Metode runge kutta untuk solusi persamaa

67  11 

Teks penuh

(1)

METODE RUNGE-KUTTA

UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM

S K R I P S I

Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh

Nama : Rahayu Puji Utami NIM : 4150401035

Program studi : Matematika Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

PENGESAHAN

Telah dipertahankan dihadapkan siding Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

Hari :

Tanggal :

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

………. ………

NIP. NIP.

Pembimbing I Anggota Penguji

DR. St Budi Waluyo 1. ...

NIP 132046848 NIP.

Pembimbing II 2. ...

NIP.

Drs. Moch Chotim, M. Si 3. ...

(3)

ABSTRAK

Ilmu Pengetahuan banyak memberikan landasan teori bagi perkembangan suatu teknologi, salah satunya adalah matematika. Cabang dari matematika modern yang mempunyai cakupan wilayah penelitian teoritik dan aplikasi luas adalah persamaan differensial. Persamaan diferensial nonlinier khususnya yang berorde dua dapat diselesaikan dengan metode Runge-Kutta. Metode ini mencapai ketelitian yang tinggi untuk kasus tak linier . Satu contoh persamaan differensial nonlinier orde dua adalah persamaan Pendulum yang ditulis dalam bentuk

2

sinθ = 0. Persamaan Pendulum ini sukar dan tidak mungkin diselesaikan secara analitis. Dengan alasan di atas penulis tertarik untuk meneliti tentang metode Runge-Kutta untuk menentukan suatu solusi dari persamaan diferensial nonlinier orde dua khususnya persamaan Pendulum dan menggunakan Maple untuk visualisasinya. Sehingga dalam penulisan skripsi ini penulis mengambil judul “ Metode Runge-Kutta Untuk Solusi Persamaan Pendulum”.

Tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier orde dua khususnya persamaan Pendulum dengan metode Runge-Kutta dan mengetahui aplikasi program Maple untuk visualisasinya persamaan Pendulum.

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini antara lain menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan masalah, penarikan kesimpulan.

Pada pembahasan dilakukan analisis untuk menentukan solusi persamaan Pendulum dengan menggunakan metode Runge-Kutta. Adapun formula dari metode Runge-Kutta adalah yi+1 = yi + [

6 1

(k1 + 2k2 + 2 k3 + k4 )] h, dengan: k1 = f(xi, yi), k2 = f(xi + ½h, yi + ½hk1), k3 =

f(xi + ½h, yi + ½hk2), k4 = f(xi + h, yi + hk3). Dari solusi tersebut dapat dibuat grafik untuk

beberapa nilai y(0) dan y’(0) dengan menggunakan program Maple.

Dari uraian pada pembahasan dapat disimpulkan bahwa solusi persamaan diferensial nonlinier orde dua 2

2 k4). Dengan program Maple diperoleh grafik untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0).

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

(4)

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kemampuannya” (Q.S. Al Baqoroh: 286)

“Imajinasi lebih berharga daripada sekedar ilmu pasti” (Albert Einstein) “Disaat kita mau berusaha keberhasilan akan selalu menyertai kita”

PERSEMBAHAN

Skripsi penulis peruntukan kepada: 1. Bapak dan Ibu tercinta.

2. Kakak-kakakku, adikku dan semua saudara-saudaraku tercinta.

3. Sahabat-sahabatku yang sangat aku sayangi. 4. Sayankqu always in myheart.

5. Teman-teman seperjuangan (Matematika ’01).

KATA PENGANTAR

(5)

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Drs. H.A.T. Soegito, S.H., M.M. selaku Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S., M.S. selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3. Bapak Drs. Supriyono, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

Semarang.

4. DR. ST. Budi Waluyo, M.Si selaku pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Drs. Moch Chotim, M.S selaku Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

6. Segenap sivitas akademika di jurusan Matematika FMIPA UNNES.

7. Ayah dan Ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik secara moral maupun spiritual dan segala yang ternilai.

8. Sahabat-sahabatku Nanny, Lidia dan adikku mahda yang telah memberikan dorongan untuk segera menyelesaikan skripsi ini.

9. Mas Dwi yang telah membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini.

10. Dea atau Yaya, Kakakku Yuni dan Kakakku Agus yang telah memberikan dorongan untuk segera menyelesaikan skripsi ini.

11. Teman-temanku Rina, Mey, Woro, Eli, Dwi, Taufik, Sigit, Ardi, Bowo, Doni, Aris dan semua angkatan 2001 yang selalu memberiku semangat dan dorongan hingga selesainya skripsi ini.

(6)

13.Dan orang-orang yang telah memberikan inspirasi, baik disengaja maupun tidak, serta pihak-pihak yang telah memberikan segala dukungan baik langsung maupun tidak langsung, material maupun immaterial, hingga proses penyusunan skripsi ini berjalan dengan lancar sampai terselesainya skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.

