Dokumen Tentang Metode Posisi Salah

Nama : Destiana Dwi Anggreini Kelas : 6B

NPM : A1C020006

A. Kajian Teori

Metode posisi salah adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung akar. Metode ini merupakan salah satu metode mempercepat konvergensi (anonim,2020)

Metode ini merupakan alternative perbaikan pada pengertian grafis. Kekurangan metode ini adalah dalam membagi selang mulai dari

x

_i sampau

x

_u menjadi paruhan sama, besaran

f ( x

_i

)

dan

f ( x

_u

)

tidak diperhitungkan. Metode alternative yang memanfaatkan pengertian grafis ini adalah menghubungkan titik-titik itu dengan sebuah garis lurus. Perpotongan garis ini dengan sumbu x merupakan tafsiran akar yang diperbaiki.

Kenyataan bahwa pengertian kurva oleh garis lurus memberikan suatu “posisi palsu” dari akar merupakan asal mula dari nama metode posisi palsu yang disebutkan juga metode interpolasi linear. (Ismuniarto,2016)

Gambar 1. Ilustrasi metode posisi salah

Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b dan c diberi indeks (dimulai dari nol),

maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi

c

_k

=b

_k

− f ( ^b

k

) ( ^b

k

−a

_k

)

f (bk )−f (ak ) , k= 0,1, 2,...

Sebagai kriteria penghentian iterasi, dapat digunakan ¿

ck +1−ck∨¿

ǫ , dimana ǫ adalah batas galat. (Syafwan,2017)

Metode posisi palsu (dikenal juga dengan metode regula falsi) dikembangkan agar memiliki kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua. Berikut ini adalah langkah-langkah dari metode regula falsi:

1. Tentukan batas bawah

( x

₁

)

dan batas atas

( x

₂

)

yang memuat akar.

2. Tentukan x_r dengan menarik garis lurus dari titik [x₀, f

(

^x0

)

^] ke titik

[ x

₁

, f ( ^x

1

) ^]

dan

x

_r adalah titik potong garis dengan sumbu

x

.

x

_r

= x

₁

− f ( x

₁

)( x

₂

−x

₁

) f ( ^x

2

) ^{−f ( x}

1

)

3. Bila :

a. Jika f

(

^xi

)

^{∙ f(x}i+1)<0 , maka akar persamaan berada pada [x₁, x_r] b. Jika

f ( ^x

i

) ^{∙ f ( x}

i+1

)> 0

, maka akar persamaan adalah

x

_r .

c. Jika f

(

^xi

)

^{∙ f}

(

^xi+1

)

⁼⁰ , akar persamaan adalah x_r .

B. Perhitungan Manual 1.

X

₁

=0

X₁=6 F

0

¿¿

( X

₁

)=2

¿ 6

¿ F(X₂¿)=2¿

F ( X

₁

) . F ( X

₂

)=F (0 ). F (6 )=−27 <0 X

_r

=0−(− 9(6−0))/ (3−(−9 ))=4,5

4,5

¿

F ( X

_r¿

)=2

¿

2.

X

₁

=4,5

X₁=6

4,5

¿ F(X₁¿)=2¿

c

6

¿

F ( X

₂¿

)=2¿

F ( X

₁

) . F ( X

₂

)=F ( 4,5) . F( 6)=−40,5 < 0 X

_r

=4,5− −13,5 (6− 4,5)

3−(−13,5 ) =5,7272727272

f

(

^xr

)

⁼²

⁽

5,7272727272

)

²−10

(

5,7272727272

)

−9=−0,66942148762

3. x₁=¿ 5,727272727272

x

₁

=6

5,7272

¿¿

(x₁)=2¿

6

¿

f ( x

₂¿

)=2

¿

f ( x

₁

). f ( x

₂

)=f (− 0,669422) . f (6)=−2,008264462838<0 x

_r

=5,7272− −0,669422 ( 6−5,7272 )

3− (−0,669422) =5,777

5,777

¿

f ( ^x

r¿

) ⁼²

^¿

4. x₁=5,777

x

₂

=6

5,777

¿ f(x₁¿)=2¿

6

¿

f ( x

₂¿

)=2

¿

f ( x

₁

). f ( x

₂

)=f (5,77 ) . f ( 6)=−0,0667 < 0 x

_r

=5,777 − 0,02219 (6−5,777 )

3−(−0,2219 ) =5,778 5,778

¿

¿

f ( x

r

) =2

¿

v

| ^{f ( x}

¹

^{) f ( x}

²

⁾ | ^{=¿ f ( 5,778) f ( 6)∨¿}

¿

002173937

Maka akar penyelesaiannya x ≈5,7786640079760 C. Perhitungan menggunakan Matlab

1. Memulai Matlab

Buka Matlab online dengan alamat https://www.mathworks.com/products/matlab- online.html. Klik start using. Selanjutnya anda akan mendapatkan tampilan seperti pada gambar berikut.

2. Ketikkan program pada matlab. Pada toolbar editor yang kosong seperti gambar diatas.

3. Selanjutnya buat program seperti di bawah ini : 1. clear;

2. clc;

3. syms x;

4. y = input('Masukkan Persamaan y: ');

5. a = input('Masukkan tebakan a: ');

6. b = input('Masukkan tebakkan b: ');

7. e = input('Masukkan toleransi eror: ');

8. fa = eval(subs(y,x,a));

9. fb = eval(subs(y,x,b));

10. i=0;

11. if fa*fb > 0

12. disp('Nilai awal yang diberikan tidak mengandung akar');

13. else

14. c = a - ((a-b) * fa/(fa-fb));

15. fc = eval(subs(y,x,c));

16.

fprintf('=================================================\

n');

17. fprintf(' No a b c f(a)*f(c)\n');

18.

fprintf('=================================================\

n');

19. while abs(fa*fc)>e 20. if fa*fc< 0

21. b =c;

22. fb = eval(subs(y,x,b));

23. else 24. a =c;

25. fa = eval(subs(y,x,a));

26. end

27. c = a - ((a-b) * fa/(fa-fb));

28. fc = eval(subs(y,x,c));

29. nilai=fa*fc;

30. i=i+1;

31. fprintf('%3d %8.5f %8.5f %8.5f %8.5f \n',i,a,b,c,nilai);

32. end 33.

fprintf('=================================================\

n');

34. fprintf('\nAkarnya adalah: %f\n', c);

35. end

4. Simpan program lalu run dengan cara mengerahkan kursor di bagian end lalu mengklik tombol ctrl + enter.

5. Selanjutnya akan muncul dibagian Command Window pada tab di bawah papan editor. Masukkan persamaan, batas bawah, batas atas, dan eror seperti di bawah ini:

Masukkan Persamaan y:

(2*x^2)-10*x-9 Masukkan tebakan a:

0

Masukkan tebakkan b:

6

Masukkan toleransi eror:

0.01

6. Selanjutnya muncul iterasi fungsi dan akar seperti di bawah:

=================================================

No a b c f(a)*f(c)

=================================================

1 4.50000 6.00000 5.72727 9.03719 2 5.72727 6.00000 5.77703 0.01485 3 5.77703 6.00000 5.77866 0.00002

=================================================

Akarnya adalah: 5.778664