Variabel dan 3 Persamaan
Edwin Julius Solaiman
Fakultas Teknologi Informasi, Universitas Advent Indonesia
Abstrak
Gauss menguraikan tiga teori untuk menyelesaikan persamaan linier. Dimana teori tersebut diturunkan dari metode eleminasi penjumlahan, pengurangan dan subsitusi. Kendala yang ditemukan dikelas adalah mahasiswa lambat memahaminya, sehingga diperlukan modifikasi metode Gauss yang dapat menerangkan dan menjembatani peralihan dari metode eliminasi ke metode Gauss.
Peralihan yang dapat dilakukan adalah dengan menggabungkan dua teori Gauss/Operasi Baris Elementer yaitu dengan menggabungkan mengalikan sebuah baris dengan bilangan k ≠ 0 dari matrik A yang disebut Operasi Tipe II dan dengan menambahkan sebuah baris i dengan mengalikan k ≠ 0 pada baris yang lain dimana i ≠ j dari matrik A disebut Operasi tipe III menjadi satu yaitu dengan menambahkan k1 ≠ 0 kali baris ke i dengan k2 ≠ 0 kali baris ke j dimana i ≠ j dari matrik A yang disebut sebagai Modifikasi Operasi Tipe III.
Modification of Gauss Method or the Elementary Row Operations System Solutions of Linear Equations of 3
Variables and 3 Equations
Abstract
Gauss outlines three theories to solve linear equations. The theory derived from the Elimination Method such that addition, reduction and aubstitution. Problems were found in class is a slow student to understand it, so that the necessary modifications Gauss method that can explain and bridge the transition from Elimination Method to Gaussian Method.
Transition to do is to combine the two rule of Gaussian Method / Elemantary Row Operations by the incorporation multiplying a row with number k ≠ 0 of matix A so- called Operation Type II and by adding a row i by multiplying k ≠ 0 on the other row where i ≠ j of matrix A is called Operation Type III into one by adding k1 ≠ 0 times row i with k2 ≠ 0 times row j where i ≠ j of matrix A is referred to as Modification Operation Type III.
43
Pendahuluan
Solusi persamaan linier dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Pada umumnya mahasiswa dalam mencari solusi persamaan linier menyukai metode eliminasi karena telah dipelajari di sekolah lanjutan. Namun, metode ini mengunakan jalan yang panjang, sehingga kurang praktis karena harus menggunakan waktu yang lebih lama dalam menguraikan penyelesaian persamaan linier.
Cara lain yang sering digunakan untuk mencari solusi persamaan linier adalah dengan menggunakan Metode Invers dan Cramer’s. Tetapi kedua metode ini hanya dapat menjawab bila |A| = det(A) ≠ 0 dan tidak dapat menjawab bila |A| = det(A) = 0.
Metode Gauss merupakan turunan dari metode eliminasi yang dapat mengatasi kelemahan ketiga metode di atas, dimana metode ini memberikan solusi persamaan linier yang lebih efisien, yaitu dengan mengunakan eleminasi dalam bentuk matrix.
Tetapi dalam proses belajar mengajar, didapati banyak mahasiswa yang sukar untuk memahami metode Gauss, sehingga diperlukan modifikasi untuk membuat pengunaan solusi persamaan linier menjadi mudah.
Dalam penulisan ini Metode Gauss dimodifikasi agar menjadi jembatan dari metode eliminasi ke Metode Gauss.
Landasan Teori
Salah satu solusi yang paling banyak digunakan dalam masalah setiap hari yaitu matematika, fisika, biologi, kimia, ekonomi, teknik, sains sosial, riset operasi, dll, adalah dengan menggunakan proyek Jaringan Sistem Persamaan Linier.
Bentuk Umum Persamaan Linier yaitu:
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
dimana a1, a2, … , an adalah koefisien variabel, x1, x2, …, xn adalah variabel.
Pada umumnya sebuah sistem dari Persamaan Linier dengan variabel yang biasanya ditulis:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 .
.
.
am1x1 + am2x2 + … + amnxn= bm
44
Untuk mencari solusi dari Sistem Persamaan Linear dapat menggunaan teknik Metode Eliminasi yaitu dengan mengeliminasi variabel dengan menambahkan atau mengurangkan sebuah persamaan dengan mengalikan k pada sebuah persamaan yang lain. Eliminasi sebenarnya pengembangan kepada sistem Persamaan Linier awal.
Pada pembahasan ini diambil untuk n x n Sistim Persamaan Linier dimanan n = 3 yaitu:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Bentuk sistim persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matrix yaiu AX = B dimana Matrix A adalah koefisien Matrix baris Sistem Persamaan Linier.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
x1
X = x2 X3
b1
B = b2 b3
Matrik A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk Augmened Matrik ditulis [A : B]
yaitu:
a11 a12 a13 : b1
a21 a22 a23 : b2
a31 a32 a33 : b3
Matrik koefisen dan Matrik Augmented berperan dalam penyelesaian Sistim Linier untuk mendapat solusi.
