MUG2A3/ Matematika Diskret
Mahmud Imrona – Rian Febrian Umbara
Pemodelan dan Simulasi
Himpunan
2 02/09/2016 4:46:03
Sifat Operasi Himpunan
1. Hukum identitas:
a. A Ø = A b. A U = A
2. Hukum
null/dominasi:
a. A Ø = Ø b. A U = U
3. Hukum komplemen:
a. A Ā = U b. A Ā = Ø
4. Hukum idempoten:
a. A A = A
b. A A = A
5. Hukum involusi:
a. = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
a. A (A B) = A
b. A (A B) = A
7. Hukum komutatif:
a. A B = B A b. A B = B A
8. Hukum asosiatif:
a. A (B C) = (A B) C b. A (B C) = (A B) C
Hukum-hukum Himpunan
9. Hukum distributif:
a. A (B C) = (A B) (A C) b. A (B C) = (A B) (A C)
10. Hukum De Morgan:
a. =
b. =
11.Hukum 0/1
a.
b.
4 02/09/2016 4:46:03
Hukum Distributif dan De Morgan
MUG2A3 Matematka Diskret
B
A A B B
A A B
U
U
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat
dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang valid.
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identitas) yang
melibatkan himpunan dan operasi: , , dan komplemen.
Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti:
, , Ø U, U Ø sedangkan komplemen tetap seperti semula,
maka identitas S* valid dan disebut dual dari identitas S.
Dualitas
Hukum de Morgan pertama merupakan dualitas dari hukum de Morgan kedua dan sebaliknya:
(A B)C = AC BC {hukum de Morgan pertama}
Pada ruas kiri gantilah: dengan
Pada ruas kanan gantilah: dengan Maka didapat :
(A B)C = AC BC {hukum de Morgan kedua}
6 02/09/2016 4:46:03
Contoh Dualitas
MUG2A3/ Matematika Diskret
TEOREMA: Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A {hukum komutatif}
(b) (A B ) C = A (B C ) {hukum asosiatif}
Teorema Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B.
Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Jika A = atau B = , maka A B = B A =
8 02/09/2016 4:46:03
Sifat CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN)
MUG2A3 Matematka Diskret
Tunjukan bahwa persamaan himpunan di bawah ini adalah valid:
B (B – A) = B – A Jawab:
B (B – A) = B (B AC) {Definisi operasi selisih}
= (B B) AC {Hukum komutatif}
= B AC {Hukum idempotent}
= B – A {definisi operasi selisih}
Contoh 1 Pembuktian Identitas Himpunan dengan sifat
Tunjukan bahwa persamaan himpunan di bawah ini adalah valid:
A (B – AC) = A Jawab:
A (B – AC) = A (B (AC)C) {definisi operasi selisih}
= A (B A) {karena B A A}
= A
10 02/09/2016 4:46:03
Contoh 2 Pembuktian Identitas Himpunan dengan sifat
MUG2A3 Matematka Diskret
Untuk dua himpunan A dan B:
• AB=A+B–AB
• AB=A+B– 2AB
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
• ABC=A+B+C–AB–AC–BC+ABC
Bagaimana untuk n himpunan?
–Irisan dengan jumlah himpunan ganjil: + –Irisan dengan jumlah himpunan genap: -
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = 100/3 = 33,
B = 100/5 = 20,
A B = 100/15 = 6
A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
12 02/09/2016 4:46:03
Contoh Prinsip Inklusi-Eksklusi
MUG2A3 Matematka Diskret
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, …, An
sedemikian sehingga:
• A1 A2 … An = A, dan
• Ai Aj = untuk i j, i, j = 1, 2, ..., n
Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
•
maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi dari A.•
maka {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}} juga partisi dari A.Partisi
THANK YOU
14
02/09/2016 4:46:03
