Suku Bunga (Interest Rate)
MA3161 – Pendahuluan Teori Suku Bunga
Ade Candra Bayu, M.Si.
FMIPA
Minggu 1
Pendahuluan
Apakah yang dimaksud dengan bunga?
Kenapa perlu ada bunga?
Apakah secara umum bunga = riba?
Terminologi
Waktu sekarang Masa depan
Waktu 0 𝑡𝑡
Jumlah awal (initial amount)
Principal Jumlah total (total amount)
Accumulated Value Periode (period)
• Bunga (interest) adalah selisih antara accumulated value dan principal.
• Principal disebut juga sebagai nilai sekarang (present value-PV).
• Accumulated value disebut juga sebagai nilai masa depan (future value-FV).
Fungsi Akumulasi
Tinjau suatu investasi dengan jumlah awal sebesar 1 (satu).
Definisikan fungsi akumulasi sebagai nilai akumulasi pada saat 𝑡𝑡 ≥ 0 dari jumlah awal investasi sebesar 1 (satu), yaitu
𝑎𝑎 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ≥ 0.
Fungsi akumulasi mempunyai sifat-sifat berikut:
1. 𝑎𝑎 0 = 1
2. Secara umum, 𝑎𝑎 𝑡𝑡 adalah fungsi naik. Secara matematis, 𝑎𝑎 𝑡𝑡 dapat berupa fungsi turun yang mengakibatkan bunga negatif.
3. Secara umum, 𝑎𝑎 𝑡𝑡 adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan. Jika bunga hanya dihitung di waktu-waktu tertentu, maka fungsi akumulasi bersifat tidak kontinu.
Fungsi Jumlah
Secara umum, jumlah awal investasi tidak selalu satu melainkan suatu 𝐾𝐾 > 0.
Definisikan fungsi jumlah sebagai nilai akumulasi pada saat 𝑡𝑡 ≥ 0 dari jumlah awal investasi sebesar 𝐾𝐾, yaitu
𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐾𝐾 ⋅ 𝑎𝑎 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ≥ 0 dengan 𝐴𝐴 0 = 𝐾𝐾.
Serupa dengan fungsi akumulasi, fungsi jumlah umumnya bersifat naik, kontinu, dan terdiferensialkan.
0 𝐴𝐴 𝑡𝑡
𝑡𝑡 𝐾𝐾
linier 0
𝐴𝐴 𝑡𝑡
𝑡𝑡 𝐾𝐾
eksponensial
0 𝐴𝐴 𝑡𝑡
𝑡𝑡 𝐾𝐾
konstan 0
𝐴𝐴 𝑡𝑡
𝑡𝑡 𝐾𝐾
tangga
Bunga (interest) adalah selisih antara accumulated value dan principal.
• Jumlah bunga yang diperoleh selama investasi dari waktu awal sampai waktu 𝑡𝑡 adalah 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝑡𝑡 − 𝐴𝐴 0
𝐼𝐼 = 𝐾𝐾𝑎𝑎 𝑡𝑡 − 𝐾𝐾
• Jumlah bunga yang diperoleh pada periode ke-𝑛𝑛 dari waktu awal investasi dinotasikan sebagai 𝐼𝐼𝑛𝑛, yaitu
𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, … 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 𝑎𝑎 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, …
Bunga (Interest)
Contoh
Suatu investasi sebesar 100.000 dibuat pada saat 𝑡𝑡 = 0. Saldo investasi selama 4 tahun berikutnya ditampilkan dalam tabel berikut.
𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑡𝑡
0 100.000
1 106.000
2 111.300
3 115.752
4 121.539,6
1. Tentukan besar bunga setiap periode.
2. Jika dana sebesar 50.000 diinvestasikan pada saat 𝑡𝑡 = 2, dengan pola bunga yang sama
berapakah nilai akumulasi pada saat 𝑡𝑡 = 4?
Suku Bunga (Interest Rate)
Bunga terkadang tidak menggambarkan efektivitas dan efisiensi suatu investasi.
Contoh ilustrasi:
• Investasi A memberikan bunga sebesar 100.000 setelah 1 tahun dengan jumlah awal investasi sebesar 10.000.000.
• Investasi B memberikan bunga sebesar 100.000 setelah 1 tahun dengan jumlah awal investasi sebesar 1.000.000.
Investasi manakah yang lebih menarik?
Investor lebih mudah melihat prospek dari suatu investasi apabila bunga yang diperoleh dinyatakan sebagai persentase dari jumlah awal investasi. Ukuran ini disebut sebagai suku bunga.
Dalam kuliah ini akan dibahas beberapa ukuran bunga, yaitu suku bunga efektif, bunga sederhana, bunga majemuk, dan suku bunga nominal.
Suku Bunga Efektif (Effective Rate of Interest)
Definisi
Suku bunga efektif 𝑖𝑖 adalah jumlah uang yang diperoleh dari hasil investasi sebesar 1 pada awal periode dan mendapat bunga pada akhir satu periode.
𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 1 − 𝐴𝐴 0 = 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 0 𝑎𝑎 1 = 1 + 𝑖𝑖
Definisi Persis
Suku bunga efektif 𝑖𝑖 adalah rasio antara jumlah bunga yang diperoleh dari hasil investasi selama satu periode dan jumlah awal investasi.
𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 1 − 𝐴𝐴 0
𝐴𝐴 0 = 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 0
𝑎𝑎 0 = 𝐼𝐼1
𝐴𝐴 0
Suku Bunga Efektif (Effective Rate of Interest)
Suku bunga efektif pada periode ke-𝑛𝑛 dari waktu awal investasi dinotasikan sebagai 𝑖𝑖𝑛𝑛, yaitu
𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1
𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1
𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1 = 𝐼𝐼𝑛𝑛
𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, …
Contoh
Suatu investasi sebesar 100.000 dibuat pada saat 𝑡𝑡 = 0. Saldo investasi selama 4 tahun berikutnya ditampilkan dalam tabel berikut.
𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑡𝑡
0 100.000
1 106.000
2 111.300
3 115.752
4 121.539,6
Tentukan suku bunga efektif setiap periode.
Dua Fungsi Akumulasi Utama
Suku bunga efektif memberikan ukuran bunga dalam satu periode dan perhitungannya melibatkan 𝑎𝑎 0 dan 𝑎𝑎 1 dengan hubungan 𝑎𝑎 1 = 1 + 𝑖𝑖.
0 𝑎𝑎 𝑡𝑡
𝑡𝑡 1
1 1 + 𝑖𝑖
Apa jenis fungsi yang dapat menghubungkan titik 0, 1 dan 1, 1 + 𝑖𝑖 ?
Dalam kuliah ini akan dibahas dua jenis fungsi akumulasi utama, yaitu fungsi linier dan fungsi ekponensial.
Kedua fungsi tersebut masing-masing terkait dengan bunga sederhana/tunggal dan bunga majemuk.
Bunga Sederhana/Tunggal (Simple Interest)
Bunga sederhana menggunakan asumsi fungsi akumulasi adalah fungsi linier dalam 𝑡𝑡, sehingga jumlah bunga yang diperoleh dalam setiap periode adalah konstan.
Misalkan 𝑎𝑎 0 = 1, maka
𝑎𝑎 1 = 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 0 𝑖𝑖 = 1 + 𝑖𝑖 𝑎𝑎 2 = 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 0 𝑖𝑖 = 1 + 2𝑖𝑖 𝑎𝑎 3 = 𝑎𝑎 2 + 𝑎𝑎 0 𝑖𝑖 = 1 + 3𝑖𝑖
⋮
𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0
Pada bunga sederhana, perhitungan bunga hanya diterapkan pada jumlah awal investasi.
Fungsi jumlah pada bunga sederhana adalah 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 0 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ≥ 0.
0 𝑎𝑎 𝑡𝑡
𝑡𝑡 1
1 1 + 𝑖𝑖
1 + 2𝑖𝑖 1 + 3𝑖𝑖
2 3
𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡
Misalkan diberi suku bunga sederhana konstan 𝑖𝑖. Bagaimana suku bunga efektif setiap periode yang diperoleh?
Suku bunga efektif setiap periode adalah 𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1
𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1 = 1 + 𝑖𝑖𝑛𝑛 − 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1
1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1 = 𝑖𝑖
1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1 , 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, …
0 𝑖𝑖𝑛𝑛
1 𝑛𝑛 𝑖𝑖
2 3
Grafik 𝑖𝑖𝑛𝑛 untuk bunga sederhana
Nilai 𝑖𝑖𝑛𝑛 akan mengecil apabila 𝑛𝑛 membesar.
Jadi suku bunga sederhana yang konstan
menghasilkan suku bunga efektif yang mengecil.
Contoh
Dengan suku bunga sederhana 𝑖𝑖, jumlah awal $1200 akan terakumulasi menjadi $1320 pada periode ke-𝑇𝑇.
Hitung nilai akumulasi pada akhir tahun ke-2𝑇𝑇 apabila jumlah awal $500 diinvestasikan dengan suku bunga sederhana yang sama.
Bunga Majemuk (Compound Interest)
Bunga majemuk menggunakan asumsi bahwa besar bunga setiap periode dihitung berdasarkan nilai akumulasi di awal setiap periode.
Misalkan jumlah awal investasi adalah 𝐴𝐴 0 = 100, dengan suku bunga 𝑖𝑖 = 10%.
