STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA – VOLTERRA DAN PERSAMAAN
PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE - KUTTA
Oleh
FERNANDUS BOBBY CHANDRA SIMALANGO NIM. 062244510023
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA – VOLTERRA DAN PERSAMAAN
PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE – KUTTA
Fernandus Bobby Chandra Simalango (062244510023)
ABSTRAK
Penelitian ini membahas mengenai Solusi Persamaan Diferensial Tak Linier pada persamaan Lotka – volterra dan persamaan pendulum dengan menggunakan metode runge – kutta. Persamaan Lotka – volterra membahas mengenai interaksi antara mangsa dan pemangsa yang dirumuskan dalam persamaan = −
dan = − +� , sedangkan pada persamaan pendulum membahasa mengenai gerak ayunan sederhana pada persamaan Hukum Newton II:
2
2 = − �sin�.
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini antara lain menentukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis, pemecahan masalah dan penarikan kesimpulan.
Pada pembahasan dilakukan analisis untuk menentukan solusi persamaan Lotka – Volterra dan persamaan pendulum dengan menggunakan metode runge – kutta orde keempat dengan rumus sebagai berikut:
THE STUDY OF THE SOLUTION OF NON LINIER DIFFERENTIAL EQUATION TO LOTKA-VOLTERRA EQUATION AND
PENDULUM EQUATION BY USING RUNGE-KUTTA METHOD
Fernandus Bobby Chandra Simalango (062244510023)
ABSTRACT
This study discuss about the solution of non linier differential equation to Volterra and Pendulum Equation by using Runge-Kutta Method. Lotka-Volterra Equation discuss about the interaction between prey and predator can be written in the equation = − and = − +� , even in Pendulum Equation discuss about Simple Swing Movement of Second Newton Equation :
2
2 = − �sin�.
The research method that is used in this study is literature. The steps that is done in this research are deciding problem, finding problem, reading the literature, analyzing the problem, problem solving and concluding.
In this discussion was used analyst to divided the solution of Lotka-Volterra and Pendulum Equation by Using the fourth order Runge-Kutta Method with the equation : yi+1 = yi +
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa oleh karena
rahmat, berkat dan anugerah-Nya memberikan kesehatan, hikmat, dan kebijaksanaan
kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Adapun topik
yang dipilih dalam penelitian ini adalah tentang solusi persamaan diferensial tak
linier pada persamaan lotka –volterra dan persamaan pendulum yang penelitiannya
telah dilaksanakan sejak bulan desember 2011 sampai dengan bulan Januari 2012 dengan judul “Studi Tentang Solusi Persamaan Diferensial Tak Linier Pada Persamaan Lotka –Volterra Dan Persamaan Pendulum Dengan Menggunakan Metode
Runge-Kutta”.
Penulisan skripsi ini bertujuan memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh
gelar sarjana sains pada jurusan matematika Sains/S-1 Fakultas Matematika Dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai
pihak secara materi maupun non materi. Secara khusus penulis mengucapkan terima
kasih kepada orang tua penulis: Aiptu. G. Simalango dan R. Napitupulu, S.Pd yang
senantiasa membimbing, mengasihi, dan mendukung penulis dalam doa, materi dan
moral. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Motlan, M.Sc, Ph.D. selaku dekan Fakultas Matematika Dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
2. Bapak Prof.Dr. Mukhtar selaku ketua jurusan matematika Universitas Negeri
Medan
3. Ibu Dra. Nerli khairani, M.Si, selaku ketua program studi matematika
Universitas Negeri Medan
4. Ibu Dr. Izwita Dewi, M.Pd, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membantu dan membimbing penulis selama proses penulisan skripsi ini.
6. Rekan – rekan seperjuangan di organisasi UK – KMK St. Martinus Unimed
dan IKBKM
7. Rekan – rekan seperjuangan di kelas Matematika Nondik Stambuk 2006
8. Sahabat – sahabat saya yang selalu mendukung dan memberikan semangat
kepada penulis, Oriza Satifa Sembiring and her friends, Horasdin Sitindaon,
Freddy Marbun, Pelemon Tarigan, Liber Efraim Purba (All My Best Friends).
