PDF METODE NUMERIK TKM4104 - Universitas Brawijaya

(1)

METODE NUMERIK TKM4104

Kuliah ke-3

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1

(2)

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER

Metode pengurung (Bracketing Method)

 Metode Konvergen

 Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar dalam selang [a,b] dan kemudian secara bersistem mengurangi lebar kurungan.

 Contoh: Bisection, Regula Falsi.

(3)

SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER

Metode terbuka (Open Method)

 Iterasi coba-coba yang sistematis

 Bisa konvergen kadangkala divergen

 Contoh: Newton Raphson, Secant.

(4)

METODE TERTUTUP

 Syarat cukup keberadaan akar: Jika f(a) f(b)

< 0 dan f(x) menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit menerus di dalam selang [a, b], maka paling sedikit terdapat satu buah akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang

[a,b].

 Selang [a, b] harus berbeda tanda pada nilai- nilai fungsinya supaya terdapat minimal 1

buah akar.

(5)

METODE TERTUTUP

(6)

METODE TERTUTUP

 Kondisi yang mungkin terjadi

1. f(a)f(b) < 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil

2. f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap (termasuk tidak ada akar)

(7)

METODE TERTUTUP

 Cara menentukan selang yang cukup kecil dan mengandung akar:

1. Membuat grafik fungsi di bidang X-Y, lalu melihat di mana perpotongannya dengan sumbu-X.

2. Membuat tabel yang memuat nilai-nilai fungsi pada pada titik-titik absis yang berjarak

tetap (h). pada pada titik-titik absis yang berjarak tetap (h). Nilai h dibuat cukup kecil.

(8)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

Algoritma

(9)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

Penentuan x₁ dan x₂

Evaluasi : f (x_mid) = 0 |f (x_mid)|  

(10)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

f(x₁) dan f(x_mid) sama tanda  x₁ = x_mid f(x₂) dan f(x_mid) sama tanda  x₂ = x_mid

(11)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

No x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) x_mid f(x_mid)

1 2,5 2,6 -0,875 0,376 2,55 -0,269

2 2,55 2,6 -0,269 0,376 2,575 0,049

3 2,55 2,575 -0,269 0,049 2,562 -0,117

4 2,562 2,575 -0,117 0,049 2,568 -0,041

5 2,568 2,575 -0,041 0,049 2,572 0,010

6 2,568 2,572 -0,041 0,010 2,570 -0,015

7 2,570 2,572 -0,041 0,010 2,571 -0,003

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 2,571

Contoh 1: Tentukan nilai nol dari suatu fungsi y = x³ - 7 x + 1 dengan  = 0,01

(12)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

Sehingga salah satu akar yang dicari adalah 0.605263

Contoh 2: Temukan akar dari suatu fungsi y = e^x – 5x²dengan  = 0,00001

(13)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

 Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua:

1. Jumlah akar lebih dari 1

1. Bila dalam selang [a, b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar ganjil), hanya satu buah akar yang dapat ditemukan.

2. Cara mengatasinya: gunakan selang [a,b] yang cukup kecil yang memuat hanya satu buah akar

2. Akar ganda

Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang yang baru

(14)

METODE BAGI DUA ( BISECTION METHOD )

 Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua:

3. Singularitas

Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar

karena lelaran cenderung konvergen. Yang sebenarnya, titik singular bukanlah akar, melainkan akar semu

(15)

METODE REGULA FALSI

 Kelemahan metode bagidua adalah kecepatan konvergensinya sangat lambat.

 Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan.

 Bila f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b), tentu akar lebih dekat ke x = a daripada ke x = b.

 Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) ini adalah metode regula-falsi (bahasa Latin) atau metode posisi palsu. (false position method)

(16)

METODE REGULA FALSI

 Evaluasi suatu akar : | f(x^*) |  

 x_mid =  Bisection

 x^* = x_n–f(x_n)  Regula-Falsi

 lelaran n = 0,1,2,…

2

1 n

n x

x _ 



 









) ( )

( ₁

1

n n

x x

f f

(17)

METODE REGULA FALSI

(18)

METODE REGULA FALSI

 Secara umum, metode regula-falsi lebih cepat daripada metode bagidua. Tetapi, ada

kemungkinan metdoe regulasi lebih lambat

 Kasus seperti ini akan terjadi bila kurva fungsinya cekung (konkaf) di dalam selang [a,b]

 Akibatnya, garis potongnya selalu terletak di atas kurva atau selalu terletak di bawah

kurva.

(19)

METODE REGULA FALSI

(20)

METODE REGULA FALSI

Contoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = e^x – 5x²dengan  = 0,00001 dalam selang [0,1]

Hampiran akar x adalah 0.605267

(21)

METODE REGULA FALSI

 Pada kondisi yang paling ekstrim, |b-a_r| tidak pernah < ε karena nilai b selalu tetap pada lelaran r = 0,1,2,…

 Titik ujung yang tidak pernah berubah ini disebut stagnant point

 Pada stagnant point berlaku, |b-a_r| = |b-a_r| untuk r = 0,1,2,…

(22)

PERBAIKAN METODE REGULA FALSI

 Tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan > 1)  stagnant point

 Nilai f pada stagnant point diganti menjadi setengah kalinya

(23)

PERBAIKAN METODE REGULA FALSI

Contoh : Temukan akar dari suatu fungsi y = e^x – 5x²dengan  = 0,00001 dalam selang [0,1]

Hampiran akar x adalah 0.605267

(24)

METODE REGULA FALSI

Kerjakan!!!

Temukan salah satu akar dari suatu fungsi y = x³ - 7 x + 1 menggunakan metode regula-falsi

dengan  = 0,001?