Semarang, Agustus 2005 Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...i

HALAMAN PENGESAHAN ...ii

ABSTRAK ...iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ...iv

KATA PENGANTAR ... v

(7)

DAFTAR GAMBAR...ix

DAFTAR LAMPIRAN ... x

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Permasalahan... 4

C. Tujuan Penelitian ... 5

D. Manfaat Penelitian ... 5

E. Sistematika Penulisan Skripsi ... 6

BAB II LANDASAN TEORI ... 8

A. Persamaan Diferensial... 8

B. Metode Runge-Kutta ... 11

C. Persamaan Pendulum ... 23

D. Maple... 24

BAB III METODE PENELITIAN ... 27

A. Menemukan Masalah ... 27

B. Merumuskan Masalah ... 27

C. Studi Pustaka ... 27

D. Analisis dan Pemecahan Masalah ... 28

E. Penarikan Kesimpulan ... 28

BAB IV PEMBAHASAN ... 29

A. Solusi persamaan Pendulum dengan menggunakan metode Runge-Kutta 29 B. Aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan Pendulum . 42 BAB IV PENUTUP ... 45

A. Simpulan ... 45

B. Saran-Saran ... 46

(8)

BAB II LANDASAN TEORI

A. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial diperoleh berdasarkan pemodelan matematika dari permasalahan yang ada di dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh penerapan matematika pada ilmu fisika. Persamaan diferensial dari hukum Newton II yang timbul karena gejala alam, bahwa massa kali percepatan dari suatu benda sama dengan gaya luar yang bekerja pada benda itu. Suatu benda bermassa m bergerak sepanjang sumbu y pada

(9)

(4) 2 0

varibel terikat yang tergantung pada varabel bebas tunggal disebut persamaan diferensial

biasa. Persamaan diferensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel

terikat yang tergantung pada variabel bebas yang tidak tunggal disebut persamaan

diferensial parsial. Persamaan diferensial (1) dan (2) adalah suatu contoh dari persamaan

diferensial biasa. Persamaan diferensial (3) dan (4) merupakan suatu contoh dari persamaan

diferensial parsial.

Orde dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan

yang muncul dalam persamaan tersebut. Contoh (1) dan (3) adalah persamaan diferensial

orde satu, persamaan (4) merupakan persamaan diferensial orde dua, dan persamaan (2)

adalah persamaan diferensial orde tiga.

Secara umum persamaan diferensial berorde n dapat dituliskan sebagai

( ) ( )

( )

Suatu fungsi y(t) yang didefinisikan pada suatu interval dikatakan solusi suatu

persamaan diferensial bila untuk variabel bebas t, maka nilai-nilai y(t) dan turunannya bila

disubtitusikan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Beberapa contoh solusi dari

persamaan diferensial:

(10)

2. Solusi dari persamaan diferensial y = Ae2x+Bex+C

untuk C sembarang konstan.

Solusi pada persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu solusi umum dan

solusi khusus. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah solusi yang mengandung

sembarang konstan, sedangkan solusi khusus suatu persamaan diferensial adalah solusi

yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstan yang

terdapat pada solusi umum.

Klasifikasi penting persamaan diferensial adalah apakah persamaan diferensial

tersebut linier atau nonlinier. Persamaan diferensial biasa

(

, , 1, , ( )n

)

=0

diterapkan untuk persamaan diferensial parsial. Jadi persamaan diferensial orde-n secara

umum dapat ditulis sebagai:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

diferensial tidak dapat ditulis dalam bentuk tersebut maka dikatakan persamaan diferensial

tersebut persamaan diferensial nonlinier. Contoh:

(1) xy x

dx dy

sin 3 2 =

+ merupakan persamaan nonlinier,

(2) xy x

dx dy

sin 3 =

+ merupakan persamaan linier, dan

(3) 2 5 6 0

merupakan persamaan nonlinier.

(11)

membuat persamaan itu menjadi linier yaitu dengan cara menghampiri persamaan tersebut oleh persamaan diferensial linier (aproximasi).

B. Metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta mencapai ketelitian suatu pendekatan deret taylor tanpa memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Banyak perubahan terjadi, tetapi

semuanya dapat ditampung dalam bentuk umum dari persamaan:

Yi+1 = y1 + φ (x1, y1, h) h (1)

dimana φ (x1, y1, h) disebut suatu fungsi yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah slope

rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai

berikut:

φ = a1k1 + a2 k2 + … + ankn (2)

dimana setiap a adalah konstanta dan setiap k besarnya adalah:

k1 = f(xi , yi ) (3)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h) (4)

k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h) (5)

.

.

