Menentukan akar persamaan polinomial non linear dengan metode Muller dan metode Muller-Biseksi.

vii

ABSTRAK

Metode Müller merupakan perluasan dari metode Secant untuk menentukan akar persamaan polinomial. Dalam metode Secant, untuk mencari akar persamaan polinomial dimulai dengan dua titik awal. Titik pendekatan berikutnya diperoleh dari perpotongan garis yang melalui kedua titik awal dengan sumbu x. Untuk mencari akar persamaan polinomial dengan Metode Müller,

dimulai dengan tiga titik awal. Titik pendekatan selanjutnya diperoleh dari perpotongan parabola yang melalui ketiga titik awal tersebut dengan sumbu . Dengan metode Müller dapat diperoleh akar real maupun kompleks dari masalah polinomial . Jika yang akan dicari hanya akar real saja, maka dipilih dua titik yang paling dekat dengan perpotongan parabola tersebut. Jika yang dicari adalah akar real maupun akar kompleks, maka tiga titik awal diperbaharui menggunakan titik potong yang baru ditemukan.

Metode Müller-Biseksi merupakan gabungan antara metode biseksi dengan metode Müller. Metode biseksi merupakan metode untuk mencari akar persamaan polinomial yang dimulai dengan dua titik awal, dimana nilai fungsi di kedua titik tersebut harus berbeda tanda, sehingga dapat diperoleh setidaknya satu akar real. Untuk mendapatkan titik ketiga yang akan digunakan dalam metode Müller, maka digunakan titik tengah dari kedua titik yang diketahui, dimana jarak antara titik tengah dengan salah satu titik, sama dengan jarak antara titik tengah dengan titik yang lainnya. Metode Müller-Biseksi menerapkan prinsip-prinsip pada algoritma metode biseksi, sehingga juga dapat diperoleh setidaknya satu akar real.

0 ) (x 

f

viii

ABSTRACT

Müller method is an extension of the secant method for determining the roots of a non linear polynomial equation. In the secant method, to find a root of

polynomial it’s begun with two initial points. The next approximate points are obtained from the intersection of the line through the second starting point with the x-axis. To solve the root-finding problems by Müller method,it’s startedwith three initial points. The next approach point are obtained from the intersection of the parabola passing through the three started points with the x-axis. By this

method, it may be obtained real and complex roots of a polynomial problem

0 ) (x _

f . If we want to find real-roots only, then we select two points closest to

the intersection of the parabola. If we are looking for the real and complex roots, the three initial points are updated using the new intersection point.

i

MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL

NON LINEAR DENGAN METODE MÜLLER

DAN METODE MÜLLER-BISEKSI

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Yakobus Galih Mahardhika NIM: 063114004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

ii

DETERMINE THE ROOTS OF NON LINEAR

POLYNOMIAL EQUATION USING MÜLLER

AND MÜLLER-BISEKSI METHOD

A PAPER

Presented As Partial Fulfillment Of The

Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree Of Mathematics Study Program

Written by:

Yakobus Galih Mahardhika Student ID: 063114004

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

v

"

Lakukan apapun dengan tepat, bukan hanya

cepat. Keberhasilan tak bisa dihalangi jika

yang kamu lakukan telah tepat

"

Makalah ini kupersembahkan kepada:

Tuhan Yesus Kristus Dan Bunda Maria yang selalu memberkatiku,

Bapak dan Ibu yang selalu mendukungku,

Kekasih tercinta yang selalu memberi semangat dalam keadaan apapun,

Saudara dan teman-teman.

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Januari 2013

Penulis

vii

ABSTRAK

Metode Müller merupakan perluasan dari metode Secant untuk menentukan akar persamaan polinomial. Dalam metode Secant, untuk mencari akar persamaan polinomial dimulai dengan dua titik awal. Titik pendekatan berikutnya diperoleh dari perpotongan garis yang melalui kedua titik awal dengan sumbu x. Untuk mencari akar persamaan polinomial dengan Metode Müller,

dimulai dengan tiga titik awal. Titik pendekatan selanjutnya diperoleh dari perpotongan parabola yang melalui ketiga titik awal tersebut dengan sumbu . Dengan metode Müller dapat diperoleh akar real maupun kompleks dari masalah polinomial . Jika yang akan dicari hanya akar real saja, maka dipilih dua titik yang paling dekat dengan perpotongan parabola tersebut. Jika yang dicari adalah akar real maupun akar kompleks, maka tiga titik awal diperbaharui menggunakan titik potong yang baru ditemukan.

Metode Müller-Biseksi merupakan gabungan antara metode biseksi dengan metode Müller. Metode biseksi merupakan metode untuk mencari akar persamaan polinomial yang dimulai dengan dua titik awal, dimana nilai fungsi di kedua titik tersebut harus berbeda tanda, sehingga dapat diperoleh setidaknya satu akar real. Untuk mendapatkan titik ketiga yang akan digunakan dalam metode Müller, maka digunakan titik tengah dari kedua titik yang diketahui, dimana jarak antara titik tengah dengan salah satu titik, sama dengan jarak antara titik tengah dengan titik yang lainnya. Metode Müller-Biseksi menerapkan prinsip-prinsip pada algoritma metode biseksi, sehingga juga dapat diperoleh setidaknya satu akar real.

0 ) (x 

f

viii

ABSTRACT

Müller method is an extension of the secant method for determining the roots of a non linear polynomial equation. In the secant method, to find a root of

polynomial it’s begun with two initial points. The next approximate points are obtained from the intersection of the line through the second starting point with the x-axis. To solve the root-finding problems by Müller method,it’s startedwith three initial points. The next approach point are obtained from the intersection of the parabola passing through the three started points with the x-axis. By this

method, it may be obtained real and complex roots of a polynomial problem

0 ) (x _

f . If we want to find real-roots only, then we select two points closest to

the intersection of the parabola. If we are looking for the real and complex roots, the three initial points are updated using the new intersection point.

