5-Solusi-Sistem-Persamaan-Linier-1.pdf

(1)

METODE NUMERIK TKM4104

Kuliah ke-5

SOLUSI SISTEM

PERSAMAAN LINIER 1

(2)

RUMUSAN MASALAH

Temukan vektor x yang memenuhi sistem persamaan linier Ax = b, yang dalam hal ini,

 A = [a_ij] adalah matriks berukuran n × n

 x = [x_j] adalah matriks berukuran n × 1

 b = [b_j] adalah matriks berukuran n × 1 (vektor kolom)

(3)

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

HARUS SIMULTAN!!!

(4)

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL

(5)

METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

 Metode eliminasi Gauss

 Metode eliminasi Gauss-Jordan

 Metode matriks balikan (inverse)

 Metode dekomposisi LU

 Metode lelaran Jacobi

 Metode lelaran Gauss-Seidel

(6)

METODE ELIMINASI GAUSS

 Eliminasi bilangan unknown dengan

menggabungkan persamaan-persamaan

 Mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan.

 Dibutuhkan pemahaman OPERASI MATRIK Ax = b  Ux = y

(7)

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

(8)

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

 Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebut koefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11 disebut sebagai Normalisasi

 Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix

(matrik yang diperbesar).

 Hindari pembagian dengan nol, sehingga muncul

sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.













3 3 3 3 2

3 1

2 2 3 2 2

2 1

1 1 3

1 2 1 1

b a

a a

b a

a a

b a

a a

(9)

OPERASI PADA PROSES ELIMINASI

 Pertukaran : Urutan dua persamaan dapat ditukar karena pertukaran tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir.

 Penskalaan : Persamaan dapat dikali dengan konstanta bukan nol, karena perkalian tersebut tidak mempengaruhi solusi akhir.

 Penggantian : Persamaan dapat diganti dengan penjumlahan persamaan itu dengan gandaan persamaan lain.

(10)

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL DENGAN

METODE ELIMINASI GAUSS

(11)

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x₁ + 6 x₂ – x₃ = 85 ….. (1a) 6 x₁ + 15 x₂ + 2 x₃ = 72 ….. (1b) x₁ + x₂ + 54 x₃ = 110 ….. (1c)

(12)

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Eliminasi Maju 

(13)

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Subtitusi Mundur

x₃ = 103,829 / 53,911 = 1,926

13,667 x₂ + 2,222 x₃ = 53,111  x₂ = 3,573 27 x₁ + 6 x₂ - x₃ = 85  x₁ = 2,425

(14)

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

 Merupakan variasi dari eliminasi Gauss

dengan kebutuhan untuk menghitung matrik identitas

 Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak memerlukan proses substitusi mundur

Ax = b → Ix = b’

(15)

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

 Penyelesaian SPL dengan metode eliminasi Gauss-Jordan membutuhkan jumlah

komputasi yang lebih banyak daripada metode eliminasi Gauss.

 Metode eliminasi Gauss sudah cukup memuaskan untuk digunakan dalam penyelesaian SPL

 Namun metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan dasar pembentukan matriks balikan (inverse)

(16)

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS-

JORDAN

(17)

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x₁ + 6 x₂ – x₃ = 85 ….. (1a) 6 x₁ + 15 x₂ + 2 x₃ = 72 ….. (1b) x₁ + x₂ + 54 x₃ = 110 ….. (1c)

(18)

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

(19)