Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
OBJEKTIF TEORI CONTOH SIMPULAN LATIHAN 1 2 3 4 5
O U T L I N E
OBJEKTIF Contoh Simpulan Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
1. Menghitung invers suatu matriks melalui operasi
baris elementer (reduksi baris)
2. Menghitung invers menggunakan ekspansi kofaktor
TeoriTEORI Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Invers suatu matriks dapat dihitung dengan
menggunakan cara
1. Reduksi baris
2. Ekspansi kofaktor
ObjektifTEORI
Objektif Contoh Simpulan Latihan
Definisi dan Sifat-sifat
Metode Membalik Matriks: Reduksi Baris Metode Membalik Matriks: Ekspansi Kofaktor
Definisi
A dan B matriks bujursangkar berukuran sama
Bila AB=BA=I
A disebut dapat-dibalik (invertible)
B disebut invers dari A
TEORI
Sifat-sifat:
(1)
AA
-1= I atau A
-1A = I
(A
-1)
-1= A
(A
n)
-1= (A
-1)
n
(kA)
-1= (1/k)A
-1
k skalar
A dan B berukuran sama
AB dapat-dibalik
(AB)
-1= B
-1A
-1
faktor 1 1 1 1)
(
− − − − − −=
=
n n nA
A
A
A
A
TEORISifat-sifat:
(2)
•
Matriks A orde 2:
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−bc
ad
a
bc
ad
c
bc
ad
b
bc
ad
d
a
c
b
d
bc
ad
A
11
•
Invers matriks A:
=
d
c
b
a
A
Syarat: ad–bc≠0
TEORIMetode Membalik Matriks:
reduksi baris
Prosedur:
Bentuk matriks augmentasi: [ A | I ]
Lakukan operasi baris elementer sehingga A menjadi I
Matriks hasil reduksi dalam bentuk [ I | A
-1]
Matriks tidak dapat dibalik:
Tidak dapat direduksi menjadi I
n
Minimal ada satu baris nol dalam matriks eselon baris
tereduksi
Komputasi dihentikan
TEORIMetode Membalik Matriks:
ekspansi kofaktor
Matriks adjoint:
Transpos dari matriks kofaktor
Notasi: adj(A)
Invers matriks A:
=
=
nn n n n n TC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
adj
2 1 2 22 12 1 21 11)
(
)
(
)
det(
1
1A
adj
A
A
−=
TEORITEORI
Aplikasi
Solusi sistem:
(satu solusi)
Sistem linear:
matriks A(n
×
n) dapat dibalik
matriks b(n
×
1)
Ax = b
x = A
-1
b
CONTOH
Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4
CONTOH
Menghitung invers melalui reduksi baris
Contoh 1
=
8
0
1
3
5
2
3
2
1
A
Contoh 2
−
−
=
5
2
1
1
4
2
4
6
1
A
Jawab 2:
Jawab 1:
Solusi Contoh 1
1
0
0
8
0
1
0
1
0
3
5
2
0
0
1
3
2
1
−
−
−
−
1
0
1
5
2
0
0
1
2
3
1
0
0
0
1
3
2
1
−
−
−
−
1
2
5
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
1
3
2
1
Bentuk matriks [ A | I ]:
-2b1+b2; -b1+b3:
2b2+b3:
CONTOH
−
−
−
−
1
2
5
1
0
0
0
1
2
3
1
0
0
0
1
3
2
1
−
−
−
−
−
1
2
5
1
0
0
3
5
13
0
1
0
3
6
14
0
2
1
−
−
−
−
−
1
2
5
1
0
0
3
5
13
0
1
0
9
16
40
0
0
1
Solusi Contoh 1
-2b2+b1:
3b3+b2; -3b3+b1:
-b3:
CONTOHObjektif Teori Simpulan Latihan
-2b1+b2; b1+b3
Bentuk matriks [ A | I ]
b2+b3
Solusi Contoh 2
−
−
1
0
0
5
2
1
0
1
0
1
4
2
0
0
1
4
6
1
−
−
−
1
0
1
9
8
0
0
1
2
9
8
0
0
0
1
4
6
1
−
−
−
−
1
1
1
0
0
0
0
1
2
9
8
0
0
0
1
4
6
1
CONTOHObjektif Teori Simpulan Latihan
A tidak dapat dibalik
Dapatkan invers matriks dalam contoh 1 menggunakan
ekspansi kofaktor.
