METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK TESIS

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Magister Pendidikan

Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :

Paskalia Siwi Setianingrum NIM: 151442011

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

i

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Oleh :

Paskalia Siwi Setianingrum NIM: 151442011

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

METODE ITERASI VARIASIONAL

T]NTTJK

MEI{YELNSAIKAN

PERSAMAAN GELOMBANG

NRI}ANGKAL

DAI\T

ELASTIK

Oleh:

Pasknlia Siwi Setianingrum

1{Il}I:

l5l4420ll

Telnh disetujui oleh :

Dosen Pembimbing

I t I

i

PERSAMAAN GELOMBAIIG AIR DANGKAL

DAFI

ELASTIK

Dipersiapkm

&n ditfis

oleh

Paskalia Siwi Setianirgrum

Nllvt

l5l4H,20ll

dip€rbhar*alr Panitia Feryqii

rda

'!! P G

--*i

Stnman ir= ilE inusAndy Ketua Sekretaris Anggota Anggota Anggota :t

&Ae,M.si.

.ga ₁ . -- 3_tk-.," Dr. Dr'Hmgki.Itdie,MSi

Yogy*rt4

24 Februari 20lz

Fakultas Kegmran dan

Ilmupdidikan

!

iv

If you want to find the secrets of the universe, think in terms of energy, frequency, and vibration.

~ Nikola Tesla ~

“Seseorang yang berhenti belajar adalah orang lanjut usia meskipun umurnya masih

remaja. Seseorang yang tidak pernah berhenti belajar akan selamanya menjadi

pemuda”. – Henry Ford -

J.E.N.I.U.S

adalah 1% inspirasi dan 99% keringat.

“Hiduplah seakan kamu akan mati besok, belajarlah seakan kamu akan hidup selamanya”. –

Mahatma Gandhi –

Matematika adalah ratu dari ilmu dan ilmu hitung (aritmetika) adalah ratu dari matematika. Ia sering berkenan merendahkan diri menyumbang kepada astronomi dan ilmu alam lainnya,

tetapi dalam semua hubungan ia berhak mendapat peringkat pertama.

v

Dengan penuh rasa syukur dan terima kasih, kupersembahkan tesis ini untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertaiku

Bapakku dan Ibuku tercinta yang memberikan doa, dukungan dan cinta Kakakku yang memotivasi diriku

vi

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tesis yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 24 Februari 2017

Penulis,

vii

ABSTRAK

Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Metode Iterasi Variasional Untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal Dan Elastik. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara matematis. Suatu model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi dari masalah-masalah nyata. Solusi analitis model matematika umumnya sulit ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel dan rumit. Oleh karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh solusi dari model matematika.

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dan elastik. Solusi iterasi dari metode iterasi variasional semakin lama akan konvergen menuju solusi eksak. Solusi yang dihasilkan dari beberapa persamaan gelombang berupa pendekatan analitis yang dihitung dengan bantuan Software Maple dan Software MATLAB. Tujuan penelitian ini adalah untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang elastik, dan mengetahui analisis konvergensi solusi iterasi dari persamaan gelombang difusi.

Metode iterasi variasional telah berhasil menyelesaikan persoalan tentang persamaan gelombang nonlinear dimensi satu karena memiliki nilai galat yang semakin kecil (mendekati nol). Persamaan gelombang air dangkal dan penyederhanaannya serta persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya memiliki solusi yang konvergen menuju solusi eksak. Kekonvergenan masing-masing persamaan gelombang berbeda-beda karena persamaan gelombang yang berbeda dan nilai awal yang dipilih berbeda. Persamaan gelombang difusi telah terbukti konvergen berdasarkan analisis konvergensinya.

viii

ABSTRACT

Paskalia Siwi Setianingrum, 2017. Variational Iteration Methods for Solving Shallow Water and Elastic Wave Equations. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Real problems in daily life can be modelled mathematically. A mathematical model needs to be solved in order to find solutions to the real problems. Analytical solution of mathematical models are generally hard to find if mathematical models consist of many variable and complicated. Therefore, solution of mathematical models can be find using analytical approximation method.

Variational iteration method can be used for solving one dimension of nonlinear wave equations. The solution of variational iteration method will convergent to exact solution. The iteration solution from some wave equations are in form of approximation analyticly which can be calculated by Maple Software and by MATLAB Sofware. The goals of this thesis is proceed solution shallow water wave equation, the elastics wave equation and know convergence analytical of iteration solution difussion wave equations.

Variational iteration method has been successful to solve one dimension of nonlinear wave equation problems because has small error. The shallow water wave equations and its simplification, the elastics equation and its simplification has convergent solution to exact solution. Each wave equation has different convergence because the wave equations and initial condition is different. The diffusion wave equation has been give proceed of convergent based on convergence analytical.

ix

LEMBAR PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Paskalia Siwi Setianingrum

Nomor Mahasiswa : 151442011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :

METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL DAN ELASTIK

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 24 Februari 2017

Yang menyatakan

x

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

[1]. P. S. Setianingrum. dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to

solve steady state problems of shallow water flows,“ AIP Conference Proceedings, Volume 1746, Nomor Artikel 020057, Tahun 2016, (terindeks

scopus), Laman Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953982

[2]. P. S. Setianingrum dan S. Mungkasi, “Variational iteration method used to

solve the-one dimensional acoustics equation” diterima dan akan terbit

dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks scopus), Laman

Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk

dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus karena berkat rahmat dan kasih-Nya sehingga tesis dengan judul “Metode Iterasi Variasional untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik” ini dapat penulis selesaikan. Penulis menyusun tesis ini untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika.

Selama penyusunan tesis ini penulis telah melalui berbagai macam kesulitan yang dialami. Akan tetapi dari semua itu telah penulis lalui dengan adanya dukungan dari banyak pihak sehingga kesulitan yang penulis alami dapat teratasi. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan sepenuh hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada beberapa pihak yang telah membantu, diantaranya :

1. Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menjaga dan menyertai setiap perjalanan penulis dalam penyusunan tesis ini hingga selesai.

2. Universitas Sanata Dharma yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa kepada penulis untuk menempuh Program Magister Pendidikan Matematika selama kuliah.

3. Kedua orang tua penulis yaitu Bapak Agustinus Sajimin, S.Pd. dan Ibu Sri Lugiwiyatun, S.Pd. yang senantiasa memberi dukungan lewat doa, memberi semangat, kasih sayang dan perhatian dari awal studi sampai selesai penyusunan tesis ini.

4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing tesis yang dengan kesabaran hati bersedia membimbing penulis dari awal penyusunan hingga penyelesaian tesis ini. Terima kasih atas segala dukungan, kritik maupun saran selama ini.

5. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

xii

6. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah bersedia memberikan bimbingan, masukan dan saran selama penulis berkuliah di Universitas Sanata Dharma ini.

7. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku dosen penguji tesis yang telah memberikan saran yang baik dan membangun untuk penulis.

8. Segenap dosen Magister Pendidikan Matematika, khususnya dosen-dosen yang telah mengajar, mendidik, membagikan ilmu kepada penulis hingga penulis kaya akan ilmu pengetahuan terkait dengan matematika selama masa kuliah. 9. Pendamping setia penulis yaitu Erasmus Jala, A.Md. yang telah mendoakan

penulis, membantu penulis dengan penuh kesabaran, mendukung, memotivasi, mendampingi penulis selama kuliah dan pada saat penyusunan tesis sampai selesai.

10. Segenap staf perpustakaan Universitas Sanata Dharma karena telah memberikan pelayanan yang baik selama penulis meminjam referensi untuk belajar selama kuliah dan selama penyusunan tesis ini.

11. Segenap staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan pelayanan dengan baik.

12. Teman baik penulis yaitu Mas Billy Arifa Tengger, M.Sc. karena telah membantu penulis dalam memahami materi tesis ini.

