PDF BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK - Universitas Brawijaya

(1)

1

Metode Numerik untuk Teknik Mesin 2012

BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK

Metode numerik merupakan metode pemrosesan dari data numerik (diskret) menjadi hasil numerik, dimana metode ini mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan dan kasus dengan geometri yang komplek yang biasa dijumpai di kasus rekayasa dan seringkali sulit untuk diselesaikan dengan cara analitis.

Analisa numerik dapat diartikan sebagai analisa mempergunakan algoritma dari metode numerik.

Analisa numerik memunculkan dua sisi yang menarik yaitu dapat menjadi :

 IPTEK (science) : Bagian dari matematika dimana algoritma yang dipakai dikembangkan dari persamaan-persamaan matematika tertentu.

 Seni (art) : Berkaitan dengan penentuan cara terbaik untuk menyelesaikan suatu persoalan matematika.

Penyelesaian persoalan matematika dapat diselesaikan dengan cara analitis (eksak), grafis dan numerik. Metode analitis mempunyai keunggulan dalam hasilnya yang eksak, tetapi biasanya terbatas untuk kemudahan penyelesaian pada masalah yang dengan asumsi linear dan pada kasus geometri yang sederhana. Metode grafis bertujuan untuk menggambarkan perilaku system dalam bentuk gambar atau nomograf dengan keterbatasan hanya mampu maksimal menguraikan masalah dengan menggunakan gambar tiga dimensi.

Jenis persoalan Matematika yang akan diselesaikan dengan cara numerik dapat digolongkan sebagai berikut:

1. Akar-akar persamaan

2. Persamaan aljabar linear serentak 3. Interpolasi

4. Pencocokan kurva (curve fitting) 5. Persamaan differensial biasa 6. Persamaan differensial parsial 7. Integrasi Numerik

Penyelesaian suatu persoalan matematika dengan metode numerik umumnya dapat diselesaikan dengan lebih dari satu metode sehingga harus dipilih metode terbaik yang dapat menghasilkan penyelesaian yang efisien dan efektif serta tidak menghasilkan error yang besar.

Cara memilih metode terbaik :

1. Mengetahui jenis-jenis metode yang ada

2. Mengetahui bagaimana metode-metode tersebut bekerja.

(2)

2

3. Mengetahui kelemahan dan kelebihan metode-metode.

4. Mempunyai faktor intuisi dan pengalaman dalam menerapkan metode-metode di atas.

Dengan mempelajari metode numerik akan memberikan sarana langsung dalam belajar pemrograman komputer. Dengan perkembangan hardware dan software saat ini sangat mendukung ketrampilan dalam memanfaatkan komputer sebagai alat bantu dalam menyelesaikan kasus rekayasa di bidang teknik mesin. Dengan memahami dan terbiasa dengan metode numerik akan memberikan kemampuan lebih untuk merancang program sendiri tanpa harus membeli program paket yang mahal. Beberapa bahasa program yang umum digunakan adalah FORTRAN, PASCAL, DELPHI, VISUAL BASIC, C++ dan banyak bahasa program lainnya.

Ciri-ciri pemrograman terstruktur harus mempunyai kriteria yaitu :

 Benar

 Mudah Difahami

 Mudah Dimodifikasi

Salah satu yang menjadi kelemahan metode numerik adalah munculnya galat atau error dikarenakan metode ini melibatkan suatu pendekatan/aproksimasi hasil dari metode analitis.

Galat yang umum dijumpai meliputi : 1. Galat Sintaksis

 Melanggar kaidah bahasa pemrograman 2. Galat waktu running

 Terjadi selama eksekusi program 3. Galat logika

 Kesalahan logika program 4. Galat pembulatan

 Komputer hanya mampu mempertahankan sejumlah angka tetap angka benar selama perhitungan.

Galat pembulatan merupakan galat yang paling sering dijumpai terutama dalam perhitungan metode numerik secara manual untuk latihan, quiz maupun ujian kuliah. Contoh pada bilangan-bilangan seperti  dan 5 tidak dapat diekspresikan sebagai sejumlah tetap angka benar. Untuk itu yang harus diperhatikan dalam latihan metode numerik adalah penggunaan yang konsisten jumlah angka di belakang koma selama perhitungan.

Kontrol kualitas program numerik mencakup pekerjaan dalam :

1.

DEBUGGING

 Perbaikan galat yang diketahui 2. PENGUJIAN

 Mendeteksi galat yang tidak diketahui

(3)

3

Berikut disajikan flowchart tahapan-tahapan dalam merancang dan

mengembangkan program yang berbasis metode numerik.