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama

Nomor Mahasiswa

: Yakobus Galih Mahardhika

: 063114004

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

MEMENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON LINEAR

DENGAN METODE MÜLLER DAN METODE MÜLLER-BISEKSI

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 31 Januari 2013

Yang menyatakan

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat

yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.

Dalam menulis makalah ini banyak hambatan dan kesulitan yang penulis

temukan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya

makalah ini dapat selesai. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terimakasih

kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika sekaligus dosen pembimbing makalah yang telah meluangkan

waktu, pikiran, serta kesabarannya dalam membimbing penulis dalam

menyusun makalah ini.

3. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing

akademik penulis sekaligus dosen penguji tugas akhir yang telah memberikan

masukan dan saran.

4. Ibu Ch.Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji tugas akhir

yang telah memberikan masukan dan saran.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah

xi

7. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan

fasilitas dan memberikan kemudahan kepada penulis semasa perkuliahan.

8. Kedua orang tuaku tercinta : Bapak Lucianus Bambang Turatmaja dan Ibu

Titik Maenawati serta adikku Benediktus Bintang Anggara yang dengan

penuh cinta kasih telah memberikan semangat, saran, dan dukungan kepada

penulis dalam segala hal.

9. Keluarga besar Rcs Harsodiryono dan Isman Prawirodiharjo yang telah

memberikan doa dan dukungan kepada penulis.

10. Fransiska Dian Ajeng Pratiwi tercinta yang selalu mendampingi penulis

dalam segala hal.

11. Teman-teman angkatan 2006 tanpa terkecuali yang telah memberikan

semangat kepada penulis.

12. Seluruh kakak angkatanku dan adik angkatanku .

Penulis juga berterima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu penulis dalam penyusunan makalah ini yang tidak bisa disebutkan

satu persatu.

Yogyakarta, 31 Januari 2013

xii DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ………..

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS………

i

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……….

HALAMAN PENGESAHAN ………

HALAMAN PERSEMBAHAN ……….

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………

ABSTRAK ………..

iii

iv

v

vi

vii

ABSTRACT ……… viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI………. ix

KATA PENGANTAR ……… x

DAFTAR ISI ………... xii

DAFTAR GAMBAR ……….. xiv

DAFTAR LAMPIRAN ………... xv

BAB I. PENDAHULUAN ………..

A. Latar Belakang ………...

B. Rumusan Masalah ………..

C. Pembatasan Masalah ………..

D. Tujuan Penulisan ………...

E. Manfaat Penulisan ………..

F. Metode Penulisan ………...

1

1

3

3

3

3

xiii

G. Sistematika Penulisan ……… 4

BAB II. METODE BISEKSI DAN METODE SECANT………..

A. Persamaan Kuadrat ..………..

B. Fungsi dan Turunan………

C. Barisan………..

D. Metode Biseksi…..………

E. Metode Secant………

6

6

14

23

24

36

BAB III. MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON

LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MÜLLER

DAN METODE MÜLLER-BISEKSI…

A. Metode Müller ………

B. Algoritma Metode Müller...……….

C. Metode Müller-Biseksi………

D. Algoritma Metode Müller-Biseksi………..

51

51

59

75

76

BAB IV. PENUTUP ………

A. Kesimpulan ………..

B. Saran ………

85

85

86

DAFTAR PUSTAKA ……….. 87

xiv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 ………... 21

Gambar 2.2 ………...

Gambar 2.3 ………...

Gambar 3.1………...

Gambar 3.2………...

25

37

52

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Biseksi………...

Lampiran 2 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Secant………...

Lampiran 3 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Müller………...

Lampiran 4 : Program Menyelesaikan Persamaan Polinomial dengan

Menggunakan Metode Müller-Biseksi…...

88

89

90

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Metode Numerik merupakan suatu teknik atau metode penyelesaian

permasalahan yang diformulasikan secara matematis. Pendekatan penyelesaian

dengan metode ini dilakukan apabila penyelesaian secara umum atau analitis sulit

dilakukan. Hal-hal khusus yang dimiliki oleh metode ini adalah adanya proses

penghitungan yang berulang-ulang (iterasi) yang membawa konsekuensi perlunya

alat bantu untuk proses otomatisasi dari iterasi tersebut, yaitu program komputer.

Penyelesaian metode numerik meliputi identifikasi masalah, memodelkan masalah

secara matematis, mengidentifikasi metode numerik yang diperlukan untuk

menyelesaikannya, implementasi metode ini dalam komputer, dan yang terakhir

adalah menganalisis hasil akhir. Metode numerik hanya akan memberikan solusi

hampiran yang ketelitiannya tergantung pada banyak faktor, seperti banyaknya

desimal, kalkulator atau komputer yang digunakan, dan toleransi kesalahan yang

diinginkan.

Dalam suatu persamaan polinomial kuadrat, akar-akarnya dapat diperoleh

secara eksplisit dengan rumus kuadrat. Akan tetapi, untuk mencari penyelesaian

dari suatu persamaan polinomial dengan derajat atau pangkat 3 tidaklah mudah,

karena tidak terdapat rumus eksplisit untuk mencari akarnya. Oleh karena itu,

untuk mencari penyelesaian dari persamaan polinomial non linear secara umum,

persamaan polinomial adalah metode biseksi, metode Newton-Raphson dan

metode Secant. Akan tetapi, metode tersebut dianggap belum cukup untuk

mencari penyelesaian dari persamaan polinomial, karena penyelesaian yang

dihasilkan hanya berupa akar real.

Mengingat bahwa dalam menyelesaikan suatu persamaan polinomial

terkadang penyelesaiannya tidak hanya akar-akar real tetapi juga akar-akar

kompleks, maka untuk mencari akar-akar real maupun akar-akar kompleks

tersebut dapat digunakan metode Müller, dimana metode Müller merupakan

perluasan dari metode Secant. Dalam metode Secant, untuk mencari penyelesaian

masalah polinomial dimulai dengan dua nilai awal. Nilai pendekatan berikutnya

diperoleh dari perpotongan garis yang melalui kedua titik awal tersebut dengan

sumbu-x. Metode Müller, untuk mencari penyelesaian masalah polinomial

dimulai dengan tiga nilai awal. Nilai pendekatan selanjutnya diperoleh dari

perpotongan parabola yang melalui ketiga titik awal tersebut dengan sumbu-x.