13. Kakak Andreas Yudha Fery Nugroho, S.Psi. dan Mba Erlin yang memberi semangat kepada penulis.

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN MOTTO ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... ix

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ... x

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR SIMBOL ... xvi

DAFTAR GAMBAR ... xviii

BAB I : PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Tinjauan Pustaka ... 3 C. Rumusan Masalah ... 5 D. Tujuan Penulisan ... 5 E. Manfaat Penulisan ... 6 F. Batasan Masalah ... 6 G. Metode Penulisan ... 7 H. Sistematika Penulisan ... 9 I. Kebaruan Penelitian ... 10

BAB II : LANDASAN TEORI ... 11

xiv

B. Kalkulus Variasi ... 12

C. Pemodelan Matematika ... 13

D. Persamaan Diferensial Parsial ... 14

E. Gelombang ... 16

F. Metode Iterasi Variasional ... 17

G. Teorema Titik Tetap Banach ... 20

H. Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma ... 21

I. Ruang Hilbert ... 22

J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen ... 22

K. Barisan Cauchy ... 22

L. Ruang Hasil Kali Dalam ... 24

BAB III : METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG ... 25

A. Persamaan Gelombang Air Dangkal ... 25

B. Persamaan Gelombang Difusi ... 30

C. Persamaan Gelombang Gravitasi ... 33

D. Persamaan Gelombang Kinematik ... 36

E. Persamaan Gelombang Elastik ... 39

F. Persamaan Gelombang Akustik ... 43

BAB IV : KONVERGENSI METODE ITERASI VARIASIONAL ... 48

A. Pendekatan Alternatif Metode Iterasi Variasional ... 48

B. Analisis Konvergensi ... 50

C. Pendekatan Metode Iterasi Variasional dan Hasil Konvergensi ... 55

D. Contoh Penggunaan Konvergensi Metode Iterasi Variasional pada Persamaan Gelombang Difusi ... 56

BAB V : ASPEK PENDIDIKAN ... 58

A. Pelajar SMA ... 59

xv

C. Refleksi Pengalaman Penelitian Bidang Matematika ... 63

BAB V : PENUTUP ... 68

D. Kesimpulan ... 68

E. Saran ... 69

xvi

DAFTAR SIMBOL

A, B, C, ..., Z : suatu fungsi

a, b, c, ..., z : suatu fungsi

𝛿 : turunan variasional

λ : suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan teori variasional

𝜏 : suatu fungsi

𝜌 : massa jenis

𝜀 : regangan

∞ : jumlah tak terhingga

∈ : elemen/anggota

≠ : tidak sama dengan

< : lebih kecil dari

≤ : lebih kecil dari atau sama dengan

≥ : lebih besar dari atau sama dengan

> : lebih besar dari

! : faktorial

⋮ : dan seterusnya

∪ : gabungan

xvii

𝑞̃ : suatu variasi terbatas

ℎ̃ : suatu variasi terbatas ỹ : suatu variasi terbatas

𝜕 : turunan parsial

∑ : jumlahan dari suatu deret atau barisan ξ : suatu fungsi

ℕ : natural number (bilangan asli)

ℝ : real number (bilangan real)

∀ : untuk semua, setiap

∃ : beberapa, ada, terdapat, sebagian

‖𝑣‖ : norm dari 𝑣

∎ : akhir dari suatu bukti + : operasi penjumlahan

- : operasi pengurangan

∫ : integral . : perkalian

xviii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Grafik hasil iterasi ℎ2(𝑥, 𝑡) dan 𝑢2(𝑥, 𝑡) pada

Persamaan Gelombang Air Dangkal. ... 29

Gambar 3.2 Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan 𝑞₄(𝑥, 𝑡) pada

Persamaan Gelombang Difusi. ... 32

Gambar 3.3 Grafik hasil iterasi ℎ₃(𝑥, 𝑡) dan 𝑞₃(𝑥, 𝑡) pada

Persamaan Gelombang Gravitasi. ... 35

Gambar 3.4 Grafik hasil iterasi ℎ₂(𝑥, 𝑡) pada Persamaan

Gelombang Kinematik. ... 39

Gambar 3.5 Grafik hasil iterasi 𝜀₃(𝑥, 𝑡) dan 𝑢₃(𝑥, 𝑡) pada Persamaan

Gelombang Elastik. ... 42

Gambar 3.6 Grafik hasil iterasi 𝜀3(𝑥, 𝑡) dan 𝑢3(𝑥, 𝑡) pada Persamaan

1

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

Masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara

matematis. Masalah nyata yang terjadi terkait dengan peristiwa alam yang

disebabkan oleh gelombang air dapat disimulasikan dan dicari solusinya. Suatu

model matematika perlu diselesaikan untuk menemukan solusi dari

masalah-masalah nyata. Solusi eksak atau solusi analitis dari model matematika

umumnya sulit ditemukan jika model matematika mengandung banyak variabel

dan rumit. Oleh karena itu, dengan metode pendekatan analitis dapat diperoleh

solusi dari model matematika.

Sebagian besar fenomena yang muncul dalam matematika dapat

dijelaskan dengan persamaan diferensial terutama Persamaan Diferensial

Parsial (PDP). Banyak metode yang dapat menyelesaikan permasalahan

tentang persamaan diferensial parsial seperti metode volume hingga, metode

beda hingga, metode heun, metode deret taylor, metode euler dan lain-lain.

Hal-hal yang terkait tentang fenomena fisik yaitu masalah fluida dapat

dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial

menjadi alat yang berguna untuk merepresentasikan fenomena alam terkait

suatu model matematika. Oleh karena itu beberapa persamaan gelombang

Fluida merupakan salah satu dari sekian banyak masalah fisis yang sering

dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh bencana yang terjadi di

Indonesia yang terkait dengan masalah fluida misalnya bencana tsunami yang

terjadi di Aceh tahun 2004, bobolnya tanggul Situ Gintung di Ciputat,

Tangerang Selatan yang terjadi pada tahun 2009 dan bencana banjir yang kerap

terjadi di beberapa tempat di Indonesia. Bencana alam tersebut disebabkan oleh

gelombang air.

Gelombang air yang dapat dimodelkan secara matematis yaitu dengan

persamaan air dangkal serta penyederhanannya berupa persamaan gelombang

gravitasi, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang kinematik.

Selain gelombang air, gelombang elastik dapat pula dimodelkan secara

matematis yaitu persamaan gelombang elastik dan penyederhanannya yaitu

persamaan gelombang akustik.

Salah satu metode yang dapat menyelesaikan persamaan gelombang air

dangkal serta penyederhanaannya dan persamaan gelombang elastik serta

penyederhanannya adalah Metode Iterasi Variasional (MIV) dikembangkan

oleh Ji-Huan He (2007). Dalam tesis ini, penulis hanya fokus pada

menyelesaikan persamaan air dangkal dan penyederhanaanya serta persamaan

gelombang elastik dan penyederhanaanya dengan menggunakan metode iterasi

variasional. Jadi, dalam sebagian tesis ini penulis membahas sesuatu yang baru

dan belum pernah dikerjakan oleh orang lain dengan menggunakan metode

iterasi variasional. Solusi yang dihasilkan dari persamaan-persamaan

B.Tinjauan Pustaka

Berikut ini adalah diagram sebagai gambaran dari hal-hal yang dibahas dalam

penulisan tesis.

