Pengantar Metode Numerik

GALAT (ERROR)

Definsi

Tipe Galat

Jenis kesalahan dapat digolongkan menjadi 3 jenis, yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan, dan kesalahan pemotongan (Triatmodjo, 1992). Kesalahan ini juga bisa disebabkan oleh penggunaan metode numerik yang menghasilkan perhitungan numerik yang sebagian besar tidak akurat. Namun menghitung semua suku hingga tak terhingga memerlukan proses yang panjang dan sulit, sehingga hanya beberapa suku pertama saja yang dipertimbangkan.

Jenis Galat

Salah seorang anak mengetahui bahwa hasil pengukuran seutas benang adalah 99 cm, padahal panjang sebenarnya adalah 100 cm. Di satu sisi, seorang anak yang mengukur panjang pensil menganggap panjang pensil adalah 9 cm, padahal panjang sebenarnya adalah 10 cm. Namun jika tidak ada informasi panjang sebenarnya, maka kesalahan pengukuran kawat dan pensil diasumsikan sama.

Dengan kata lain perhitungan kesalahan mutlak ini tidak memperhatikan besaran/satuan nilai yang diteliti. Perhitungan kesalahan relatif dapat mengatasi kelemahan kesalahan mutlak, yaitu dengan melakukan normalisasi kesalahan mutlak ke nilai eksak sehingga dapat diperhitungkan besarnya nilai yang diteliti. Dalam metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak.

Jika nilai perkiraan sebelumnya lebih besar dari nilai perkiraan saat ini (nilai perkiraan lebih besar dari nilai eksak), maka kesalahannya negatif dan sebaliknya.

Contoh Perhitungan Galat

Estimasi akar kuadrat pada metode kurung selalu berada “dalam tanda kurung” atau di kedua sisi nilai akar kuadrat dan diperlukan dua estimasi awal untuk menentukan nilai perkiraan akar kuadrat persamaan. Pada metode terbuka, pencarian nilai taksiran akar-akar persamaan dimulai dari satu nilai variabel bebas, atau dua nilai yang tidak harus mengapit akar-akarnya. Cara sederhana yang dapat digunakan untuk menentukan nilai aproksimasi akar adalah dengan menggunakan metode grafis.

Pada perhitungan awal ini belum diketahui penyelesaian eksak persamaan 𝑥3+ 4𝑥2− 10 = 0, dan nilai aproksimasi akar sebelumnya juga belum diketahui sehingga perhitungan error belum dapat dilakukan. Metode secant menggunakan dua nilai perkiraan akar sebelumnya ( 𝑥𝑖−1 dan 𝑥𝑖 ) untuk menentukan perkiraan akar berikutnya ( 𝑥𝑖+1 ), namun tidak memperhitungkan perubahan tanda 𝑓(𝑥). Metode secant adalah metode yang menggunakan dua nilai perkiraan akar sebelumnya (𝑥𝑖−1 dan 𝑥𝑖) untuk menentukan perkiraan akar selanjutnya (𝑥𝑖+1), namun tidak mengetahui adanya perubahan tanda 𝑓(𝑥 ) .

Deret Taylor memberikan nilai perkiraan suatu fungsi di suatu titik berdasarkan nilai fungsi dan turunannya di titik lain.

Gambar 1.1 Perkiraan Nilai Fungsi 𝐬𝐢𝐧 𝒙 Gambar 1.1 memberikan ilustrasi mengenai posisi nilai eksak (titik A) dan nilai hampiran (titik B) dengan galat sebasar 7,516863%

SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER

Pencarian Akar (Akar-Akar Persamaan) 16

Namun terkadang sulit untuk mendapatkan akar-akar fungsi non-linier yang derajatnya lebih dari dua. Metode pencarian akar dalam metode numerik dikelompokkan menjadi dua, yaitu: metode terkendala dan metode terbuka. Dalam metode penahanan ini terdapat beberapa metode numerik antara lain metode Bisection dan metode Interpolasi Linier/False Position.

Kelebihan metode constrain ini adalah iterasi yang terjadi pasti akan konvergen (semakin lama semakin mendekati nilai sebenarnya). Konvergensi pada metode kurung pasti akan terjadi karena metode ini didasarkan pada suatu pernyataan yang dapat menjadi filter dalam penentuannya. Hal ini dikarenakan pada metode terbuka tidak ada aturan yang berperan sebagai filter untuk menentukan tebakan awal (tebakan awal ditentukan secara sembarangan).

Namun jika estimasi awal yang dipilih benar, maka iterasi yang terjadi pada metode terbuka akan konvergen.

Metode Grafik

Metode grafik ganda digunakan untuk persamaan fungsi 𝑓(𝑥) = 0 yang uraian fungsinya dapat diuraikan menjadi reduksi dua fungsi yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥) = 0.

Gambar 2.1 Grafik fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟑 + 𝒙 − 𝟏 Berdasarkan gambar 2.1 terlihat bahwa titik potong dengan absis terjadi pada interval [0,5,1], sehingga tebakan awal untuk akar persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 − 1 dapat dipilih beberapa titik yang

Metode Bagi Dua (Bisection)

Didapatkan error lebih besar dari toleransi yaitu 0,133975 > 0,0001 sehingga dilakukan perhitungan ulang (lanjutkan iterasi 1). Berdasarkan tabel hasil iterasi, akar persamaannya adalah 1.731934 pada iterasi ke 10 karena nilai error relatif lebih kecil dari toleransi yang diberikan, sehingga iterasi dihentikan. Terlihat juga terdapat perbedaan hasil menggunakan metode twin dengan menggunakan 5 iterasi dan menggunakan toleransi 0,0001, dimana hasil menggunakan toleransi lebih mendekati solusi eksak.

Pada perhitungan awal ini belum diketahui penyelesaian eksak persamaan 𝑥3+ 4𝑥2− 10 = 0 dan nilai taksiran akar-akar sebelumnya juga tidak diketahui sehingga perhitungan error belum dapat dilakukan. Berdasarkan tabel hasil iterasi diperoleh akar persamaan sebesar 1.365112, karena nilai error relatif lebih kecil dari toleransi yang ditentukan maka iterasi dihentikan. Rumus halving diterjemahkan ke dalam rumus Microsoft Excel, dan evaluasi untuk menentukan rentang diterjemahkan menggunakan fungsi if.

Gambar 2.3 Metode Bisection Keterangan gambar:

Metode Interpolasi Linier

Error yang didapat lebih besar dari toleransi yaitu 0,03775 > 0,0001 sehingga dilakukan perhitungan ulang (melanjutkan ke iterasi 1). Berdasarkan tabel hasil iterasi, akar persamaannya adalah 1.732026 pada iterasi ke-4 karena nilai error relatif lebih kecil dari toleransi yang ditentukan, sehingga iterasi dihentikan. Berdasarkan hasil dengan metode false position, nilai yang diperoleh dengan menggunakan 5 iterasi lebih mendekati nilai eksak.

Gambar 2.4 Metode False Position Keterangan gambar:

Metode Newton Raphson

Ide dari metode Newton-Raphson adalah menghitung akar kuadrat, yaitu perpotongan antara sumbu X dan garis singgung kurva di titik [𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖)]. Error yang ditentukan lebih besar dari toleransi yaitu 0,1547 > 0,0001 maka dilakukan penghitungan ulang (melanjutkan ke iterasi 1). Berdasarkan tabel hasil iterasi, akar kuadrat persamaan pada iterasi kedua adalah 1,732143, karena nilai error relatif lebih kecil dari toleransi yang diberikan, maka iterasi dihentikan.

Metode Garis Potong (Secant)

Sistem persamaan linear dalam notasi matriks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode langsung (metode analitik) atau metode iteratif (metode numerik). Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan iterasi Jacobi dan iterasi Gauss Seidel dengan 𝑥𝑖(0) = 1 dan toleransi 0,5. Integrasi aturan 1/3 Simpson didasarkan pada interpolasi polinomial orde kedua (interpolasi kuadrat) dari fungsi 𝑓(𝑥) pada [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] untuk setiap 𝑖 = 1,2,.

Integrasi trapesium dengan n partisi bertujuan untuk meningkatkan akurasi integrasi aturan trapesium dengan membuat partisi pada trapesium (partisi area integrasi) dengan lebar yang sama. Tentukan hasil ∫ 2 cos 𝑥01 2𝑑𝑥 berdasarkan integrasi aturan 1/3 Simpson, integrasi aturan 1/3 Simpson dengan 4 partisi, dan integrasi aturan 3/8 Simpson.

Gambar 2.6 Metode Secant Keterangan gambar:

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER

Metode Langsung (Metode Analitik)

Metode langsung (metode analitik) dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear kurang efisien dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yang besar. Pada eliminasi Gaussian, sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 dibentuk menjadi sistem ekuivalen persamaan segitiga atas 𝑈𝑋 = 𝑌, kemudian penyelesaian X diselesaikan dengan metode substitusi balik. Ide di balik metode eliminasi Gaussian adalah memanipulasi persamaan yang ada dengan menghilangkan satu variabel dari persamaan, sehingga menyisakan satu persamaan dengan satu variabel (sistem persamaan segitiga atas).

Pada eliminasi Gauss Jordan, matriks koefisien diubah menjadi matriks identitas yaitu bentuk 𝐴𝑥 = 𝑏 diubah menjadi bentuk 𝐼𝑋 = 𝑌 , dimana I adalah matriks identitasnya. Oleh karena itu perlu dilakukan proses rotasi yaitu pertukaran baris-baris pada sistem persamaan linear agar elemen pivot menjadi elemen terbesar. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa metode langsung mempunyai keterbatasan dalam menangani sistem persamaan linear yang besar, sehingga diperlukan metode numerik untuk mengatasinya.

Metode Iterasi

Ada beberapa metode numerik yang menerapkan rumus Newton-Cotes, antara lain integrasi trapesium dan aturan Simpson. Kesalahan integrasi aturan trapesium dapat ditentukan dengan menggunakan suku sisa polinomial, dalam hal ini digunakan suku sisa polinomial Lagrange orde pertama, yaitu: Jika hasil integrasi aturan trapesium dibandingkan dengan hasil integrasi aturan trapesium dengan n partisi, ternyata hasil integrasi aturan trapesium dengan n partisi mendekati nilai eksak.

