PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA.

(1)

PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN

METODE BEDA HINGGA

oleh

FIQIH SOFIANA

M0109030

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

(2)

(3)

ABSTRAK

Fiqih Sofiana, 2013. PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universi-tas Sebelas Maret.

Persamaan gelombang suara di bawah air merupakan penerapan dari bidang fisika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Melalui persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan keadaan dapat dikonstruk-sikan persamaan gelombang suara di bawah air

1

Persamaan gelombang suara di bawah air dapat diformulasikan ke dalam masalah Sturm-Liouville

denganρsebagai densitas,zsebagai kedalaman, danλsebagai nilai eigen. Bentuk normal masalah Sturm-Liouville

−y′′_{(x) +}_V_{(x)y(x) =} _λy(x),

digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan numerik. Metode beda hing-ga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville dari persa-maan gelombang suara di bawah air. Melalui bentuk normal masalah Sturm-Liouville dapat diperoleh pendekatan sistem persamaan linear y′′_{, kemudian}

di-bentuk ke dalam matriks (N ₋1)_×(N ₋1). Dari matriks (N ₋1)_×(N ₋1) dapat ditentukan penyelesaian pendekatan nilai eigen λ dan fungsi eigen y.

Kata kunci: masalah sturm-liouville, persamaan gelombang suara di bawah air,

(4)

ABSTRACT

Fiqih Sofiana, 2013. SOLUTION OF STURM-LIOUVILLE PROBLEMS FROM UNDERWATER ACOUSTICS EQUATION BY FINITE DIFFERENCE METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni-versity.

Underwater acoustics equation is an application of physics which can be formulated into a mathematical form. An underwater acoustics equation is cons-tructed by a continuity equation, a momentum equation, and an equation of state

We obtain Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation

(

where ρ is a densitas, z is a depth, and λ is an eigenvalue. The normal form of Sturm-Liouville problems, which is

−y′′_{(x) +}_V_{(x)y(x) =} _λy(x),

is used to simplify the numerical computation. Here we use finite differen-ce method to solve Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation. Through normal form of Sturm-Liouville problems, we approach the solution of the linear equation systemy′′_{. Then, it is formed into matrix of (N}₋₁₎_×_(N₋_1).

From that matrix we find the solution of the approximation of eigenvalues λand eigenfunction y.

Key words: underwater acoustics equation, sturm-liouville problem, finite

(5)

MOTO

SEMANGAT itu sejatinya ada pada DIRI SENDIRI,

jadi sehebat apapun PENYEMANGATmu jika tak ada TEKAD dan SEMANGAT

tak akan ada gunanya.

Jangan takut untuk memulai sesuatu, ketika sudah memulai jangan

ragu untuk menyelesaikannya, percayalah Allah SWT akan memberi

(6)

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :

(7)

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si sebagai Pembimbing I dan Ibu Dra. Etik

Zu-khronah, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah membimbing dan

meng-arahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas

keber-samaan dan kebahagiaan yang telah menambah semangat penulis, serta

seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Oktober 2013

(8)

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . i

PENGESAHAN . . . ii

ABSTRAK . . . iii

ABSTRACT . . . iv

MOTO . . . v

PERSEMBAHAN . . . vi

KATA PENGANTAR . . . vii

DAFTAR ISI . . . viii

DAFTAR TABEL . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . xii

I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . 3

1.4 Tujuan . . . 3

1.5 Manfaat . . . 3

(9)

2.1.4 Bentuk Normal Masalah Sturm-Liouville . . . 8

2.1.5 Metode Beda Hingga . . . 9

2.2 Kerangka Pemikiran . . . 12

III METODE PENELITIAN 14 IV PEMBAHASAN 16 4.1 Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air . . . 16

4.1.1 Persamaan Kontinuitas . . . 16

4.1.2 Persamaan Momentum . . . 17

4.1.3 Persamaan Keadaan . . . 19

4.2 Masalah Sturm-Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Ba-wah Air . . . 24

4.3 Bentuk Normal Masalah Sturm Liouville dari Persamaan Gelom-bang Suara di Bawah Air . . . 25

4.4 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville dengan Metode Beda Hingga 27 4.5 Contoh Penerapan . . . 28

V PENUTUP 38 5.1 Kesimpulan . . . 38

5.2 Saran . . . 39

(10)

DAFTAR TABEL

4.1 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.1

dengan metode beda hingga dengan N = 5,10,20,40,80,160 . . . 29

4.2 Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.1 dengan

metode beda hingga denganN = 5,10,20,40,80,160 . . . 30

4.3 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.2

dengan metode beda hingga dengan N = 5,10,20,40,80,160 . . . 33

4.4 Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.2 dengan

metode beda hingga denganN = 5,10,20,40,80,160 . . . 33

4.5 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3 dengan

me-tode beda hingga dengan N = 5,10,20,40,80,160 . . . 37

4.6 Estimasi eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3

(11)

DAFTAR GAMBAR

3.1 Diagram alur penulisan. . . 15

4.1 Pusat sumber untuk gelombang suara di medium bertingkat . . . 23

(12)

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

u(x, t) : fungsi gelombang

φ : fungsi potensial

v : kecepatan

t : waktu

ω : frekuensi sudut (2πf)

f : frekuensi

∇ : operator Laplace atau gradien (turunan berarah)

t : waktu

c : kecepatan suara

k : frekuensi getaran suara

ρ : densitas

ρ0 : densitas awal

P : tekanan

p : perubahan tekanan

p0 : tekanan awal

λ : nilai eigen dari suatu matriks A u_|x : disubstitusikan x keu

δ : delta atau perubahan

<< : jauh lebih sedikit

yj : fungsi eigen dari suatu matriks A

Zj : fungsi eigen dari suatu matriks A dengan kedalaman z [a, b] : interval tertutup a dan b

(13)

∥x_∥ _{: norma dari}x

u _{: vektor} _u

∂ : turunan parsial

∂t : turunan parsial terhadap t

ρt : ρ diturunkan terhadap t

· : dot product pada R3

R3 : ruang vektor berdimensi tiga

C _{: himpunan bilangan kompleks}

H : ruang Hilbert

L2 _{: himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville}

X : ruang vektor kompleks

0 _{: vektor 0}

N : pengambilan nilai N

h : panjang langkah (step)