Metode Müller-Biseksi merupakan gabungan antara metode biseksi

dengan metode Müller. Metode biseksi merupakan metode untuk menyelesaikan

persamaan polinomial yang dimulai dengan dua nilai awal, dimana nilai awal

fungsi dari kedua titik tersebut harus berbeda tanda. Untuk mendapatkan titik

ketiga yang akan digunakan dalam metode Müller, maka digunakan nilai tengah

dari iterasi kedua titik yang diketahui, dimana jarak antara nilai tengah dengan

salah satu titik sama dengan jarak antara nilai tengah dengan titik yang lainnya.

Selanjutnya, dari ketiga titik tersebut dapat digunakan metode Müller untuk

B. PERUMUSAN MASALAH

Berdasarkan uraian yang telah dikemukakan dalam latar belakang di

muka, pokok permasalahan dalam makalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apakah metode Müller dan metode Müller-Biseksi?

2. Bagaimana menentukan penyelesaian persamaan polinomial non linear

menggunakan metode Müller dan metode Müller-Biseksi?

3. Bagaimana mengaplikasikan algoritma metode Müller dan metode

Müller-Biseksi menggunakan MATLAB?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan makalah ini akan dibahas penyelesaian real dan

kompleks dari persamaan polinomial non linear berderajat tinggi.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan makalah ini adalah

menentukan penyelesaian persamaan polinomial non linear dengan metode

Müller dan metode Müller-Biseksi.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat

mencari penyelesaian persamaan polinomial yang berupa penyelesaian real dan

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu

dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik proposal

makalah ini, sehingga tidak ada hal-hal baru. Data yang diperoleh diolah

dengan menggunakan MATLAB.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

B. PERUMUSAN MASALAH

C. PEMBATASAN MASALAH

D. TUJUAN PENULISAN

E. MANFAAT PENULISAN

F. METODE PENULISAN

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB II METODE BISEKSI DAN METODE SECANT

A. PERSAMAAN KUADRAT

B. FUNGSI DAN TURUNAN

C. BARISAN

D. METODE BISEKSI

BAB III MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL NON

LINEAR DENGAN METODE MÜLLER DAN METODE

MÜLLER-BISEKSI

A. METODE MÜLLER

B. ALGORITMA METODE MÜLLER

C. METODE MÜLLER-BISEKSI

D. ALGORITMA METODE MÜLLER-BISEKSI

BAB IV PENUTUP

A. KESIMPULAN

6 BAB II

METODE BISEKSI DAN METODE SECANT

A. Persamaan Kuadrat

Definisi 2.1

Suatupolinomial berorde n adalah suatu bentuk

0 1 1

1x ... a x a a

x a

y _n n  _n n   

dimana n adalah bilangan bulat tak negatif dan a_i adalah konstanta

dengan i0,1,2,...,ndan an 0.

Contoh 2.1

3

2 ₅

2 6

8 x x x

y    adalah persamaan polinomial berorde 3.

Definisi 2.2

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

c bx ax

y 2  , dengan a0, a,b,cℝ

Huruf-hurufa,bdancdisebut sebagai koefisien. Koefisien kuadrat

a adalah koefisien dari x2, koefisien linearb adalah koefisien darix, danc

persamaan kuadrat berbentuk parabola. Nilai-nilaia, b dan c menentukan

bagaimana bentuk parabola dari persamaan kuadrat, yakni:

1. Nilai a0akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan

nilai a0akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.

2. b menentukan posisi puncak parabola, atau sumbu simetri dari kurva

yang dibentuk, yakni

a b x

2

  .

3. c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan

sumbuyatau saat x0.

Contoh 2.2

Diberikan persamaan parabola _{ } 2 _2 _3

x x y

1. Karena a10, maka parabola terbuka ke bawah.

2. Sumbu simetri dari kurva yang dibentuk adalah 1 ) 1 ( 2

2 2  

   

a b

x .

Sedangkan posisi puncak parabola adalah (1,4).

3. Titik potong kurva parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat

0



x adalah saat (0,c) atau (0,3).

Berikut kurva persamaan parabola _ 2 _2 _3

Definisi 2.3

Diberikan persamaan 1 _{1 0}

1 ...

)

(x a x a x a x a f

y n n

n

n    



 



p disebut akar persamaan dari y bila dan hanya bila

0 ...

)

( 1 _{1 0}

1    



 

 p a p a

a p a p

f n n

n n

Contoh 2.3

1 2 )

(    f x x y

Memiliki akar, yaitu

2 1



p , sehingga f(p)0.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien real dapat

memilki sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, dimana akar-akar

yang dimaksud dapat berbentuk bilangan real atau kompleks bergantung

dari nilai diskriminannya.

Definisi 2.4

Bilangan kompleksadalah bilangan yang berbentuk,

bi a

dimana adan badalah bilangan real dan i2 1.

Bilangan kompleks biasa dilambangkan dengan huruf z, huruf a

dan bmenyatakan bilangan real, sehingga dapat diwujudkan sebagai:

bi a

z 

Jika b0, z disebut bilangan imaginer.

Jika b0, zmerupakan bilangan real.

Jika b0 dan a0, maka z 0 adalah bilangan 0 padaℝmaupun pada ℂ. _{Dengan demikian, terlihat bahwa} ℝ _{adalah himpunan bagian dari} ℂ_,

atau bilangan real adalah kejadian khusus dari bilangan kompleks.

Contoh 2.4

5 3

4  adalah bilangan imaginer.

i

) 3 2

(  adalah bilangan imaginer murni.