Persamaan diferensial parsial dibagi dua jenis berdasarkan ekspresi variabel bebas dan turunan-turunannya

Persamaan diferensial parsial linear

Persamaan diferensial parsial non linear

Persamaan diferensial parsial non linear orde satu

Persamaan gelombang Persamaan gelombang air dangkal Persamaan gelombang elastik Persamaan gelombang difusi Persamaan gelombang gravitasi Persamaan gelombang kinematik Persamaan gelombang akustik

Analisis konvergensi dengan menggunakan Teorema titik

tetap Banach

Metode iterasi variasional

Oleh He (2007)

Oleh Abdou dan Soliman (2005)

Oleh Setianingrum dan Mungkasi (2016) Oleh Setianingrum (2016) Oleh LeVeque (2002) Oleh Odibat (2010)

Oleh Martins, Leandro dan Djordjevic (2002)

Keterangan diagram

1. : pengelompokkan persamaan-persamaan

2. : persamaan yang diselesaikan oleh penulis dalam tesis

3. : orang yang menyelesaikan persamaan

4. : hubungan antara persamaan yang satu dengan yang lain

Penelitian yang terkait dengan tujuan penulisan yaitu karya He (2007).

Penelitian ini membahas tentang konsep dasar dari metode iterasi variasional.

Konsep dasar yang dibahas dalam artikel jurnal ini terdiri dari konsep pengali

umum Lagrange, syarat stasioner dan variasi terbatas. Konsep dasar tersebut

menjadi hal penting dan mendasar dalam mempelajari metode iterasi

variasional. Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode

iterasi variasional. Konsep dasar metode iterasi variasional menjadi pedoman

penting dalam proses menemukan solusi iterasi yang dihasilkan dari suatu

persamaan gelombang.

Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karangan

LeVeque (2002). Di dalam artikel ini terdapat persamaan gelombang elastik

dimensi satu dan persamaan gelombang akustik dimensi satu. Penulis

menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk

menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.

Referensi lainnya yang terkait dengan tujuan penulisan adalah karya

Martins, Leandro, dan Djordjevic (2002). Di dalam artikel ini terdapat

menggunakan persamaan gelombang tersebut dengan beberapa asumsi untuk

menemukan solusi dengan menggunakan metode iterasi variasional.

C.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan di atas, maka

dapat dirumuskan pokok-pokok masalah yang akan dibahas dalam penulisan

ini adalah:

1. Bagaimana solusi persamaan gelombang air dangkal dan

penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional?

2. Bagaimana solusi persamaan gelombang elastik dan penyederhanaannya

dengan menggunakan metode iterasi variasional?

3. Bagaimana konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan

diferensial parsial nonlinear?

D.Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan di atas, maka

tujuan penulisan ini adalah:

1. Untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang air dangkal dan

penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.

2. Untuk menghasilkan solusi persamaan gelombang elastik dan

penyederhanaannya dengan menggunakan metode iterasi variasional.

3. Untuk mengetahui konvergensi metode iterasi variasional pada persamaan

E.Manfaat Penulisan

Berdasarkan tujuan penulisan yang telah dipaparkan di atas, maka

manfaat penulisan ini adalah:

1. Manfaat bagi penulis sendiri adalah dapat mengetahui keberhasilan

metode iterasi variasional dalam menyelesaikan beberapa persamaan

gelombang dan mengetahui syarat agar suatu persamaan dapat konvergen

menuju solusi eksak.

2. Manfaat bagi mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika adalah dapat

mengenalkan dan memberikan informasi baru tentang penyelesaian

beberapa persamaan gelombang menggunakan metode iterasi variasional.

3. Manfaat untuk ilmu pengetahuan dan teknologi adalah dapat memberikan

kontribusi baru tentang penggunaan metode iterasi variasional dalam

menyelesaikan beberapa persamaan gelombang.

4. Manfaat bagi masyarakat adalah dapat mengetahui bahwa penelitian

bidang matematika dapat diterapkan dalam kehidupan nyata (tidak hanya

teori yang tergambar secara abstrak).

F. Batasan Masalah

Batasan masalah dari penulisan tesis ini adalah metode yang digunakan

untuk menyelesaikan beberapa persamaan gelombang berupa metode iterasi

variasional dengan nilai awal yang diberikan. Persamaan diferensial parsial

dalam penulisan ini berorde satu agar tidak terlalu luas dan lebih fokus. Dalam

bertujuan agar pembahasan pada penulisan ini tidak terlalu luas dan

memfokuskan pada variabel x dan t saja sehingga dapat mempermudah bagi

para pembaca untuk memahami penulisan ini. Persamaan gelombang dalam

penulisan tesis ini berdimensi satu (bergantung pada variabel ruang dan waktu)

dan bersifat nonlinear (perkalian antara suatu fungsi dan turunannya).

G.Metode Penelitian

Metode penulisan yang digunakan oleh penulis adalah metode studi

pustaka yaitu mempelajari dan memahami materi yang diperoleh dari

referensi-referensi terkait dengan metode iterasi variasional, mengumpulkan informasi

dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk penulisan yang runtut dan jelas

sehingga dapat mempermudah pembaca. Langkah-langkah yang dilakukan oleh

penulis sebagai berikut

1. Mencari referensi tentang metode iterasi variasional, persamaan gelombang

air dangkal dan elastik.

2. Memahami materi tentang persamaan gelombang air dangkal. Mencari

solusi persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan

langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi persamaan

gelombang air dangkal dengan bantuan Software Maple dan menggambar

grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat

dilihat perilaku gelombang air dangkal terhadap ruang dan waktu.

3. Meemahami materi tentang persamaan gelombang difusi. Mencari solusi

metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang

difusi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan

bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku

gelombang difusi terhadap ruang dan waktu.

4. Memahami materi tentang persamaan gelombang gravitasi. Mencari solusi

dari persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan langkah-langkah

metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang

gravitasi dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan

bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku

gelombang gravitasi terhadap ruang dan waktu.

5. Memahami materi tentang persamaan gelombang kinematik. Mencari solusi

dari persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan

langkah-langkah metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan

gelombang kinematik dengan bantuan Software Maple dan menggambar

grafik dengan bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat

dilihat perilaku gelombang kinematik terhadap ruang dan waktu.

6. Memahami materi tentang persamaan gelombang elastik. Mencari solusi

dari persamaan gelombang elastik dengan menggunakan langkah-langkah

metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang

elastik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan

bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku

7. Memahami materi tentang persamaan gelombang akustik. Mencari solusi

dari persamaan gelombang akustik dengan menggunakan langkah-langkah

metode iterasi variasional. Menghitung iterasi dari persamaan gelombang

akustik dengan bantuan Software Maple dan menggambar grafik dengan

bantuan Software MATLAB. Dari grafik hasil iterasi dapat dilihat perilaku

gelombang akustik terhadap ruang dan waktu.

8. Menganalisis kekonvergenan dari persamaan gelombang difusi karena

persamaan gelombang difusi telah terlihat solusi iterasinya konvergen

menuju solusi eksak dengan sangat cepat.

H.Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut:

Bab pertama yaitu Pendahuluan yang memuat latar belakang masalah,

rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, batasan masalah,

metode penelitian, sistematika penulisan, tinjauan pustaka dan kebaruan

penelitian.

Bab kedua yaitu Landasan Teori yang memuat teori-teori dasar yang

terkait dengan isi penulisan sehingga dapat memudahkan pembaca dalam

memahami pembahasan tesis ini.

Bab ketiga yaitu Metode Iterasi Variasional untuk menyelesaikan

persamaan gelombang air dangkal dan elastik. Pada bab ketiga dibahas

penyelesaian beberapa persamaan gelombang dengan menggunakan metode

gelombang konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang berbeda-beda

karena bergantung pada nilai awal yang dipilih.

Bab keempat yaitu Konvergensi Metode Itrerasi Variasional pada

persamaan diferensial parsial nonlinear. Pada bab keempat ini terdapat tiga

teorema yang mendasari konvegensi metode iterasi variasional dan analisis

konvergensi sebagai bukti bahwa suatu persamaan gelombang konvergen

dengan beberapa syarat.

Bab kelima atau bab terakhir yaitu Penutup yang terdiri dari kesimpulan

saran penulis dan pembaca untuk mengembangkan topik tesis.

