UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER SKRIPSI RENDY AHMAD TRIPUTRA

(1)

UNIVERSITAS INDONESIA

PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER

SKRIPSI

RENDY AHMAD TRIPUTRA 0606067755

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK JUNI 2011

(2)

ii

UNIVERSITAS INDONESIA

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

RENDY AHMAD TRIPUTRA 0606067755

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK JUNI 2011

(3)

iii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya

nyatakan dengan benar.

Nama : RENDY AHMAD TRIPUTRA

NPM : 0606067755

Tanda Tangan :

Tanggal : 16 JUNI 2011

(4)

iv

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh :

Nama : Rendy Ahmad Triputra

NPM : 0606067755

Program Studi : Matematika

Judul Skripsi : Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing : Dr. Kiki Ariyanti S., M.Si. ( )

Penguji : Prof. Dr. Djati Kerami ( )

Penguji : Dra. Nora Hariadi, M.Si. ( )

Penguji : Dr. Hengki Tasman, M.Si. ( )

Ditetapkan di : Depok Tanggal : 27 Mei 2011

(5)

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah wa syukurilah penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas berkat, rahmat, dan izin-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Departemen Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.

Penulis menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis

mengucapkan ribuan terima kasih kepada:

1) Ibu Dr. Kiki Ariyanti Sugeng selaku pembimbing skripsi sekaligus

pembimbing akademis penulis. Terima kasih sebesar-besarnya untuk semua senyum, omelan, kritik, bimbingan, dan dukungan yang sangat luar biasa yang diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

2) Bapak Dr. Yudi Satria, Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.ScTech dan Ibu Dr. Dian Lestari sebagai kepala departemen, sekertaris departemen, dan koordinator pendidikan atas bantuan dan dukungannya dalam mempermudah prosedur penyelesaian tugas akhir dan sampai wisuda.

3) Seluruh staf pengajar di departemen Matematika UI, terima kasih atas segala ilmu yang telah diberikan. Semoga penulis dapat menggunakan ilmu tersebut dengan sebaik-baiknya.

4) Mba Santi, Pak Saliman, Mba Rusmi, Mas Ansori, dan Seluruh karyawan di Departemen Matematika UI, terima kasih atas segala bantuan dan kemudahan yang telah diberikan untuk penulis.

5) Mama dan Papa orang tua terbaik yang dengan tulus dan ikhlas melimpahkan kasih sayang yang tidak terbatas.

6) Mas Bayu, Mas Reza, Teh Denti, Qila, keluarga besar Usman dan keluarga besar Ukar sebagai keluarga penulis yang selalu memberikan doa, dukungan, dan nasehat.

(6)

vi

7) Rita, Syaf, Lee, Yuri, Aliman, Yuko, Ojak, Budi, Bara, Cimz, Mekel, Bekti terima kasih atas semua kegembiraan, keseruan, kejahatan, curhatan, cacian, makian, celaan, dan keindahan lain yang sangat luar biasa. Lima tahun yang sangat hebat kawan.

8) Penghuni Pondok Anugrah Om Moel, Tante Fitri, Djenar, Sinyo, Herman, Sidick, Yoyo, Sangap, Adi, Kardo, Anip, Esha, Akbar, Ucin, Andi, Rudi, Ando, Gembel, Fahri, Adit, Edwin, Andri, Andra, Satrio, Eko, dan semua orang yang pernah menghuni pondok anugrah. Terima kasih banyak atas semua pelatihan mental yang kalian berikan.

9) Teman-teman yang selalu menemani penulis berdiskusi di depan gedung Matematika UI.

10)Teman-teman 2006: Anggha, Oppie, Mei, Inne, Rizkyatul, Rahanti, Stefani, Alfa, Mella, Milla, Tami, Annisa, Widya, Latief, Hot, Noor, Farah, Putri Helmet, Dian, Purwita, Nurgi, Lena, Nadia, Reza, Rifza, Yunita, Indra, Puspa, Febrian, Stefano, Poe, Tasya, Billy, Rahmanita, Kiki, Nobo, Tika, Rontu, Lani, Dita, Teguh, Tino, Muhardani, Rama, Dodi, Rafly, Ali, Sutisna, Pangky, Rita, untuk kebersamaan yang telah dijalani.

11)Teman-teman Matematika UI angkatan 2004, 2005, 2007, 2008, 2009, 2010 12)Teman-teman di Scout Nasa SMP 1 Tangerang. Salam Pramuka.