.

kn = f(xi + p n-1h, yi + qn-1,1 k1h + qn-1,2 k2h

+ … + qn-1,n-1 kn-1h) (6)

Semua harga k berhubungan secara rekursif. Artinya k1 muncul dalam persamaan untuk k2,

yang muncul lagi dalam persamaan untuk k3, dan seterusnya. Rekurensi ini membuat

(12)

Berbagai jenis metode Runge-Kutta dapat direncanakan dengan melaksanakan jumlah suku-suku yang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinyatakan oleh n. Pada RK orde pertama dengan n = 1 ternyata adalah metode Euler. Sekali n telah dipilih, harga-harga untuk setiap a, p, dan q dievaluasikan dengan memberikan harga persamaan: yi+1 =

yi + φ h sama dengan suku-suku pada sebuah perluasan deret taylor. Jadi sekurang-kurangnya untuk versi orde lebih rendah, jumlah suku n biasanya menunjukkan orde pendekatan. Misalnya pada pasal berikut ini, metode RK orde kedua menggunakan sebuah

fungsi inkremen dengan dua suku (n = 2). Metode orde kedua ini akan eksak bila solusi untuk persamaan persamaan diferensial adalah kuadratik. Tambahan pula, disebabkan

suku-suku dengan h3 danlebih tinggi dihilangkan, selama penurunan, kesalahan pemotongan lokal 0(h3) dan kesalahan global adalah 0(h2). Pada pasal-pasal berikutnya

dikembangkan metode RK orde ketiga dan keempat (n = 3 dan 4 ). Untuk kasus-kasus ini,

kesalahan-kesalahan pemotongan global masing-masing adalah 0(h3) dan 0(h4).

Metode Rungga-Kutta orde kedua versi orde kedua dari persamaan (1) atau yi+1 =

yi + φ (xi, yi, h) h adalah:

yi+1 = yi + (a1k1 + a2k2 ) h (7)

dengan:

k1 = f(xi,yi) (8)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h) (9)

Harga-harga untuk a1 dan a2, p1, q11 diselesaikan dengan menyamakan persamaan (7)

(13)

menurunkan tiga persamaan untuk menyelesaikan empat konstanta yang tidak dikenal. Ketiga persamaan itu adalah:

a1 + a2 = 1 (10)

a2 p1 =

2 1

(11)

a2 q11 =

2 1

(12)

Karena kita memilika tiga persamaan dengan empat yang tidak dikenal, kita harus

menganggap sebuah harga dari salah satu yang tidak dikenal tersebut untuk menentukan

ketiga buah yang lainnya. Misalkan kita nyatakan sebuah harga untuk a2. Kemudian

persamaan (10) sampai (12) dapat diselesakan secara simultan untuk:

a1 = 1 - a2 (13)

p1 = q11 =

2 2

1

a (14)

Karena kita dapat memilih sejumlah tak hingga harga untuk a2, maka terdapat sejumlah tak

hingga metode RK orde kedua. Setiap versi akan mengandung hasil-hasil yang sama secara

eksak, jika solusi untuk PDB adalah kuadratik, linier atau sebuah konstanta. Tetapi

versi-versi itu mengandung hasil-hasil yang berbeda kalau (dalam kasus sejenis), solusi tersebut

adalah lebih rumit. Kita akan memberikan tiga buah versi yang paling lazim digunakan

(14)

Metode Heun dengan sebuah korektor tunggal (a2 =

Persamaan (13) dan (14) dapat diselesaikan untuk a1 =

2 1

dan p1 = q11 = 1.

Parameter-parameter ini kemudian dimasukkan kedalam persamaan (7) sehingga:

yi+1 = yi + (

Konsekuensinya metode RK orde kedua sebenarnya adalah teknik heun dengan sebuah korektor iterasi tunggal.

Metode Poligon yang diperbaiki (a2 =

(15)

Metode Raltson (a2 =

kesalahan pemotongan untuk algoritma RK orde kedua. Untuk versi ini, a1 = 3

1. Gunakan metode poligon yang diperbaiki dan metode raltson untuk mengintegrasikan

secara numerik dari persamaan berikut ini;

f(x,y) = - 2x3 + 12x2 - 20x + 8,5

dari x = 0 hingga x = 4 dengan menggunakan ukuran langkah = 0,5.

Penyelesaian:

Langkah pertama menggunakan metode poligon yang diperbaiki yaitu dengan menggunakan persamaan (19) guna menghitung

k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,25) + 8,5 = 4,21875

(16)

Pada metode raltson, k1 untuk interval pertama juga berharga 8,5 maka:

k2 = - 2 (0,375)3 + 12 (0,375)2 – 20 (0,375) + 8,5 = 2,58203125

Slope rata-rata dihitung oleh:

φ= 3 1

(8,5) + 3 2

(2,58203125) = 4,5546875

yang digunakan untuk memprediksikan:

y (0,5) = 1 + 4,5546875(0,5) = 3,27734375

Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan

tiga buah metode RK orde kedua serta metode Euler

Metode Runge-Kutta orde ketiga untuk n = 3, suatu turunan yang serupa dengan

penurunan buat metode orde kedua dapat dilaksanakan. Hasil dari turunan ini adalah enam

persamaan dengan delapan yang tidak dikenal. Karena itu, harga-harga untuk dua buah

yang tidak dikenal tersebut harus dispesifikasikan sebelumnya agar dapat menentukan

parameter-parameter sisanya. Sebuah versi yang umum mamberikan hasil:

yi+1 = yi + [

6 1

(17)

dengan:

Jika turunan tersebut hanyalah sebuah fungsi x, metode orde ketiga ini terediksi menjadi

aturan simpson 3 1

. Raltson (1962) serta raltson dan rabinowitz (1978) telah

mengembangkan suatu versi alternatif yang memberikan sebuah batas minimal pada

kesalahan pemotongan. Pada sembarang hal, metode RK orde ketiga tersebut mempunyai

kesalahan-kesalahan lokal dan global masing-masing sebesar 0(h4) dan 0(h3) serta

mengandung hasil-hasil eksak jika solusi tersebut adalah sebuah kubik. Seperti terlihat

pada contoh berikut, jika kita berhadapan dengan polinomial, persamaan (24) juga akan

eksak bila persamaan diferensial adalah kubik dan solusi tersebut adalah kuadratik. Ini

disebabkan aturan simpson 3 1

memberikan perkiraan integral yang eksak untuk kubik.

Contoh:

1. Gunakan persamaan (24) untuk mengintegrasikan:

(a) Sebuah PDB yang semata-mata fungsi x:

dx dy

= - 2x 3 + 12x2 – 20x + 8,5

dengan y(0) = 1 dan ukuran langkah = 0,5

(b) Sebuah PDB yang merupakan fungsi x dan y:

dx dy

(18)

dengan y(0) = 2 dari x = 0 hingga 1 serta ukuran langkah sebesar satu.

Penyelesaian:

(a) Persamaan (25) sampai (27) dapat digunakan untuk

menghitung:

k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,2005) + 8,5 = 4,21875

k3 = - 2 (0,5)3 + 12 (0,5)2 – 20 (0,5) + 8,5 = 1,25

yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (3.2) maka:

y (0,5) = 1 + { 6 1

[ 8,5 + 4 (4,21875) + 1,25 ]} 0,5 = 3,21875.

Jadi, karena solusi sebenarnya adalah sebuah polinomial orde keempat, aturan

simpson 3 1

memberikan sebuah hasil yang eksak.

(b) Persamaan (25) sampai (27) dapat digunakan untuk

menghitung:

k1 = 4e0,8 (0) – 0,5 (2) = 3

k2 = 4e0,8 (0,5) – 0,5 [ 2 + 0,5 (1) 3 ] = 4,21729879

k3 = 4e0,8 (1,0) – 0,5 [ 2 – 1 (3) + 2 (1) 4,21729879 ] = 5,18486492

yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (24) maka:

y (1,0) = 1 + { 6 1

[ 3 + 4 (4,21729879) + 5,18486492 ]}1

= 6,175676681.

(19)

Metode Runge-Kutta orde keempat, metode RK ini yang paling populer adalah

orde keempat. Seperti halnya pendekatan orde kedua, terdapat sejumlah tak hingga versi.

Yang berikut ini seringkali disebut dengan metode RK orde keempat klasik:

yi+1 = yi + [

ekuivalen pula terhadap aturan simpson 3 1

.

Contoh:

1. Gunakan metode RK orde keempat klasik untuk mengintegrasikan:

f(x,y) = - 2x3 + 12x2 – 20x + 8,5

dengan menggunakan ukuran langkah sebesar 0,5 dan suatu kondisi awal y = 1 pada x =

0.

Penyelesaian:

Persamaan (29) sampai (32) dapat digunakan untuk menghitung:

k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,25) + 8,5 = 4,21875

(20)

k4 = - 2 (0,5)3 + 12 (0,5)2 – 20 (0,5) + 8,5 = 1,25

yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (28) maka:

y (0,5) = 1 + { 6 1

[ 8,5 + 2 (4, 21875) + 2 (4, 21875) + 1,25 ]} 0,5

= 3,21875.

Metode orde keempat memberikan suatu hasil yang eksak.

Metode Runge-Kutta orde lebih tinggi. Bilamana diperlukan suatu hasil yang lebih teliti,

maka metode RK orde kelima butcher (1964) merekomendasikan:

yi+1 = yi + h[

Metode Runge-Kutta Fehlberg yang didasarkan pada perhitungan dua metode RK

dari orde yang berbeda,dengan mengurangkan hasil-hasilnya untuk mendapatkan suatu

(21)

yi+1 = yi + (

bersama dengan suatu formula orde kelima:

yi+1 = yi + (

Persamaan Pendulum ( Ayunan )

Sebagai contoh bandul sederhana atau persamaan ini sering disebut dengan

persamaan pendulum seperti gambar 1:

R

(22)

θ a

w y

Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya-gaya pada

partikel serta percepatan.