=
8
0
1
3
5
2
3
2
1
A
Menghitung invers melalui ekspansi kofaktor
Contoh 3
Jawab 3:
CONTOHKofaktor entri a
ijSolusi Contoh 3
40
8
0
3
5
11 11=
+
M
=
=
C
13
8
1
3
2
12 12=
−
M
=
−
=
−
C
5
0
1
5
2
13 13=
+
M
=
=
−
C
16
8
0
3
2
21 21=
−
M
=
−
=
−
C
5
8
1
3
1
2 22=
+
M
=
=
C
9
3
5
3
2
31 31=
+
M
=
=
−
C
2
0
1
2
1
23 23=
−
M
=
−
=
C
3
3
2
3
1
32 32=
−
M
=
−
=
C
1
5
2
2
1
33 33=
+
M
=
=
C
CONTOHSolusi Contoh 3
−
−
−
−
=
1
2
5
3
5
13
9
16
40
)
(
A
adj
−
−
−
−
=
1
3
9
2
5
16
5
13
40
C
−
−
−
−
−
=
=
−1
2
5
3
5
13
9
16
40
)
(
)
det(
1
1A
adj
A
A
1
)
1
(
8
)
9
(
0
)
9
(
1
)
det(
A
=
a
31C
31+
a
32C
32+
a
33C
33=
−
+
+
=
−
Matriks kofaktorC
T INVERS CONTOHContoh 4
Dapatkan solusi
sistem linear berikut:
10
4
7
3
1
3
2
8
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1=
+
−
=
+
−
−
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
10
1
8
4
7
3
3
2
1
2
1
1
3 2 1x
x
x
Persamaan matriks:
Jawab 4:
CONTOHSolusi Contoh 4:
reduksi baris (1)
−
−
−
1
0
0
4
7
3
0
1
0
3
2
1
0
0
1
2
1
1
−
−
−
−
1
0
3
2
10
0
0
1
1
5
1
0
0
0
1
2
1
1
−
−
−
−
−
−
1
0
3
2
10
0
0
1
1
5
1
0
0
0
1
2
1
1
b1+b2; -3b1+b3
-b2
Bentuk matriks [ A | I ]
CONTOHSolusi Contoh 4:
reduksi baris (2)
−
−
−
−
−
−
1
10
13
52
0
0
0
1
1
5
1
0
0
1
2
7
0
1
−
−
−
−
52 1 52 10 52 131
0
0
0
1
1
5
1
0
0
1
2
7
0
1
-b2+b1; 10b2+b3
-7b3+b1; 5b3+b2
-(1/52)b3
−
−
−
−
52 1 52 10 52 13 52 5 52 2 52 13 52 7 52 18 52 131
0
0
0
1
0
0
0
1
CONTOHSolusi Contoh 4:
reduksi baris (3)
=
−
−
−
−
=
=
−2
1
3
10
1
8
52 1 52 10 52 13 52 5 52 2 52 13 52 7 52 18 52 13 1b
A
x
−
−
−
−
=
− 52 1 52 10 52 13 52 5 52 2 52 13 52 7 52 18 52 13 1A
Invers matriks A:
Solusi sistem:
CONTOHJawaban Contoh 4:
ekspansi kofaktor
Solusi sistem linear menggunakan ekspansi kofaktor:
=
−
−
−
10
1
8
4
7
3
3
2
1
2
1
1
3 2 1x
x
x
CONTOHObjektif Teori Simpulan Latihan
Jawaban Contoh 4:
ekspansi kofaktor
CONTOH
Objektif Teori Simpulan Latihan
Solusi Contoh 4:
Ekspansi kofaktor(2)
Kofaktor entri a
ij13
4
7
3
2
11 11−
=
−
=
+
=
M
C
13
4
3
3
1
12 12=
−
−
=
−
=
M
C
13
7
3
2
1
13 13−
=
−
−
=
+
=
M
C
18
4
7
2
1
21 21=
−
M
=
−
−
=
−
C
2
4
3
2
1
2 22=
+
M
=
=
−
C
7
3
2
2
1
31 31=
+
M
=
−
=
C
10
7
3
1
1
23 23=
−
M
=
−
−
=
C
5
3
1
2
1
32 32=
−
M
=
−
−
=
−
C
1
2
1
1
1
33 33=
+
M
=
−
−
=
−
C
Jawaban Contoh 4:
ekspansi kofaktor
CONTOH
Objektif Teori Simpulan Latihan
Solusi Contoh 4:
Ekspansi kofaktor(3)
−
−
−
−
=
1
10
13
5
2
13
7
18
13
)
(
A
adj