Definisi 1:
Matrix A m X n dalam bentuk esolon baris bila memenuhi aturan:
a. Bila ada suatu baris yag anggotanya bernilai nol akan diletakan pada baris paling bawah dari matriks.
b. Elemen pertama bukan nol dan elemen lainnya tidak semuanya nol adalah satu disebut elemen leading dari baris tersebut.
45
c. Bila dua baris berurutan yaitu baris ke i dank e i + 1, maka elemen leading baris ke i + 1 harus masuk minimal satu kolom ke kanan dari elemen leading baris ke i.
Matriks A, B dapat dinyatakan dalam bentuk:
1 a b A = 0 1 c 0 0 1
1 a b B = 0 0 1 0 0 0
Definisi 2:
Metode Gaussian atau disebut juga operasi baris elementer pada sebuah matrik dapat menggunakan sifat-sifat berikut:
a. Dapat menukar baris i dan j matrik A yang disebut Operasi Type I.
b. Mengalikan sebuah baris dengan bilangan k ≠ 0 dengan Matrik A yang disebut Opersi Type II.
c. Menambahkan sebuah baris i degan mengalihkan k ≠ 0 pada baris yang lain dimana i ≠ j dari Matrik A disebut Operasi Type III.
Modifikasi yang dibuat pada penelitian ini adalah penggabungan operasi Type II dan Type III sehingga sifat c menjadi:
• Menambahkan k1 ≠ 0 kali baris ke i dengan k2 ≠ 0 kali baris ke j dimana i ≠ j dari Matrik A disebut Modifikasi Type III.
Untuk mempermudah proses penyelesaian solusi penyelesaian Sistem Linier ini dibatasi untuk sistim Persamaan Linier yang mempunyai solusi yang unik dan tiga baris, tiga variabel.
Langkah-langkah:
1. Robah bentuk persamaan linier ke bentuk Augmented Matriks [ A : B ].
2. Tentukan elemen kunci c = aii ≠ 0, i = 1, 2, 3 Bila aii = 0, tukar baris ke i dengan baris ke i + 1.
Jika a33 = 0, maka tidak ada solusi unik, Stop.
3. Periksa kolom kunci apakah ai+1,i = 0. Bila ya, periksa ai+2,i = 0. Bila tidak, lakukan Operasi Gauss pada baris selain baris kunci, dengan cara sbb:
a. Tentukan c = aii dan k1 = ai+1,i
b. Baris ke (i + 1) = c kali baris ke ( i +1) – k1 kali baris kunci.
Kembali ke langkah 2, bila sudah tidak ada, menuju ke langkah 4.
46
4. Normalisasi elemen kunci / diagonal baris ke i = aii
1 baris ke i untuk i = 1, 2, 3.
5. Subsitusi solusi x3 = b’3
X2 = -a’23x3 + b’2
X1 = -a12x2 - a13x3 + b’1
Untuk dapat lebih jelas di sini akan diberikan contoh dengan penyelesaian eliminasi, modifikasi metode Gauss dan metode Gaussian.
Persamaan Linier
3x1 – 2x2 + x3 = 24 1
-4x1 + 3x2 + 5x3 = -14 2 2x1 + x2 – 3x3 = -2 3
Solusi dengan Eliminasi
Eliminasi variabel x1 antara persamaan 1 dan persamaan 2 menghasilkan persamaan 4, persamaan 1 dan persamaan 3 menghasilkan persamaan 5.
3x1 – 2x2 + x3 =
24 x -4
-12x1 + 8x2 - 4x3 = -96
-4x1 + 3x2 + 5x3
= -14 x 3 -12x1 + 9x2 + 15x3 = -42 _ ______________________
-x2 - 19x3 = -54
4
3x1 – 2x2 + x3 = 24
2x1 + x2 – 3x3 = - 2
x 2
x 3
6x1 - 4x2 + 2x3 = 48
6x1 + 3x2 - 9x3 = -16 _ _____________________
-7x2 + 11x3 = 54 5
-x2 – 19x3 = -54 X – 7 7x2 + 133x3 = 378
47
-7x2 + 11x3 = 54 X - 1 7x2 - 11x3 = -54 __
144x3 = 432
x3 =
144 432= 3
Subtitusi x3 = 3 kepersamaan 4 -x2 – 19x3 = -54
-x2 – 19 x 3= -54
x2 = -57 + 54 = -3 x2 = -3
Subtitusi x2 = -3 dan x3 = 3 ke persamaan 1 3x1 – 2x2 + x3 = 24
3x1 – 2 x - 3 + 3= 24
3x1 = 24 – 9 = 15
x1 = = 5
Solusi persamaan Linier
x1 = 5, x2 = -3 x3 = 3
Solusi dengan Metoda Modifikasi Gauss
Untuk memberikan solusi Persamaan Linier dengan Metode Modifikasi Gauss, maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah ke 1: Robah Persamaan Linier menjadi Augmented Matrik.