Partikel dengan berat W tersebut digantungkan pada sebuah batang tanpa berat yang

panjangnya l. Gaya yang bekerja pada partikel hanyalah beratnya serta tegangan R pada batang. Posisi partikel pada sembarang waktu dinyatakan dengan lengkap dalam sudut

dan l. Pada bandul berayun gaya bekerja pada partikel dan pada percepatan. Dalam hal ini diterapkan hukum gerak Newton kedua dalam arah x yang menyinggung lintasan partikel,

yang diberikan dengan:

dimana g adalah konstanta gravitasi (32,2 ft/dt2) dan a adalah percepatan dalam arah

x. Percepatan sudut partikel (α) menjadi:

α

=

Persamaan ini merupakan persamaan diferensial tak linier orde kadua.

B. Maple

(23)

kemampuan menyederhanakan persamaan diferensial sehingga solusi persamaan

diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan dari Maple untuk aplikasi persamaan

diferensial adalah kemampuan melakukan animasi (gerakan) grafik dari suatu fenomena

gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang mempunyai nilai awal dan

syarat batas.

Statement yang sering digunakan untuk keperluan menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial antara lain: diferensial digunakan untuk mendiferensialkan

(menurunkan) suatu fungsi, dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial,

evalf memberikan nilai numerik dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk menyederhanakan suatu persamaan. Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti

restart dan deklarasi variable atau konstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan. Sedangkan untuk membuat grafik digunakan perintah plot, plot 2d, plot 3d, tergantung dimensi dari pernyataan yang dimiliki, untuk membuat animasi digunakan perintah animate

3d. Setiap perintah pada maple harus dituliskan setelah tanda maple prompt yang diakhiri dengan titik dua (bila hasilnya tidak akan ditampilkan) atau titik koma (bila hasilnya akan

ditampilkan).

Maple merupakan salah satu perangkat lunak (software) yang dikembangkan oleh waterloo inc. Kanada untuk keperluan computer algebraic System (CAS). Menu-menu yang terdapat pada tampilan maple terdiri dari menu: file, edit, view, insert, format, spreadsheat,

option, window, dan help merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program

aplikasi pada system windows.

(24)

masukan (input) pada maple merupakan deklarasi pada bahasa program dan perintah (command) yang sering digunakan pada bahasa aplikasi.

Maple bisa dipakai untuk menganalisis model dan menginterpretasikan solusi yang diperoleh ke masalah nyata yang telah di modelkan. Maple sangat dibutuhkan untuk

(25)

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang

digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:

A. Menemukan Masalah

Dalam tahap ini dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber pustaka sebagai

suatu masalah.

B. Merumuskan Masalah

Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan dalam pertanyaan yang harus

diselesaikan yaitu:

1. Bagaimana menentukan solusi persamaan pendulum dengan menggunakan metode

Runge-Kutta?

2. Bagaimana aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum?

C. Studi Pustaka

Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan

data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan, mengumpulkan konsep pendukung

seperti definisi dan teorema serta membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk

menyelesaikan permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar

pengembangan upaya pemecahan masalah.

(26)

Dari berbagai sumber pustaka yang menjadi bahan kajian, diperoleh suatu pemecahan

permasalahan diatas. Selanjutnya dilakukan langkah-langkah pemecahan masalah sebagai

berikut:

1. Menjelaskan bagaimana menentukan solusi persamaan pendulum dengan menggunakan

metode Runga-Kutta.

2. Menjelaskan bagaimana aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum.

E. Penarikan simpulan

Tahap ini merupakan tahap akhir dari penelitian. Penarikan simpulan dari

(27)

BAB IV PEMBAHASAN

A. Solusi persamaan pendulum dengan menggunakan metode Runge-Kutta

Perhatikan persamaan pendulum atau persamaan ayunan dari partikel dengan berat W yang digantung pada sebuah batang dan dengan panjang l. gaya yang bekerja pada partikel hanyalah beratnya serta tegangan R pada batang. Posisi partikel pada sembarang waktu

dinyatakan dengan lengkap dalam sudut θ dan l. Gaya yang bekerja pada partikel serta percepatan. Ada baiknya menerapkan hukum gerak Newton kedua dalam arah x yang menyinggung lintasan partikel:

− Percepatan sudut partikel (α) menjadi:

α

= l a

.

