PERSAMAAN NON LINIER. Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier. Sumarni Adi S1 Teknik Informatika STMIK AmikomYogyakarta 2014

(1)

PERSAMAAN NON –LINIER

Pengantar dan permasalahan

persamaan Non-Linier

Sumarni Adi

S1 Teknik Informatika STMIK Amikom Yogyakarta

2014

(2)

Pengantar

1. Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus :

Ongkos naik taksi diberlakukan dengan sistem biaya buka pintu Rp.10.000 dan biaya jarak tempuh dgn tarif Rp. 5.000 setiap kilometernya. Bila seseorang naik taksi menghabiskan 50.000. berapa kilometer jarak yg ditempuh org tsb ?

Kasus ini dpt diselesaikan dgn persamaan linier satu variabel, dgn X sbg jarak tempuh ( dlm Km), menjadi :

5000x + 10000 = 50000 ; x = 40000 / 5000 = 8 Km.

Jadi nilai x yg memenuhi persamaan ini disebut penyelesaian atau akar persamaan.

2. Persamaan yg bentuknya SELAIN dari persamaan pd kasus di atas disebut

persamaan NON – LINIER

3. Contoh persamaan Non-linier diantaranya persamaan kuadrat, persamaan

trigonometri dan persamaan logaritma atau eksponen

4. Persamaan non-linier merupakan operasi matematik yang terdiri dari angka

dan variabel dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0. dengan kata lain, akar persamaan f(x) adalah titik potong antar kurfa f(x) dan sumbu X

5. Contoh persamaan non-linier :

◦ 2x-3 = 0

◦ x²-4x-5 = 0

(3)

1. Persamaan kuadrat



Jika ada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

yang agak rumit mencari akar-akarnya maka

bisa menggunakan rumus ABC :

X₁₂ =



Tapi bagaimana ketika ada persamaan seperti

ini dan diminta mencari akar-akarnya :



Dari permasalahan ini kemudian perlu

adanya metode numerik untuk

(4)

2. Metode Bisection (Metode Bagidua)



Metode bisection merupakan cara yg paling

sederhana untuk mengaproksimasi akar

persamaan Non-Linier. Caranya :

1. Metode ini dimulai pd suatu interval yg

memuat akar, kemudian membagi menjadi 2

bagian yg sama panjang,

2. kemudian mempertahanakan subinterval yg

memuat akar dan membuang subinterval yg

tdk memuat akar.

3. proses ini dilakuakan terus menerus sampai

subinterval menjadi sangat sempit dan

diperoleh barisan interval bersarang yg

kesemuanya memuat akar

(5)

2. Metode Bisection (Metode Bagidua)



Bila f (p1) = 0 maka akarnya adalah p1 tapi

bila

f (p1) ≠ 0 maka f (p1) memunyai tanda

positif atau negatif



Karena

f(a1) ≠ 0 maka pasti berlaku salah

satu, yaitu :

1. f (p1) f(a1) < 0 maka akrnya pasti terletak

pd subinterval [a1,p1], sehingga harus

diambil a2 = a1 dan b2 = p1

2. f (p1) f(a1) > 0 maka akarnya pasti

terletak pd subinterval [p1,b1], sehingga

harus diambil a2 = p1 dan b2 = b1

(6)

2. Metode Bisection (Metode Bagidua)



Skema Metode Bagidua

a1 akar eksak p1 = 1/2(a1+b1) b1 = b

a2 p2 = 1/2(a2+b2) b2 = b

a3 p3 = 1/2(a3+b3) b3 = b

a4 p4 = 1/2(a4+b4) b4= b

(7)

Algoritma Metode Bisection

1. Mulailah dgn interval yg memuat akar

(a,b)

2. Ambil a

1

: = a dan b

1

: = b

3. Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (p

n

),

(a

n+1

) dan (b

n+2

) sbb:

p

n

= 1/2(a

n

+b

n

) dan

a

n+1

= a

n

, b

n+1

= p

n

bila f(a

n

) f (b

n

) < 0

(8)

Contoh

3x³+ 2x + 2

Caranya :