RANCANG BANGUN ALGORITMA

 Pengembangan yang mendasari logika program

KOMPOSISI PROGRAM

 Penulisan program dalam bahasa komputer

PENCARIAN DAN PENGUJIAN

 Pemastian bahwa program bebas Galat dan andal

DOKUMENTASI

 Membuat program mudah digunakan dan dipahami

PENYIMPANAN DAN PERAWATAN

 Menyimpan program dan memperbaikinya sesuai pengalaman dan kebutuhan pasar

(4)

4

BAB II. AKAR-AKAR PERSAMAAN

Penyelesaian kasus akar-akar persamaan dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu :

1. Metode pengurung (Bracketing Methods)

 Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan.

Contoh : Bisection, Regula Falsi.

2. Metode terbuka (Open Methods)

 Iterasi coba-coba yang sistematis.

Contoh : Newton Raphson, Secant.

2.1. Metode Bagi Dua (Bisection Methods)

Perumusan mencari akar : x_mid = 2

1 n

n x

x _ 

Evaluasi : f (x_mid) = 0  |f (x_mid)|  

Misal : Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x³ - 7 x + 1

Pertama tentukan nilai awal untuk x1 dan x2 sehingga didapatkan f (x1) dan f (x₂) yang berbeda tanda, yang berarti titik penyelesaian ada di sekitar itu.

Buat tabel untuk mempermudah pembacaan prosesnya.

No x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) x_mid f(x_mid)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55 -0,269

f(x1) dan f(xmid) sama tanda  x1 = xmid

2 2,55 2,6 -0,269 0,376 2,575 0,049

x

1

x

mid

x

₂

y

x y = f(x)

f(x2

)

f(x₁

)

f(x_mid

)

(5)

5

f(x₂) dan f(x_mid) sama tanda  x₂ = x_mid

3 2,55 2,575 -0,269 0,049 2,562 -0,117

f(x₁) dan f(x_mid) sama tanda  x₁ = x_mid

4 2,562 2,575 -0,117 0,049 2,568 -0,041

f(x1) dan f(xmid) sama tanda  x1 = xmid

5 2,568 2,575 -0,041 0,049 2,572 0,010

f(x₂) dan f(x_mid) sama tanda  x₂ = x_mid

6 2,568 2,572 -0,041 0,010 2,570 -0,015

7 2,570 2,572 -0,041 0,010 2,571 -0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571.

Algoritma Metode Biseksi

Hitung xmid = 2

1 n

n x

x _ 

, f (xmid)

f(xn), f(xmid) sama tanda ?

A p

a k a h f (x_n), f (x_mid)

sama tanda x_n+1 = x_mid f (x_n+1) = f (x_mid)

|f (xmid)|   A

p a k a h

|f (x_mid)|   STOP

xn = xmid

f (xn) = f (xmid) START

Tidak

Ya

Cari posisi akar f(xn) dan f(xn+1) beda tanda

(6)

6

2.2. Metode Posisi Palsu (False Position Methods)

 Berdasar interpolasi linear antara 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda  f(x₁) . f(x₂) < 0

 Konvergensi yang dihasilkan cepat.

f(x₁) dan f(x₂) berbeda tanda berarti ada akar antara x₁ dan x₂. Perumusan mencari akar :

x^* = xn – f(xn) 



 









) ( ) ( ₁

1

n n

x x

f f

Evaluasi suatu akar : | f(x^*) |  

Algoritma Metode Posisi Palsu = Algoritma Metode Biseksi hanya tinggal mengganti rumusan xmid =

2

1 n

n x

x _ 

menjadi x^* = xn – f(xn)



 









) ( ) ( ₁

1

n n

x x

f f

No x1 x2 f(x1) f(x2) x* f(x*)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,57 -0,015

2 2,57 2,6 -0,015 0,376 2,571 0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571. Terlihat dengan metode ini hanya dibutuhkan 2 iterasi sehingga konvergensi lebih cepat dibandingkan dengan metode biseksi.

x

1

x

3

x

₂

x

4

y

x y = f(x)

f(x₂

)

f(x₁

)

(7)

7

2.3. Metode Newton

 Tidak perlu mencari 2 harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda.

 Konvergensi yang dihasilkan cepat.

 Perlu menghitung turunan fungsi f’(x).

 Kelemahan : - tidak selalu menemukan akar (divergen).

- kemungkinan mencari f’(x) sukar.

- Penetapan harga awal sulit.

Dari deret Taylor :

f(xn + h) = f(xn) + h f’(xn) + 2 h²

f’’(x) + …..

Jika x_n + h adalah akar  f(x_n + h) = 0 0 = f(x_n) + h f’(x_n)  h = -

) (x

n n

f' f

Perumusan mencari akar :

x_n+1 = x_n + h = x_n - ) (x

) (x

n n

f' f

Algoritma Metode Newton

diabaikan

Cari xn+1, f (xn+1) xn + 1 = xn -

) (x

n n

f' f

|f (xn + 1)|  

A p

a k a h

|f (xn + 1)|   STOP

xn = xn+1

START ^START

Tidak

Ya Pilih Xn yang cocok

(8)

8

2.4. Metode Secant

 Tidak perlu mencari 2 fungsi dengan tanda berbeda.