I. Kebaruan Penelitian

Dalam sebagian penulisan tesis ini, penulis membahas ide baru yang

belum pernah dikerjaan oleh orang lain yaitu menyelesaikan penyederhanaan

dari persamaan gelombang air dangkal yaitu persamaan gelombang gravitasi,

persamaan gelombang difusi, persamaan gelombang kinematik serta persamaan

gelombang elastik dan penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang akustik

dengan menggunakan metode iterasi variasional. Selain membahas hal

tersebut, penulis menganalisis konvergensi metode iterasi variasional pada

persamaan gelombang difusi yang memiliki kekonvergenan sangat cepat

11

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas pengertian dari fungsi, kalkulus variasi,

pemodelan matematika, konsep dasar persamaan diferensial parsial, gelombang,

dan metode iterasi variasional serta hal-hal yang mendukung pembahasan tesis

tentang persamaan-persamaan gelombang.

A.Fungsi

Bahasan tentang fungsi ini berasal dari referensi buku karangan Gelfand dan

Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan definisi fungsi.

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan

hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lain. Suatu fungsi

dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel,

koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap

bentuk fungsi tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Suatu fungsi yang

secara konkret dinyatakan dalam bentuk persamaan dapat mengandung suatu

konstanta ataupun tidak. Walaupun suatu persamaan tidak mengandung konstanta,

tidak akan mengurangi arti dari suatu fungsi.

Fungsi banyak digunakan dalam beberapa cabang ilmu sains untuk

menyajikan model matematis dari fenomena di dunia nyata. Salah satu contoh

penggunaan fungsi untuk mendeskripsikan fenomena di dunia nyata adalah gerak

yang merupakan bentuk dari fungsi kuadrat. Dengan memahami kemampuan

meriamnya dan pengetahuan tentang lintasan pelurunya, seorang prajurit dapat

menghitung posisi meriam atau sudut tembakan agar peluru tepat mengenai

sasaran.

Contoh jenis fungsi yang termasuk dalam fungsi aljabar yaitu fungsi

kuadrat. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki pangkat terbesar

pada variabelnya adalah pangkat dua. Fungsi memiliki bentuk hampir sama

dengan persamaan tetapi berbeda pada bentuk penulisannya. Bentuk umum fungsi

kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 suatu bilangan real dan 𝑎 ≠ 0.}

B.Kalkulus Variasi

Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan

Gelfand dan Fomin (1963). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang kalkulus

variasi terkait dengan syarat stasioner dari metode iterasi variasional.

Kalkulus variasi adalah cabang matematika yang berhubungan dengan

fungsi dari fungsi-fungsi yang berbeda dari kalkulus biasa, yakni berhubungan

dengan fungsi-fungsi dari bilangan-bilangan. Fungsi yang demikian misalnya

dapat dibentuk sebagai integral yang melibatkan sebuah fungsi sembarang dan

turunannya. Hal yang ingin dicapai pada kalkulus variasi adalah fungsi-fungsi

yang dapat mencapai nilai maksimum atau minimum.

Kunci dari kalkulus variasi adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan

Euler-Lagrange berhubungan dengan syarat stasioner dari suatu fungsional

Analisis perubahan kecil yang terjadi yang mendekati solusi yang diduga haruslah

memenuhi sebuah syarat yakni turunan pertama bernilai nol. Syarat perlu itu

belum termasuk syarat cukup. Pengujian kedua dilakukan dengan melihat turunan

keduanya memiliki nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari nol.

C.Pemodelan Matematika

Bahasan tentang kalkulus variasi ini berasal dari referensi buku karangan

Haberman (1977). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang pemodelan

matematika dan langkah-langkah untuk memodelkan masalah nyata.

Untuk keperluan analisis, biasanya suatu sistem digambarkan ke dalam

suatu model. Model adalah representasi dari suatu sistem yang dikembangkan

untuk tujuan pemecahan masalah dari sistem yang ada berdasarkan dasar teori.

Pemodelan dapat didefinisikan sebagai proses pembentukan model dari suatu

sistem tersebut dengan menggunakan bahasa formal tertentu. Pemodelan

matematika merupakan proses untuk menjelaskan suatu masalah nyata secara

matematis. Hasil dari pemodelan tersebut berupa persamaan matematika itu

sendiri. Dalam menurunkan model matematika diperlukan asumsi-asumsi agar

penurunan matematis lebih mudah dilakukan, tetapi faktor-faktor yang paling

dominan dari masalah nyata harus tetap dilibatkan.

Dalam pemodelan matematika terdapat langkah-langkah yang perlu

dilakukan agar suatu model sesuai terhadap masalah nyata. Langkah pertama yaitu

menemukan masalah nyata yang terdapat di sekitar kehidupan sehari-hari.

nyata. Langkah ketiga yaitu memilih faktor-faktor yang paling dominan, dengan

bantuan dari bidang ilmu yang lain maka dicari hubungan matematika dengan

faktor-faktor yang paling dominan. Langkah keempat yaitu menyusun model

matematika dari masalah nyata. Langkah kelima yaitu menguji (validasi)

kesesuaian model terhadap masalah nyata. Jika model matematika sudah sesuai

terhadap masalah nyata maka dapat diperoleh solusi dari masalah nyata.

D.Persamaan Diferensial Parsial

Bahasan tentang persamaan diferensial parsial ini berasal dari referensi buku

karangan Wazwaz (2009) dan Aryati (2011). Dalam bahasan ini akan dijelaskan

tentang definisi persamaan diferensial parsial dan hal-hal yang terkait dengan

persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial telah berkembang pesat dalam menyelesaikan

permasalahan tentang fluida. Persamaan diferensial parsial memiliki bentuk

parsial di dalam persamaannya baik persamaan diferensial parsial linear maupun

nonlinear. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat variabel

terikat (variabel yang belum diketahui) dan turunan parsialnya (memuat lebih dari

satu variabel bebas). Berbeda dengan persamaan diferensial biasa, variabel terikat

pada persamaan diferensial parsial, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) bergantung lebih dari satu variabel terikat. Jika 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada

variabel bebas x, dan pada variabel waktu t. Bagaimanapun juga, jika 𝑢 =

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), maka fungsi u bergantung pada variabel ruang x, y, dan pada variabel

Diketahui bahwa sebagian besar fenomena yang muncul dalam bidang

fisika, matematika, dan bidang teknik dapat dijelaskan dengan persamaan

diferensial parsial. Seperti contoh berikut di bidang fisika yaitu aliran panas dan

fenomena perambatan gelombang dapat dijelaskan oleh persamaan diferensial

parsial. Dalam bidang ekologi, sebagian besar model dari populasi dapat

dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial. Bahan reaktif dari dispersi kimia

pula dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial. Sebagai tambahan,

fenomena fisik dinamika fluida, mekanika kuantum, listrik, plasma fisika,

pergerakan gelombang air dangkal, dan beberapa model lainnya dapat dijelaskan

oleh persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial parsial telah menjadi alat yang berguna untuk

menggambarkan fenomena alam yang berasal dari ilmu pengetahuan dan rekayasa

model. Dewasa ini telah terdapat metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persoalan tentang persamaan diferensial parsial. Metode

dekomposisi Adomian dan metode iterasi variasional yang baru-baru

dikembangkan telah terbukti handal, akurat dan efektif baik untuk solusi analitik

dan solusi numerik. Dalam beberapa kasus, kedua metode tersebut telah terbukti

dapat konvergen menuju solusi eksak. Kedua metode tersebut membutuhkan nilai

awal untuk mendapatkan solusinya.

Order suatu persamaan diferensial adalah order tertinggi dari semua turunan

yang terdapat pada persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya,

persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi persamaan diferensial linear dan

terikat dan semua turunan dalam persamaan diferensialnya muncul dalam bentuk

linear, memenuhi syarat berikut ini

1. variabel-variabel terikat dan semua turunannya muncul derajat satu.

2. tidak ada perkalian antara variabel-variabel terikat atau turunannya.