13)Dan semua orang yang namanya tidak bisa penulis sebutkan satu persatu yang telah mendoakan, mendukung, mengingatkan, mengajarkan, menegur,

menginspirasi penulis baik dalam penulisan skripsi ini maupun dalam kehidupan penulis sehari-hari.

Akhir kata, penulis berharap Allah SWT berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu.

Penulis

2011

(7)

vii

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Rendy Ahmad Triputra

NPM : 0606067755

Program Studi : Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : FMIPA

Jenis karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :

Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan,

mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok Pada tanggal : 16 Juni 2011

Yang menyatakan

(Rendy Ahmad Triputra)

(8)

viii

ABSTRAK

Nama : Rendy Ahmad Triputra Program Studi : Matematika

Judul : Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler

Graf adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan tak kosong simpul dan himpunan busur . Pelabelan pada graf adalah penetapan nilai pada simpul, busur, atau simpul dan busur dengan aturan tertentu. Pelabelan graceful-busur pada graf adalah fungsi bijektif

yang menginduksi pemetaan bijektif yang didefinisikan oleh

dengan . Pada skripsi ini dibuktikan bahwa graf caterpillar reguler,

dimana dan , dengan sejumlah ganjil

simpul pusat ( ) dan sejumlah genap simpul daun pada tiap pusatnya ( ) memiliki pelabelan graceful-busur.

Kata Kunci : pelabelan graceful-busur, graf caterpillar reguler. xii+40 halaman : 26 gambar, 1 tabel

Daftar Pustaka : 10 (1988-2010)

(9)

ix

ABSTRACT

Name : Rendy Ahmad Triputra Program Study : Mathematics

Title : Edge-Graceful Labeling on Regular Caterpillar Graphs

Graph is a system contains of a nonempty set of vertices and a set of edges . Labeling on a graph is an assignment of a nonnegative integer on each vertex, edge, or both under a certain condition. A edge-graceful labeling on graph is a bijection

which induce a bijection defined by

where . The proof that regular

caterpillar graphs, where and with

odd vertex center ( ) and even leaf ( ) has an edge-graceful is shown in this skripsi.

Key Words : edge-graceful labeling, regular caterpillar xii+40 pages ; 26 pictures, 1 table

Bibliography : 10 (1988-2010)

(10)

x

DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

KATA PENGANTAR ... v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR TABEL ... xii

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah dan Ruang Lingkupnya ... 2

1.3 Tujuan Penulisan ... 3

1.4 Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan ... 3

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Teori Graf ... 4

2.2 Jenis-jenis Graf ... 5

2.3 Pelabelan Graf ... 8

2.4 Hasil-Hasil yang Telah Diketahui ... 10

BAB 3 PELABELAN GRACEFUL-BUSUR PADA GRAF CATERPILLAR REGULER ... 12

3.1 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Lintasan ... 14

3.2 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang ... 19

3.3 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Ganda ... 23

3.4 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler ... 25

3.5 Bentuk Lain Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler ... 35

3.5.1 Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan ... 35

3.5.2 Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan ... 36

BAB 4 KESIMPULAN ... 39

DAFTAR PUSTAKA ... 40

(11)

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Graf lintasan P5 ... 5

Gambar 2. 2 Graf lingkaran . ... 5

Gambar 2. 3 Graf pohon ... 6

Gambar 2. 4 Graf bintang ... 6

Gambar 2. 5 Graf caterpillar ... 7

Gambar 2. 6 Graf caterpillar reguler . ... 8

Gambar 2. 7 (a) Graf bintang ganda dan (b) graf bintang ganda reguler . 8 Gambar 2. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . ... 9

Gambar 2. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf grid . ... 10

Gambar 2. 10 Pelabelan graceful-busur pada graf lengkap . ... 11

Gambar 2. 11 Pelabelan graceful-busur pada (a) graf lintasan , (b) graf lingkaran , dan (c) graf bintang . ... 11

Gambar 3. 1 Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan (a) , (b) , (c) , dan (d) ... 19

Gambar 3. 2 Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b) ... 22

Gambar 3. 3 Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b) ... 22

Gambar 3. 4 Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b) . ... 22

Gambar 3. 5 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ). .. 24

Gambar 3. 6 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ). .. 25

Gambar 3. 7 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ). 25 Gambar 3. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . ... 33

Gambar 3. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . 34 Gambar 3. 10 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . ... 34

Gambar 3. 11 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . .. 34

Gambar 3. 12 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . ... 36

Gambar 3. 13 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler .. 36

(12)

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 4. 1 Pelabelan graceful-busur yang dibahas pada skripsi ini ... 39

(13)

1 Universitas Indonesia

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang masih sangat muda bila dibandingkan dengan cabang matematika lain. Meskipun demikian, teori graf telah banyak digunakan dalam sejumlah bidang terapan, seperti riset operasi, ilmu komputer, ilmu kimia, dan analisis jaringan sosial. Pada penerapannya, teori graf digunakan untuk menyederhanakan suatu masalah, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan dan dipahami.

