

(39)

Kombinasi Relasi

•Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka

•

R

₁

 R

₂

, R

₁

 R

₂

, R

₁

– R

₂

, dan R

₁

 R

₂

•juga adalah relasi dari A ke B

(40)

Contoh

A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

•Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

•Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

•R1  R₂ =

•R₁  R₂ =

•R₁  R₂ =

•R2  R₁ =

•R1  R₂ =

(41)

Kombinasi Relasi dalam Matriks

•Jika relasi R₁ dan R₂ dinyatakan dengan matriks M_R1 dan M_R2maka

M

_{R1  R2}

= M

_R1

 M

_R2

M

_{R1  R2}

= M

_R1

 M

_R2

(42)

Contoh

•Relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

•R1 = R2 =

•M_{R1  R2} = M_R1  M_R2 =

•M_{R1  R2} = M_R1  M_R2 =

















0 1 1

1 0 1

0 0 1

















0 0 1

1 1 0

0 1 0

















0 1 1

1 1 1

0 1 1

















0 0 1

1 0 0

0 0 0

(43)

Komposisi Relasi

•R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,

•S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

•Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S  R = {(a, c )  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b )  R dan (b, c )  S }

(44)

Contoh

R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

adalah relasi dari {1, 2, 3} ke {2, 4, 6, 8} dan

S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

relasi dari {2, 4, 6, 8} ke {s, t, u}.

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

(45)

Komposisi dalam diagram panah

1 2 3

2 4 6 8

s t u

(46)

Komposisi dalam Matriks

•Jika relasi R1 dan R2 dinyatakan dengan matriks MR1

dan M_R2, maka komposisi dari kedua relasi tersebut adalah

M

R2  R1

= M

_R1

 M

_R2

(47)

Contoh

•R1 = R2 =

•R₂  R₁ adalah M_{R2  R1} = M_R1 . M_R2

=

















0 0 0

0 1 1

1 0 1

















1 0 1

1 0 0

0 1 0



























































































) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 (

) 1 0 ( ) 1 1 ( ) 0 1 ( ) 0 0 ( ) 0 1 ( ) 1 1 ( ) 1 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 (

) 1 1 ( ) 1 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 0 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 0 0 ( ) 0 1 (

















0 0 0

1 1 0

1 1 1

(48)

FUNGSI

(49)

•A dan B adalah himpunan

•Relasi biner f dari A ke B adalah fungsi

jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

f : A  B f memetakan A ke B.

•A : daerah asal (domain) dari f

•B : daerah hasil (codomain) dari f.

(50)

•Himpunan semua harga fungsi f disebut daerah hasil (range) f.

•range f = {b Є B | B = f(a) untuk suatu a Є A}

•f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

a b

A B

f

(51)

Syarat

Agar suatu relasi f dari X ke Y menjadi fungsi, maka harus dipenuhi :

1. Setiap elemen x Є X mempunyai kawan di Y (disebut f(x)).

2. f(x) tunggal

(52)

Contoh

•Tentukan manakah dari gambar relasi berikut ini yang merupakan fungsi dari X = {a, b, c} ke Y = {1, 2, 3, 4}!

(53)

A={1,2,3} B={u,v,w}

•f = {(1, u), (2, v), (3, w)}

•f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

•f = {(1, u), (3, w)}

•f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}

(54)

Sifat Fungsi (injektif)

1. Satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif

(injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama

a 1

A B

2 3 4 5 b

c d

(55)

Contoh

•A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x}

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

•A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

(56)

Sifat Fungsi (Surjektif )

2. Pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen B merupakan

bayangan dari satu atau lebih elemen A.

a 1

A B

2 3 b

c d

(57)

Contoh Surjektif

•A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}

f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

•A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}

f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

(58)

Sifat Fungsi (Bijeksi)

•berkoresponden satu-ke-satu atau

bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada

(59)

Fungsi Invers

•Misalkan f : X Y adalah suatu fungsi. Relasi dari Y ke X belum tentu pula merupakan fungsi.

•Jika f : X Y merupakan suatu fungsi Bijektif, maka relasi Y ke X juga merupakan fungsi. Jadi dengan demikian, fungsi tersebut dapat diinvers.

f(x) = y f^-1(y) = x

f^-1(1) = k1; f^-1(2) = k3;

f^-1(3) = k3; f^-1(3) = k4

(60)

Contoh Fungsi Invers

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Penyelesaian:

•Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang

berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada.

•Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f^-1(y) = y +1.

(61)

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi (dinotasikan dengan “o”),

digunakan untuk menghasilkan fungsi baru dari beberapa fungsi.

Misalkan :

f : XY dan g : YZ

didefinisikan dengan komposisi fungsi f dan g (simbol gof) sebagai berikut :

(x Є X) (gof)(x) = g(f(x)) invers :

(gof)^-1(x) = f^-1og^-1(x) = f^-1(g^-1(x))

(62)

Contoh Komposisi Fungsi

Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi pada

himpunan bilangan bulat Z yang didefinisikan

dengan rumus f(n) = n + 1 dan g(n) = n² , n Є Z.

Hitunglah (gof)(n), (fof)(n), dan (fog)(n)!

Jawab :

a. (gof)(n) = g(f(n)) =

b. (fof)(n) =

c. (fog)(n) =

(63)

Fungsi Khusus

1. Floor

Misalkan f : R (real) R (real) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

berikut :

f(x) = |_x_| = bilangan bulat terkecil yang kurang atau sama dengan x.

maka f disebut fungsi floor.

Contoh :

f(3,23) = 3 ; f(5, 87) = 5 ; f(-4, 29) = ?

(64)

2. Ceiling

Misalkan f : R (real) R (real) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

f(x) = = bilangan bulat

terbesar yang lebih atau sama dengan x

maka f disebut fungsi ceiling.

Contoh :

f(3,23) = 4 ; f(5, 87) = 6 ; f(-4, 29) = ?

(65)

Fungsi modulo

3. Fungsi modulo

•a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

•a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m.

•Contoh :

o25 mod 7 = 4

o16 mod 4 = 0

o3612 mod 45 = 12

o0 mod 5 = 0

(66)

Fungsi-fungsi Lain

4. Fungsi Faktorial

5. Fungsi Eksponensial

6. Fungsi Logaritmik

7. Fungsi Rekursif

8. Fungsi Chebysev

9. Fungsi Fibonnaci