3. tidak ada fungsi transenden (fungsi non-aljabar) dari variabel-variabel terikat

atau turunannya.

Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear apabila terdapat salah satu syarat

tersebut tidak dipenuhi.

E.Gelombang

Pada bahasan tentang gelombang berikut ini berasal dari referensi buku

karangan Prasetio, dkk (1992). Dalam bahasan ini akan dijelaskan tentang

gelombang dan perambatan gelombang.

Di negara kita, negara Indonesia kerap terjadi bencana alam yang

disebabkan oleh air. Misalnya bencana banjir, bencana tsunami, bencana bobolnya

waduk atau bendungan. Bencana yang disebabkan oleh air biasanya karena

pengaruh besarnya gelombang. Saat terjadi bencana tsunami, gelombang air laut

sangat tinggi sekali hingga menghantam daerah di sekitarnya.

Gelombang merupakan getaran yang merambat sehingga dapat dipandang

sebagai perpindahan momentum dari suatu titik di dalam ruang ke titik lain tanpa

perpindahan materi. Terdapat berbagai macam gelombang seperti gelombang air,

transversal, gelombang longitudinal, dan lain-lain. Dalam sebagian penulisan tesis

ini akan membahas perilaku dari gelombang air pada persamaan gelombang air

dangkal dan penyederhanaannya serta gelombang bunyi pada persamaan

gelombang elastik dan penyederhanaannya.

Dalam ilmu gelombang dikatakan bahwa gelombang itu merambat. Oleh

karena ciri khas suatu gerakan adalah hadirnya besaran kecepatan, maka dalam

hal ini gelombang memiliki kecepatan rambat (𝑣). Dengan demikian, gelombang

adalah getaran yang merambat. Gelombang memiliki panjang gelombang dan

memiliki arah rambat gelombang.

F. Metode Iterasi Variasional

Pada bahasan tentang metode iterasi variasional berikut ini berasal dari

referensi buku karangan Wazwaz (2009). Dalam bahasan ini akan dijelaskan

tentang keunggulan penggunaan metode iterasi variasional.

Metode iterasi variasional telah berkembang pesat baru-baru ini. Metode

iterasi variasional telah dikembangkan oleh Ji-Huan He (2007), seorang ahli

matematika dari China yang telah menangani berbagai macam rekayasa ilmiah

tentang permasalahan linear dan nonlinear, homogen dan nonhomogen. Hal ini

pula menunjukkan bahwa metode iterasi variasional efektif dan dapat diandalkan

untuk menemukan solusi analitik. Keunggulan dari metode ini adalah memberikan

hasil yang konvergen menuju solusi eksak. Metode iterasi variasional tidak perlu

penanganan khusus pada masalah nonlinear karena metode ini dapat

yang tinggi. Pada kasus tertentu, penggunaan metode iterasi variasional dapat

memberikan solusi pendekatan analitis menuju solusi eksak dengan bantuan

beberapa iterasi. Tetapi dalam kasus tertentu pula, telah terlihat bahwa solusi

analitiknya konvergen menuju solusi eksak hanya dengan sedikit iterasi saja.

Terdapat beberapa konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu pengali

Lagrange umum, kondisi stasioner, fungsi koreksi dan variasi terbatas.

Konsep-konsep dasar tersebut yang dapat membentuk rumus iterasi. Metode iterasi

variasional dapat menghasilkan solusi pendekatan analitik sehingga efektif dan

efisien digunakan dalam kondisi apapun bersama nilai awal yang diberikan.

Diberikan Persamaan Diferensial (PD) berikut:

𝐿𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝑔(𝑡), (2.1)

dimana 𝐿 adalah operator linear, 𝑁 adalah operator non-linear, dan 𝑔(𝑡) adalah suatu bentuk suku non-homogen.

Dengan menggunakan metode iterasi variasional dapat dibentuk suatu fungsi

koreksi dari persamaan (2.1) yaitu sebagai berikut:

𝑢_𝑛+1(𝑡) = 𝑢_𝑛(𝑡) + ∫ 𝜆(𝜉){₀𝑡 𝐿𝑢𝑛(𝜉) + 𝑁ũ𝑛(𝜉) − 𝑔(𝜉)}𝑑𝜉, 𝑛 ≥ 0 (2.2)

dimana 𝜆 adalah suatu pengali Lagrange yang dapat diidentifikasi secara optimal dengan teori variasional, dan 𝑢̃𝑛 adalah suatu variasi terbatas yang melambangkan

bahwa 𝛿𝑢̃𝑛 = 0.

Dengan menggunakan teknik integral parsial berikut ini, dapat diperoleh nilai

pengali Lagrange 𝜆(𝜉) ∫ 𝜆(𝜉)𝑢′

∫ 𝜆(𝜉)𝑢′′

𝑛(𝜉)𝑑𝜉= 𝜆(𝜉)𝑢′𝑛(𝜉) − 𝜆′(𝜉)𝑢𝑛(𝜉) + ∫ 𝜆"(𝜉)𝑢𝑛(𝜉) 𝑑𝜉. (2.4)

Berikut ini contoh penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan

persamaan diferensial parsial non-homogen

𝑢_𝑦+ 𝑥𝑢_𝑥 = 3𝑢, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥2, 𝑢(0, 𝑦) = 0. (2.5)

Solusi

Dari persamaan (2.5), dapat dibentuk suatu fungsi koreksi seperti pada persamaan

(2.2) sebagai berikut

𝑢_𝑛+1(𝑥, 𝑦) = 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑦) + ∫ 𝜆(𝜉)₀𝑦 (𝜕𝑢𝑛(𝑥,𝜉)

𝜕𝜉 + 𝑥

𝜕ũ𝑛(𝑥,𝜉)

𝜕𝑥 − 3ũ𝑛(𝑥, 𝜉)) 𝑑𝜉. (2.6)

Dari persamaan (2.6), dapat diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut

𝑢_𝑛(𝑥, 𝜉): {𝜆

′_{(𝛿) = 0, (2.7a)}

1 + 𝜆(𝛿) = 0, (2.7b)

dan memberikan nilai pengali Lagrange yaitu

𝜆(𝜉) = −1. (2.8) Sekarang, kita substitusikan persamaan (2.8) ke persamaan (2.6) sehingga

membentuk rumus iterasi sebagai berikut

𝑢_𝑛+1(𝑥, 𝑦) = 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑦) − ∫ (𝜕𝑢𝑛(𝜉,𝑦) 𝜕𝜉 + 𝑥 𝜕𝑢𝑛(𝜉,𝑦) 𝜕𝑥 − 3𝑢𝑛(𝜉, 𝑦)) 𝑦 0 𝑑𝜉, 𝑛 ≥ 0. (2.9)

Kita dapat memilih 𝑢₀(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥2 _{dari persamaan (2.10). Substitusikan}

𝑢₀(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 0) = 𝑥2 _{ke persamaan (2.9) dan kita peroleh pendekatan iterasi}

𝑢₀(𝑥, 𝑦) = 𝑥2_, 𝑢₁(𝑥, 𝑦) = 𝑢₀(𝑥, 𝑦) − ∫ (𝜕𝑢0(𝑥,𝜉) 𝜕𝜉 + 𝑥 𝜕𝑢0(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥 − 3𝑢0(𝑥, 𝜉)) 𝑦 0 𝑑𝜉 = 𝑥2_{+ 𝑥}2_𝑦, 𝑢₂(𝑥, 𝑦) = 𝑢1(𝑥, 𝑦) − ∫ ( 𝜕𝑢1(𝑥,𝜉) 𝜕𝜉 + 𝑥 𝜕𝑢1(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥 − 3𝑢1(𝑥, 𝜉)) 𝑦 0 𝑑𝜉 = 𝑥2_{+ 𝑥}2_{𝑦 +} 1 2!𝑥 2_𝑦2_, 𝑢₃(𝑥, 𝑦) = 𝑢₂(𝑥, 𝑦) − ∫ (𝜕𝑢2(𝑥,𝑠) 𝜕𝑠 + 𝑥 𝜕𝑢2(𝑥,𝑠) 𝜕𝑥 − 3𝑢2(𝑥, 𝑠)) 𝑦 0 𝑑𝑠, = 𝑥2_{+ 𝑥}2_{𝑦 +} 1 2!𝑥 2_𝑦2 ₊ 1 3!𝑥 2_𝑦3 ⋮ = ⋮ 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑥2_{(1 + 𝑦 +}1 2!𝑦 2₊ 1 3!𝑦 3_{+ ⋯ ).}

Jadi, secara umum hasil dari iterasi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

sebagai berikut

𝑢(𝑥, 𝑦) = lim

𝑛→∞𝑢𝑛(𝑥, 𝑦).

