PDF METODE NUMERIK TKM4104 - Universitas Brawijaya

METODE NUMERIK TKM4104

Kuliah ke-2

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

DERET TAYLOR

o Deret Taylor adalah alat yang utama untuk menurunkan suatu metode numerik.

o Deret Taylor berguna untuk menghampiri fungsi ke dalam bentuk polinom

o Fungsi yang rumit menjadi sederhana dengan deret Taylor

DERET TAYLOR

Definisi :

Andai kata f dan semua turunannya, f^’,f^’’,f^’’’,…

menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : x_oє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar x_o dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

DERET TAYLOR

Jika (x-x_o)=h, maka :

Contoh :

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x_o=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f^’’’(x) = - cos(x) f^’(x) = -cos(x) f⁽⁴⁾(x) = sin(x) f^’’(x) = - sin(x) dst.

DERET TAYLOR

maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar x_o=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang

merupakan deret Taylor baku.

Contoh 1 :

f(x)= sin(x) dimana x_o = 0

...

) 1 24sin(

) 1 6 cos(

) 1 2 sin(

) 1 cos(

) 1 sin(

) sin(

) (

4 3

2   







 h h h

h x

x f

...

0351 ,

0 0901

, 0 4208

, 0 5403

, 0 8415 ,

0 )

(x   h  h²  h³  h⁴ 

f

Penyelesaian :

Contoh 2 : f(x)=e^x dimana x_o=0 Penyelesaian :

) 0 6 cos(

) 0 2 sin(

) 0 cos(

) 0 sin(

) sin(

) (

3

2 h

h h x

x

f     

! ...

4 ) 0 (

! 3

) 0 (

! 2

) 0 (

! 1

) 0 ) (

( ⁰

4 3

0 2 0

0  

 

 

 





 x x e

x e x e

e e

x

f ^x

120 ...

) 6 sin(

) (

5

3  





 x x

x x

x f

! ...

4

! 3

! 1 2

) (

4 3

0

2   







 x x

x e x e

x

f ^x

DERET TAYLOR

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga

banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu.

Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:

) ( )

! ( ) .... (

)

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( )

( ^{'' ( )}

2 0

' f x R x

n x x x

x f x x

x f x x

f x

f ⁿ _{o n}

n o o

o o

o  



 

 





) (

/

);

)! ( 1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1 (

residu sisa

galat disebut

x c x c n f

x x x

R ⁿ _o

n o

n  



  ^{ }

DERET TAYLOR

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

dimana :

) ( )

( )

(x P x R x

f  _n  _n

DERET TAYLOR

)

! ( ) ) (

(

1

o k n

k

k o

n f x

k x x x

P





 

) )! (

1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1 (

c n f

x x x

R ⁿ

n o n

 



 

Contoh : f(x)=sin(x); x_o=1; utk deret Taylor orde ke-n

Penyelesaian :

) 1

! sin(

4 ) 1 ) (

1

! cos(

3 ) 1 ) (

1

! sin(

2 ) 1 ) (

1

! cos(

1 ) 1 ) (

1 sin(

) (

4 3

2 4

 

 

 

 

 x x x x

x P

)

! cos(

5 ) 1 ) (

)! ( 1 4 (

) 1 ) (

(

5 )

1 4 ( ) 1 4 (

4 x c

c x f

x R

Galat  



 

 ^{ }

DERET TAYLOR

a. Apa itu galat?

b. Mengapa harus ada galat?

c. Bagaimana menghitung galat?

d. Bagaimana galat timbul?

ANALISIS GALAT

o Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) terhadap solusi eksak

o Galat (ε) adalah perbedaan antara solusi hampiran dengan solusi eksak.

o Definisi: ε= a - â

ANALISIS GALAT

ANALISIS GALAT

^

a a

Mutlak

Galat    

% 100

: x

relatif a

Galat _R  

% 100

: _^ x

a hampiran

relatif

Galat _RA  

Misalkan :

Contoh :

: ,

^

maka a

sejati nilai

terhadap hampiran

nilai adalah

a

galat disebut

a a

 ^

 

45 , 10 10,5;

^  a 

a

  10 , 45  10 , 5   0 , 05

ANALISIS GALAT

Contoh :

Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif !

(d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian :

(a). Galat : ε = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000

= 1/3000 = 0,000333

(b).

(c).

