To cite this article:
Atmadja, Kurniawan & Marhaeni (2020). Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Jembatan 𝑋𝐽𝑛. PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika 3, 25-28.
PRISMA 3 (2020): 25-28
PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/
ISSN 2613-9189
Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Jembatan 𝑋𝐽 𝑛
Kurniawan Atmadja
a,*, Marhaeni
aa Instiitut Sains dan Teknologi Nasional, Jl. M.Kahfi II Jagakarsa Jakarta Selatan 12640 Indonesia,
*Alamat Surel: kurniawan_atmadja@istn.ac.id
Abstrak
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) atau sering ditulis 𝐺 adalah graf dengan himpunan tak kosong simpul 𝑉 = 𝑉(𝐺) dan himpunan busur 𝐸 = 𝐸(𝐺) dimana |𝑉(𝐺)| dan |𝐸(𝐺)| menyatakan banyaknya simpul dan banyaknya busur pada 𝐺. Suatu pemetaan 𝑓 dari 𝑉 𝑘𝑒 ℤ|𝐸(𝐺)| dimana |𝐸(𝐺)| ≥ |𝑉(𝐺)| disebut pelabelan harmonis jika 𝑓 merupakan pemetaan injektif sedemikian hingga ketika setiap busur xy dilabel dengan 𝑓∗(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)(𝑚𝑜𝑑|𝐸(𝐺)|) menghasilkan label busur yang berbeda. Pada penelitian ini, dikaji graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛. Konstruksi Graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 adalah graf yang mengalami perluasan dari sebuah graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛. Dengan memberi penambahan satu simpul dan dua busur dibagian awal dan akhir pada graf segitiga variasi 𝑋𝑛 didapatkan graf baru. Graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 adalah perluasan graf tangga segitiga 𝐿𝑛 yang mengalami variasi. Dinamakan graf tangga segitiga jembatan karena bentuk hasil dari temuan konstruksinya menyerupai bentuk seperti jembatan. Diteliti graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 merupakan graf harmonis.
Kata kunci:
Graf Tangga Segitiga, Graf Tangga Segitiga Variasi, Pelabelan Graf Harmonis.
© 2020 Dipublikasikan oleh Jurusan Matematika, Universitas Negeri Semarang
1. Pendahuluan
Teori graf salah satu cabang Matematika yang dewasa ini pesat perkembangannya. Dengan teori graf banyak hal - hal baru yang tergali, di antaranya mempelajari jenis pelabelan. Dari sebanyak jenis pelabelan graf, dibahas pelabelan harmonis pada graf yang menjadi topik artikel penelitian ini. Misalkan 𝐺(𝑉, 𝐸) atau dapat ditulis 𝐺, adalah graf dengan himpunan simpul tak kosong 𝑉(𝐺) dan himpunan busur 𝐸(𝐺). Banyak simpul dinotasikan dengan |𝑉| = 𝑝, dan banyak busur dinotasikan dengan |𝐸| = 𝑞.
Untuk mengkonstruksi pelabelan harmonis dari suatu graf haruslah dipenuhi syarat |𝐸(𝐺)| ≥ |𝑉(𝐺)|, dimana 𝑉(𝐺) adalah himpunan simpul dan 𝐸(𝐺) adalah himpunan busur pada graf. Pelabelan harmonis adalah suatu fungsi injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → ℤ𝑞 sedemikian hingga menginduksi fungsi bijektif 𝑓∗: 𝐸(𝐺) → ℤ𝑞 yang didefinisikan oleh 𝑓⋆(𝑢𝑣) = (𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣))𝑚𝑜𝑑 𝑞 dimana ℤ𝑞 adalah himpunan bilangan bulat modulo 𝑞 ( Graham dan Sloan,1980). Pada artikel penelitian ini dikaji pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga 𝐿𝑛 yang digeneralisasi. Diawali mengkaji pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga 𝐿𝑛, dan hasilnya dapat dilihat pada prosiding KNM XVII di Institut Sepuluh November Surabaya (Atmadja K, Sugeng.KA, Yuniarko T, 2014). Lalu graf 𝐿𝑛 oleh kembali digeneralisasi, dan mendapatkan temuan pelabelan graf harmonis pada graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛, hasilnya telah dimuat pada prosiding Seminar Nasional Matematika tahun 2017 di Universitas Indonesia (Atmadja K, Kiki KA, 2017). Kemudian penulispun kembali melakukan penelitan dengan kajian pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga ganda 𝐺𝑛 dan hasilnya telah dimuat pada prosiding KNM XIX tahun 2018 di Universitas Brawijaya Malang ( Atmadja K, Kiki KA, 2018). Dari ketiga graf (𝐿𝑛, 𝑋𝑛, 𝐺𝑁) merupakan graf harmonis.