Dalam koordinat polar, Fdisajikan dengan

(28)

Solusi 1: Suatu persamaan diferensial dapat direduksi menjadi suatu bentuk yang dapat diselesaiakan secara analitis. Perluasan deret untuk sin θ diberikan oleh:

sin θ = θ -

perpindahan yang kecil, persamaan (1) menjadi:

2

yang merupakan sebuah persamaan diferensial liniear orde dua. Aproksimasi ini sangat

penting, karena persamaan (3) mudah diselesaikan secara analitis. Solusi yang didasarkan

pada teori persamaan diferensial diberikan oleh:

θ(t) =

θ

0 cos l g

t (4)

dengan

θ

0 adalah perpindahan pada t = 0 dan dianggap bahwa kecepatan ( v = dt dθ

) dari

partikel adlah nol pada t = 0. Waktu yang diperlukan oleh partikel menyempurnakan suatu

siklus osilasi yang disebut periode dan diberikan oleh:

T = 2π g

l .

Pada persamaan (3) ditransformasikan menjadi dua persamaan orde pertama supaya dapat

diselesaikan yaitu sebagai berikut:

(29)

Jelas

terhadap persamaan orde kedua.

Solusi 2: teknik aproksimasi numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode Runge-Kutta orde empat.

(1) Solusi numerik dengan metode Runge-Kutta orde empat memberikan

hasil-hasil sebagai berikut: (dengan menggantiθ = x dan ukuran langkah

(30)

dengan metode RK untuk x1:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,09588510770

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,04520574462

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,07864102030

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,08180018910

L = h*( yp[n] + k3) = 0,08363996218

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,06601813295

x[n + 1] = x[n] + h = 0,2

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,082911579

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,3390714468

untuk x2:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,06652231010

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,3058102918

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,05383747025

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,05627639640

L = h*( yp[n] + k3) = 0,5655901008

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,04491729586

x[n + 1] = x[n] + h = 0,4

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,138950123

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2285156670

untuk x3:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,04530640556

(31)

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,03643721152

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,03817990754

L = h*( yp[n] + k3) = 0,03806715190

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,03031388552

x[n + 1] = x[n] + h = 0,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,176658355

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1535641572

untuk x4:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,03059226228

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01382680261

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,02453243944

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02573479406

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02556587262

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02038346022

x[n + 1] = x[n] + h = 0,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,201980553

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1030607607

untuk x5:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02057568278

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,009277291930

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,01647831491

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01729486170

(32)

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01368350958

x[n + 1] = x[n] + h = 1,0

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,218969448

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,06912557884

untuk x6:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01381410820

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,006221852475

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,01105665440

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01160725904

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01150366396

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,009178986740

x[n + 1] = x[n] + h = 1,2

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,230362696

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,04635193824

untuk x7:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,09267068430

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004171840402

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,007415274000

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,007785365315

L = h*( yp[n] + k3) = 0,007713314584

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,006155269410

x[n + 1] = x[n] + h = 1,4

(33)

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,03107739942

untuk x8:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,06214479440

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,002797015970

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,004972071700

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,005220472550

L = h*( yp[n] + k3) = 0,005171385374

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,004126997926

x[n + 1] = x[n] + h = 1,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,243123581

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,02083521080

untuk x9:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,004166740676

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,001875184046

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,003333539656

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,003500155534

L = h*( yp[n] + k3) = 0,003467011054

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,002766891678

x[n + 1] = x[n] + h = 1,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,246557261

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,01396820322

untuk x10:

(34)

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,001257142832

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,002234884170

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,002346609966

L = h*( yp[n] + k3) = 0,002324318650

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,00 1854970062

x[n + 1] = x[n] + h = 2,0

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,248859232

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,009364367172

untuk x11:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,001872846062

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,0008427944140

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,001498290207

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,001573199169

L = h*( yp[n] + k3) = 0,001558233601

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,001243585753

x[n + 1] = x[n] + h = 2,2

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,250402483

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,006277896983

(2) Solusi numerik dengan metode Runge-Kutta orde empat de

> restart:

> with(plots):

> pdb := diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0;

:=

pdb + =

d d2

x2y( )x 2sin ( )(y x ) 0

(35)

sol := y( )x =

> #solek:= subs(x=x[n],sol);

> f:=(x,y,yp)->-2*sin(yp);

:=

f (x y yp, , ) → −2sin(yp)

h:=0.1;N:=10;x[0]:=0;y[0]:=1;yp[0]:=0.5;

dengan metode RK untuk x1:

(36)

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,082924023

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,3390381808

untuk x3:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,03325801785

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01612045860

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,03010372398

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,03040437109

L = h*( yp[n] + k3) = 0,03086338097

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02746536086

x[n + 1] = x[n] + h =0,3

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,113702304

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2784583245

untuk x4:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02748736851

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01323573201

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,02483446138

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02509135330

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02533669712

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02262982125

x[n + 1] = x[n] + h =0,4

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,138967697

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2284687180

(37)

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02264862990

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01085722015

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,02043700076

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02065344559

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02078152724

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01860710400

x[n + 1] = x[n] + h =0,5

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,159689933

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1873231758

untuk x6:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01862295688

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,008900584870

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,01679011621

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01697077004

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01703524058

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01527809352

x[n + 1] = x[n] + h =0,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,176676122