Ada berbagai jenis integrasi aturan Simpson tergantung pada derajat polinomial sebagai perkiraan fungsi, yaitu integrasi aturan Simpson 1/3 dan integrasi aturan Simpson 3/8. Dengan membandingkan hasil integrasi aturan trapesium dengan n partisi dengan hasil integrasi aturan Simpson 1/3 dengan n partisi, diperoleh hasil integrasi aturan Simpson 1/3 dengan n partisi lebih mendekati nilai eksak.

INTERPOLASI POLINOMIAL

Polinomial Taylor

Sebagian besar metode numerik turunan didasarkan pada pendekatan fungsi dalam bentuk polinomial (polinomial). berpikir logis, kritis dan sistematis dalam memahami konsep teoritis metode interpolasi. Siswa menunjukkan kinerja mandiri dan rasa tanggung jawab dalam menerapkan konsep teoritis metode interpolasi untuk pemecahan masalah. Deret ini merepresentasikan fungsi matematika sebagai jumlah suku tak terhingga yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik.

Suku sisanya memberikan kesalahan pemotongan jika hanya n suku pertama pada deret Taylor yang digunakan untuk menyatakan fungsi tersebut (polinomialnya hanya terpotong hingga urutan tertentu). Dengan demikian, nilai taksiran kesalahan sebesar √1,1 lebih kecil dari batas kesalahannya, sehingga nilai taksiran tersebut cukup akurat untuk digunakan.

Interpolasi Polinomial

Interpolasi polinomial Lagrange adalah reformulasi interpolasi polinomial Newton yang menghindari penghitungan perbedaan hingga.

INTEGRASI NUMERIK

Integrasi Aturan Trapesium

Perkiraan nilai integral fungsi 𝑓(𝑥) pada interval [𝑥0, 𝑥1] juga dapat dilihat berdasarkan Gambar 5.2 yang berbentuk trapesium.

Integrasi Trapesium dengan n Partisi 137

Seperti pada integrasi trapesium dengan n pembagian, pada integrasi 1/3 Simpson dengan n pembagian diperoleh n pembagian yang lebarnya sama untuk data 𝑛 + 1, sehingga interval tiap pembagian adalah 𝒉 =𝒙𝒏−𝒙𝟎. Penyelesaian numerik persamaan diferensial berupa tabel nilai numerik fungsi berbagai variabel bebas. Metode Euler adalah metode numerik untuk menentukan solusi orde pertama dari persamaan diferensial berbentuk 𝑑𝑦.

Metode Runge Kutta yang banyak digunakan dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial adalah metode Runge Kutta orde 4 dengan bentuk umum sebagai berikut: Metode Euler merupakan metode numerik untuk menentukan penyelesaian persamaan diferensial orde pertama yang mendekati turunan pada persamaan diferensial tersebut dengan turunan numerik yaitu 𝑑𝑦.

Gambar 5.4 Fungsi 𝒇(𝒙) dengan 3 Titik Data Fungsi 𝑓(𝑥) diselesaikan dengan menggunakan fungsi hampiran yang berupa polinomial orde 2:

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Metode Euler

Dalam metode Euler, turunan persamaan diferensial diganti dengan turunan numerik. Persamaan 6.2 digunakan setelah menentukan titik-titik yang berjarak sama pada interval [𝑎, 𝑏] yaitu dengan menerapkan 𝑥𝑖= 𝑥0 + 𝑖. Namun metode ini cukup berguna untuk memahami ide dasar metode solusi PD orde tinggi.

Inilah konsep dasar metode Euler, yaitu semakin kecil ℎ akan memberikan akurasi hasil yang lebih baik.

Metode Runge Kutta

Dimana 𝐹(𝑥𝑖, 𝑦𝑖; ℎ) adalah fungsi penjumlahan, yang diberikan 𝐹 = 𝑎1𝑘1+ 𝑎2𝑘2+ 𝑎3𝑘3+ ⋯ + 𝑎𝑛 maka konstanta dari 𝑎𝑛 dapat diperoleh sebagai berikut: -Jenis metode Runge Kutta bergantung pada nilai n yang merupakan ordo Runge Kutta. Untuk 𝑛 = 1 maka metode Runge Kutta dikenal dengan metode Euler. Metode Runge Kutta merupakan metode yang memberikan akurasi hasil lebih baik dibandingkan metode Euler.

Madiun: Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, IKIP PGRI Madiun. Metode posisi salah: metode posisi salah 9 selisih terbagi hingga: selisih dibagi hingga 65 kesalahan bawaan: kesalahan bawaan; kesalahan bawaan 3 Newton-Raphson: Metode Newton Raphson 9. Lulus pendidikan sarjana tahun 2009 dari program studi Matematika Universitas Udayana, lulus pendidikan pascasarjana tahun 2011 dari program studi pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Ganesha.

Saat ini penulis bekerja sebagai dosen tetap pada Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Mahadewa Indonesia.