Nilai akumulasi pada akhir periode-1: 𝐴𝐴 1 = 𝐴𝐴 0 1 + 𝑖𝑖 = 100 1,1 = 110 Nilai akumulasi pada akhir periode-2: 𝐴𝐴 2 = 𝐴𝐴 1 1 + 𝑖𝑖 = 110 1,1 = 121 Nilai akumulasi pada akhir periode-3: 𝐴𝐴 3 = 𝐴𝐴 2 1 + 𝑖𝑖 = 121 1,1 = 133,1
⋮
Nilai akumulasi pada akhir periode-n: 𝐴𝐴 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 − 1 1 + 𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 0 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 Fungsi akumulasi pada bunga majemuk adalah 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.
Fungsi jumlah pada bunga majemuk adalah 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 0 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.
0 𝑎𝑎 𝑡𝑡
𝑡𝑡 1
1 1 + 𝑖𝑖
𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡
Misalkan diberi suku bunga majemuk konstan 𝑖𝑖. Bagaimana suku bunga efektif setiap periode yang diperoleh?
Suku bunga efektif setiap periode adalah 𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1
𝑎𝑎 𝑛𝑛 − 1 = 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 − 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1
1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 = 1 + 𝑖𝑖 − 1
1 = 𝑖𝑖, 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, … yang tidak bergantung pada 𝑛𝑛.
Perhatikan bahwa suku bunga majemuk identik dengan suku bunga efektif.
Contoh
Dengan suku bunga majemuk 𝑖𝑖, jumlah awal $1200 akan terakumulasi menjadi $1320 pada periode ke-𝑇𝑇.
Hitung nilai akumulasi pada akhir tahun ke-2𝑇𝑇 apabila jumlah awal $500 diinvestasikan dengan suku bunga majemuk yang sama.
Bunga Sederhana vs Bunga Majemuk
Bagaimana hubungan antara bunga sederhana dan majemuk?
Perhatikan fungsi akumulasi dari bunga majemuk 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡. Ekpansi binomial untuk 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡 adalah
1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 1 + 𝑡𝑡𝑖𝑖 + 𝑡𝑡 𝑡𝑡 − 1
2! 𝑖𝑖2 + 𝑡𝑡 𝑡𝑡 − 1 𝑡𝑡 − 2
3! 𝑖𝑖3 + 𝑡𝑡 𝑡𝑡 − 1 𝑡𝑡 − 2 𝑡𝑡 − 3
4! 𝑖𝑖4 + ⋯ Untuk 𝑡𝑡 = 1 diperoleh 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 1 + 𝑡𝑡𝑖𝑖.
Jadi bunga sederhana dan majemuk menghasilkan nilai akumulasi yang sama pada periode pertama.
Untuk waktu yang lebih panjang, bunga majemuk memberikan nilai akumulasi yang lebih besar daripada bunga sederhana.
Bunga untuk Waktu Pecahan
Bagaimana menghitung bunga atau nilai akumulasi pada waktu pecahan (non integer)?
Perhatikan bahwa fungsi akumulasi
𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0 dan 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0
berlaku untuk seluruh bilangan riil non negatif. Sehingga besar bunga atau nilai akumulasi pada waktu pecahan dapat dihitung menggunakan fungsi di atas.
Apakah ada cara lain untuk menghitung bunga atau nilai akumulasi pada waktu pecahan?
Misalkan akan dihitung nilai akumulasi pada waktu 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 untuk 𝑛𝑛 integer dan 0 < 𝑘𝑘 < 1.
Pendekatan yang dilakukan adalah bunga majemuk digunakan untuk menghitung nilai akumulasi sampai periode ke-𝑛𝑛, sedangkan untuk periode pecahan terakhir digunakan bunga sederhana, yaitu
𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 = 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛+𝑘𝑘 ≈ 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 1 + 𝑖𝑖𝑘𝑘
Aproksimasi di atas adalah hasil interpolasi linier dari fungsi 1 + 𝑖𝑖 𝑡𝑡 di antara 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 dan 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 + 1.
0 𝑎𝑎 𝑛𝑛
𝑛𝑛 1
1 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛
2 ⋯ 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 𝑛𝑛 + 1 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛+1
?
Persamaan garis lurus antara titik 𝑛𝑛, 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 dan 𝑛𝑛 + 1, 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 adalah 𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛+1 − 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑡𝑡 − 𝑛𝑛 + 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛
= 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 1 + 𝑡𝑡 − 𝑛𝑛 𝑖𝑖 Untuk 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 diperoleh
𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 = 1 + 𝑖𝑖 𝑛𝑛 1 + 𝑘𝑘𝑖𝑖
Contoh
Jumlah awal 1.000.000 diinvestasikan selama 2,5 tahun dengan suku bunga 12%. Berapa nilai akumulasinya?
Referensi
1. Kellison, Stephen G., The Theory of Interest, 3rd Edition, Mc Graw Hill, 2008
2. Vaaler, Leslie Jane Federer, Mathematical Interest Theory, AMS MAA Textbooks, 2019 3. Wilders, Richard James, Financial Mathematics for Actuarial Science The Theory of
Interest, CRC Press, 2020