 Kombinasi Metode Newton dan Metode Posisi Palsu.

 Tanpa mencari turunan fungsi f’(x).

 x0 dan x1 dipilih

 x₂ = x₁ + 

 Segitiga ABC  segitiga DEA x -x

) (x ) (x

0 1

1

0 f

f

-  = (x₁)

 f

-   = - f(x₁) 



 







 ) ( ) (x₁¹ ⁰x₀

x x

f f

maka : x2 = x1 - f(x1) 



 







 ) ( )

( ₁ ₀

0 1

x x

f f

Perumusan : x_n+1 = x_n – f(x_n) 



 







) ( )

( ₁

1 n n

n n

x x

f f

Algoritma Metode Secant = Algoritma Metode Newton, hanya tinggal mengganti rumusannya. Penggantian nilai dilakukan menurut urutan yang ketat, dengan nilai baru xn+1 menggantikan xn dan nilai xn

menggantikan xn-1. Sehingga kadang dua nilai tersebut dapat pada posisi yang sama  kemungkinan divergen.

SUMMARY

JENIS KELEBIHAN KEKURANGAN

Metode pengurung

 Bisection

 Regula Falsi - Selalu Konvergen

-Laju konvergen lambat Metode

terbuka  Newton-Raphson

 Secant -Laju konvergen cepat - Cukup satu terkaan awal

- Turunan harus dicari secara

analitis - Bisa divergen

B

x

0

x

1

x

3

x

₂

y

x y = f(x)

C A

E



D

(9)

9

TUGAS :

Selesaikan dengan cara manual dan Buat program komputer dengan menggunakan metode di atas dan Uji hasil program dengan menyelesaikan fungsi sebagai berikut :

y = x⁴ + 3 x³ + 2 x² + 5 x

Berikut listing program dengan menggunakan metode posisi palsu.

program posisi_palsu;

uses crt;

var

j,k,l,m,n,maxit,x1,x2,nb,na,xa,gmax : real;

function f( a,b,c,d,e,x :real):real;

begin

f:=a*sqr(sqr(x))+b*x*sqr(x)+c*sqr(x)+d*x+e;

end;

{prosedur pengisian data}

procedure data;

begin clrscr;

writeln('Menghitung akar persamaan ');

writeln('f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E ');

writeln('dengan metode Posisi Palsu ');

writeln;

write('Masukan nilai A = '); readln(j);

write('Masukan nilai B = '); readln(k);

write('Masukan nilai C = '); readln(l);

write('Masukan nilai D = '); readln(m);

write('Masukan nilai E = '); readln(n);

writeln;

write('Batas Error = '); readln(gmax);

write('Jumlah Iterasi Maks. = '); readln(maxit);

write('Nilai bawah = '); readln(nb);

write('Nilai atas = '); readln(na);

clrscr;

end;

{prosedur perhitungan posisi palsu}

procedure pospalsu;

var iterasi : integer;

galat,uji : real;

x:real;

begin writeln;

(10)

10

writeln('

==========================================');

write(' Iterasi ke-');write(' ');

write('Hasil');writeln;

write('

==========================================');

x1:=nb; x2:=na; iterasi:=0;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)-f(j,k,l,m,n,x1)));

repeat

iterasi:=iterasi+1;

uji:=f(j,k,l,m,n,x1)*f(j,k,l,m,n,xa);

if uji= 0 then xa:=0 else if uji < 0 then begin

x1:=nb; x2:=xa;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)- f(j,k,l,m,n,x1)));

writeln;write(' ');

write(iterasi);

write(' ',xa:3:5);

end

else if uji>0 then begin

x1:=xa; x2:=na;

xa:=x1-((f(j,k,l,m,n,x1)*(x2-x1))/(f(j,k,l,m,n,x2)- f(j,k,l,m,n,x1)));

writeln;write(' ');

write(iterasi);write(' ',xa:3:5);

end;

until (abs(f(j,k,l,m,n,xa))<=gmax) or (iterasi=maxit);

writeln;

writeln('

==========================================');

writeln;

writeln('Persamaan : ',j:2:2,'X^4 + (',k:2:2,')X^3 + (',l:2:2,')X^2 + (',m:2:2,')X + (',n:2:2,')');

writeln('Jumlah Iterasi = ',iterasi,' Batas Error = ',gmax:3:5);

writeln('Batas Bawah = ',nb:3:2,' Batas Atas = ',na:3:2);writeln;

write('Salah satu akarnya adalah = ',xa:3:5);

end;

{prosedur / program utama}

begin data;

pospalsu;

readln;

end.