Definisi 2.5

Diskriminansuatu persamaan kuadrat dirumuskan Db2 4ac.

Sifat-sifat diskriminan adalah sebagai berikut:

1. Jika diskriminan bernilai positif, akan terdapat dua akar berbeda yang

keduanya merupakan bilangan real, yakni:

a ac b

b x

2 4

2

1

  

 , dan

a ac b

b x

2 4

2

2

   

Bukti:

Misalkan diberikan rumus kuadrat yax2bxc, dengan a0,



c b

a, , ℝ.

Misalkan x akar dari persamaan tersebut, maka

0

2 _{  }

c bx ax

 a c x a b

x2  

Dengan melengkapkan kuadrat, persamaan di atas akan diperoleh

2 2

2

2

2 _

               a b a c a b x a b x  ₂ 2 2 4 2 a b a c a b

x _  

      

 ₂ 2

2 4 4 2 a b ac a b

x _  

      

Dengan menarik akar, diperoleh

a ac b a b x 2 4 2 2 _     a ac b a b x 2 4 2 2 _     a ac b b x 2 4 2 _    (1)

Karena D0, maka nilai x ada, yaitu:

a ac b b x 2 4 2 1   

 , dan

a ac b b x 2 4 2 2    

2. Jika diskriminan bernilai nol, terdapat satu akar yang merupakan

bilangan real, yaitu

a b x 2   Bukti:

a ac b b x 2 4 2 _   

Karena D0, maka persamaan (1), menjadi

a b x 2 0     a b x 2  

Jadi, nilai x ada, yaitu

a b x 2   .

3. Jika diskriminan bernilai negatif, maka tidak terdapat akar real tetapi

terdapat dua buah akar kompleks, yakni:

a b ac i b x 2 4 2 1     dan a b ac i b x 2 4 2 2     Bukti:

Diketahui persamaan (1), yaitu

a ac b b x 2 4 2 _   

Karena D0, maka persamaan (1), menjadi

a b ac b x 2 ) 4

( _ 2

     a b ac b x 2 4 1 _ 2

     a b ac i b x 2

4 _ 2

  

a b ac i b x 2 4 2 1     dan a b ac i b x 2 4 2 2     Contoh 2.5

1. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai positif

Diberikan persamaan parabola _2 2 _5 _2

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a2, koefisien 5



b , koefisien c2. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

adalah

ac b

D 2 4

9 ) 2 )( 2 ( 4

52 _{ }



D

Karena diskriminan positif, maka akar persamaannya berupa dua buah

bilangan real, yakni:

a ac b b x 2 4 2 1     ) 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( 4 5 5_ 2 _

  ) 2 ( 2 9 5 

 0.5

a ac b b x 2 4 2 2     ) 2 ( 2 ) 2 )( 2 ( 4 5 5_ 2 _

  ) 2 ( 2 9 5 

 2

2. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai nol

Diberikan persamaan parabola _ 2 _6 _9

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a 1, koefisien 6



b , koefisien c9. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

adalah

ac b

D 2 4

0 ) 9 )( 1 ( 4

62 _{ }



D

Karena diskriminan bernilai nol, maka terdapat satu akar yang

merupakan bilangan real, dimana nilainya adalah

a b x

2



 3

) 1 ( 2

6 _

 

Jadi, akar persamaannya adalah x3

3. Persamaaan kuadrat dengan diskriminan bernilai negatif

Diberikan persamaan parabola _ 2 _{ }2

x x y

Dari persamaan tersebut, diketahui bahwa koefisien a 1, koefisien 1



b , koefisien c2. Jadi, diskriminan dari persamaan tersebut

ac b

D_ 2 _4

4 ) 2 )( 1 ( 4

12 _{ }



D

Karena diskriminan negatif, maka akar persamaannya berupa dua buah

bilangan kompleks, yakni:

        _     a b ac i a b x 2 4 2 2         _    ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 4 ) 1 ( 2 1 2

i _

         2 7 5 . 0 i         _     a b ac i a b x 2 4 2 2         _    ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 4 ) 1 ( 2 1 2

i _

         2 7 5 . 0 i

B. Fungsi dan Turunan

Definisi 2.6

Relasi adalah hasil pemasangan elemen-elemen dari suatu himpunan

Himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut dari relasi

disebut daerah asal, sedangkan himpunan semua komponen kedua dari

pasangan terurut dari relasi disebutdaerah hasil.

Contoh 2.6

Misalkan himpunan A adalah komponen pertama dari pasangan terurut,



1,3,5,6





A

Misalkan himpunan B adalah komponen kedua dari pasangan terurut



2,6,10,12





B

Relasi himpunan A dan himpunan B dapat ditulis dengan himpunan

pasangan terurut



   

1,2, 3,6 5,10

 

, 6,12





, dengan daerah asal relasi



1,3,5,6



dan daerah hasil relasi



2,6,10,12



.

Definisi 2.7

Fungsiadalah relasi dimana setiap elemen dalam daerah asal dipasangkan

dengan tunggal satu elemen dalam daerah hasil.

Contoh 2.7

Misalnya, persamaan y2x1 dan daerah asal ℝ menentukan fungsi

   x x y

y

x, )| 2 1,

{( ℝ}.

Pasangan terurut dalam fungsi itu dapat ditentukan oleh pemberian nilai

pada x.

untuk x2  y2(2)15

maka dua pasangan terurut dalam fungsi itu adalah (1,3) dan (2,5).

Definisi 2.8

Diberikan fungsi f :E ℝ dengan _Eℝ dan _cℝ titik limit _E.

Bilangan L dikatakanlimit f

 

x untuk x mendekati c, jika untuk setiap

0



ε yang diberikan, terdapat δ 0 sedemikian sehingga untuk setiap

E

x dengan 0 xx0 δ , maka f(x)L ε . Dinotasikan

L x f

c

x ( ) lim

Contoh 2.8

Diberikan fungsi konstan f(x)k, dimana k suatu bilangan, untuk

setiap xℝ. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan real _c maka

 

x k f

c

x 

lim .