(d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (iteration), ε_RA dihitung dengan cara :

dimana : a_r+1 = nilai hampiran lelaran sekarang a_r = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01%

100%

(10/3) x 0,000333 100%

x :

relatif

Galat   

R a

 

999 100% 1

3,333 x 0,000333 100%

x :

hampiran relatif

Galat  _^  

a

RA

 

1 1



 



r

r r

RA a

a

 a

000333 ,

0

^ 





 a a

Mutlak

Galat 

Proses lelaran dihentikan bila :

|ε_RA| < ε_S

ε_S = Toleransi galat yang dispesifikasikan

Semakin kecil ε_S, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya

Contoh :

Diketahui : X_r+1=(X_r³ + 3)/6; r =0,1,2,3 X_o= 0,5; ε_s= 0,00001 Hitung : ε_RA !

Penyelesaian : X_o = 0,5

X₁ = 0,4791667;

X₂ = 0,4816638;

X₃ = 0,4813757;

X₄ = 0,4814091;

X₅ = 0,4814052;

s

RA 

   

 0,043478

X

) X X

(

1 o 1

s

RA 

    0,0051843 X

) X X

(

2 1 2

s

RA 

    0,0005984  X

) X X

(

3 2 3

s

RA 

    0,0000693 X

) X X

(

4 3 4

! ,

0000081 ,

X 0

) X X

(

5 4

5 _s berhenti

RA 

    

Secara umum terdapat dua sumber utama

penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error)

2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu :

1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

o Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak.

o Ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana

o Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.

GALAT PEMOTONGAN

Misalkan: turunan pertama f(x₁), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis x_i+1

Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !

Penyelesaian :

f(x) = cos(x) f⁽⁴⁾(x) = sin(x) f^’(x) = - sin(x)

f^’’(x) = - cos(x)

h

x f x

x f ^{i i}

f

^{'( 1)  ( 1)  ( )}

Maka :

Galat pemotongan :

...

! 10

! 8

! 6

! 4

! 1 2 ) cos(

) (

10 8

6 4

2     





 x x x x x

x x

f

) )! (

1 (

) ) (

( ^{( 1)}

) 1 (

c n f

x x x

R ⁿ

n o n

 



 

Nilai hampiran Galat pemotongan

)

! cos(

) 5 )! (

1 4

(

) 0 ) (

(

5 )

1 4 ( ) 1 4 (

4 x c

c x f

x

R 



  ^{ }

Nilai R_n yg tepat hampir tdk pernah dapat kita

peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang

tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |R_n| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

)!

1 (

) x - ) (x

( )

(

) 1 ( ) o

1 (

 ^  ^



 f c n

x R

n n

x c x

n

Maks

o

Contoh-1 :

Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x_o=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !

Penyelesaian :

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f’(x) = 1/x f^’(x) = 1

f’’(x) = -1/x² f^’(x) = -1

f’’’(x) = 2/x³ f’’’^’(x) = 2

f⁽⁴⁾(x) = - 6/x⁴ f⁽⁴⁾(x) = -6

f⁽⁵⁾(x) = 24/x⁵ f⁽⁵⁾(c) = 24/c⁵

Deret Taylor :

Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo- tongan < 0,0000034.

) 4 (

) 1 (

3 ) 1 (

2 ) 1 ) (

1 (

)

ln( ₄

4 3

2

x x R

x x x

x  

 

 







) 4 (

) 1 , 0 ( 3

) 1 , 0 ( 2

) 1 , 0 1 (

, 0 )

9 , 0

ln( ₄

4 3

2

x

 R

 

 

 





) ( 1053583

, 0 )

9 , 0

ln(    R₄ x

0000034 ,

5! 0 (-0,1) c x

) 24 9 , 0 (

5 5

1 9 , 0

4  



Maks

 c

R

Contoh-2 :

Hampiri nilai secara numerik, yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 !

Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dx e^x



¹

0

2 ²

)

(x e^x

f 

) 2

(x e^x

f 

! 4

! 3

! 1 2

8 6

4

2 2 x x x

x

e^x     

x dx x

x x dx

e^x )

! 4

! 3

! 1 2

(

8 1 6

0

1

0

4

2 2















4617724 ,

216 1 1 42

1 10

1 3

1 1 0 1 216

42 10

3

9 7

5

3      



 







 x

x x x

x x x

o Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan nyata

o Dengan aplikasi computer, semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat

o Keterbatasan komputer dalam menyajikan

bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan.

GALAT PEMBULATAN

Contoh :

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.

Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :

(a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

(b). Bilangan titik kambang (floating point)

Contoh : 0,6238 x 10³ atau 0,6238E+03 0,1714 x 10^-13 atau

0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.

Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)

278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

ANGKA BENA

Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

Contoh :

Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

9800667 ,

24 0 ) 2 , 0 ( 2

) 2 , 0 1 (

) 2 , 0 (

4

2

 



 Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

GALAT TOTAL