9. Pihak yang lainnya yang turut memberikan dukungan dan doa kepada penulis,
yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat sebagai bahan
perbandingan dan pengembangan skripsi selanjutnya.
Medan, Juli 2012
Fernandus Bobby Chandra Simalango
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Meluasnya penggunaan sirkuit digital, simulasi komputer, dan metode
numerik, membuat persamaan diferensial menjadi sangat penting, karena semua
itu menggunakan persamaan differensial sebagai konsep dasar.
Dalam masalah rekayasa dibidang fisika, biologi, matematika, dan ilmu
terapan lainnya, persamaan diferensial sering ditemui dalam bentuk model
matematisnya, di mana dalam masalah-masalah itu ada variabel tak bebas y dan
tergantung pada variabel bebas t yang kontinu. Meskipun demikian, dalam
banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil sebagai nilai-nilai diskrit. Hal
inilah yang membawa kepada apa yang dinamakan dengan Persamaan
Diferensial.
Model matematis persamaan diferensial tak linier dalam banyak hal
menggambarkan keadaan yang lebih mendekati kenyataan dibandingkan
dengan model matematis yang digambarkan oleh persamaan diferensial linier.
Sebagai contoh persamaan Lotka – Volterra, yang mengkaji mengenai
ekosistem yang diperkenalkan sekitar pertengahan tahun 1920. Misalkan x(t)
dan y(t) masing – masing menyatakan banyaknya spesies mangsa (x) dan
pemangsa (y) pada saat t, persamaan untuk menyatakan interaksi antara mangsa
dan pemangsa diberikan sebagai berikut:
= (1)
= − (2)
Dalam persamaan (1) konstanta a bernilai, a > 0 karena populasi mangsa
mempunyai persediaan makanan berlebih dan karena itu jumlah populasi
mangsa akan semakin bertambah, sedangkan pada persamaan (2) konstanta c
makanan maka jumlah populasi pemangsa akan berkurang jumlahnya. Dalam
hal ini dimisalkan bahwa kedua populasi saling berinteraksi sehingga populasi
pemangsa (y) memakan populasi mangsa (x). Maka beralasanlah untuk
mengandaikan bahwa jumlah yang memangsa besarnya tiap satuan waktu
berbanding lurus dengan x (mangsa) dan y (pemangsa), yaitu xy. Jadi populasi
mangsa akan berkurang jumlahnya sebesar bxy sedangkan pemangsa akan
bertambah jumlahnya sebesar vxy pada laju yang berbanding lurus dengan xy,
yang diberikan pada persamaan (3) dan (4) berikut:
= − (3)
= − +� (4)
Persamaan di atas mengkaji secara matematis mengenai ekosistem yang lebih
dikenal dengan persamaan Lotka - Volterra dalam bidang biologi.
(Finizio/Ladas:1982)
Dalam bidang fisika terdapat persamaan mekanika tak linier dari gerak
ayunan sederhana terdiri dari sebuah bandul B bermassa m pada sepotong
tongkat yang ringan dan kaku sepanjang L diikat pada bagian atasnya
sedemikian sehingga sistem itu dapat berayun pada bidang vertikal. Ada dua
gaya yang bekerja pada bandul tersebut setiap saat t ketika bandul ditarik dan
dilepas sehingga terjadi perpindahan bolak-balik pada bidang vertikal. Menurut
hukum newton kedua mengenai gerak, kita peroleh persamaan berikut:
� 22 = −��sin�. (Finizio/Ladas:1982)
Kebanyakan persamaan diferensial tak linier tidak dapat diselesaikan
secara eksak. Cara yang tepat dalam mempelajari persamaan tak linier adalah
dengan membuat persamaan itu menjadi “ linier “ yaitu dengan cara
menghampiri persamaan tersebut oleh persamaan diferensial linier. Masalahnya
adalah bagaimana cara menentukan solusi persamaan diferensial tak linier yang
Dalam penulisan ini, penulis hanya membahas persamaan diferensial tak
linier dan aplikasinya pada persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum.