Penyelesaian

Diberikan ε 0. Maka, untuk sembarang bilangan real c yang

ditentukan, c adalah titik limit dariℝ. Karena _f(_x)_k untuk semua



x ℝ, maka untuk δ 0 yang manapun, _xℝ dengan 0 _x_c δ

pasti berlaku f(x)k  kk 0ε. Jadi, menurut definisi terbukti

bahwa f

 

x k

c

x 

Definisi 2.9

Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c,

maka f kontinudi c jika

 

x f

c x

lim = f

 

c

Dari definisi tersebut, mengisaratkan tiga hal agar fungsi f

dikatakan kontinu di c, yaitu:

Fungsi f terdefinisi di c, yaitu f

 

c ada.

 

x f

c x

lim ada

 

x f

c x

lim = f

 

c .

Contoh 2.9

Misalkan

 

2 4

2

  

x x x

f , x2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan

di x2 agar kontinu di titik x2?

Penyelesaian

 



 ₂

4 lim

2

2 _x

x

x  

 

 ₂

) 2 )( 2 ( lim

2 _x

x x

x limx2



x2



4

Definisi 2.10

Fungsi f kontinu pada selang terbuka, jika f kontinu di setiap titik

selang tersebut. Fungsi f kontinu pada selang tertutup

 

a,b jika f

kontinu pada

 

a, , kontinu kanan dib a,dan kontinu kiri di b.

Contoh 2.10

Misalkan f(x) x, buktikan f(x) kontinu

 

1,2 .

Bukti:

1 ) ( lim

1 

 f x x

Misalkan ambil ε 0, ada δ 0, xℝ _{dengan 0} _x₁δ _berlaku

ε

 1 ) (x

f . Karena x1δ , maka pilih δ ε , sehingga

ε

  

1 1

)

(x x

f . Jadi terbukti bahwa lim

 

1 c f x

x .

2 ) ( lim

2 

 f x x

Misalkan ambil ε 0, ada δ 0, xℝ dengan 02_xδ berlaku

ε

 2 ) (x

f . Karena 2xδ , maka pilih δ ε , dan karena

x

x2  2 , sehingga f(x)2  x2 ε . Jadi terbukti bahwa

 

2

lim 

c f x

x .

Definisi 2.11

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f' yang nilainya pada sebarang

bilangan c adalah

h c f h c f c

f

h

) ( ) ( lim ) (

0

' _  



asalkan limit ini ada.

Contoh 2.11

Misalkan f(x)13x6. Carilah f'(4).

Penyelesaian

h f h f f

h

) 4 ( ) 4 ( lim ) 4 (

0

' _  

 _h

h

h

] 6 ) 4 ( 13 [ ] 6 ) 4 ( 13 [ lim

0

 

  



h h

h 13 lim

0



 lim13 13

0 



 h

Definisi 2.12

Misalkan Aℝ dan misalkan _f :_Aℝ, _f mempunyai maksimum

mutlak pada A jika ada titik x*A sedemikian sehingga f(x*) f(x)

A

x

 .

Definisi 2.13

Misalkan Aℝ _{dan misalkan f :A}ℝ_{, f mempunyai} minimum

mutlak pada A jika ada titik x*A sedemikian sehingga ( *) ( )

x f x

f 

A

x

Teorema 2.1 (Teorema Rolle)

Misalkan f C

 

a,b dan f terdeferensial pada

 

a,b . Jika f(a) f(b) ,

maka ada paling sedikit satu bilangan c

 

a,b sedemikian sehingga

0 ) (

' _

c

f .

Bukti:

Karena f(x) kontinu pada selang a xb, berarti f(x) mempunyai nilai maksimum M dan nilai minimum m dalam

 

a, , jadib

M x f

m ( ) dalam

 

a, . Bilab mM , maka f(x)= konstan, berarti

0 ) (x 

f .

Karena mM dan f(a) f(b), maka paling sedikit salah satu m atau

M tidak sama dengan f(a) f(b), misalnya M  f(a). Maka nilai

maksimum M tidak pada titik akhir dari

 

a, , melainkan terletak dib

c

x , (acb) dan berarti f'(c)0 █

Teorema 2.2 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f C

 

a,b dan f terdeferensial pada

 

a,b , maka ada bilangan

 

a b

c , sedemikian sehingga

a b

a f b f c f

   ( ) ( )

) (

' _{. (2.1)}

Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis

lurus dari titik A(a, f(a)) dan B(b, f(b)), (lihat gambar 2.1), maka

fungsinya

) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

a b

a f b f a f x

g 

  

 (2.2)

Selisih antara grafik f dan g pada x adalah

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x a

a b

a f b f a f x f x g x f x

h 

  

 



 (2.3)

Dari persamaan (2.3), maka h(a)h(b)0. Oleh karena fungsi-fungsi )

(x

f dan (xa) adalah kontinu dalam a xb dan terdeferensial

dalam (axb), maka menurut Teorema 2.1 ada nilai x yang turunannya sama dengan 0 dan misalkan untuk xc, acb berlaku

0 ) (

' _

c

h .

[image:38.595.70.522.142.714.2]

Dari persamaan (2.3) diperoleh

a b

a f b f x f x h

  

 ( ) ( ) ( ) )

( '

' _(2.4)

Untuk persamaan xc, persamaan (2.4) menjadi

a b

a f b f c f c h

  

 ( ) ( ) ( ) )

( '

'

a b

a f b f c f

  

 ( ) ( ) ( ) 0 '

a b

a f b f c f

   ( ) ( )

) (

'

█

Teorema 2.3 (Teorema Nilai Antara)

Jika f kontinu pada [a,b] dan jika W sebuah bilangan antara f(a) dan

) (b

f , maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian

sehingga f(c)W. Bukti :

Dimisalkan f(a)< f(b), m dan M berturut-turut nilai minimum dan

maksimum mutlak dari f([a,b]). Karena m nilai minimum mutlak, maka

 

a b x

x f

m ( ),   , . Demikian juga M nilai maksimum mutlak, maka

) (x f

M  , x

 

a,b . Karena f kontinu pada

 

a, , makab ]

, [ ]) ,

([a b m M

f  . Misalkan f(c)[m,M] untuk suatu c

 

a,b .Karena

m adalah minimum mutlak dan M adalah maksimum mutlak, maka

M b f c f a f

mutlak dari m sampai dengan Mpada [a,b], maka terdapat c(a,b)

sehingga f(c)W.█

C. Barisan

Sifat Archimedes

Untuk setiap bilangan real x dan y dengan x0, terdapat suatu bilangan

asli n sedemikian sehingga nx y.