(11)

11

HAHASSIILL RRUUNNNNIINNGG PPRROOGGRRAAMM Menghitung akar persamaan

f(x)=A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E dengan metode Posisi Palsu

Masukan nilai A = 1 Masukan nilai B = 3 Masukan nilai C = 2 Masukan nilai D = 5 Masukan nilai E = 0

Batas Error = 0.01 Jumlah Iterasi Maks. = 100 Nilai bawah = -3.5 Nilai atas = -1.5

=========================================

Iterasi ke- Hasil

==========================================

1 -2.34464 2 -2.62648 3 -2.78083 4 -2.85257 5 -2.88317 6 -2.89572 7 -2.90078 8 -2.90281 9 -2.90362 10 -2.90395

==========================================

Persamaan : (1.00)X^4 + (3.00)X^3 + (2.00)X^2 + (5.00)X + (0.00) Jumlah Iterasi = 10 Batas Error = 0.01000

Batas Bawah = -3.50 Batas Atas = -1.50 Salah satu akarnya adalah = -2.90395

(12)

12

BAB III. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK

Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak : a₁₁x₁ + a₁₂x₂+ ... + a_1nx_n= b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂+ ... + a_2nx_n= b₂ .

.

a_n1x₁ + a_n2x₂+ ... + a_nnx_n= b_n

dimana a adalah koefisien-koefisien konstanta, b adalah konstanta- konstanta dan n adalah banyaknya persamaan.

Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan cara : 1. Eliminasi  Eliminasi Gauss, Gauss Jordan.

2. Iterasi  Iterasi Jacobi, Gauss siedel.

3. Dekomposisi  Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky.

3.1. Eliminasi Gauss

 Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan- persamaan.

Strategi : mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan.

Kebutuhan : pemahaman Operasi Matrik Skema langkah eliminasi Gauss













 





























3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

b b b x

x x a a a

a a a













 





























3 2 1

33 23 22

13 12 11

' '

' 0 0

' ' 0

b b

b x

x x a

a a

a Upper Triangular

System

x3 = b’’3 / a’’33

x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22

x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

…… (E₁)

…… (E₂)

…… (E₃)











































































n 2 1

nn n2

n1

2 n 2 2

2 1

1 n 1 2

1 1

b b b

x xx a a

a

a a

a a a

a

. . . . ...

.

...

Back Substitution

Forward Elimination

(13)

13

 Langkah eliminasi maju :

1. Eliminasikan x₁dari (E₂) dan (E₃), asumsi a₁₁  0

 m21 =

1 1

a

2 1

a

_{; m}

31 =

2 2

a'

3 2

a'

 kurangkan (m₂₁ x (E₁)) pada (E₂) dan kurangkan (m₃₁ x (E₁)) pada (E3), sehingga :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a’22 x2 + a’23 x3 = b’2

a’32 x2 + a’33 x3 = b’3

NB : tanda petik satu berarti persamaan telah dimodifikasi satu kali.

2. Eliminasikan x2 dari (E3), asumsi a22  0

 m32 =

2 2

a'3 2

a'

 kurangkan (m32 x (E2)) pada (E3), sehingga : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a’₂₂x₂+ a’₂₃x₃= b’₂ a’’₃₃x₃= b’’₃

NB : tanda petik dua berarti persamaan telah dimodifikasi dua kali.

 Langkah substitusi mundur : x3 = b’’3 / a’’33

Sehingga dapat dirumuskan : xn =

1) - (n nn

1) - (nn

a b

Untuk menghitung x sisanya : x2 = (b’2 - a’23 x3) / a’22

x1 = (b1 - a12 x2 - a13 x3) / a11

Sehingga dapat dirumuskan : xi =

1) - (iii

n 1 i

j j

1) - (i ii 1)

- (ii

a

x a

b  





dengan i = n – 1, n – 2 , …. , 1

NB : Persamaan (E₁) disebut Pivot Equation, a₁₁ disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a₂₁/a₁₁ disebut sebagai Normalisasi.

(14)

14

Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).













3 3 3 3 2 3 1

2 2 3 2 2 2 1

1 1 3 1 2 1 1

b a a a

Masalah  harus menghindari pembagian dengan nol, sehingga muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.

Teknik untuk memperbaiki penyelesaian Eliminasi Gauss : 1. Pivoting

 Sebelum tiap baris dinormalkan, maka dilakukan penentuan koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan elemen pivot.

2. Scaling

 berguna dalam peminimalan galat pembulatan untuk kasus dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x₁ + 6 x₂ – x₃ = 85 ….. (1a) 6 x₁ + 15 x₂ + 2 x₃ = 72 ….. (1b) x₁ + x₂ + 54 x₃ = 110 ….. (1c) Penyelesaian :

Gunakan matrik dalam bentuk Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).

















