SOLUSI NUMERIK PADA PERSAMAAN FORCED KORTEWEG DE VRIES

SOLUSI NUMERIK PADA PERSAMAAN FORCED KORTEWEG DE VRIES

Tugas Akhir

Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika

Penyusun : Achirul Akbar

(10102046)

Pembimbing : Dr. Leo H. Wiryanto

PROGRAM STUDI METEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

BANDUNG 2007

SOLUSI NUMERIK PADA PERSAMAAN FORCED KORTEWEG DE VRIES

Tugas Akhir

Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika

Disusun Oleh : Achirul Akbar

(10102046)

Bandung, September 2007 Telah diperiksa dan disetujui oleh

Pembimbing Tugas Akhir

Dr. Leo H. Wiryanto NIP : 131572235

PROGRAM STUDI METEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

BANDUNG 2007

PRAKATA

Segala puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang, akhirnya penulis menyelesaikan tugas akhir ini yang menjadi syarat kelulusan sarjana di Program Studi Matematika ITB. Adapun topik yang penulis ambil adalah persamaan gelombang permukaan fKdV ( forced Korteweg de Vries).

Tugas akhir ini membahas perambatan gelombang permukaan yang terbentuk akibat pengaruh gaya luar. Walaupun persamaan fKdV sampai saat ini belum memiliki penyelesaian analitik. Masalah ini tetap menarik untuk dikaji, karena dengan berkembangnya pemodelan matematika yang ada, masalah ini dapat diselesaikan secara numerik dengan metode beda hingga implisit untuk waktu maju dan ruang pusat. Dengan adanya metode tersebut, kita dapat menganalisa perubahan gerakan gelombang permukaan yang dibangkitkan gaya luar.

Penulis menyadari bahwa apa yang dilakukan selama ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak yang terkait. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada :

1. Ibu dan alm. Ayahku tercinta, yang menunggu kelulusan sarjanaku di ITB dan selalu mendoakanku, agar selalu mendapatkan kelancaran selama kuliah dan pengerjaan tugas akhir ini.

2. Dr. Saladin Uttunggadewa, selaku ketua Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung.

3. Dr. Ahmad Muchlis, selaku dosen Wali yang selalu memberi saran selama saya mengambil mata kuliah yang diperlukan nanti..

4. Dr. Leo H. Wiryanto, selaku dosen Pembimbing tugas akhir yang selalu sabar membimbing saya hinga tugas akhir ini terselesaikan dengan baik.

5. Dr. Agus Yodi, selaku dosen penguji pada semester 1 serta Dr. Novriana S.

dan Dr Sri Redjeki P., selaku dosen penguji pada semester 2, yang menguji selama seminar tugas akhir berlangsung dan masukan-masukan yang berharga untuk menunjang tugas akhir ini.

6. Dr. Amas S., selaku dosen pengajar TTKI II (Tata Tulis Karya Ilmiah II) yang mengajarkan semua mahasiswa, bagaimana menyusun TA dengan baik.

Mudah-mudahan ilmu yang Bapak berikan akan penulis kembangkan untuk berkarya di masa yang akan datang (Insya Allah).

7. Staf Tata Usaha Program Sudi Matematika ITB yang telah membantu kelancaran bidang administrasi.

8. Ibu Fatimah, yang sudah kuanggap sebagai Ibuku sendiri, yang selalu memberi nasehat berupa kesabaran.

9. Kakakku Dhemi Harlan yang telah membantuku baik berupa buku dan materi kuliah S2-nya yang berkaitan dengan tugas akhir ini

10. Teman-teman Matematika angkatan’02,03,04 dan 05 yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu, yang telah banyak memberi dorongan, baik yang masih

kuliah ataupun sudah lulus, serta teman-teman Jurusan Elektro Itenas. Para pengurus Masjid Ash-Shofa yang telah mendidikku selalu tetap sabar dan tawakal. Para pengajar Bimbel DSEC (Bimbingan Belajar Dinamika Salman Education Centre) yang selalu memberikan motivasi kepada saya, agar selalu tetap semangat menjalankan kuliah di ITB dan fokus pada penyelesaian tugas akhir ini.

Penulis menyadari bahawa dalam tugas akhir ini terdapat kekurangan- kekurangan di luar jangkauan, sehingga penulis berharap dapat masukan baik berupa kritik atau saran yang membangun

Semoga tugas akhir ini memberikan manfaat bagi pengembangan ilmu numerik selanjutnya. Terima kasih.