Kini dikaji graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 yang mengalami generalisasi, dengan metode menambahkan satu simpul dan dua busur lalu menempelkannya pada bagian awal graf 𝑋𝑛 dan mendapatkan graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 . Dalam artikel ini diberi nama graf tangga segitiga jembatan, karena graf yang diperoleh menyerupai bentuk seperti jembatan. Ditunjukan bahwa graf tangga segitiga jembatan merupakan graf harmonis.
26
PRISMA 2020, Vol. 3, 25-28 1.1. Rumusan Masalah.
Kajian pada penelitian ini adalah:
“Apakah graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 merupakan graf harmonis?”
1.2. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menunjukan bahwa graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 adalah graf harmonis.
2. Metode Penelitian
Metode yang dilakukan pada penelitian ini adalah:
Melakukan pengkajian tentang graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛
Memodifikasi graf tangga segitiga 𝑋𝑛 sehingga membentuk graf baru
Menentukan pola dari graf yang didapat untuk memberi label dari setiap simpul dan busur.
Menunjukan pelabelan yang didapat sesuai konsep pelabelan harmonis, sehingga didapatkan konstruksi pelabelan harmonis untuk graf tangga segitiga yang baru ( ditemukan ) 𝑋𝐽𝑛.
3. Pembahasan
Graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 dengan 𝑝 = 3𝑛, dan 𝑞 = 6𝑛 − 3. Graf tangga segitiga jembatan didapat dari hasil modifikasi graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 dengan 𝑝 = 3𝑛 − 1 dan 𝑞 = 6𝑛 − 5.
(Atmadja K, Kiki KA, 2017). Terlebih dahulu diberikan graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛 pada Gambar 1.
Gambar 1. Graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛
Diberikan kajian graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 dimana 𝑝 = 3𝑛, dan 𝑞 = 6𝑛 − 3. Hasil Konstruksi graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 dapat dilihat pada Gambar 2.
u1 u2 u3 u4
v1 w1 v2 w2 v3 w3 v4 w4
u5
v5 w5
Gambar 2. Graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛
Terlihat pada Gambar 2 konstruksi graf 𝑋𝐽𝑛 didapat dari hasil perluasan generalisasi graf tangga segitiga variasi 𝑋𝑛. Bentuknya menyerupai seperti jembatan. Karena menyerupai jembatan maka peneliti beri nama graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛. Dijabarkan sesuai definisi rumusan pelabelan simpul dan busur pada sub bab berikut ini.
3.1. Teorema: Graf Tangga Segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 merupakan graf harmonis Pelabelan simpul graf 𝑋𝐽𝑛 dapat dirumuskan sebagai berikut :
𝑓(𝑢𝑖) = {3𝑖 − 1 ; 𝑖 ganjil
3𝑖 − 2 ; 𝑖 genap
u1 u2 u3 u4
v1 w1 v2 w2 v3 w3 v4 w4
u5
v5
27
PRISMA 2020, Vol. 3, 25-28 (𝑓𝑢𝑖) ∈ {2,4,8,10,14,16,20,22, … } ⊂ ((2 𝑚𝑜𝑑 6) ∪ (4 𝑚𝑜𝑑 6)) (1) 𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 3 ; 𝑖 = 1,2,3, …
𝑓(𝑣𝑖) ∈ {0,3,6,9,12,15,18,21, … } ⊂ ((0 𝑚𝑜𝑑 6) ∪ (3 𝑚𝑜𝑑 6)) (2) 𝑓(𝑤𝑖) = {3𝑖 − 2 ; 𝑖 ganjil
3𝑖 − 1 ; 𝑖 genap
𝑓(𝑤) ∈ {1,5,7,11,13,17,19} ⊂ ((1 𝑚𝑜𝑑 6) ∪ (5 𝑚𝑜𝑑 6)) (3)
3.2. Pelabelan busur 𝑋𝐽𝑛
Pelabelan busur 𝑋𝐽𝑛 dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖) = {𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 1 + 3𝑖 − 3 = 6𝑖 − 4 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖) = 3𝑖 − 2 + 3𝑖 − 3 = 6𝑖 − 5 ; 𝑖 genap .
𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖) ∈ {2, 7,14,19,26,31,38,43, … } ⊂ ((2 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (7 𝑚𝑜𝑑 12)) (4)
𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) = {𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑤𝑖) = (3𝑖 − 1) + (3𝑖 − 2) = 6𝑖 − 3 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑤𝑖) = (3𝑖 − 2) + (3𝑖 − 1) = 6𝑖 − 3 ; 𝑖 genap Cukup ditulis 𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) = 6𝑖 − 3; 𝑖 = 1,2,3, …
𝑓∗(𝑢𝑖𝑤𝑖) ∈ {3,9,15,21,27,33,39,45, … } ⊂ ((3 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (9 𝑚𝑜𝑑 12)) (5)
𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖+1) = {𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖+1) = 3𝑖 − 1 + 3(𝑖 + 1) − 3 = 6𝑖 − 1 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖+1) = 3𝑖 − 2 + 3(𝑖 + 1) − 3 = 6𝑖 − 2 ; 𝑖 genap
𝑓∗(𝑢𝑖𝑣𝑖+1) ∈ {5,10,17,22,29,34,41,46, … } ⊂ ((5 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (10 𝑚𝑜𝑑 12)) (6)
𝑓∗(𝑢𝑖𝑢𝑖+1) = 𝑓(𝑢𝑖) + 𝑓(𝑢𝑖+1) = (3𝑖 − 1) + 3(𝑖 + 1) − 2 = 6𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3 …
𝑓∗(𝑢𝑖𝑢𝑖+1) ∈ {6,12,18,24,30,36,42, … } ⊂ 6 𝑚𝑜𝑑 12 (7)
𝑓∗(𝑣𝑖𝑤𝑖) = {𝑓(𝑣𝑖) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 2 = 6𝑖 − 5 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑖) + 𝑓(𝑤𝑖) = 3𝑖 − 3 + 3𝑖 − 1 = 6𝑖 − 4 ; 𝑖 genap
𝑓∗(𝑣𝑖𝑤𝑖) ∈ {1,8,13,20,25,32,37,44, … } ⊂ ((1 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (8 𝑚𝑜𝑑 12)) (8)
𝑓∗(𝑤𝑖𝑣𝑖+1) = {𝑓(𝑤𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖+1) = 3𝑖 − 2 + 3(𝑖 + 1) − 3 = 6𝑖 − 2 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑤𝑖) + 𝑓(𝑣𝑖+1) = 3𝑖 − 1 + 3(𝑖 + 1) − 3 = 6𝑖 − 1 ; 𝑖 genap
𝑓∗(𝑤𝑖𝑣𝑖+1) ∈ {4,11,16,23,28,35,40,47, … } ⊂ ((4 𝑚𝑜𝑑 12) ∪ (11 𝑚𝑜𝑑 12)) (9)
Himpunan Simpul
𝑓(𝑉(𝑋𝐽𝑛)) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, … } Hal ini sesuai dengan definisi pelabelan simpul 𝑓(𝑉(𝐺)) → ℤ𝑞
Himpunan busur :
𝑓(𝐸(𝑋𝐽𝑛)) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23, … } Hal ini sesuai dengan definisi pelabelan busur 𝑓⋆(𝑢𝑣) = (𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣))𝑚𝑜𝑑 𝑞.
Konstruksi Pelabelan harmonis graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 (𝑛 ≥ 2),untuk 𝑛 = 6, dimana 𝑝 = 3𝑛, dan 𝑞 = 6𝑛 − 3. disajikan pada Gambar 3 di bawah ini :
4
0 2
3 1
10 14
11 12 13
5 9
8
7
6 15 18
16
17 9
10 14
11 12
13
18
15 16
17 19
4
2 3
1 8
5 7 6
20 23 21
22 24
25 28 26
27 29
33 30
31
32 35
34
Gambar 3. Pelabelan harmonis graf tangga segitiga Jembatan 𝑋𝐽𝑛(𝑛 ≥ 2)
4. Simpulan
28
PRISMA 2020, Vol. 3, 25-28 Dengan hasil pelabelan simpul graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 sesuai definisi 𝑓(𝑉(𝐺)) → ℤ𝑞 menghasilkan label busur yang saling berbeda. Hal ini sesuai definisi pelabelan busur 𝑓⋆(𝑢𝑣) = (𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣))𝑚𝑜𝑑 𝑞
.
Maka graf tangga segitiga jembatan 𝑋𝐽𝑛 merupakan graf harmonis.Daftar Pustaka
Atmadja. K Sugeng, K.A, Yuniarko.T, (2014). Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga, Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVII-2014, ITS Surabaya
Atmadja. K Sugeng, K.A, (2017). Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Variasi, Prosiding Seminar Nasional Matematika 2017, Universitas Indonesia
Atmadja. K Sugeng, K.A, (2018). Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Ganda, Prosiding Konferensi Nasional Matematika XIX-2018, Universitas Brawijaya Malang Surabaya
Graham, R.L & Sloan, N.J., (1980). On Additive Bases and Harmonius Graphs. SIAM.J.Alg Discrete Math. Vol.1, No 3, 382-404
