Matriks silang adalah matriks diagonal yang elemen-elemennya mempunyai ukuran yang sama tetapi tidak bernilai nol atau satu. Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1 atau bisa juga disebut matriks identitas. Matriks simetris diagonal nol, jika a ij = -a ji , misalnya matriks simetris 3 3 yang semua elemen diagonalnya a ji = 0.
Matriks pita adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pita yang berpusat pada diagonal utama. 10. Matriks yang ditransposisikan adalah matriks yang dibentuk dengan mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya adalah A T. Dua matriks A dan B dikatakan sama jika unsur-unsur matriks A sama dengan unsur-unsur matriksnya. B dan besaran keduanya sama, a ij = b ji untuk semua nilai i dan j.
Jika A = [a ij ] dan B = [b ij ] adalah dua matriks berdimensi mn, maka untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A B) kedua matriks tersebut sama dengan matriks C = [ c ij ] berdimensi mn, dimana setiap elemen matriks C merupakan jumlah (selisih) elemen-elemen A dan B yang terhubung. Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan mengalikan seluruh elemen dari A dengan skalar g, jika gA = C, maka c ij = ga ij.
Penjumlahan / Pengurangan
PENGURANGAN MATRIKS
Perkalian scalar terhadap matriks
Perkalian Matriks
Transpos matriks A adalah matriks A T dan kolom-kolomnya adalah baris-baris A, baris-barisnya adalah kolom-kolomnya A.
Transformasi Elementer
DETERMINAN
Sifat-sifat determinan
Perhitungan nilai determinan Metode Sarrus
Metode Chio
Metode minor (ekspansi)
Invers Matriks
Menggunakan transformasi elementer
Metode Invers Matriks
VIIV
VIIIIV
IXVI
PENYELESAIAN
PERSAMAAN LINIER
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER
Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan tak homogen yang paling sedikit terdapat satu nilai vektor konstanta B yang bukan nol atau bn 0.
Metode Eliminasi Gauss
Multiply an equation through by an nonzero constant
Interchange two equation
Add a multiple of one equation to another
Algoritma Metode Eliminasi Gauss
Metode Gauss-Jordan
Algoritma Metode Gauss-Jordan
Matriks Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)
Matriks invers
Metode Gauss-Jordan dapat digunakan untuk mencari matriks invers yang koefisien matriksnya ditambah dengan matriks identitas. Metode Gauss-Jordan digunakan untuk mereduksi koefisien matriks menjadi matriks identitas, setelah selesai, berada di sisi kanan matriks.
Matriks Iterasi
Pada metode Jacobi, nilai x1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua.
Metode Iterasi Gauss-Seidel
Atau dengan kata lain proses iterasi terhenti jika selisih antara nilai xi (i=1 sampai n) dengan nilai x i pada iterasi sebelumnya lebih kecil dari nilai toleransi kesalahan yang ditentukan. Masalah ini merupakan 'spinning problem' yang sangat perlu diperhatikan karena compiler yang salah akan menyebabkan iterasi berubah dan hasil yang benar tidak akan diperoleh.
Algoritma Metode Iterasi Gauss- Seidel
AKAR-AKAR PERSAMAAN
AKAR-AKAR PERSAMAAN
Metode Setengah Interval
Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar persamaan berada
Hitung perkiraan baru dari akar dengan menggunakan persamaan (3.1)
Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai dan xt adalah akar persamaan yang dicari, jika belum maka hitungan kembali ke langkah 3
Metode Interpolasi Linier
Cari dulu nilai fungsi setiap interval x yang sama hingga diperoleh dua nilai fungsi f(xi) dan f(xi+1) yang berurutan dengan tanda berlawanan (Gambar 3.3). Nilai fungsi setiap interval x, digunakan untuk menghitung nilai fungsi f(x) yang kemudian digunakan kembali untuk interpolasi linier dengan nilai f(xi) atau f(xi+1) sehingga kedua fungsi mempunyai nilai yang berbeda. tandanya, prosedur ini diulangi hingga nilai f(x) yang diperoleh mendekati nol.
Metode Newton-Raphson
Pilih nilai awal x i sembarang
Penyelesaian
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini
Metode Secant
Penyelesaian : Iterasi 1
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut
Metode Iterasi
Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga estimasi awal dari akar dapat digunakan untuk menghitung estimasi baru dengan menggunakan rumus iteratif berikut. Terlihat dari tabel bahwa pada iterasi yang semakin tinggi hasil perhitungan semakin mendekati akar persamaan yang benar, dengan kata lain error yang muncul semakin kecil.
Dengan prosedur yang sama hitungan dilanjutkan dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini
PERHITUNGAN NUMERIK
PERHITUNGAN NUMERIK
Kesalahan (error) Pada Penyelesaian Numerik
- Kesalahan bawaan
- Kesalahan pembulatan
- Kesalahan pemotongan
- Persamaan deret Taylor
Misalnya kesalahan sebesar satu cm dalam mengukur panjang sebuah peniti akan sangat terlihat dibandingkan dengan kesalahan yang besarnya sama dalam mengukur panjang sebuah jembatan. Sedangkan kesalahan relatif merupakan besarnya tingkat kesalahan dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai pastinya. Metode numerik sering kali memilih pendekatan berulang, yaitu estimasi saat ini dibuat berdasarkan estimasi sebelumnya.
Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui di titik tersebut, maka dengan menggunakan deret Taylor (persamaan 4.6) nilai f di titik xi+1 yang terletak dalam jarak x dari titik xi dapat dinyatakan.
DERET TAYLOR
1sin(
Diferensial Numerik
Seperti terlihat pada Gambar 4, turunan pertama f terhadap x di titik xi didekati dengan kemiringan garis yang melalui titik B (xi, f (xi)) dan di titik C (xi + 1, f (xi + 1 )). Jika data yang digunakan untuk menaksir selisih fungsi berada pada titik xi – 1 dan xi + 1, maka pendugaan tersebut disebut selisih terpusat. Untuk mempermudah penulisan, bentuk f (xi, yj) selanjutnya dapat dituliskan sebagai fi, j dimana i dan j menyatakan komponen-komponen pada arah sumbu x dan sumbu y, jika fungsinya berada pada sistem tiga dimensi ( x , y, z sistem koordinat), maka f (xi , yj, zk) ditulis sebagai fi, j, k.
Subskrip n menunjukkan bahwa variabel f merupakan fungsi waktu, pada Gambar 4.4, kisi-kisi jumlah titik digunakan untuk memperkirakan diferensial parsial fungsi f terhadap x dan t.
ANALISIS REGRESI
Dalam analisis data sering kali dilakukan pembuatan kurva yang dapat mewakili suatu deret data tertentu dalam sistem koordinat x-y. Penentuan bentuk kurva, apakah linier (garis lurus) atau melengkung (logaritmik atau eksponensial), bergantung pada tren sebaran titik-titik data, seperti pada Gambar 1a. Seringkali ditemukan ada beberapa data yang mempunyai error yang sangat besar, seperti titik A dan titik B pada Gambar 1.
Membangun kurva menggunakan titik A dan B pada gambar akan menghasilkan nilai yang juga memiliki kesalahan, sehingga data A dan B dapat dihilangkan.
Metode Kuadrat Terkecil (least square method)
Kita menginginkan cara yang akurat untuk memperoleh kurva tersebut, yaitu dengan membuat kurva yang meminimalkan selisih (selisih) antara titik data dan kurva tersebut.
Linierisasi Kurve Tidak Linier Persamaan berpangkat
Regresi Polinomial
Regresi Linier Dengan Banyak Variabel
INTERPOLASI
Dalam analisis regresi, kurva atau fungsi yang dihasilkan digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan titik data dalam koordinat x-y. Kurva atau garis yang terbentuk tidak melalui semua titik data, melainkan hanya melalui trend sebaran datanya, sedangkan pada interpolasi kita mencari suatu nilai yang berada di antara beberapa titik data yang sudah diketahui nilainya. Untuk memperkirakan nilai tersebut terlebih dahulu dibuat suatu fungsi atau persamaan yang melewati titik-titik data, setelah persamaan garis atau kurva terbentuk barulah dihitung nilai fungsi antar titik-titik data tersebut.
Gambar 6.1 menunjukkan sketsa kurva yang dibuat dari data yang sama melalui regresi (Gambar 6.1a) dan interpolasi (Gambar 6.1b dan Gambar 6.1c). Kurva pada Gambar 6.1a tidak melewati seluruh titik pengukuran, melainkan hanya mengikuti trend data dalam satu garis lurus.
Interpolasi Linier
ADDE
Interpolasi Kuadrat
Bentuk Umum Interpolasi Polinomial Bentuk umum polinomial order n adalah
Interpolasi Polinomial Lagrange
INTEGRASI NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK
Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis
Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka
Metode Trapesium
Metode Trapesium Dengan Banyak Bias
Metode Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola
Aturan Simpson 3/8
Persamaan diferensial biasa (ODEs) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan suatu fungsi dari satu variabel. Meskipun ada banyak metode untuk mencari solusi analitik persamaan diferensial biasa (ODE), secara umum. Pada kenyataannya, banyak PDB tidak dapat ditemukan solusi analitisnya, namun solusi numerik dapat diperoleh.
Berdasarkan nilai y0 di titik x0 dan kemiringan fungsi di titik-titik tersebut, maka dapat dihitung nilai y1 di titik x1 yaitu Δx dari x0. Selanjutnya titik (x1,y1) yang diperoleh digunakan untuk menghitung nilai y2 di titik x2 yang berjarak Δx dari x1. Untuk memperoleh perkiraan yang lebih akurat, dapat digunakan metode deret Taylor orde tinggi.
Selesaikan persamaan di bawah ini
Penyelesaian
Di bawah ini kami akan memperkenalkan metode untuk menghasilkan y i dengan akurasi yang sama seperti metode Taylor tanpa melakukan.