1. Tentukan niali a dan b yg memuat akar.perhatikan interval

(1,-2) diperoleh :

f(1) = 3.(1)³ + 2.1 +2 = 7 > 0

f(-2) = 3.(-2)³ + 2.(-2) +2 = -24 < 0

(Nilai 1 dan -2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )

2. Aproksimasi 1 :

ambil a1 = 1 dan b1 = -2 dan p1 = -1/2

f(p1) = 3.(-1/2)³+2.(-1/2)+2 = 0,625 >0

karena f(a1).f(p1) > 0 maka a2 = p1 = -1/2 dan b2 = b1 = -2

3. Lakukan aproksimasi berikutnya seperti langkah 2 sampai

(9)

Contoh :

Tentukan akar dari X² - 4sinx = 0

Intervalnya : [1;2]

f(1) = (1)² - 4 sin 1 = -2,3659 < 0 f(2) = (2)² - 4 sin 2 = 0,3628> 0

(Nilai 1 dan 2 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif ) Aproksimasi 1 :

Langkah 1 : ambil a1 = 1 dan b1 = 2 dan p1 = (1+2)/2 = 1,5

Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,5)= (1,5)² - 4sin 1,5 = -1,7400 <0 karena f(a1)f(p1) > 0 maka yang menjadi a2 = p1 dan b2 = b1

Langkah 3 : tetapkan interval a2 = 1,5 dan b2 = 2

Aproksimasi 2 :

Langkah 1 : ambil a2 = 1,5 dan b2 = 2 dan p2 = (1,5+2)/2 = 1,75

Langkah 2 : periksa lokasi akar f(p1) = f(1,75)= (1,75)² - 4sin 1,75 = -0,8734 <0 karena f(a2)f(p2) > 0 maka yang menjadi a3 = p2 dan b3 = b2

Langkah 3 : tetapkan interval a3 = 1,75 dan b3 = 2

Dilanjutkan terus sampai mendekati 0 yaitu pada kasus ini terdapat pada aproksomasi ke 6 (Hasilnya ditunjukkan pada tabel)

(10)

akar dari X² - 4sinx = 0

Disini kita ambil p6 = 1,9219 sebagai aproksimasi akarnya, karena

f(p6) = -0,0624 yang cukup dekat dengan Nol

n an Bn Pn f(pn) f(an) f(an)f(pn) 1 1,0000 2,0000 1,5000 -1,7400 -2,3659 + 2 1,5000 2,000 1,7500 -0,8734 -1,7400 + 3 1,7500 2,0000 1,8750 -0,3007 -0,8734 + 4 1,8750 2,0000 1,9375 -0,0198 -0,3007 -5 1,8750 1,9375 1,9063 -0,1433 -0,3007 + 6 1,9063 1,9375 1,9219 -0,0624 -0,1433 +

(11)

2. Metode Regulasi Falsi



Cara kerja metode ini hampir sama dengan metode bisection,

langkahnya :

1.

Mulailah dengan interval [a, b] yg memuat akar f(x) = 0

2.

Ambil a

1

: = a dan b

1

: = b

3.

Untuk n = 1, 2,…, bangunlah barisan (p

n

), (a

n+1

) dan (b

n+2

) sbb:

dan

a

n+1

= a

n

, b

n+1

= p

n

bila f(a

n

) f (b

n

) < 0

(12)

Contoh :

Tentukan akar dari (X³-4x²+x+1)sin 3x = 0

Intervalnya : [2;3]

f(2) = (2³-4.2²+2+1) sin 3.2 = 1,3971 > 0 f(3) = (3³-4.3²+3+1) sin 3.3 = -2,0606 < 0

(Nilai 2 dan 3 “sah” Karena dimasukkan ke persamaan yang satu bernilai positif dan satunya bernilai negatif )

Aproksimasi 1 :

ambil a1 = 2, b1 = 3, f(a1) = 1,3971 , dan f(b1) = -2,0606

Diperoleh p1 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 3 – (-2,0606.(3-2)) = 2,4041 f(b2) – f(a2) -2,0606 - 1,3971

P1 = 2,4041

Aproksimasi 2 : cek posisi akar

Karena f(p1) = f(2,4041) = -4,6616 maka f(a1)f(p1) = 1,3971. (-4,6616) < 0 jadi akarnya adalah a2 = a1 = 2 dan b2 = p1 = 2,4041