Akibat Sifat Archimedes

Dengan mengganti x dengan 1 dan y dengan x, maka untuk setiap

bilangan real x terdapat suatu bilangan asli n sehingga nx.

Definisi 2.14

Diberikan

 

xn _n1 barisan tak berhingga dari bilangan real atau kompleks.

Barisan

 

x_n _n1 mempunyai limit x (konvergen ke x), jika untuk setiap

0



ε , ada bilangan bulat positif N(ε) sedemikian sehingga x_n x ε,

bila n N(ε). Dinotasikan

x xn n 

lim .

Diberikan barisan

 

sn _n1 dengan

n

s_n 11. Buktikan

 

sn _n1 konvergen

ke 1.

Penyelesaian

Diberikan ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕdan ε

N

1

, sehingga

untuk nℕ_{dengan n} _berlaku 1ε

n s

ε

      

N n n

s_n 1 1 1 1 1 1

Jadi, lim 1 

 n

n S .

D. Metode Biseksi

Diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval [a,b],

dengan f(a)f(b)0, dimana dimisalkan bahwa f(a)0 dan f(b)0.

Dengan teorema nilai antara, jika f kontinu pada [a,b] dan bahwa f(a)

dan f(b) berbeda tanda, maka ada nilai p

 

a,b dengan f(p)0.

Meskipun prosedur akan bekerja ketika ada lebih dari satu akar dalam

interval

 

a, , diasumsikan untuk kesederhanaan, bahwa akar dalamb

interval ini adalah tunggal. Cara kerja metode ini adalah membagi dua

subinterval [a,b] secara berulang, dan pada setiap langkah menempatkan

titik p pada tengah subinterval tersebut. Misalkan a₁ a dan b₁ b, dan

2 2

1 1 1 1 1 1

b a a b a

p     

Jika f(p₁) 0, maka p p₁dan proses dihentikan. Jika f(p₁)0, maka )

(p₁

f memiliki tanda yang sama dengan salah satu dari f(a₁) atau

) (b₁

f . Ketika f(p₁) dan f(a₁) mampunyai tanda yang sama, maka

) , (p₁ b₁

p , dan menetapkan a₂  p₁ dan b₂ b₁. Ketika f(p₁) dan

) (a₁

f berlawanan tanda , maka p(a₁,p₁), dan menetapkan a₂ a₁ dan

1

2 p

b  . Kemudian prosesnya diulang kembali untuk interval [a2,b2].

Cara kerja metode biseksi bila diilustrasikan secara geometris tampak

[image:42.595.68.522.202.667.2]

seperti pada Gambar 2.2 berikut ini.

Gambar 2.2 Metode Biseksi

Definisi 2.15

Misalkan

 

βn _n1 adalah suatu barisan yang diketahui konvergen ke nol,

n n α Kβ

α   , untuk n besar,

Maka dapat dikatakan bahwa

 

αn _n1 konvergen ke α dengan laju

konvergensi O

 

β_n , (dibaca “big oh dari β_n”). Hal ini dapat ditunjukkan

dengan menulis αn αOβn.

Contoh 2.13

Misalkan





     

1

1

n

n adalah suatu barisan yang konvergen ke nol, dan





      

1

1 1

n

n konvergen ke 1. Jika ada K konstanta positif dengan

n K n

1 1 1

1   , maka





      

1

1 1

n

n konvergen ke 1 dengan laju

konvergensi _     

n

O 1 .

Jadi 

       

n O n

1 1 1

1 .

Teorema 2.4

Misalkan bahwa f C[a,b] dimana f(a)f(b)0. Metode biseksi

membangkitkan barisan

 

p_n _n1 yang konvergen ke akar p dari f dengan



n n



n a b

p  

2 1

] , [ n n n a b

I  , nℕ, dengan ( ) ( )0,

n n f b a f

dan n _n

a b p p

2

 

 , ketika n1

serta laju konvergensi      

n

O

2 1

.

Bukti:

1. Akan dibuktikan ( ) 2

1

1 b a a

b_n  _n  _n 

Diasumsikan bahwa f adalah fungsi kontinu dalam interval [a,b],

dengan f(a)f(b)0, dimana dimisalkan bahwa f(a)0 dan

0 ) (b 

f . Dengan teorema nilai antara, jika f kontinu pada [a,b] dan

bahwa f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka ada nilai p

 

a,b

dengan f(p)0. Misalkan a₁ a dan b₁ b, dan p adalah akar

dari f(x). Misalkan I₁ [a,b], dimana panjang I₁ ba. Cara kerja

metode biseksi adalah dengan membagi interval menjadi dua bagian,

sehingga panjang interval I₂ [a₂,b₂] adalah setengah dari panjang

interval I₁, untuk setiap n1, dapat diperoleh

a b I₁  

1 2

2 1

I

I 

) ( 2 1 ) (

2 1

1 1 2

2 a b a b a

2 3

2 1

I

I 

) (

2 1

2 2 3

3 a b a

b    ( )

2 1 2 1

1 1 a

b 



 ( )

2 1

2 ba



3 4

2 1

I

I 

) (

2 1

3 3 4

4 a b a

b    ( )

2 1

3 ba



Dan seterusnya, sehingga diperoleh

1

2 1



 n

n I

I

) ( 2

1

1 b a a

bn  n  _n 

2. Akan dibuktikan

 

p_n _n1 konvergen ke akar p.