110 54 1 1

72 2 15 6

85 1 - 6 27

















106,852 54,037

0,778 0

53,111 2,222

13,667 0

85 1

- 6

27

















103,829 53,911

0 0

53,111 2,222

13,667 0

85 1

- 6

27

dengan menggunakan substitusi mundur akan diperoleh x1, x2, dan x3.

 x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926 E₂ - 6/27 E₁

E3 - 1/27 E1

E₃ – 0,778/13,667 E₂

(15)

15

 13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111  x2 = 3,573

 27 x₁ + 6 x₂ - x₃ = 85  x₁ = 2,425 3.2. Eliminasi Gauss-Jordan

 Merupakan Variasi dari Eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk menghitung matrik invers.

Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak diperlukan proses substitusi mundur.

Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan













3 3 3 3 2 3 1

2 2 3 2 2 2 1

1 1 3 1 2 1 1

b a a a

















b * 1 0 0

b * 0 1 0

b * 0 0 1

3 2 1

Selesaikan soal yang sama pada metode Eliminasi Gauss :

















110 54 1 1

72 2 15 6

85 1 - 6 27

















110 54

1 1

72 2

15 6

3,148 0,337

- 0,222 1

















106,852 54,037

0,778 0

53,111 2,222

13,667 0

3,148 0,337

- 0,222 1

















106,852 54,037

0,778 0

3,886 0,163

1 0

3,148 0,337

- 0,222 1

Elimination

M a

t r i k

S a

t u a n

x1 = b*1

x2 = b*2

x3 = b*3

NO Back Substitution

…… (E

1

)

…… (E

2

)

…… (E

3

)

1/27 E1

E₃ – E₁ E2 – 6 E1

1/13,667 E₂

(16)

16

















103,828 53,911

0 0

3,886 0,163

1 0

2,285 0,073

- 0 1

















1,926 1

0 0

3,886 0,163

1 0

2,285 0,073

- 0 1

















1,926 1

0 0

3,572 0

1 0

2,426 0

0 1

3.3. Iterasi Gauss-Siedel

Bentuk umum persamaan linear serentak :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2 .

. .

an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + ... + ann xn = bn Dapat diubah bentuknya menjadi :

x₁ = a11

1 ( b₁ - a₁₂x₂+ a₁₃x₃- ... - a_1nx_n)

x₂ = a22

1 ( b₂ - a₂₁x₁+ a₂₃x₃- ... - a_2nx_n)

x₃ = a33

1 ( b₃ - a₃₁x₁+ a₃₂x₂- ... - a_3nx_n)

x_n = ann

1 ( b_n - a_n1x₁- a_n2x₂- ... - a_n(n-1)x_(n-1))

Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel

1. Asumsikan x2 = x3 = ….. = xn = 0, sehingga dapat diperoleh : x₁ =

11 1

a b

2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan harga x2 (dimana x3 = … = xn = 0), maka akan diperoleh :

x₂ = a22

1 ( b₂ - a₂₁x₁)

3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan selesailah proses iterasi yang pertama. Kemudian hasil proses tersebut dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x1, x2, x3. ….. xn pada proses iterasi kedua, ketiga dan seterusnya.

E3 – 0,778 E2

E₁ – 0,222 E₂

1/53,911 E3

E2 – 0,163 E3

E₁ –(- 0,073 E₃) x1 = 2,426

x2 = 3,572 x₃= 1,926

(17)

17

4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan kelemahan metode iterasi gauss-siedel yaitu proses akhir iterasi menjadi meragukan.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut : 27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b)

x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian :

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi : x = 27

1 ( 85 - 6 y + z ) …… (2a) y = 15

1 ( 72 - 6 x - 2 z ) …… (2a) z = 54

1 ( 110 - x - y ) …… (2a)

 Iterasi pertama

1. Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh : x1 =

27

85 = 3,15

2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk mendapatkan harga y1 (asumsi z = 0)

y1 = 15

1 ( 72 - 6 (3,15) ) = 3,54

3. Masukkan hasil “x1” dan “y1” ke dalam persamaan (2c) z1 =

54

1 ( 110 – 3,15 – 3,54) = 1,91

 Iterasi kedua x2 =

27

1 ( 85 - 6 (3,54) + 1,91 ) = 2,43 y₂ =

15

1 ( 72 - 6 (2,43) – 2 (1,91) ) = 3,57 z2 =

54

1 ( 110 – 2,43 – 3,57) = 1,926

 Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :

Iterasi ke - x y z

1 3,15 3,54 1,91

2 2,43 3,57 1,926

3 2,423 3,574 1,926

4 2,425 3,573 1,926

5 2,425 3,573 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah : x =2,425 ; y=3,573 ; z = 1,926

(18)

18

3.4. Iterasi Jacobi

 Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan : xi(n+1) =

ii i

a

b -



 n

j ii

ij

a a

1

xj (n) ; j  i

Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang sederhana, sedangkan kelemahannya adalah :

1. Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear serentak dengan ordo tinggi.

2. Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak yang memenuhi syarat berikut :

aii >



 n j

aij 1

; j  i dan i = 1, 2, ….., N Contoh soal :

Selesaikan persamaan simultan berikut : 27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b) x + y + 54 z = 110 ….. (1c) Penyelesaian :

Persamaan di atas dIbentuk menjadi : x⁽¹⁾ =

27

1 ( 85 - 6 y⁽⁰⁾ + z⁽⁰⁾ ) …… (2a) y⁽¹⁾ =

15

1 ( 72 - 6 x⁽⁰⁾ - 2 z⁽⁰⁾ ) …… (2b) z⁽¹⁾ =

54

1 ( 110 - x⁽⁰⁾ - y⁽⁰⁾ ) …… (2c)

 Iterasi pertama

Asumsikan x⁽⁰⁾ = y⁽⁰⁾ = z⁽⁰⁾ = 0, sehingga dari persamaan (2a, 2b dan 2c) akan diperoleh :

x⁽¹⁾ = 27

85 = 3,148 y⁽¹⁾ =

15

72 = 4,800 z⁽¹⁾ =

54

110 = 2,037

 Iterasi kedua x⁽²⁾ =

27

1 ( 85 - 6 (4,8) + 2,037 ) = 2,157 y⁽²⁾ =

15

1 ( 72 - 6 (3,148) – 2 (2,037) ) = 3,269 z⁽²⁾ =

54

1 ( 110 – 3,148 – 4,8) = 1,890

(19)

19

 Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagai berikut :

Iterasi ke - X Y z

1 3,148 4,800 2,037

2 2,157 3,269 1,890

3 2,492 3,685 1,937

4 2,401 3,545 1,923

5 2,432 3,583 1,927

6 2,423 3,570 1,926

7 2,426 3,574 1,926

8 2,425 3,573 1,926

9 2,426 3,573 1,926

10 2,425 3,573 1,926

11 2,425 3,573 1,926

Jadi hasil penyelesaiannya adalah :

x = 2,425 ; y = 3,573 dan z = 1,926

3.5. Dekomposisi LU

 Dengan cara membentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrik segitiga bawah (Lower) dari matrik koefisien A serta membentuk vektor matrik dari matrik hasil dengan aturan tertentu.

Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Tentu saja konsekuensinya metode ini memerlukan cara yang cukup kompleks.

[A] {X} = {B}

Dekomposisi

[U] [L]

[L] {D} = {B}

{D}

[U] {X} = {D}

{X}

Maju

Mundur

Pensubtitusian

(20)

20

Langkah-langkah Dekomposisi LU

1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matrik hasil {B} dari persamaan simultan.

[A] {X} = {B}

2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dan matrik segitiga atas [U] dari matrik koefisien [A] dengan aturan berikut :

l_i1 = a_i1 ; i = 1,2, … , n u1j =

11 1

l a _j

=

11 1

a a _j

; j = 2,3, … , n - untuk j = 2,3, … , n-1

l_ij = a_ij -



^

 1 1 j .

k

kj ik u

l ; i = j, j+1, … , n

ujk =

jj j i

ik ji jk

l u l a



^



 ¹

1

.

; k =j+1, j+2, … ,n ; lnn = ann -



^

 1 1 n .

k lnk ukn

3. Mencari matrik {B’} dengan aturan berikut :

b’₁ =

11 1

l

b ; b’_i=

ii i j

j ij i

l b l b



^



 ¹

1

' .

untuk i = 2, 3, … , n 4. Membentuk Augmented Matrix {UB’} dan penyelesaiannya

diperoleh :

x_n = b’_n dan x_j= b’_j -





 n

j k

k jk x u

1

Berikut disajikan contoh listing program VISUAL BASIC untuk menghitung persamaan linear serentak kasus di atas dengan metode Iterasi Jacobi.