P2 = b2 – f(b2)(b2-a2) = 2,4041 – (-4,6616 .(2,4041 -2)) = 2,0932 f(b2) – f(a2) -4,6616 - 1,3971

P2 = 2,0932

(13)

Mari kita bandingkan kinerja metode

bisection dgn regulasi falsi



X² - 4sin x = 0

(14)

3. Metode Newton



Metode ini merupakan metode yg paling

populer,

karena

secara

umum

kekonvergenannya lebih cepat dari metode

lainnya dan implementasinya sederhana



Pada metode ini hanya dibutuhkan satu titik

awal untuk membuat garis tangen



Misalkan p

0

titik awal yg dipilih maka p

1

diambil sbg absis titik potong garis

singgung kurva y = f(x) dititik (p

0

,f(p

0

)).

Selanjutnya, melalui titik (p

1

,f(p

1

)) dibuat

(15)

Algoritma metode Newton

1. Mulailah dgn aproksimasi awal x

0

sebarang

2. Untuk n = 1, 2, …, hitunglah nilai f’

(p

n-1

). Bila f’(p

n-1

) ≠ 0, maka :

(16)

Hitunglah aproksimasi akar persamaan X³ + 4X² - 10 = 0 dgn

menggunakan metode newton

f(x) = X³ + 4X² - 10 = 0 f’(x) = 3X² + 8X

Untuk memeriksa akar, kita lihat f(1) < 0 dan f(2) > 0 sehingga f(1)f(2) < 0. Karena fungsi ini terletak pada interval (1;2) pasti memuat minimal 1

akaranya, mari kita coba p0 = 1,5. Aproksimasi 1 :

p0 = 1,5 ; f(p0) = 2,375 dan f’(p0) = 18,750, diperoleh aproksimasi pertamanya adalah : p1 = 1,5 - 2,375 = 1,3733 18,750 Aproksimasi 2 : p1 = 1,3733 ; f(p1) = 0,1338 dan f’(p0) = 16,6443, diperoleh : p2 = 1,3733 - 0,1338 = 1,3653 16,6443

Aproksimasi ketiga dapat dikerjakan sejalan seperti sebelumnya dan akan diperoleh p3 = 1,3652. aproksimasi ketiga inisudah cukup akurat karena nilai f(p3) = 0,0004956

(17)

4. Metode Secant



Metode secant merupakan perbaikan dari metode

regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua

titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk

garis lurus yang melalui satu titik.

f’ (X) =( f (Xn) – f (Xn-1)) / (Xn – Xn-1)

Xn+1 = Xn – ( (f(Xn) (Xn – Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) )

Tujuan dan Fungsi

Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan

masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson

yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama

yaitu f‘ (x).

Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar

dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk

memperkirakan kemiringan/slope.

(18)

Algoritma Metode Secant

1.

Definisikan fungsi F(x)

2.

Definisikan torelansi error (e) dan iterasi

maksimum (n)

3.

Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di

antaranya terdapat akar yaitu x0 dan

x1,sebaiknya

gunakan metode tabel atau

grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah

titik pendekatan yang konvergensinya pada akar

persamaan yang diharapkan.

4.

Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1

5.

Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)|

Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1)

6.

Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

(19)

Hitunglah aproksimasi akar persamaan

X3_+X2_-3X-3

= 0

_{dimana x1 = 1}

dan x2 = 2

dgn menggunakan metode Secant

Jawaban : X1 = 1 ; f(1) = (1)³+(1)²-3.(1)-3 = -4 X2 = 2 ; f(2) = (2)³+(2)²-3.(2)-3 = 3 Aproksimasi 1 : Xn+1 = Xn – Yn (Xn – Xn-1 / Yn – Yn-1) X3 = x2 –f(x2) (x2-x1/f(x2)-f(x1)) = 2- 3(2-1)/3-(-4)) x3= 1,57142 f(1.57142) = -1.36449 Aproksimasi 2 : X4 = x3 – f(x3) (x3-x2/f(x3)-f(x2)) = 1,57142 – (-1.36449)(1,57142-2)/ -1.36449 – 3 X4 = 1,70540 F(1,70540) = -0.24774