Bukti:

Misalkan pakar dari f dan f(an)f(bn)0, maka berdasarkan

Teorema Nilai Antara, a_n  pb_n ,nℕ, sehingga

1. an  pbn atau  pan bn an  n_1



ba



2

1

0 .

Untuk  pan bn an  _n1



ba



2 1

0 , maka



b a





b a



a

p _n  _n   _n 

2 2 2

1

1



b a



a p

n

n _{ }



2 1 2



b a



a

p _n  _n1 

2 1



b a



_n



b a



n   ₂ 1 

1 2

1

...(2)

Selisih dari (1) dan (2) diperoleh

  )

(p an





0 2

1 _{ }

a b

n

  )

(p a_{n n}



ba



2 1

Jadi p a p an _n



b a



_n



b a



n _{     }



1

2 1 2

1

2 .

2. an  pbn an  p0bn  p

Karena 0b_n  p dan bn  pbn an , maka



b a



a b p

bn   n  n  _n 

 _1

2 1

0 , sehingga

Untuk bn  pbn an  _n1



ba



2 1

0 , maka



b a





b a



p

b_n   _n   _n 

2 2 2

1

1



b a



p b

n

n  _{ }

2 1 2



b a



p

bn   _n1 

2 1

...(1)



b a



_n



b a



n   ₂ 1 

1 2

1

...(2)

Selisih dari (1) dan (2) diperoleh

  )

(bn p





0 2

1 _{ }

a b

  )

(b_n p _n



ba



2 1

Jadi bn p _b_{n } p_{ n}



b_a



_{ n}



b_a



1 2 1 2 1 2 .

Sehingga p_n  p  (a_n b_n)p

2 1

p p b

an n

2 1 2 1 ) ( 2

1 _{  }



p p b

a_{n n}

2 1 2 1 2 1 2 1     p b p

a_{n n}

2 1 2 1 2 1 2 1    

dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

p b p

a_{n n}

2 1 2 1 2 1 2 1     p b a

p n n

2 1 2 1 2 1 2

1 _{  }





pa_n  b_n  p



 2 1









      _{  }  _n b a _n b a

2 1 2 1 2 1



b a



_n



b a



n   

  2 1 2 2 2 1

sehingga p_n  p  _n



ba



Untuk membuktikan laju konvergensinya, ada dua syarat yang

harus dibuktikan, yaitu;

1. Barisan





     

1

2 1

n

n konvergen ke 0.

2. Barisan

 

pn _n1 konvergen ke p.

Bukti:

1. Akan dibuktikan 0 2

1 lim 



 n

n .

Bukti:

Ambil sebarang ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕ dan

ε



N

1

, maka untuk nℕ dengan _n_N berlaku

ε

    

N

N n n

1 2

1 2

1 0 2

1

.

Jadi 0 2

1 lim 



 n

n .

2. Akan dibuktikan p_n p

n 

lim .

Bukti:

Ambil sebarang ε 0, menurut sifat Archimedes, Nℕ dan

ε



N

1

, maka untuk nℕdengan _n_N berlaku















  ε  ε



 1 ( ) ( )

2 1 2

1

1 b a a

b N a b a

b p

p_{n n N} .

Jadi pn p

n 

Jadi terbukti bahwa barisan

 

pn _n1 konvergen ke p dengan

laju konvergensi      

n

O

2 1

; maka

      

 _n

n p O

p

2 1

. █

Algoritma Metode Biseksi

1. Menentukan nilai a₁ dan b₁, toleransi,i=1.

2. Menghitung f(a₁) dan f(b₁).

Jika f(a₁)f(b₁)0, maka proses dihentikan karena tidak mempunyai

akar. Jika f(a₁)f(b₁)0, maka proses dilanjutkan.

3. Menghitung

2

1 1 1

b a

p  

4. Menghitung nilai f(p₁). Jika f(p₁) toleransi, maka iterasi

dihentikan. Jika tidak, lanjutkan ke Langkah 5.

5. Jika f(a₁)f(p₁)0,, maka tetapkan a₂ a₁ dan b₂  p₁, jika

, 0 ) ( )

(b1 f p1 

f , maka tetapkan a2  p1 dan b2 b1. Kembali ke

Langkah 3.

Tetapkani=i+1.

Contoh 2.14

Gunakan metode Biseksi untuk menentukan akar persamaan

10 4

)

( _ 3 _ 2 _

dalam interval [1,2]. Toleransi galatnya adalah 0.01%. Penyelesaian

Iterasi 1

Langkah 1. a1 x0 1 b1 x1 2

Toleransi galatnya 0.01%.

i=1

Langkah 2. f(x₀)5 f(x₁)14

Karena f(x₀)f(x₁)0 , maka proses dilanjutkan.

Langkah 3. Menghitung 1.5 2

2 1 2

1 0

2 

    x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₂)2.375

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₀)f(x₂)0 maka tetapkan x₀ 1 dan x₁ 1.5

Iterasi 2

Langkah 3. Menghitung 1.25 2

5 . 1 1 2

2 0

3 

    x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₃)1.79687

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.25 dan

5 . 1

1 

Iterasi 3

Langkah 3. Menghitung 1.375 2

5 . 1 25 . 1 2

2 3

4 

    x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₄)0.16211

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.25 dan

375 . 1

1 

x

Iterasi 4

Langkah 3. Menghitung 1.3125 2

375 . 1 25 . 1 2

4 3

5 

    x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x5)0.84839

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₃)f(x₁)0 maka tetapkan x₀ 1.3125 dan

375 . 1

1 

x

Iterasi 5

Langkah 3. Menghitung 1.34375 2

375 . 1 3125 . 1 2

4 5

6 

 

  x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₆)0.35098

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x6)f(x4)0 maka tetapkan x0 1.34375 dan

375 . 1

1 

Iterasi 6

Langkah 3. Menghitung 1.35937 2

375 . 1 34375 . 1 2

4 6

7 

 

  x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₇)0.09641

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₇)f(x₄)0 maka tetapkan x₀ 1.35975 dan

375 . 1

1 

x

Iterasi 7

Langkah 3. Menghitung 1.36718 2

375 . 1 35937 . 1 2

4 7

8 

 

  x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₈)0.03236

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dilanjutkan.