Selain itu juga akan dibahas salah satu metode yang akan digunakan untuk
mendapatkan solusi persamaan diferensial tak linier yang telah dilinierkan,
dengan menggunakan Metode Runge-Kutta. Berdasarkan hal tersebut di atas
maka penulis mengambil judul tugas akhir “STUDI TENTANG SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK LINIER PADA PERSAMAAN LOTKA –VOLTERRA DAN PERSAMAAN PENDULUM DENGAN MENGGUNAKAN METODE RUNGE-KUTTA”.
1.2 Batasan Masalah
1. Persamaan diferensial tak linier yang dibahas hanya mencakup
persamaan diferensial tak linier orde pertama dan kedua.
2. Untuk memudahkan pembahasan maka dalam skripsi ini permasalahan
dibatasi untuk sistem persamaan diferensial tak linier yang
pelinierannya sederhana.
3. Penelitian ini hanya membahas penyelesaian dari masalah persamaan
diferensial tak linier pada persamaan lotka-voltera dalam bidang
biologi dan persamaan pendulum dalam bidang fisika, dengan
menggunakan metode runge-kutta.
4. Aplikasi dalam penelitian ini menyangkut hal bagaimana
mengaplikasikan metode Runge-Kutta untuk menentukan solusi
numerik dari persamaan diferensial tak linier pada persamaan
1.3 Rumusan Masalah
1. Bagaimana menentukan solusi dari persamaan diferensial tak linier
yang telah dilinierkan, pada persamaan Lotka – Volterra dan
persamaan Pendulum dengan menggunakan metode runge-kutta?
2. Bagaimana aplikasi persamaan diferensial tak linier pada persamaan
lotka-voltera dan persamaan pendulum ?
1.4 Tujuan Penelitian
1. Mendapatkan solusi dari persamaan diferensial tak linier yang telah
dilinierkan dengan menggunakan metode Runge-Kutta
2. Dapat mengaplikasikan persamaan diferensial tak linier dalam
persamaan lotka-voltera dan persamaan pendulum serta menyelesaikan
permasalahannya dengan menggunakan metode Runge-Kutta
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini sebagai berikut:
1. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang persamaan
diferensial tak linier serta menentukan solusinya dengan
menggunakan metode Runge – Kutta.
2. Untuk mendapatkan wawasan dan pengetahuan tentang
penggunaan persamaan diferensial tak linier dalam setiap bidang
yang nyata, khususnya pada contoh persamaan lotka-voltera dan
persamaan pendulum.
3. Dapat digunakan sebagai dasar untuk melakukan penelitian yang
berkaitan dengan persamaan diferensial tak linier dalam setiap
BAB V KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan
Dari uraian pada pembahasan pada bab IV dapat disimpulkan bahwa telah diperoleh
penyelesaian dari persamaan Lotka – Volterra dan persamaan Pendulum sebagai
berikut:
a. Persamaan Lotka – Volterra
Dengan model persamaan Lotka – Volterra sebagai berikut
= −
= − +�
Kedua persamaan diatas akan saling berinteraksi sehingga diperoleh
persamaan sebagai berikut:
= . = − +� −
Dengan memberikan nilai pada konstanta – konstanta pada persamaan diatas, a = 2, b
= 1, c = ½, dan v = 1, maka persamaan diatas akan menjadi
= − 1 2+ 2−
maka diperoleh nilai hampiran numerik dengan menggunakan metode Runge – Kutta
i xi+1 yi+1
Pada tabel 1.2 diatas dapat dilihat bahwa pergerakan pertumbuhan populasi
pemangsa seiring bertambah banyaknya populasi mangsa meningkat. Ini dapat dilihat
pada iterasi pertama(xi+1 = 0) sampai iterasi ketiga (xi+1 = 0,6) pergerakan populasi
mangsa (yi+1) mengalami penurunan akan tetapi pada iterasi keempat pergerakan
populasi pemangsa semakin meningkat seiring bertambahnya populasi mangsa.
