TUGAS KELOMPOK MATA KULIAH METODE NUMERIK

TUGAS KELOMPOK

MATA KULIAH METODE NUMERIK

PENYELESAIAN AKAR PERSAMAAN

DENGAN METODE REGULA FALSI DAN ITERASI TITIK TETAP

NOMOR KELOMPOK : 8

1. Fu’ad Lubbul Aqil : NIM. 211910301029 2. Moh Masrur Fatkurrozi : NIM. 211910301091 3. Eka Kurniwan : NIM. 211910301122 4. M Mifthurrahmad A. R. : NIM. 211910301169

KELAS : C

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS JEMBER

2023

I. PENDAHULUAN

Metode numerik digunakan karena model matematika yang sering muncul adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Seperti halnya untuk menentukan solusi dari persamaan (akar persamaan) yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 0. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan 𝑓(𝑥) = 0 adalah nilai-nilai 𝑥 yang menyebabkan nilai 𝑓(𝑥) sama dengan nol. Persamaan yang bentuknya sederhana seperti persamaan linier dan persamaan kuadrat dapat dengan mudah diselesaikan secara analitik. Sehingga jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak dapat menggunakan metode analitik, dapat digunakan metode numerik.

Salah satu masalah yang paling sering ditemui di dalam matematika adalah mencari akar suatu persamaan. Penyelesaian akar persamaan yang berbentuk 𝑓(𝑥) = 0 yakni bilangan-bilangan 𝑥 = 𝑟 sedemikian sehingga 𝑓(𝑟) = 0. Nilai 𝑟 yang memenuhi disebut akar persamaan atau titik nol fungsi tersebut. Bentuk umum persamaan kuadrat dinyatakan dengan 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Dimana akarnya dapat dicari dengan rumus 𝑎𝑏𝑐, tetapi untuk polinomial yang memiliki derajat yang lebih tinggi dapat dilakukan dengan memfaktorkan. Fungsi derajat tinggi biasanya belem tentu bisa difaktorkan, secara sederhana untuk mencari akarnya dapat dilakukan dengan metode numerik.

Menurut Maharani dan Suprapto (2018) “adapun metode pencarian akar dalam numerik dilakukan secara iteratife”. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sedemikian sehingga hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.

Cara penyelesaian numerik akar persamaan menurut Purwati dan Erawati (2020) dikelompokkan menjadi dua, yakni: metode pengurung dan metode terbuka. Pada metode pengurung ini terdapat beberapa metode numerik, diantaranya adalah Metode Bagi Dua (Bisection Method) dan Metode Interpolasi Linier/Posisi Palsu (False Position Method). Sedangkan metode numerik yang tergolong dalam metode terbuka adalah Metode Newton-Raphson dan Metode Garis Potong (Secant Method).

Dalam tugas kelompok ini akan dibahas penyelesaian akar persamaan menggunakan metode regula falsi dan metode iterasi titik tetap.

II. METODE REGULA FALSI DAN ITERASI TITIK TETAP 2.1 Metode Regula Falsi

Menurut Wigati (2017), metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari 2 titik batas range.

Gambar 2.1 Ilustrasi penyelesaian akar persamaan dengan metode Regula Falsi

Sunandar (2019) menjelaskan tentang algoritma penyelesaian dengan metode regula falsi adalah sebagai berikut.

a. Menentukan dua nilai 𝑥 awal, yaitu 𝑎 dan 𝑏 , dimana 𝑎 < 𝑏 , serta 𝑓(𝑎) dan 𝑓(𝑏) , dimana 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 . Menentukan nilai 𝑐 , yaitu dengan rumusan seperti dibawah.

𝑓(𝑏) × {𝑏 − 𝑎}

𝑐1 = 𝑏 −

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) b. Melakukan iterasi dengan parameter

 Jika 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑐) < 0, maka 𝑐 = 𝑏 sehinga didapat rumusan 𝑐2

adalah sebagai berikut.

𝑐2 = 𝑐1 − 𝑓(𝑐1) × (𝑐1 − 𝑎) 𝑓(𝑐1) − 𝑓(𝑎)

 Jika 𝑓(𝑐) × 𝑓(𝑏) < 0, maka 𝑐 = 𝑎, sehingga didapat rumusan 𝑐2

adalah sebagai berikut.