3 -2 1 24 -4 3 -5 -14 2 1 -3 -2
Langkah ke 2: Menentukan elemen kunci i = 1, maka c = a11 = 3 ≠ 0, baris kunci = baris satu.
48
Langkah ke 3: Periksa elemen pada kolom kunci i = 1 yaitu a21 = - 4 ≠ 0 a31 = 2
≠ 0
Operasi Modifikasi Gauss
Pada baris kedua dengan rumus: b2 = c x b2 – k1 x b1
Tentukan k1 = a12 = - 4, c = a11 = 3
b2 = 3b2 – (- 4) b1 = (3) [-4 3 5 : -14] – (-4)[3 – 2 1 : 24]
Baris ketiga k1 = a13 = 2
b3 = c. b3 – k1 b1 = (3)[2 1 – 3 : -2] – (2)[3 – 2 1 : 24]
Iterasi Pertama 3 -2 1 24 0 -1 -19 -54 0 -7 11 54
Langkah ke 2 tentukan elemen kunci berikutnya i = 2 maka c = a22 = -1 baris kunci = baris kedua k1 = a32 = -7
Langkah ke 3:
OBE
b3 = c b3 – k1 b2
b3 = (-1) b3 - (-7) b2
Iterasi kedua
3 -2 1 24 0 -1 -19 -54 0 0 144 432
Langkah ke 4: Normalisasi elemen diagonal yaitu aii untuk i= 1, 2, 3. Baris ke i dibagi aii .
bi = aii
1 .bi
49
b1 =
11
1 a .b1 b1 =
3 1 .b1
b2 = 1 1
− .b1 b3 =
144 1 .b3
Iterasi ketiga
1 - 8 x1 - x2 + x3 = 8 0 1 19 54 x2 + 19x3 = 54 0 0 1 3 x3 = 3
x2 = 54 - 19x3
x2 = 54 – 19.3 = -3 x1 = 8 + x2 - x3
x1 = 8 + .- 3 - .3 = 5
Solusi x1 = 5, x2 = -3, x3 = 3
Solusi Persamaan Linier dengan Metode Gaussian / OBE 3 -2 1 24
-4 3 5 -14 baris satu dibagi tiga b1 = b1 : 3 2 1 -3 -2
Elemen kunci = a11 (elemen baris 1 kolom 1) baris kunci = b1 dan kolom kunci = k1
Normalisasi
1 - 8 -4 3 5 -14
50
2 1 -3 -2 Iterasi 1
1 - 8
-4 3 5 -14 Baris dua ditambah 4 kali baris satu b2 = b2 +4b1 2 1 -3 -2 Baris tiga dikurang 2 kali baris satu b3 = b3 -2b1
1 - 8
0 18 Elemen kunci a22 (baris 2 kolom 2) b2 =b2 X 3 0 - -18
Normalisasi
1 - 8
0 1 19 54 Baris tiga dikurang kali baris dua b3 = b3 - b2
0 - -18 Iterasi 2
1 - 8
0 1 19 18 Elemen kunci a33 (baris 3 kolom 3) b3 =b3 : - 48 0 0 - 48 -144
Normalisasi
1 - 8 x1 – x2 + x3 = 8 0 1 19 54 x2 + 19x3 = 54 0 0 1 3 x3 = 3
x1 = 8 + x2 + x3
51
x2 = 54 - 19x3
x3 = 3
subsitusi x3 = 3 x2 = 54 – 19(3) = -3
subsitusi x3 = 3 dan x2 = - 3 x1 = 8 + (-3) - (3) = 5
Penutup
Mengetahui dan memahami modifikasi Gauss akan lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal persamaan linier. Hal ini disebabkan iterasi modifikasi Gauss lebih singkat sehigga lebih mudah dan lebih cepat untuk memberikan solusi.
Daftar Pustaka
1. Conte, s. D., & Boor, C. 1980. Elementary Numerical analysis. 3rd Edition.
New York: McGraw-Hill Book.
2. Kolman, B. 1993. Elementary Linear Algebra. 3rd Edition. New York: Mamillan Publishing.
3. Munakata, T. 1979. Matrices and Linear Programming. CA: Holden-Day.
4. Munir, R. 2013. Metode Numerik. Bandung: Informatika.
5. Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik.a: Bandung: Tarsito.
52