Solusi eksak dari persamaan (2.3) adalah

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2_𝑒𝑦_.

G.Teorema Titik Tetap Banach

Bahasan tentang Teorema Titik Tetap Banach ini berasal dari referensi buku

karangan Kreyszig (1989). Dalam bahasan ini akan dibahas tentang definisi dari

Teorema Titik Tetap Banach merupakan teorema ketunggalan dari suatu

titik tetap pada suatu pemetaan yang disebut kontraksi dari ruang metrik lengkap

ke dalam dirinya sendiri. Ruang Banach sendiri memiliki arti yaitu ruang vektor

bernorma yang lengkap (jika barisan Cauchy konvergen).

Teorema Titik Tetap Banach memberikan syarat cukup suatu fungsi dari

ruang metrik lengkap terhadap dirinya sendiri yang memiliki titik tetap tunggal.

Teorema Titik Tetap Banach diterapkan untuk menjamin eksistensi dan

ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu. Setiap pemetaan

kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal.

H.Ruang Metrik dan Ruang Vektor Bernorma

Bahasan tentang ruang metrik dan ruang vektor bernorma ini berasal dari

referensi buku karangan Muslikh (2012).

Ruang metrik memperluas konsep jarak. Definisi dari metrik bermanfaat

untuk mengetahui aplikasi yang lebih umum dari konsep jarak.

Ruang metrik (X;d) adalah himpunan X dan metrik pada X (fungsi jarak

pada X) didefinisikan sebagai fungsi 𝑑 ∶ 𝑋×𝑋 → ℝ, yang memenuhi:

a. 𝑑(𝑥; 𝑦) ≥ 0 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, dengan 𝑥 ≠ 𝑦.

b. 𝑑(𝑥; 𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑋, jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑥.

c. 𝑑(𝑥; 𝑦) = 𝑑(𝑦; 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

d. 𝑑(𝑥; 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥; 𝑦) + 𝑑(𝑦; 𝑧) untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Ruang metrik 𝑋 disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di 𝑋

Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor X dengan pemetaan ∥ ∥: 𝑋 → 𝑅₊,

dengan sifat-sifat

a. ∥ 𝑥 ∥ ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

b. ∥ 𝑥 ∥ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0 (𝑥 ∈ 𝑋). c. ∥ 𝑎𝑥 ∥ = |𝑎| ∥ 𝑥 ∥ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan skalar a.

d. ∥ 𝑥 + 𝑦 ∥ ≤ ∥ 𝑥 ∥ +∥ 𝑦 ∥ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.

I. Ruang Hilbert

Bahasan tentang ruang Hilbert ini berasal dari referensi diktat Suryawan

(2014).

Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap (ruang metriknya

lengkap). Ruang Hilbert pula merupakan suatu ruang vektor bernorma yang

lengkap yang normanya itu diinduksi dari hasil kali dalam. Ruang hasil kali dalam

seringkali disebut ruang pra-Hilbert.

J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen

Teori tentang barisan konvergen dan deret konvergen ini berasal dari

referensi diktat Sukarjono (2008). Dalam bahasan ini akan dipaparkan tentang

definisi barisan dan deret serta barisan konvergen dan deret konvergen.

Barisan adalah suatu pemetaan yang berkorespondensi satu-satu dari

himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Barisan dapat dikatakan

secara tunggal. Barisan biasanya ditulis dengan lambang 〈𝑎_𝑛〉 atau 〈𝑥_𝑛〉 atau 〈𝑦_𝑛〉 dan sebagainya. Barisan merupakan himpunan unsur-unsur yang telah diurutkan

menurut urutan bilangan asli seperti 〈𝑎𝑛〉 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … 〉.

Barisan 〈𝑎𝑛〉 dikatakan konvergen jika terdapat dengan sifat 𝑎 ∈ ℝ untuk

setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli ℕ sehingga untuk setiap bilangan asli

𝑛 𝜖 ℕ berlaku |𝑎_𝑛 − 𝑎| < 𝜀.

Deret bisa dikatakan jumlahan dari suatu barisan. Misalkan terdapat suatu

barisan bilangan real 〈𝑎𝑛〉 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛, … 〉, kemudian bilangan-bilangan

tersebut dijumlahkan, hasilnya menjadi suatu deret yang biasanya ditulis dengan

lambang 𝑠_𝑛. Jadi, 𝑠_𝑛 = 𝑎₀+ 𝑎₁+ 𝑎₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛 = ∑𝑛_𝑛=0𝑎_𝑛.

Deret ∑𝑛𝑛=0𝑎𝑛 dikatakan konvergen apabila _𝑛→∞lim 𝑠𝑛ada. Tetapi jika lim 𝑛→∞𝑠𝑛

tidak ada (atau ∞) maka deret divergen. Jika lim

𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑆, maka S disebut deret itu

konvergen ke jumlah S.

K.Barisan Cauchy

Bahasan tentang barisan Cauchy dan barisan konvergen ini berasal dari

referensi buku karangan Soematri (2012).

Barisan (𝑥_𝑛) di ruang metrik 𝑋 = (𝑋; 𝑑) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝑁 𝜖 ℕ sehingga untuk bilangan asli 𝑚, 𝑛 > 𝑁

L.Ruang Hasil Kali Dalam

Bahasan tentang ruang hasil kali dalam ini berasal dari referensi buku

karangan Anton (1987).

Untuk memahami definisi ruang hasil kali dalam maka perlu diketahui

definisi dari hasil kali dalam. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor. Hasil kali

dalam (inner product) adalah suatu fungsi (operasi) yang memetakan sepasang

vektor 𝑢⃗ , 𝑣 ∈ 𝑉 dengan sebuah bilangan real yang ditulis dengan 〈𝑢⃗ , 𝑣 〉 dan memenuhi sifat-sifat berikut untuk setiap 𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ ∈ 𝑉

1. 〈𝑢⃗ , 𝑣 〉 = 〈𝑣,⃗⃗⃗ 𝑢⃗ 〉 (aksioma simetris)

2. 〈𝑢⃗ + 𝑣 , 𝑤⃗⃗ 〉 = 〈𝑢⃗ , 𝑤⃗⃗ 〉 + 〈𝑣 , 𝑤⃗⃗ 〉 (aksioma aditif/penjumlahan) 3. 〈𝛼𝑢⃗ , 𝑣 〉 = 𝛼〈𝑢⃗ , 𝑣 〉 untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ (aksioma kehomogenan)

4. 〈𝑢⃗ , 𝑢⃗ 〉 ≥ 0 dan 〈𝑢⃗ , 𝑢⃗ 〉 = 0 jika dan hanya jika 〈𝑢⃗ 〉 = 0⃗ (aksioma kepositifan) Suatu ruang vektor 𝑉 disebut sebagai ruang hasil kali dalam (inner product

space) apabila V adalah sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu hasil

kali dalam. Suatu ruang hasil kali dalam adalah lengkap jika setiap barisan

25

BAB III

METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK

MENYELESAIKAN BEBERAPA PERSAMAAN GELOMBANG

Pada bab ini akan dibahas tentang solusi pendekatan analitik dari persamaan

gelombang air dangkal serta penyederhanaannya yaitu persamaan gelombang

difusi, persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik serta

persamaan gelombang elastik serta penyederhanaannya yaitu persamaan

gelombang akustik.

