METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE.

commit to user

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH

STURM-LIOUVILLE

oleh

HILDA ANGGRIYANA M0109035

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

commit to user

ABSTRAK

Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MA-SALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentuk persamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Ide pokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah me-nentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian dengan

λ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah atau bahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampir-an sebagai aternatif.

Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh de-ngan metode iterasi variasional ditentukan dede-ngan memformulasikan persamaan diferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi

yn+1(x) = yn(x) +

∫ x

0

µ(L[yn(s)] +N[˜yn(s)]−g(s))ds,

dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensial nonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat.

Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode itera-si variaitera-sional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear berpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanya dengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaian hampiran diperoleh melaui dua iterasi.

Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen, fungsi eigen.

ABSTRACT

Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FOR STURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Scien-ces, Sebelas Maret University.

By separating the variables in a heat conduction problem occurs Sturm-Liouville problems. Based on the differential equation form, there are two types of Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linear and nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as ei-genvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solution of some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these pro-blems is needed, for alternative.

Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear Sturm-Liouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear and nonlinear second order differential equation to the following correction function

yn₊₁(x) = yn(x) +

∫ x

0

µ(L[yn(s)] +N[˜yn(s)]−g(s))ds,

whereLis a linear differential operator andN is a nonlinear differential operator. These method is efective and accurate.

The main purpose of this thesis are to review an applied variational iteration method to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems. The results shows that the exact solution of linear case obtained only by one iteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtained by two iterations.

commit to user

MOTTO

Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk

mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang

selalu kontinu.

(Penulis)

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan menga-rahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis, serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Desember 2013

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . i

ABSTRAK . . . iii

ABSTRACT . . . iv

MOTTO . . . v

PERSEMBAHAN . . . vi

KATA PENGANTAR . . . vii

DAFTAR ISI . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . x

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . xi

I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . 4

1.4 Tujuan . . . 4

1.5 Manfaat . . . 4

commit to user

2.1.6 Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . 10 2.2 Kerangka Pemikiran . . . 12

III METODE PENELITIAN 13

IV PEMBAHASAN 14

4.1 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear . . . 14 4.2 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear . . . 15 4.3 Contoh . . . 16

V PENUTUP 28

5.1 Kesimpulan . . . 28 5.2 Saran . . . 28

DAFTAR PUSTAKA 29

DAFTAR GAMBAR

4.1 Plot Fungsi Eigen y(x) =yk(x) = Cksin(kx) . . . 20

4.2 Plot Fungsi Eigen y1(x, λ) =Ck sin(

√

144(3+16k2_π2₎

−27(1+x)4

6(1+x)3 x) . . . 23

commit to user

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

µ : pengali Lagrange

λ : nilai eigen

y(x) : fungsi penyelesaian eksak

yn(x) : fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi

yn₊₁(x, λ) : fungsi koreksi

yk : fungsi eigen dari suatu nilai eigen λk

[a, b] : interval tertutupa dan b V : ruang vektor

X : ruang vektor kompleksu

∂

∂ε : turunan parsial terhadap ε

· : dot product pada R3

Rd : ruang linear berdimensi d

C1[a, b] : himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b] H : ruang Hilbert

X : ruang vektor kompleks ¯0 : vektor 0

⟨f, g_⟩ : hasil kali dalam dari fungsif dan g

L2 _{: himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville}

yP

: pangkat ke-P

commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan diferensial linear

adalah konstanta real. Parameterλ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan

y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λdan fungsi y(x) yang berse-suaian dengan λ (Haberman, [7]).

Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembang-kan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasardikembang-kan Altintan dan U˘gur [1], masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear

−y′′_{(x) +y}P

(x) = λy(x), x_∈I = (0, ℓ), (1.3)

yang dilengkapi dengan syarat batas

y(0) =y(ℓ) = 0, (1.4)

denganℓ >0, λ >0,P merupakan pangkat dari y(x) dan P >1.

Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak da-pat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampi-ran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah Sturm-Liouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen [12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Uˇgur [1] juga telah menyelesaikan ma-salah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada ka-sus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12].

Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persa-maan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formu-la iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori variasional yang mendasarkan pada variasi Gˆateaux.

Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu dia-wali dengan mengambil pemisalan persamaan

T y(x) =g(x), x_∈I (1.5)

commit to user

Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian ham-piran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekompo-sisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesai- kan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada pe-nelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Be-lal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear, sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran da-pat diperoleh hanya dengan satu iterasi.

Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah sya-rat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masa-lah Sturm-Liouville linear dan nonlinear denganP = 2 berdasarkan Altintan dan U˘gur [1].

1.2

Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan masalah yaitu

1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan me-tode iterasi variasional?

2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode iterasi variasional?

1.3

Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta pada masalah nonlinear diberikanP = 2.

1.4

Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi variasional,

2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode ite-rasi variasional.

1.5

Manfaat