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1535155682

untuk x7:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01529132940

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,007293495175

(38)

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01392827993

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01395872883

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01253285728

x[n + 1] = x[n] + h =0,7

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,190594410

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1257696854

untuk x8:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01254383764

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,005974888330

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,01129840752

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01142214426

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01143475411

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01027437674

x[n + 1] = x[n] + h =0,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,201995899

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1030165795

untuk x9:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01028344670

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004893742808

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,009260028120

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,009361925385

L = h*( yp[n] + k3) = 0,009365465412

(39)

x[n + 1] = x[n] + h =0,9

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,211334044

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,08436769680

untuk x10:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,008426764550

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004007715726

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,007586796110

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,007670548175

L = h*( yp[n] + k3) = 0,007669714862

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,006897179865

x[n + 1] = x[n] + h = 1,0

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,218981343

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,06908815248

untuk x11:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,006903320400

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,003281824614

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,006214476220

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,006283226015

L = h*( yp[n] + k3) = 0,006280492646

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,005649161025

x[n + 1] = x[n] + h =1,1

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,225243457

(40)

B. Aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum.

1. Phase portrait persamaan (1) dengan k = 2 untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1, x = -10..10 dan y = -5..5, h =

0,5 dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 1.Phase portrait persamaan (1.1)

(41)

Phase portrait atau bidang fase merupakan bidang gerakan pergeseran y dan

kecepatan dt dy

= y’ sebagai koordinator persegi panjang. Bidang ini sangat penting untuk

mempelajari sifat umum suatu solusi terutama untuk persamaan-persamaan diferensial

nonlinier. Gambar-gambar phase portrait diatas merupakan kurva solusi dari persamaan

pendulum atau persamaan ayunan. Grafik-grafik pada gambar 1 dan gambar 2 diatas

menggambarkan lintasan persamaan pendulum untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Pada

ganbar 1 dengan y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1,

y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1, pada gambar 2 dengan y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) =

0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1 . Untuk jarak nilai antara

(42)

BAB V PENUTUP

A. SIMPULAN

Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan

1. Garis besar langkah-langkah dalam metode Runge-Kutta orde keempat untuk

menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier 2 2 dt d

θ

+ l g

sinθ = 0 adalah sebagai

berikut:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n])

K = h/2*( yp[n] + k1/2)

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1)

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2)

L = h*( yp[n] + k3)

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3)

x[n + 1] = x[n] + h

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3)

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4).

Dengan menerapkan metode Runge-Kutta orde keempat pada persamaan pendulum,

(43)

+ −

z

f

0 2cos( ) 2cos(1) 1 1

d f + x -

+ −

1

0 2cos( ) 2cos(1) 1 1

f d f

2. Dengan aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum diperoleh grafik lintasan untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Dari grafik-grafik tersebut dapat dilihat

bahwa persamaan pendulum mempunyai karakteristik untuk beberapa nilai y(0) dan

y’(0). Untuk jarak nilai antara y(0) dan y’(0) kecil akan menghasilkan kurva yang

berbentuk gelombang yang teratur.

B. SARAN

1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode

Runge-Kutta untuk menentukan solusi persamaan pendulum khususnya dan diferensial nonlinier

pada umumnya, juga penerapannya pada masalah fisika dan teknik.

2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut apakah metode Runge-Kutta bisa berlaku untuk

semua persamaan diferensial nonlinier.

3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut mengenai metode-metode numerik lain selain

(44)

DAFTAR PUSTAKA

Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value Problems. 1993. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan. 1993. Jakarta: PT. Gramedia.

J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric. Jakarta: Erlangga.

Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial. 2001. Yogyakarta: J&J Learniang.

Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists. 1958. New York. McGraw-Hill Book Company, Inc.

N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. 1988. Jakarta: Erlangga.

Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. 1991. Jakarta: Universitas Indonesia Press.

Shepley L. Ross. Differential Equations. 1989. New York: John and Wiley & Sons.

Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 1992. New York: John and Wiley & Sons, Inc.

Pada metode raltson, k1 untuk interval pertama juga berharga 8,5 maka: k2 = - 2 (0,375)3 + 12 (0,375)2 – 20 (0,375) + 8,5 = 2,58203125

Slope rata-rata dihitung oleh:

φ =

(2,58203125) = 4,5546875

yang digunakan untuk memprediksikan:

(45)

Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan

tiga buah metode RK orde kedua serta metode Euler

Metode Runge-Kutta orde ketiga untuk n = 3, suatu turunan yang serupa dengan

penurunan buat metode orde kedua dapat dilaksanakan. Hasil dari turunan ini adalah

enam persamaan dengan delapan yang tidak dikenal. Karena itu, harga-harga untuk dua

buah yang tidak dikenal tersebut harus dispesifikasikan sebelumnya agar dapat

menentukan parameter-parameter sisanya. Sebuah versi yang umum mamberikan hasil:

k6 = f(xi + h, yi - 7 3

hk1 + 7 2

hk2 + 7 12

hk3 -7 12

hk4 + 7 8

hk5 ) (3.6f)

B. Persamaan Pendulum ( Ayunan )

Sebagai contoh bandul sederhana atau persamaan ini sering disebut dengan

persamaan pendulum seperti gambar 1:

R

x

(46)

w y

Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya-gaya pada

partikel serta percepatan.