A.Persamaan Gelombang Air Dangkal

Pada bab sebelumnya telah dipaparkan pengertian singkat tentang

gelombang, maka di bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik

dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang air

dangkal. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari Mungkasi dan Wiryanto

(2016), Setianingrum dan Mungkasi (2016) serta buku karangan Wazwaz (2009).

Suatu model matematika yang terkenal untuk aliran air di tempat terbuka

adalah persamaan Saint-Venant (sistem Saint-Venant), juga dikenal sebagai

persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal diturunkan

dari hukum kekekalan massa dan momentum. Persamaan ini berpengaruh pada

gelombang air dan aliran air, seperti aliran air dalam suatu saluran, banjir,

solusi analitik yang dapat ditulis dalam bentuk eksplisit. Oleh karena itu, metode

pendekatan sangat diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.

Gelombang air dangkal adalah gelombang yang terjadi pada permukaan air

dangkal dimana panjang gelombangnya cukup besar dibandingkan kedalamannya.

Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu sistem persamaan diferensial

parsial nonlinear orde satu. Dinamika dari fenomena gelombang air dangkal dapat

diketahui melalui solusi persamaan diferensial parsial. Solusi yang diperoleh

bermanfaat untuk memprediksi arah aliran air, kecepatan aliran air, luas daerah

dampak air yang datang dan rute penyelamatan untuk lari ke daerah yang lebih

aman sehingga harapannya, pemodelan beserta solusi persamaan gelombang air

dangkal bermanfaat bagi penelitian di bidang lain untuk membuat sistem

peringatan dini (early warning systems) bencana yang disebabkan oleh aliran air.

Pemodelan persamaan gelombang air dangkal memiliki asumsi bahwa skala

vertikal lebih kecil dari skala horizontal, yaitu kedalaman air laut lebih kecil

dibandingkan dengan panjang perairan laut. Bidang aplikasi persamaan

gelombang air dangkal dapat dilakukan untuk melihat aliran pasang surut di

muara atau di daerah pantai, sungai, dan waduk. Persamaan air dangkal atau

Shallow Water Equation (SWE) berlaku untuk fluida homogen yang memiliki

massa jenis konstan, tidak kental, tidak dapat ditekan dan mengalir secara tidak

berotasi.

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan

penulisan ini adalah persamaan gelombang air dangkal dimensi satu (bergantung

permasalahan sehingga mempermudah dalam perhitungan. persamaan gelombang

air dangkal dimensi satu sangat relevan untuk menentukan aliran sungai.

Diberikan persamaan gelombang air dangkal sebagai berikut

{

_𝑢ℎ𝑡+ 𝑢ℎ𝑥+ ℎ𝑢𝑥 = 0,

𝑡 + ℎ𝑥+ 𝑢𝑢𝑥 = −𝑧𝑥,

(3.1)

di sini fungsi ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman atau ketinggian air, fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan aliran air, 𝑧(𝑥) adalah topografi, t adalah variabel waktu dan x adalah

variabel ruang.

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.1) sebagai berikut

ℎ(𝑥, 0) = 2 + exp⁡(−𝑥 2₎ 1 + exp⁡(−𝑥2₎,⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑢(𝑥, 0) = 1 ℎ(𝑥, 0),⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑧(𝑥) = − exp⁡(−𝑥2₎ 1 + exp⁡(−𝑥2₎⁡. (3.2)

Dari persamaan (3.2) berarti permukaan air mendatar secara horisontal memiliki

persamaan ℎ(𝑥, 0) + 𝑧(𝑥) = 2, dan debit air selalu konstan dimanapun memiliki persamaan 𝑢(𝑥, 0). ℎ(𝑥, 0) = 1.

Dengan menggunakan metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi

koreksi dari sistem persamaan (3.1) sebagai berikut

ℎ_𝑛+1(𝑥, 𝑡) = ℎ𝑛(𝑥, 𝑡) + ∫ 𝜆1(𝜉)(ℎ𝑛𝑡 𝑡 0 + ũ𝑛ℎ𝑛𝑥+ ℎ𝑛ũ𝑛𝑥)𝑑𝜉, (3.3) 𝑢_𝑛+1(𝑥, 𝑡) = 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑡) + ∫ 𝜆2(𝜉)(𝑢𝑛𝑡 𝑡 0 + ℎ𝑛𝑥+ 𝑢𝑛ũ𝑛𝑥− 𝑧 ′_{(𝑥))𝑑𝜉, (3.4)}

dimana 𝜆₁ dan 𝜆₂ adalah pengali Lagrange; ũ_𝑛𝑥 dan ℎ̃_𝑛𝑥 adalah variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan

untuk memperoleh kondisi stasioner sebagai berikut

𝜆′

1(𝜉) = 0, (3.5a)

1 + 𝜆1(𝜉)|𝜉=𝑡 = 0, (3.5b)

𝜆′

2(𝜉) = 0, (3.6a)

1 + 𝜆₂(𝜉)|_𝜉=𝑡 = 0, (3.6b)

Persamaan (3.5a) dan (3.6a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan

(3.5b) dan (3.6b) adalah syarat batas. Dari syarat batas tersebut diperoleh nilai

pengali Lagrange 𝜆₁ = 𝜆₂= −1. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.3) dan (3.4) sehingga memberikan rumus iterasi variasional

sebagai berikut ℎ_𝑛+1(𝑥, 𝑡) = ℎ_𝑛(𝑥, 𝑡) − ∫ (ℎ𝑛𝜉 𝑡 0 + 𝑢𝑛ℎ𝑛𝑥+ ℎ𝑛𝑢𝑛𝑥)𝑑𝜉, (3.7) 𝑢_𝑛+1(𝑥, 𝑡) = 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑡) − ∫ (𝑢𝑛𝑡 𝑡 0 + ℎ𝑛𝑥+ 𝑢𝑛𝑢𝑛𝑥− 𝑧 ′_{(𝑥))𝑑𝜉. (3.8)}

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.7) dan (3.8) dapat

diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut

ℎ₀(𝑥, 𝑡) = 2 + exp⁡(−𝑥2) 1+exp⁡(−𝑥2₎ (3.9) 𝑢0(𝑥, 𝑡) = 1 2 + exp⁡(−𝑥2) 1+exp⁡(−𝑥2₎ (3.10) ℎ₁(𝑥, 𝑡) = ℎ₀(𝑥, 𝑡) (3.11) 𝑢1(𝑥, 𝑡) = −

(2𝑥 ∗ exp(−𝑥2_{) 𝑡 − 9 exp(−2𝑥}2_{) − 12 exp(−𝑥}2_{) − 4)(1 + exp⁡(−𝑥}2₎

(2 + 3exp⁡(−𝑥2₎3

(3.12)

ℎ2(𝑥, 𝑡) = −

1

(2 + 3exp⁡(−𝑥2₎3_{(1 + exp(−𝑥}2₎₎(−6 exp(−3𝑥

2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2

− 2 exp(−2𝑥2_{) ∗ ⁡𝑡}2_𝑥2_{− 3 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_{+ 4 exp(−𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2

− 81 exp(−4𝑥2_{) − 5 exp(−2𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_{− 216 exp(−3𝑥}2₎

− 2 exp(−𝑥2_{) ∗ 𝑡}2_{− 216 exp(−2𝑥}2_{) − 96 exp(−𝑥}2_{) − 16}

(3.13) 𝑢2(𝑥, 𝑡) = − 1 3 1 (2+3exp⁡(−𝑥2)7((−192 − 6480 exp(−2𝑥 2_{) − 16 exp(−2𝑥}2_{) ∗ 𝑡}3_𝑥3₊

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡486 exp(−5𝑥2_{) ∗ 𝑡𝑥 + 20 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡}3_{𝑥 + 1296 exp(−4𝑥}2_{) ∗ 𝑡𝑥 +}