LISTING PROGRAM Begin VB.Form Form1

Caption = "MENGHITUNG INTERASI JACOBI"

ClientHeight = 6030 ClientLeft = 60 ClientTop = 345 ClientWidth = 9510 LinkTopic = "Form1"

ScaleHeight = 6030 ScaleWidth = 9510

StartUpPosition = 2 'CenterScreen Begin VB.CommandButton Command3 Caption = "Masukkan Variabel"

BeginProperty Font

(21)

21

Name = "Nadall"

Size = 12 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty

Height = 495 Left = 3840 TabIndex = 38 Top = 5400 Width = 1215 End

Begin VB.CommandButton Command1 Caption = "Hitung Interasi"

BeginProperty Font

Name = "Nadall"

Size = 11.25 Charset = 0 Weight = 700 Underline = 0 'False Italic = 0 'False Strikethrough = 0 'False EndProperty

Begin VB.Frame Frame1

Caption = "Masukkan Angka"

BeginProperty Font

Name = "Palatino Linotype"

Height = 2415 Left = 720 TabIndex = 0 Top = 240 Width = 6495 Begin VB.TextBox Text4

(22)

22

Height = 375 Index = 2 Left = 5160 TabIndex = 12 Top = 1800 Width = 975 End

Begin VB.TextBox Text3 Height = 375 Index = 2 Left = 3480 TabIndex = 11 Top = 1800 Width = 495 End

Begin VB.TextBox Text2

(23)

23

Begin VB.Label Label6

(24)

24

Caption = "+"

Begin VB.Label Label5 Caption = "+"

Begin VB.Label Label3 Caption = "Z"

Begin VB.Label Label2 Caption = "Y"

Begin VB.Label Label1 Caption = "X"

Height = 375 Index = 1

(25)

25

Left = 3000 TabIndex = 24 Top = 1200 Width = 375 End

Begin VB.Label Label4 Caption = "="

Begin VB.Label Label1 Caption = "X"

Height = 375 Index = 1 Left = 1080 TabIndex = 19 Top = 1200

(26)

26

Width = 495 End

(27)

27

Caption = "X"

End

Begin VB.Frame Frame2

Caption = "View Persamaan dan Hasil Interasi"

BeginProperty Font

Name = "Palatino Linotype"

Height = 5775 Left = 120 TabIndex = 32 Top = 120 Width = 9255

Begin VB.CommandButton Command2 Caption = "CLear"

BeginProperty Font

Name = "Nadall"

Height = 375 Left = 7080 TabIndex = 37

(28)

28

Top = 5280 Width = 1815 End

Begin VB.ListBox List1 Height = 2205 Left = 240 TabIndex = 33 Top = 3000 Width = 8655 End

Alignment = 2 'Center BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font

Name = "Arial"

Alignment = 2 'Center BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font

Name = "Arial"

Alignment = 2 'Center

(29)

29

BorderStyle = 1 'Fixed Single BeginProperty Font

Name = "Arial"

End End

Attribute VB_Name = "Form1"

Attribute VB_GlobalNameSpace = False Attribute VB_Creatable = False

Attribute VB_PredeclaredId = True Attribute VB_Exposed = False Dim x(1000) As Single

Dim y(1000) As Single Dim z(1000) As Single Dim a(2) As Single Dim b(2) As Single Dim c(2) As Single Dim d(2) As Single

Private Sub Command1_Click() On Error Resume Next

Frame2.Visible = True Frame1.Visible = False Command1.Visible = False

Label7.Caption = Text1(0).Text & "X" & "+" & Text2(0).Text & "Y" &

"+" & Text3(0).Text & "Z" & "=" & Text4(0).Text

If Text1(0).Text = "" And Text1(1).Text = "" And Text1(2).Text = ""

And Text2(0).Text = "" And Text2(1).Text = "" And Text2(2).Text = ""

And Text3(0).Text = "" And Text3(1).Text = "" And Text3(2).Text = ""

Then

option15 = MsgBox("ANDA BELUM MEMASUKKAN NILAI VARIABEL", vbOKOnly, "WARNING")

(30)

30

Frame2.Visible = False Command3.Visible = True End If

For I = 0 To 2

a(I) = Text1(I).Text b(I) = Text2(I).Text c(I) = Text3(I).Text d(I) = Text4(I).Text Next I

x(0) = 0 y(0) = 0 z(0) = 0 jumlah = 0

For I = 1 To 100000 jumlah = jumlah + 1

x(I) = (d(0) - (b(0) * y(I - 1) + c(0) * z(I - 1))) / a(0) y(I) = (d(1) - (a(1) * x(I) + c(1) * z(I - 1))) / b(1) z(I) = (d(2) - (a(2) * x(I) + b(2) * y(I))) / c(2)

If x(I) = x(I - 1) And y(I) = y(I - 1) And z(I) = z(I - 1) Then GoTo 2

End If Next I

2 List1.Clear

For I = 1 To jumlah

List1.AddItem I & vbTab & vbTab & x(I) & vbTab & vbTab & y(I) &

vbTab & vbTab & z(I) Next I

End Sub

Private Sub Command2_Click() Label7.Caption = ""

Label8.Caption = ""

Label9.Caption = ""

Frame2.Visible = False Frame1.Visible = True Command1.Visible = True End Sub

Private Sub Command3_Click() Frame1.Visible = True

Command1.Visible = True Command3.Visible = False End Sub

Private Sub Form_Load() Frame2.Visible = False Command3.Visible = False End Sub

(31)

31

TAMPILAN HASIL PROGRAM

(32)

32

BAB IV. INTERPOLASI

Umumnya data engineering banyak yang berupa tabulasi. Penampilan data seperti itu dikarenakan pada kenyataannya data yang bisa diperoleh adalah bersifat “discrete” atau juga karena keterbatasan dalam pengukuran sehingga hanya sebagian data yang dapat disimpan atau dicatat.