Bandung , 10 Oktober 2006

Penulis :

Achirul Akbar (10102046 )

ABSTRAK

Pada tugas akhir ini akan dibahas solusi numerik fKdV dengan skema numerik implisit FTCS yang dapat diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss. Sebelum menyelesaikan persamaan fKdV, pengujian skema numerik yang disusun berdasarkan metode FTCS merupakan langkah awal untuk menyelesaikannya. Persamaan yang digunakan untuk mengujinya adalah persamaan KdV. Persamaan KdV ini diturunkan dari persamaan fKdV dengan mengambil nilai nol pada ruas kanan.

Tujuannya adalah untuk mendapatkan sifat yang sesuai dengan solusi analitiknya dari persamaan KdV. Selanjutnya, skema numerik persamaan fKdV ini disimulasikan untuk melihat karakteristik gelombang permukaan yang dibangkitkan oleh gundukan yang diberikan pada dasar perairan.

Kata Kunci : Persamaan fKdV, Persamaan KdV, Skema Numerik Implicit FTCS.

ABSTRACT

This thesis will present the numerical solution of fKdV by FTCS implicit numerical scheme that can be solved by Gauss Elimination Method. Before the fKdV equation is solved, the validation of numerical scheme is done based on FTCS method. This is the first step to solve that equation. The equation used here is KdV equation. This equation is derived from fKdV equation by obtaining zero value on the right side. The objective is to get a proper characteristic regarding with analytical solution of KdV solution. After that, the numerical scheme of fKdV equation is simulated to obtain the characteristic of the surface wave generated by the external force in the shallow water.

Keywords : fKdV equation, KdV equation, FTCS implicit numerical scheme

DAFTAR ISI

PRAKATA i ABSTRAK iv ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Metode Penelitian 2

1.4 Sistematika Pembahasaan 4

BAB II KAJIAN TEORI 6

2.1 Persamaan Korteweg de Vries (KdV) 7

2.2 Solusi KdV 7

2.3 Persamaan forced Korteweg de Vries 11

BAB III SKEMA NUMERIK. 15

3.1 Skala 16

3.2 Skema Numerik fKdV 18

BAB IV SIMULASI NUMERIK. 26

4.1 Nilai Masukan. 26

4.2 Solusi numerik KdV 27

4.3 Solusi numerik fKdV 30

4.3.1. Gaya luar berupa ( ) ( ( )) ³¹

4.3.2. Gaya luar berupa ( ) ³³

4.3.2.1. Syarat Awal ( ) ³³

4.3.2.2. Syarat Awal ( ) ^⎧⎨ ^⎫⎬

⎩ ⎭³⁴

a. Posisi 4000 35

b. Posisi 8000 37

4.3.3. Masalah Solusi Numerik 38

4.3.4. Analisa Gaya Luar 40

BAB V KESIMPULAN 42

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Solusi Korteweg de Vries dengan A=2.5 10 Gambar 2.2. Solusi Korteweg de Vries dengan A=1 11

Gambar 2.3. Gaya luar 13

Gambar 3.1. Pendiskritan domain ξ τ− 18

Gambar 3.2. Stensil skema numerik 23 Gambar 4.1. Simulasi numerik persamaan KdV dengan ω= 0

a. Solusi numerik ( , )u x t 28

b. Regresi linier dengan data berupa titik puncak 28 Gambar 4.2. Simulasi numerik persamaan KdV untuk ω=0.2

a. Solusi numerik ( , )u x t 29

b. Regresi linier dengan data berupa titik puncak 29 Gambar 4.3. Simulasi numerik persamaan KdV untuk ω= −0.2

a. Solusi numerik ( , )u x t 30

b. Regresi linier dengan data berupa titik puncak 30 Gambar 4.4. Simulasi Numerik untuk gaya (2.15)

a. Untuk ω= 31 0

b. Untuk ω= .2 31 0

c. Untuk ω= − .2 32 0

Gambar 4.5. Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan u x( , 0)= 0

a. Untuk ω= 33 0

b. Untuk ω= .2 33 0

c. Untuk 0ω= − .2 34

Gambar 4.6. Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan kondisi awal berupa soliter pada posisi 4000

a. Untuk ω= 35 0

b. Untuk 0ω= .2 35

c. Untuk 0ω= − .2 36

Gambar 4.7. Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan kondisi awal berupa soliter pada posisi 8000

a. Untuk ω= 37 0

b. Untuk 0ω= .2 37

c. Untuk ω= − .2 37 0

Gambar 4.8. Simulasi numerik dari penjumlahan langsung 38 Gambar 4.9. Gelombang numerik dengan gelombang dari hasil penjumlahan 39

Solusi numerik partikular dan analitik.

Gambar 4.10.Simulasi fKdV dari L=1,3,5,7 dan L=9

a. L=1 40

b. L=3 40

c. L=5 40

d. L=7 40

e. L=9 41