Dokumen Tentang Metode Iterasi

Nama : Destiana Dwi Anggreini NPM : A1C020006

Kelas : VI B

KAJIAN TEORI A. Metode Iterasi

Di dalam komputer/pemrograman, iterasi adalah sifat tertentu dari algoritma atau program komputer di mana suatu urutan atau lebih dari langkah algoritmik dilakukan di loop program. Hal ini dibedakan dari teknik berulang yang disebut rekursi.

Di dalam matematika, iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematik.

B. Teori Metode Terbuka Iterasi Titik Tetap Sederhana

Metode terbuka merupakan metode yang menggunakan satu atau dua tebakan awal yang tidak memerlukan rentang sejumlah nilai. Metode terbuka terdiri dari beberapa jenis yaitu metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson, dan metode Secant. Untuk kali ini kita akan membahas mengenai metode Iterasi titik tetap sederhana.

Metode Iterasi titik tetap merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan cara menyelesaikan setiap variabel

x

yang ada dalam suatu persamaan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh

x= g( x )

untuk masing-masing variabel

x

. Sebagai contoh, untuk menyelesaikan persamaan

x+ e

^x

=0

maka persamaan tersebut perlu diubah menjadi

x=e

^{x atau}

( x )=e

^x . Secara grafis metode ini diilustrasikan seperti gambar berikut :

C. Langkah-langkah metode iterasi titik tetap sederhana

Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya yang mudah dibentuk sebagai berikut:

1) Ubah persamaan

f ( x )=0

menjadi bentuk

x=g (x )

,

2) Bentuk menjadi prosedur iterasi

x

_i+1

= g ( ^x

i

) ^,

3) Terka sebuah nilai awal x₀,

4) Hitung nilai

x

₁

, x

₂

, x

₃

, … ,

yang konvergen ke suatu titik

s

, sedemikian sehingga

f ( s)=0

dan

s= g (s)

.

Kondisi iterasi berhenti apabila

| ^x

ⁱ⁺¹

^x

i+1

^{− x}

ⁱ

| ^<¿

PERCOBAAN MENGGUNAKAN MATLAB

Tentukan akar-akar penyelesaian

f ( x )=2 x

²

−10 x−9

^dengan ε=0.001 dengan menggunakan Metode Iterasi Titik-Tetap Sederhana dengan Software Matlab.

Coding Matlab

1. Input new script, dimana script fungsinya adalah

2. Save file script fungsi tadi dengan nama file iterasi titik

3. Klik New script lalu input script untuk mencari akar-akar penyelesaian sebelumnya dengan coding dibawah ini, lalu klik ctrl+enter untuk menjalankan program dan Output akan muncul di command window

clear all; close all; clc;

x0=6;

eert=1e-3;

galat=1;

it=0;

fprintf('Iterasi Titik-Tetap Sederhana\n');

fprintf('========================================\n');

fprintf('Iterasi Xi X(i+1) Ea\n');

fprintf('========================================\n');

while galat>eert it=it+1;

xnew=g(x0);

galat=abs((xnew-x0)/xnew);

fprintf('%d %8.5f %8.5f %8.8f\n',it,x0,xnew,eert);

x0=xnew;

end

fprintf('Maka Akar penyelesaian nya ialah %8.5f\n', xnew)

function y=g(x)

y=sqrt((10*x+9)/2);

end

Output Matlab

PERHITUNGAN MANUAL

Tentukan akar-akar penyelesaian

f ( x )=2 x

²

−10 x−9

^dengan ε=0.001 dengan menggunakan Metode Iterasi Titik-Tetap Sederhana secara manual

2 x

²

−10 x− 9=0

2x²=10x+9

x

²

= 10 x +9

2 x= √ ^{10 x 2 +9}

x

_i+1

= √ ^{10 x 2}

ⁱ

⁺⁹

Iterasi 1 x₀=6



x

₀₊₁

= √ ^{10 x 2}

^o

^{+ 9}

x

₁

= √ ^{10 ∙ 2 6 +9}

¿

√

^{692 =5.87367}



ε

_a

= | ^x

ⁱ⁺¹

^x

i+1

^{− x}

ⁱ

| ⁼ | ^x

¹

^{− x}

1

^x

⁰

|

¿

| ^5.87367−6 5.87367 |

¿0.02150

Iterasi 2

x₁=5.87367



x

₁₊₁

= √ ^{10 x 2}

¹

⁺⁹

x

₂

= √ ^{10 ∙5.87367 2 +9}

¿

√

^{67.73672 =5.81965}



ε

_a

= | ^x

ⁱ⁺¹

^x

i+1

^{− x}

ⁱ

| ⁼ | ^x

²

^{−x x}

2 ¹

|

¿

| 5.81965−5.87367 5.81965 |

¿0.00928

Iterasi 3

x

₂

=5.81965



x

₂₊₁

= √ ^{10 x 2}

²

^{+ 9}

x₃=

√

^{10∙5.81965+2 9}

¿

√ ^{67.1965 2 =5.7964}

 ε_a=

|

^xi+1xi+1^−xi

|

⁼

|

^x3−xx3 ²

|

¿

| 5.7964−5.81965 5.7964 |

¿

0.00401

Iterasi 4

x₃=5.7964



x

₃₊₁

= √ ^{10 x 2}

³

^{+ 9}

x

₄

= √ ^{10∙ 5.7964 2 + 9}

¿

√

^{66.9642 =5.78636}



ε

_a

= | ^x

ⁱ⁺¹

^x

i+1

^{− x}

ⁱ

| ⁼ | ^x

⁴

^{−x x}

4 ³

|

¿

| 5.78636−5.7964 5.78636 |

¿0.00176

Iterasi 5

x

₄

=5.78636



x

₄₊₁

= √ ^{10 x 2}

⁴

⁺⁹

x₅=

√

^{10∙5.786362 +9}

¿

√ ^{66.8636 2 =5.78}

²⁰²



ε

_a

= | ^x

ⁱ⁺¹

^x

i+1

^{− x}

ⁱ

| ⁼ | ^x

⁵

^{−x x}

5 ⁴

|

¿

| 5.78202−5.78636 5.78202 |

¿

0.00076

Karena

| ^ε

a

| ^<¿

galat maka didapat akar penyelesaiannya adalah 5.78