Partikel dengan berat W tersebut digantungkan pada sebuah batang tanpa berat yang panjangnya l. Gaya yang bekerja pada partikel hanyalah beratnya serta tegangan R

pada batang. Posisi partikel pada sembarang waktu dinyatakan dengan lengkap dalam

(47)

BAB V PENUTUP

C. SIMPULAN

Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan

1. Garis besar langkah-langkah dalam metode Runge-Kutta orde keempat untuk

menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier 2 2

diperoleh penyelesaian yaitu sebagai berikut:

(48)

2. Dengan aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum diperoleh grafik lintasan untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Dari grafik-grafik tersebut dapat dilihat

bahwa persamaan pendulum mempunyai karakteristik untuk tiap-tiap nilai y(0) dan y’(0).

Untuk jarak nilai antara y(0) dan y’(0) kecil akan menghasilkan kurva yang berbentuk

gelombang yang teratur.

B. SARAN

1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode

Runge-Kutta untuk menentukan solusi persamaan pendulum khususnya dan diferensial nonlinier

pada umumnya, juga penerapannya pada masalah fisika dan teknik.

2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut apakah metode Runge-Kutta bisa berlaku untuk

semua persamaan diferensial nonlinier.

3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut mengenai metode-metode numerik lain selain

metode Runge-Kutta.

(49)

Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value Problems. 1993. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan. 1993. Jakarta: PT. Gramedia.

J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric. Jakarta: Erlangga.

Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial. 2001. Yogyakarta: J&J Learniang.

Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists. 1958. New York. McGraw-Hill Book Company, Inc.

N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. 1988. Jakarta: Erlangga.

Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. 1991. Jakarta: Universitas Indonesia Press.

Shepley L. Ross. Differential Equations. 1989. New York: John and Wiley & Sons.

Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 1992. New York: John and Wiley & Sons, Inc.

Lampiran 1

PRINT OUT MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM > #Pers PENDULUM ORDE2

(50)

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> with(DEtools):

> pdb := diff(y(x),x$2)+k*sin((y(x)))=0;

:=

pdb + =

d d2

x2y( )x ksin(y( )x ) 0

> sol:= dsolve({pdb,y(0)=1,D(y)(0)=-1},y(x));

sol := y( )x = RootOf

> #solek:= subs(x=x[n],sol);

(51)
(52)
(53)
(54)
(55)

:=

> p3 :=plot({seq([x[n],y[n]],n=0..N)},x=0..10,style=point):

(56)

PRINT OUT MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM

Dengan l d

= 2

> #Pers PENDULUM ORDE2

> restart:

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

(57)

> pdb := diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0;

> sol:= dsolve({pdb,y(0)=1,D(y)(0)=-1},y(x));

sol := y( )x =

> #solek:= subs(x=x[n],sol);

(58)
(59)
(60)
(61)
(62)

:=

> p3 :=plot({seq([x[n],y[n]],n=0..N)},x=0..10,style=point):

(63)

> > >

phaseportrait(diff(y(t),t$2)+2*sin((y(t)))=0,y(t),t=-10..10,[[y(0)=1,D(y)(0)=0],[y(0)=2,D(y)(0)=0],[y(0)=3,D(y)(0)=0]

(64)

Gambar 5 Phase portrait untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) =

-1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1

>

DEplot(diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0,y(x),x=-10..10,[[y(0)=1,D(y)(0)=0],[y(0)=2,D(y)(0)=0],[y(0)=3,D(y)(0)=0]

(65)

Gambar 6. deplot untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1,

(66)

(67)

Figur

Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan
Gambar 1 1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan . View in document p.16
Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya-gaya pada
Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya gaya pada . View in document p.22
Gambar 1. Phase portrait persamaan (1.1)
Gambar 1 Phase portrait persamaan 1 1 . View in document p.40
Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan
Gambar 1 1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan . View in document p.45
Gambar 5 Phase portrait untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) =
Gambar 5 Phase portrait untuk y 0 1 y 0 0 y 0 2 y 0 0 y 0 3 y 0 0 y 0 . View in document p.64
Gambar 6. deplot untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1,
Gambar 6 deplot untuk y 0 1 y 0 0 y 0 2 y 0 0 y 0 3 y 0 0 y 0 1 . View in document p.65

Referensi

Memperbarui...