52
)
13
(
2
)
13
(
1
)
13
(
1
)
det(
A
=
a
11C
11+
a
12C
12+
a
13C
13=
+
+
=
−
−
−
−
=
1
5
7
10
2
18
13
13
13
C
−
−
−
−
=
=
− 52 1 52 10 52 13 52 5 52 2 52 13 52 7 52 18 52 13 1)
(
)
det(
1
A
adj
A
A
Jawaban Contoh 4:
ekspansi kofaktor
CONTOH
Objektif Teori Simpulan Latihan
Solusi Contoh 4:
Ekspansi kofaktor(4)
=
−
−
−
−
=
=
−2
1
3
10
1
8
52 1 52 10 52 13 52 5 52 2 52 13 52 7 52 18 52 13 1b
A
x
Solusi sistem:
SIMPULAN
Invers
Invers matriks dapat dihitung dengan
menggunakan dua cara, yaitu
1. Reduksi baris
2. Ekspansi kofaktor
Sistem linear Ax=b memiliki tepat satu solusi,
yaitu x=A
-1b
Objektif Contoh Simpulan LATIHAN
Soal
1. Dapatkan invers matriks berikut:
−
−
=
0
4
2
3
6
1
1
2
3
A
0
2
7
3
1
5
2
1
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Dapatkan solusi sistem linear berikut:
TeoriObjektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 1
Invers matriks dihitung melalui
ekspansi kofaktor
−
−
=
0
4
2
3
6
1
1
2
3
A
TeoriObjektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 1
TeoriKofaktor entri a
ij12
0
4
3
6
11 11=
+
M
=
−
=
−
C
6
0
2
3
1
12 12=
−
M
=
−
=
C
16
4
2
6
1
13 13=
+
M
=
−
=
−
C
4
0
4
1
2
21 21−
=
−
−
=
−
=
M
C
2
0
2
1
3
2 22=
−
=
+
=
M
C
12
3
6
1
2
31 31=
−
=
+
=
M
C
16
4
2
2
3
23 23=
−
M
=
−
−
=
C
10
3
1
1
3
32 32=
−
−
−
=
−
=
M
C
16
6
1
2
3
33 33=
+
M
=
=
C
Objektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 1
Teori
−
−
−
=
16
16
16
10
2
6
12
4
12
)
(
A
adj
64
)
16
(
0
)
10
)(
4
(
)
12
(
2
)
det(
A
=
a
31C
31+
a
32C
32+
a
33C
33=
+
−
−
+
=
−
−
−
=
=
− 64 16 64 16 64 16 64 10 64 2 64 6 64 12 64 4 64 12 1)
(
)
det(
1
A
adj
A
A
−
−
−
=
16
10
12
16
2
4
16
6
12
C
Objektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 2:
ekspansi kofaktor
Solusi sistem linear dihitung
melalui ekspansi kofaktor
Teori
0
2
7
3
1
5
2
1
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
−
−
0
1
1
2
7
3
1
5
2
1
2
1
3 2 1x
x
x
Persamaan matriks:
Objektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 2:
ekspansi kofaktor
Teori
Kofaktor entri a
ij3
2
7
1
5
11 11−
=
−
−
=
+
=
M
C
1
2
3
1
2
12 12=
−
M
=
−
=
−
C
1
7
3
5
2
13 13−
=
−
=
+
=
M
C
3
2
7
1
2
21 21−
=
−
−
−
=
−
=
M
C
1
2
3
1
1
2 22=
+
M
=
=
−
C
3
1
5
1
2
31 31−
=
−
=
+
=
M
C
2
7
3
2
1
23 23−
=
−
−
=
−
=
M
C
1
1
2
1
1
32 32=
−
M
=
−
=
C
1
5
2
2
1
33 33−
=
−
−
=
+
=
M
C
Objektif Contoh Simpulan LATIHAN
Solusi Latihan 2:
ekspansi kofaktor
Teori