Contoh data yang discrete

x y

0.2 10.1

0.3 12.5

0.4 14.2

0.5 17.8

0.6 19.3

Menginterpretasikan manipulasi data discrete dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu :

1. Numerical Interpolation.

2. Curve Fitting.

3. Numerical Differentiation.

4. Numerical Integration.

INTERPOLATION

4.1 Linear Interpolation

Yaitu interpolasi paling sederhana, dengan menganggap hubungan berupa garis antara dua titik data.

Persamaan garis lurus yang menghubungkan dua titik data tersebut :

x - x

y y

n

 n

= x -x y y

n 1 n



  y = yn +

x - x

y y

n 1 n



 

(x – xn)

Untuk contoh data di atas misalnya ingin dicari untuk x = 0,25

x

n

x

_n+1

y

x y = f(x) y

n+1

y

_n

Garis Lurus

(33)

33

y = 10,1 +

0,2 - ,3 0

1 , 0 1 5 , 12 

(0,25 – 0,2) = 11,3

4.2 Lagrange Interpolation

Membuat hubungan titik dalam tabulasi berupa suatu polinomial dimana masing-masing titik berupa simpul-simpul yang harus dipenuhi polinomial.

Tabulasi berupa titik-titik xi, yi dimana i = 0,1, …. , n dimana terdapat n+1 data, akan dipresentasikan y(x) = f(x) pada interval x0  x  xn

Polinomial interpolasi mempunyai bentuk :

P_n(x) = y₀ b₀(x) + y₁ b₁(x) + y₂ b₂(x) + …… + y_n b_n(x) dengan b_j(x) = suatu polinomial derajat “n”.

Polinomial bj(x) dapat dicari dengan menggunakan n+1 persamaan constraint.

Persamaan constraint dapat dibuat sebagai berikut : Pn(xi) = yi ; i = 0,1,2, … ,n

Sehingga :

Pn(x0) = y0  y0 b0(x0) + y1 b1(x0) + ..… + yn bn(x0) = y0

Pn(x1) = y1  y0 b0(x1) + y1 b1(x1) + ..… + yn bn(x1) = y1

. .

Pn(xn) = yn  y0 b0(xn) + y1 b1(xn) + ..… + yn bn(xn) = yn

Untuk mempermudah penyelesaian persamaan constraint, maka dipilih:

b_j(x_i) =

Pilihan tersebut memenuhi persamaan constraint.

Bentuk persamaan polinomial bj(x) adalah sebagai berikut :

bj(x) = Cj (x - x0) (x - x1) (x - x2) …. (x - xj-1) (x - xj+1) … (x - xn) Sesuai pilihan di atas yang cocok dengan constraint yaitu : bj(xj) = 1 Maka konstanta Cj dapat dicari dengan rumusan berikut :

C_j =

) )...(

)(

)....(

)(

(

1

1 1

1

0 j j j j j j n

j x x x x x x x x x

x    _  _ 

Dengan demikian semua polinomial b_j(x) diperoleh : b₀(x) = C₀ (x - x₁) (x - x₂) ……. (x - x_n)

b1(x) = C1 (x - x0) (x - x2) (x - x3) ……. (x - xn) b2(x) = C2 (x - x0) (x - x1) (x - x3) ……. (x - xn) .

.

bn(x) = Cn (x - x0) (x - x1) ……. (x - xn-1)

PDF BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK - Universitas Brawijaya

BAB I. PENGANTAR METODE NUMERIK

1.

BAB II. AKAR-AKAR PERSAMAAN

x

x

x

y

x y = f(x)

)

)

)

x

x

x

x

y

x y = f(x)

)

)

diabaikan

B

x

x

x

x

y

x y = f(x)

C A

E

D

BAB III. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SERENTAK

a

a

a'

a'

b a a a

b a a a

b a a a

b a a a

b a a a

b a a a

b * 1 0 0

b * 0 1 0

b * 0 0 1

…… (E

)

…… (E

)

…… (E

)





Maju

Mundur

Pensubtitusian











BAB IV. INTERPOLASI

x

x

y

x y = f(x) y

y

Garis Lurus

1 ; i = j

0 ; i  j