solusi sistem persamaan linier 3

METODE NUMERIK

TKM4104

SOLUSI SISTEM

PERSAMAAN LINIER 3

METODE ITERASI (LELARAN)

• Metode eliminasi Gauss melibatkan banyak galat pembulatan  Solusi yang diperoleh “jauh” dari solusi sebenarnya.

• Gagasan metoda lelaran pada pencarian akar persamaan nirlanjar dapat juga diterapkan untuk menyelesaikan SPL.

• Dengan metode lelaran, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat meneruskan lelaran sampai solusinya seteliti mungkin, sesuai dengan batas galat yang kita perbolehkan  Galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisa diterima.

METODE ITERASI (LELARAN)

•

Jika metode eliminasi Gauss dan variasi- variasinya serta metode dekomposisi LU dinamakan metode langsung (direct)

-karena solusi SPL diperoleh tanpa lelaran-

•

Metode lelaran dinamakan metode tidak

langsung (indirect) atau metode iteratif.

METODE ITERASI (LELARAN)



syarat a

_kk

≠ 0, k = 1, 2, ..., n

METODE ITERASI (LELARAN)

•

Iterasi Gauss-Siedel

•

Iterasi Jacobi

ITERASI GAUSS-SIEDEL

•

Asumsikan x

₂

= x

₃

= ….. = x

_n

= 0, sehingga dapat diperoleh

x

₁

=

•

Hasil dari “x

₁

” tersebut dimasukkan

persamaan 2 untuk mendapatkan harga x

₂

(dimana x

₃

= … = x

_n

= 0), maka akan

diperoleh :

x

₂

= (b

₂

- a

₂₁

x

₁

)

11 1

a b

a

22

1

ITERASI GAUSS-SIEDEL

• Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai x_n dan selesailah proses iterasi yang pertama.

Kemudian hasil proses tersebut dimasukkan

kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x₁, x₂, x₃. ….. x_n pada proses iterasi kedua, ketiga dan seterusnya.

• Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi

terakhir sama dengan atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya  Proses akhir iterasi menjadi meragukan.

CONTOH ITERASI GAUSS-SIEDEL

• Selesaikan persamaan simultan berikut :

27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b) x + y + 54 z = 110 ….. (1c)

• Penyelesaian :

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi : x = (85 - 6 y + z)/27 …… (2a)

y = (72 - 6 x - 2 z)/15 …… (2b) z = (110 - x - y)/54 …… (2c)

CONTOH ITERASI GAUSS-SIEDEL

ITERASI PERTAMA

• Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh :

x₁ = 85/27 = 3,15

• Hasil dari “x₁” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk mendapatkan harga y₁ (asumsi z = 0)

y₁ = (72 - 6 (3,15))/15 = 3,54

• Masukkan hasil “x₁” dan “y₁” ke dalam persamaan (2c)

z₁ = (110 – 3,15 – 3,54)/54 = 1,91

CONTOH ITERASI GAUSS-SIEDEL

ITERASI KEDUA

• x₂ = (85 - 6 (3,54) + 1,91)/27 = 2,43

• y₂ = (72 - 6 (2,43) – 2 (1,91))/15 = 3,57

• z₂ = (110 – 2,43 – 3,57)/54 = 1,926

CONTOH ITERASI GAUSS-SIEDEL

ITERASI SELANJUTNYA

Iterasi ke - x y z

1 3,15 3,54 1,91

2 2,43 3,57 1,926

3 2,423 3,574 1,926

4 2,425 3,573 1,926

5 2,425 3,573 1,926

Jadi, x =2,425; y=3,573; z = 1,926

ITERASI JACOBI

Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :

x_i⁽ⁿ⁺¹⁾ = - x_j⁽ⁿ⁾ ; j  i

Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang sederhana, sedangkan kelemahannya adalah :

• Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear serentak dengan ordo tinggi.

• Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak yang memenuhi syarat berikut :

> ; j  i dan i = 1, 2, ….., n



 n

j ii

ij

a a

1

ii i

a b

aii



 n j

aij 1

CONTOH ITERASI JACOBI

• Selesaikan persamaan simultan berikut :

27 x + 6 y – z = 85 ….. (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 ….. (1b) x + y + 54 z = 110 ….. (1c)

• Penyelesaian :

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi : x⁽¹⁾ = (85 - 6 y⁽⁰⁾ + z⁽⁰⁾)/27 …… (2a)

y⁽¹⁾ = (72 - 6 x⁽⁰⁾ - 2 z⁽⁰⁾)/15 …… (2b) z⁽¹⁾ = (110 - x⁽⁰⁾ - y⁽⁰⁾)/54 …… (2c)

CONTOH ITERASI JACOBI

ITERASI PERTAMA

•

Asumsikan x

⁽⁰⁾

= y

⁽⁰⁾

= z

⁽⁰⁾

= 0, sehingga dari persamaan (2a, 2b dan 2c) akan diperoleh :

x

⁽¹⁾

= 85/27 = 3,148

y

⁽¹⁾

= 72/15 = 4,800

z

⁽¹⁾

= 110/54 = 2,037

CONTOH ITERASI JACOBI

ITERASI KEDUA

x

⁽²⁾

= (85 - 6 (4,8) + 2,037)/27 = 2,157

y

⁽²⁾

= (72 - 6 (3,148) – 2 (2,037))/15 = 3,269

z

⁽²⁾

= (110 – 3,148 – 4,8)/54 = 1,890

CONTOH ITERASI JACOBI

ITERASI SELANJUTNYA

Jadi :

x = 2,425 y = 3,573 z = 1,926

Iterasi ke -

X Y z

1 3,148 4,800 2,037

2 2,157 3,269 1,890

3 2,492 3,685 1,937

4 2,401 3,545 1,923

5 2,432 3,583 1,927

6 2,423 3,570 1,926

7 2,426 3,574 1,926

8 2,425 3,573 1,926

9 2,426 3,573 1,926

10 2,425 3,573 1,926

11 2,425 3,573 1,926

KERJAKAN!!!

Tentukan solusi system persamaan linier berikut:

4x – y + z = 7

4x – 8y + z = -21 -2x + y + 5z = 15

Dengan nilai awal P

₀

= (x

₀

, y

₀

, z

₀

) – (1, 2, 2)