𝑐2 = 𝑏 − 𝑓(𝑏) × {𝑏 − 𝑐1} 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑐1)

Kelebihan dari metode Regula Falsi adalah membutuhkan sedikit iterasi dibandingkan Metode Biseksi. Sedangkan kekurangannya adalah:

 Tidak dapat mencari bilangan imaginer/kompleks

 Jika terdapat lebih dari satu akar harus dicari satu persatu.

2.2 Metode Iterasi Titik Tetap

Menurut Khoiriyah (2021), metode Iterasi Titik Tetap adalah metode penyelesaian persamaan non-linier dengan cara menyelesaikan setiap variabel 𝑥 yang ada dalam suatu persamaan dengan sebagian yang lain sehingga diperoleh 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk masing-masing variabel 𝑥.

Gambar 2.2 Ilustrasi Metode Iterasi Titik Tetap

Algoritma penyelesaian akar dengan menggunakan metode Iterasi Titik Tetap adalah sebagai berikut.

a. Definisikan 𝑓(𝑥) = 0 menjadi bentuk 𝑥 = 𝑔(𝑥).

b. Bentuk prosedur iterasi 𝑥𝑛+1 = 𝑔(𝑥𝑛) c. Tentukan tebakan awal 𝑥0.

d. Hitung nilai 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … yang konvergen ke suatu titik 𝑠 , sedemikian sehingga 𝑓(𝑠) = 0 dan 𝑠 = 𝑔(𝑠).

Kondisi iterasi berhenti apabila |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑟| < 𝜀.

Kelebihan dari metode Iterasi Titik Tetap adalah:

 Konvergensi dari solusi metode iteras titik tetap dapat dilacak dari perilaku turunan pertama fungsi.

 Lebih mudah dalam melakukan pemograman

Kelemahan dari penyelesaian akar menggunakan metode Iterasi Titik Tetap adalah :

 Metode ini memiliki banyak iterasi.

 Galat yang dihasilkan lebih besar dari akarnya.

III. PENYELESAIAN AKAR 3.1 Metode Regula Falsi

Carilah salah solusi dari persamaan: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − cos 𝑥 dengan metode regula falsi pada interval [1,2]!

Solusi:

Iterasi 0 (perhitungan awal)

 Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − cos 𝑥 dengan 𝑥0 = 1 dan 𝑥1 = 2 , sehingga diperoleh:

𝑓(𝑥0) = 𝑥02 − 𝑥0 − cos 𝑥0 = 1² − 1 − cos 1 = −0,540302 𝑓(𝑥1) = 𝑥12 − 𝑥1 − cos 𝑥1 = 2² − 2 − cos 2 = 2,416147 dimana 𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑥1) < 0

 Penentuan nilai hampiran baru (𝑐1), yakni:

𝑐1= 𝑥1 − 𝑓(𝑥1 ) ∙ 𝑥1 − 𝑥0

𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0) 2 − 1

= 2 − 2,416147 ∙

2,416147 − (−0,540302)

= 1,182754 dengan

𝑓(𝑐1) = 𝑐12 − 𝑐1 − cos 𝑐1

= 1,182754² − 1,182754 − cos 1,182754

= −0,162224

 Penentuan interval baru, yakni:

𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑐1) = 2,416147 × −0,162224 = −0,391957 < 0 maka 𝑥0 = 𝑐1. Diperoleh interval baru, yakni [1,18254] dimana 𝑥0 = 1,18254 dan 𝑥1 = 2

Iterasi 1 (pengulangan perhitungan pertama)

 Diketahui interval baru [1,182754] dimana 𝑥0 = 1,182754 dan 𝑥1 = 2 dengan

𝑓(𝑥0) = 𝑥02 − 𝑥0 − cos 𝑥0

= 1,182754² − 1,182754 − cos 1,182754 = −0,162224 𝑓(𝑥1) = 𝑥12 − 𝑥1 − cos 𝑥1

= 2² − 2 − cos 2 = 2,416147

 Penentuan nilai hamparan baru (𝑐2), yakni:

𝑐2= 𝑥1 − 𝑓(𝑥1 ) ∙ 𝑥1 − 𝑥0

𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)

2 − 1,182754

= 2 − 2,416147 ∙

2,416147 − (−0,162224)

= 1,234173 dengan

𝑓(𝑐2) = 𝑐22 − 𝑐2 − cos 𝑐2

= 1,234173² − 1,234173 − cos 1,234173

= −0,041292

 Penentuan interval baru, yakni:

𝑓(𝑥0) ∙ 𝑓(𝑐2) = −0,162224 × −0,041292 = 0,006698 > 0

maka 𝑥0 = 𝑐2 . Diperoleh interval baru, yakni [1,234173] dimana 𝑥0 = 1,234173 dan 𝑥1 = 2

 Penentuan galat, yakni:

𝑒 = |𝑐2 − 𝑐1 1,234173 − 1,182754

𝑐1 | × 100% = | 1,234173 | × 100% = 4,17%

Langkah-langkah yang sama dilakukan untuk iterasi 2 hingga iterasi 10, sehingga diperoleh hasil iterasi sebagai berikut:

Iterasi ke-n 𝑐𝑛 𝑓(𝑐𝑛) Galat 𝜖𝑛

0 1 –0,540302 - -

1 1,182754 –0,162224 0,154516 15,45%

2 1,234173 –0,041292 0,041662 4,17%

3 1,247041 –0,010059 0,010318 1,03%

4 1,250163 –0,002424 0,002497 0,25%

5 1,250914 –0,000583 0,000600 0,06%

6 1,251095 –0,000139 0,000144 0,014%

7 1,251138 –0,000034 0,000034 0,003%

8 1,251148 –0,000008 0,000008 0,000%

9 1,251151 –0,000002 0,000001 0,000%

10 1,251152 –0,000000 0,000000 0,000%

Berdasarkan tabel hasil iterasi diperoleh akar persamaan adalah 1,251152 dengan galat relatif 0,00000047.

3.2 Metode Iterasi Titik Tetap

Hitunglah akar hampiran dari persamaan: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − cos 𝑥 dengan metode iterasi titik tetap jika diambil tebakan awal 𝑥0 = 1!

Solusi:

Terdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi yang dapat dibentuk,

 𝑥² − 𝑥 − cos 𝑥 = 0 - 𝑥 = 𝑥² − cos 𝑥

Dalam hal ini, 𝑔(𝑥) = 𝑥² − cos 𝑥

Prosedur iterasinya adalah 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛2 − cos 𝑥𝑛. Ambil tebakan awal 𝑥0 = 1.

Tabel iterasinya:

n 𝑥𝑛 |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛|

0 1,000000 0,540302

1 0,459698 1,144562

2 –0,684865 0,379400

3 –0,305465 0,554933

4 –0,860398 0,948548

5 0,088150 1,076497

6 –0,988347 1,415105

7 0,426759 1,154948

8 –0,728189 0,512069

9 –0,216121 0,713908

10 –0,930028 1,197170

Hampiran akar x = –0,930028. Proses iterasinya konvergen berosilasi yang membentuk spiral mendekati hampiran akar x = –0,930028.

 𝑥² − 𝑥 − cos 𝑥 = 0 - 𝑥 = √𝑥 + cos 𝑥

Dalam hal ini, 𝑔(𝑥) = √𝑥 + cos 𝑥

Prosedur iterasinya adalah 𝑥𝑛+1 = √𝑥𝑛 + cos 𝑥𝑛 . Ambil tebakan awal 𝑥0 = 1.

Tabel iterasinya:

n 𝑥𝑛 |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛|

0 1,000000 0,241089

1 1,241089 0,009853

2 1,250942 0,000206

3 1,251148 0,000004

4 1,251152 0,000000

5 1,251152 0,000000

6 1,251152 0,000000

7 1,251152 0,000000

8 1,251152 0,000000

9 1,251152 0,000000

10 1,251152 0,000000

Hampiran akar x = 1,251152. Proses iterasinya konvergen monoton yang membentuk zigzag mendekati hampiran akar x = 1,251152.

IV. REFERENSI

- Maharani, S dan Suprapto, E. 2018. Analisis Numerik Berbasis Group Investigation Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritsis.

Magetan: CV. AE Media Grafika.

- Purwati, R dan Erawati, K. 2020. Pengantar Metode Numerik.

Lumajang: KLIK MEDIA.

- Wigati, J. 2017. Solusi Numerik Persamaan Non-Linier Dengan Metode Bisection Dan Regula Falsi. G-Tech: Jurnal Teknologi Terapan.

- Sunandar, E. 2019. Penyelesaian Sistem Persamaan Non-Linier Dengan Metode Bisection & Metode Regula Falsi Menggunakan Bahasa Pemograman Java. PETIR: Jurnal Pengkajian dan Penerapan Teknik Informatika.

- Khoiriyah, I. 2021. Akar Persamaan Non-Linier Menggunakan Metode Terbuka.