Langkah 5. Karena f(x₇)f(x₈)0 maka tetapkan x₀ 1.35975 dan

36718 . 1

1 

x

Iterasi 8

Langkah 3. Menghitung 1.36328 2

36718 . 1 35937 . 1 2

8 7

9 

 

  x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x₉)0.03215

Langkah 5. Karena f(x₉)f(x₈)0 maka tetapkan x₀ 1.36328 dan

36718 . 1

1 

x

Iterasi 9

Langkah 3. Menghitung 1.36523 2

36718 . 1 36328 . 1 2

8 9

10 

 

  x x

x

Langkah 4. Menghitung f(x10)0.0000002

Karena f(x₂) 0.01%, maka iterasi dihentikan.

Dengan menggunakan program MATLAB, maka untuk setiap iterasi dapat

ditunjukkan pada tabel berikut.

i a b P FP

1 1.000000000 2.000000000 1.500000000 2.375000000

2 1.000000000 1.500000000 1.250000000 -1.796875000

3 1.250000000 1.500000000 1.375000000 0.162109375

4 1.250000000 1.375000000 1.312500000 -0.848388672

5 1.312500000 1.375000000 1.343750000 -0.350982666

6 1.343750000 1.375000000 1.359375000 -0.096408844

7 1.359375000 1.375000000 1.367187500 0.032355785

8 1.359375000 1.367187500 1.363281250 -0.032149971

9 1.363281250 1.367187500 1.365234375 0.000072025

Jadi, hampiran akar persamaan ( )_ 3 _4 2 _10

x x x

E. Metode Secant

Metode secant adalah sebuah metode untuk mencari penyelesaian

masalah polinomial f(x)0. Dalam metode secant, untuk mencari

penyelesaian persamaan polinomial dimulai dengan dua hampiran awal,

yaitu x₀ dan x₁. Kedua hampiran tersebut tidak boleh menyebabkan

) (x₀

f dan f(x₁) saling meniadakan atau bernilai nol, karena jika salah

satu diantara f(x₀) atau f(x₁) bernilai nol maka nilai f(x) selanjutnya

juga akan bernilai nol. Hal itu berarti akar persamaannya sudah diperoleh.

Selama iterasi, nilai f(x₀) dan f(x₁) tidak boleh tepat sama.

Cara kerja metode secant bila diilustrasikan secara geometris tampak

[image:54.595.70.525.193.706.2]

seperti pada Gambar 2.3 berikut ini.

Nilai pendekatan berikutnya x₂ diperoleh dari perpotongan garis

yang melalui A(x₀,f(x₀))dan B(x₁,f(x₁)) dengan sumbu x , misalnya

titik potongnya disebut titik C.

Teorema 2.5

Misalkan bahwa f C[x₀,x₁]. Metode secant membangkitkan barisan

 

 1

n n

x dengan

)) ( ) ( (

) ( )

(

2 1

2 1 1 2

 

  



  

n n

n n n

n n

x f x f

x f x x f x

x , dan misalkan f ' kontinu

pada interval I 



ξ h,ξ h



,h0, dengan titik pusat ξ . Selanjutnya

misalkan bahwa f(ξ)0, f'(ξ)0. Maka, barisan

 

x_n yang

didefinisikan oleh metode secant akan konvergen ke ξ .

Bukti:

1. Perhatikan segitiga RAT dan SBT pada Gambar 2.3. Segitiga RAT

sebangun dengan segitiga SBT, maka dengan rumus kesebangunan

segitiga diperoleh

2 1

1

2 0

0) ( )

(

x x

x f x x

x f

  

 (x₁x₂)f(x₀)(x₀ x₂)f(x₁)

 x1f(x0)x2f(x0) x0f(x1)x2f(x1)

 x₂f(x₁)x₂f(x₀)x₀f(x₁)x₁f(x₀)

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 0 1 0 1 1 0 2 x f x f x f x x f x x   

Selanjutnya perhatikan segitiga SBU dan TCU pada Gambar 2.3.

Segitiga SBU sebangun dengan segitiga TCU, maka dengan rumus

kesebangunan segitiga diperoleh

3 2

2

3 1

1) ( )

( x x x f x x x f   

 (x₂ x₃)f(x₁)(x₁ x₃)f(x₂)

 x₂f(x₁)x₃f(x₁) x₁f(x₂)x₃f(x₂)

 x₃f(x₂)x₃f(x₁)x₁f(x₂)x₂f(x₁)

 x3(f(x2) f(x1))x1f(x2)x2f(x1)

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 2 1 2 2 1 3 x f x f x f x x f x x   

dan seterusnya, sehingga didapat

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x

2. Akan dibuktikan barisan

 

xn yang didefinisikan oleh metode secant

akan konvergen ke ξ .

Bukti:

Karena '(_ξ)_0

f , dimisalkan bahwa f '(ξ)α 0. Karena f'

kontinu di I , maka untuk setiap ε 0 dapat dipilih interval



ξ δ ξ δ



δ   , 

ε α   ) ( ' x

f , xI_δ.

Dipilih ε α

4 1

 , dapat dilihat bahwa

α α 4 5 ) ( 4 3

0_{ } ' _ x

f , xI_δ

Perhatikan kembali rumus metode secant sebagai berikut:

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2          n n n n n n n x f x f x f x x f x x  )) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 1 1 1     _   n n n n n n n x f x f x f x x f x x

 xn_1(f(xn) f(xn_1))xn_1f(xn)xnf(xn_1)

 xn_1f(xn)xn_1f(xn_1)xn_1f(xn)x