Pemberian nilai pada konstanta a, b, c, dan v dimaksudkan untuk memperoleh banyak
sifat dari penyelesaian sistem tersebut dan pada akhirnya peneliti dapat membuat
ramalan yang berguna tentang kelakuan kedua spesies tersebut.
b. Persamaan Pendulum
2
2 = − � � � (1)
Dimana s adalah panjang busur AB, dan d2s/dt2 adalah percepatan sepanjang busur
itu. Karena L merupakan panjang tongkat, maka diperoleh s = L � dan karena itu.
2
2 = �
2�
2 (2)
Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) dan menyederhanakan persamaan
tersebut dapat diperoleh;
dy dx=
- �2 sin x
Dengan memberikan nilai awal y (0) = 1, dan 0 ≤ x ≤ 1, h = 0,2, g = 10 m/s, l
= 2 sehingga nilai ω2 = �
� =
10
2 = 5
i xi+1 yi+1
1 0,2 0,9983
2 0,4 0,9931
3 0,6 0,9843
4 0,8 0,9722
5 1 0,9562
Tabel 2.2 Hasil dari perhitungan persamaan Pendulum dengan menggunakan metode
Runge – Kutta.
Sehingga dengan demikian akan diperoleh hasil seperti pada tabel. Pada tabel
(2.2) di atas dapat dilihat pergerakan pendulum dimana pertambahan nilai x diikuti
oleh penurunan dari nilai y pada 0 ≤ x ≤ 1.
Dengan hasil yang diperlihatkan pada kedua tabel di atas dapat disimpulkan
bahwa perubahan pertambahan pada nilai x diikuti dengan pertambahan nilai y yang
semakin meningkat. Perubahan pada nilai variabel x akan mempengaruhi pada
peningkatan dan penurunan nilai variabel y, karena persamaan pendulum memiliki
fungsi transenden sinus.
5.2 Saran
1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan
metode Runge – Kutta untuk menentukan solusi persamaan Lotka –
Volterra dan Persamaan Pendulum khususnya dan persamaan diferensial
tak linier pada umumnya, juga penerapannya pada masalah biologi dan
2. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai
penggunaan metode Runge – Kutta pada semua persamaan diferensial tak
linier.
3. Perlu diadakan pengkajian dan penelitian lebih lanjut mengenai proses
perhitungan dengan menggunakan metode Runge – Kutta dalam
menentukan solusi persamaan diferensial tak linier secara manual tanpa
1
Daftar Pustaka
Anton, Howard alih bahasa Silaban, P., dkk. (1981). Aljabar Linear Elementer.
Edisi ke-4. Jakarta: Erlangga.
Boyce, William E dan Richard C. DiPrima.2001.Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems.USA: Von Hoffmann Press.
Bondan, Alit.2007.Kalkulus Lanjut.Yogyakarta:Graha Ilmu.
Farlow, S.J. (1994). An Introduction to Differential Equations and Applications. New York: McGraw-Hill, Inc.
Finizio, N dan G.Ladas.1982.Persamaan diferensial biasa edisi 2.Jakarta:Erlangga.
Goldberg, Jack, Merle C. Potter.1998.differential equations.USA: Prentice-Hall.
Herdiana, Heris, dkk.2002.Persamaan diferensial.Bandung:CV.Pustaka Setia.
Kartono.1994.Penuntun Belajar Persamaan Diferensial.yogyakarta: ANDI.
Setiawan, Agus.2006.Pengantar Metode Numerik edisi-II.Yogyakarta: ANDI.
Zill, Dennis G.2005.A First Course In Differential Equations With Modelling