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡8𝑥 ∗ exp(−2𝑥2_{) ∗ 𝑡}3_{+ 1296 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡𝑥 + 576 exp(−2𝑥}2_{) ∗ 𝑡𝑥 +}

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡24 exp(−4𝑥2_{) ∗ 𝑡}3_𝑥3_{− 162 exp(−5𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2_{+ 16 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡}3_𝑥3₊

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡12 exp(−4𝑥2_{) ∗ 𝑡}3_{𝑥 − 378 exp(−4𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2_{+ 96𝑥 ∗ exp(−𝑥}2_{) ∗ 𝑡 −}

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2187 exp(−6𝑥2_{) − 8748 exp(−5𝑥}2_{) − 180 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2₊

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡72 exp(−2𝑥2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2_{− 14580 exp(−4𝑥}2_{) − 81 exp(−5𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2₋

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡243 exp(−4𝑥2_{) ∗ 𝑡}2_{− 270 exp(−3𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_{− 132 exp(−2𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2₋

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡12960 exp(−3𝑥2_{) − 1728 exp(−𝑥}2_{) + 48 exp(−𝑥}2_{) ∗ 𝑡}2_𝑥2_{)(1 +}

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡exp⁡(−𝑥2₎₎

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

(a) ℎ2(𝑥, 𝑡) (b) 𝑢2(𝑥, 𝑡)

Gambar 3.1. Grafik hasil iterasi ℎ₂(𝑥, 𝑡) dan 𝑢₂(𝑥, 𝑡) pada persamaan gelombang air dangkal.

Grafik pada Gambar 3.1 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.

Dari grafik tersebut dapat diamati bahwa jika variabel waktu semakin membesar,

maka perilaku grafik menunjukkan tidak realistis secara fisik karena permukaan

air akan semakin menuju tak hingga. Oleh karena itu, saat waktu membesar solusi

dari iterasi variasional tidak akurat. Agar solusi iterasi variasional lebih akurat

maka dibutuhkan iterasi yang lebih besar. Iterasi yang dihasilkan dari persamaan

gelombang air dangkal akan konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang

sangat lambat. Dalam kasus ini, metode iterasi variasional hanya berlaku untuk

B.Persamaan Gelombang Difusi

Pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan

menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang difusi.

Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz (2009).

Difusi merupakan suatu peristiwa perpindahan molekul-molekul dari

konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Proses difusi akan terjadi terus-menerus

hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan

kesetimbangan dimana perpindahan molekul tetap terjadi walaupun tidak ada

perbedaan konsentrasi.

Pokok bahasan yang akan dibahas dalam penulisan ini tentang bentuk difusi

sederhana. Difusi sederhana terjadi secara spontan jika molekul suatu zat sama

dengan kerapatannya dalam suatu ruangan. Contoh penerapan dalam kehidupan

sehari-hari misalnya satu semprotan parfum akan menyebar ke seluruh ruangan

(difusi gas di dalam medium udara) dan molekul dari sesendok gula akan

menyebar ke seluruh volume air di dalam suatu gelas meskipun tanpa diaduk

(difusi zat padat di dalam medium air).

Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah difusi tersebut

adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu (bergantung pada variabel ruang

dan waktu). Persamaan gelombang difusi adalah suatu bentuk penyederhanaan

dari persamaan gelombang air dangkal dengan beberapa asumsi. Penyederhanaan

dilakukan untuk memudahkan perhitungan. Persamaan gelombang difusi dimensi

satu sangat relevan untuk menentukan konsentrasi dari polutan. Perbedaan

konsentrasi. Difusi dapat terjadi ketika molekul dan ion yang terlarut dalam air

bergerak secara acak dengan konstan.

Diberikan persamaan gelombang difusi sebagai berikut

𝑞_𝑡+ 𝑞_𝑥 = 𝑞(𝑞_𝑥𝑥) + 𝑥 (3.15)

di sini fungsi 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah konsentrasi polutan, fungsi t adalah variabel waktu

dan x adalah variabel ruang (posisi).

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan (3.15) sebagai berikut

𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1. (3.16)

Dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional, dapat

dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan (3.15)

𝑞𝑛+1(𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡) + ∫ 𝜆(𝜉) [ 𝜕𝑞𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝜉 + 𝜕𝑞̃𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥 − 𝑞̃𝑛(𝑥, 𝜉) ( 𝜕2𝑞̃𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥2 ) − 𝑥] 𝑡 0 𝑑𝜉, (3.17)

dimana 𝜆 adalah pengali Lagrange; 𝑞̃_𝑛𝑥 adalah suatu variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan (2.3) dan (2.4) sangat diperlukan untuk

memperoleh kondisi stasioner berikut

𝜆′(𝜉) = 0, (3.18a)

1 + 𝜆(𝜉)|𝜉=𝑡 = 0. (3.18b)

Persamaan (3.18a) adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan (3.18b)

adalah syarat batas. Kita peroleh nilai pengali Lagrange yaitu 𝜆 = −1. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan (3.17) sehingga

membentuk rumus iterasi

𝑞𝑛+1(𝑥, 𝑡) = 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡) − ∫ [ 𝜕𝑞𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝜉 + 𝜕𝑞𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥 − 𝑞𝑛(𝑥, 𝜉) ( 𝜕2𝑞𝑛(𝑥,𝜉) 𝜕𝑥2 ) − 𝑥] 𝑡 0 𝑑𝜉, (3.19)

Dengan menggunakan rumus iterasi variasional (3.19) dapat diperoleh nilai

pendekatan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari solusi analitik berikut

𝑞₀(𝑥, 𝑡) = 1 (3.20) 𝑞₁(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 (3.21) 𝑞₂(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 −1 2𝑡 2 _(3.22) 𝑞3(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 1 2𝑡 2 (3.21) 𝑞4(𝑥, 𝑡) = 𝑡𝑥 + 1 − 1 2𝑡 2 _(3.22)

Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.

(a) 𝑞₄(𝑥, 𝑡) dimensi tiga (b) 𝑞₄(𝑥, 𝑡) dimensi dua

Gambar 3.2. Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan ⁡𝑞4(𝑥, 𝑡) pada persamaan

gelombang difusi.

Grafik pada Gambar 3.2a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga

dan untuk Gambar 3.2b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi

dua. Gradien menggambarkan perubahan konsentrasi polutan (q) terhadap

perubahan posisi (x). Dari Gambar 3.2b terlihat bahwa konsentrasi polutan

membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka

gradien konsentrasi polutan akan semakin besar. Pada grafik tersebut

titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi (x) akan

semakin cepat.

C.Persamaan Gelombang Gravitasi

Bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan

menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang gravitasi.

Referensi pada bagian ini dikaji ulang oleh Martins, Leandro, dan Djordjevic

(2016), serta dari buku karangan Wazwaz (2009).

Persamaan Saint-Venant atau sering dikenal sebagai persamaan gelombang

air dangkal dapat disederhanakan menjadi beberapa persamaan gelombang.

Persamaan gelombang gravitasi dimensi satu (bergantung pada variabel waktu dan

ruang) merupakan bentuk penyerhanaan dari persamaan gelombang air dangkal

dengan mengabaikan suku konvektif dan mengabaikan gesekan topografi serta

kemiringan topografi. Tujuan dari penyederhanaan adalah untuk kepentingan

kepraktisan, penghitungan komputasi lebih cepat dan dapat menggambarkan

masalah nyata secara fisik. Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu

persamaan yang dapat dimodelkan secara matematis dari fenomena fisik aliran air

dimensi satu.

Gelombang gravitasi merupakan suatu riak gangguan di alam semesta

berbentuk gelombang lengkung yang bergerak semakin menjauhi sumbernya.

Gelombang gravitasi memerlukan medium untuk merambat. Gelombang gravitasi

dihasilkan oleh obyek di alam semesta ini yang bergerak dengan kecepatan dan