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736, ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Kőnigsberg, Rusia, dalam satu perjalanan yang melintasi setiap jembatan tepat satu kali dan kembali ke daerah awal. Masalah jembatan Kőnigsberg tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk graf dengan merepresentasikan keempat daerah itu sebagai simpul (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai busur (edge) yang menghubungkan pasangan simpul yang sesuai. Pembuktian Euler ditulis dalam karya tulisnya yang berjudul

Solutio Problematis ad geometriam situs pertinensi. Pada pembuktiannya

tersebut, Euler menyatakan bahwa permasalahan tersebut tidak memiliki solusi (Rosen, 1991).

Suatu graf adalah pasangan himpunan dengan

merupakan suatu himpunan tak kosong, dan merupakan himpunan (mungkin kosong) dari pasangan-pasangan tak terurut dari anggota-anggota himpunan . Anggota dari disebut simpul dari , dan anggota dari disebut busur

dari Banyaknya anggota ditulis dan untuk

banyaknya anggota . Banyaknya anggota di graf biasa disebut dengan order dari (Hartsfield & Ringel, 1990). Beberapa jenis graf telah banyak dikenal seperti graf lingkaran, graf lengkap, graf lintasan, graf pohon, graf

(14)

2

Universitas Indonesia bipartit, graf kubik, graf Petersen, graf roda, graf caterpillar, dan masih banyak jenis lainnya.

Pada perkembangannya graf menjadi salah satu cabang matematika yang berkembang pesat dan menyebabkan banyaknya penemuan baru mengenai graf. Salah satu cabang yang berkembang adalah pelabelan graf. Pelabelan graf pertama kali diperkenalkan secara formal oleh Kotzig dan Rosa (1967). Pelabelan pada graf adalah pemberian nilai (biasanya bilangan bulat) pada simpul, busur, atau keduanyapada graf (Gallian, 2010).

Sampai saat ini banyak jenis pelabelan yang telah dikenal, salah satunya adalah pelabelan graceful-busur. Sebuah graf disebut graf graceful-busur jika terdapat fungsi bijektif

sedemikian sehingga menginduksi pemetaan bijektif

yang didefinisikan oleh dengan

. Nilai juga disebut sebagai bobot simpul . Syarat perlu sebuah graf dengan simpul dan busur dapat dilabelkan secara graceful-busur adalah

(Lee, Seah, & Wang, 1990).

Kajian mengenai graf yang memiliki pelabelan graceful-busur, belum banyak dilakukan. Masih banyak graf yang belum diketahui apakah dapat dilabelkan secara graceful-busur atau tidak. Beberapa contoh graf yang telah diteliti adalah graf grid (Lee dkk, 2002), graf lengkap (Lee, Lee, & Murthy, 1988), graf lintasan, graf lingkaran, graf bintang, dan graf superstar (Alifah, 2005). Salah satu contoh kelas graf yang belum diteliti adalah graf caterpillar. Oleh karena itu dalam skripsi ini akan dicari konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar.

1.2 Perumusan Masalah dan Ruang Lingkupnya

Bagaimanakah konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar?

Dalam skripsi ini pembahasan dibatasi hanya untuk pelabelan

graceful-busur pada graf caterpillarreguler dengan dan .

(15)

3

Universitas Indonesia 1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisa dan mengkons-truksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillarreguler.

1.4 Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan

Penelitian dilakukan dengan studi pustaka yang dikembangkan untuk menganalisa dan mengkonstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar reguler.

(16)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan konsep dasar dari teori graf, seperti jenis-jenis graf, dan pelabelan graf beserta beberapa hasil yang telah diketahui dan akan digunakan pada bab-bab selanjutnya.

2.1 Teori Graf

Suatu graf adalah pasangan himpunan dengan

merupakan suatu himpunan tak kosong, dan merupakan himpunan (mungkin kosong) dari pasangan-pasangan tak terurut dari anggota-anggota himpunan . Anggota dari disebut simpul dari , dan anggota dari disebut busur

dari Jika dan merupakan simpul dari graf , maka dikatakan bertetangga dengan jika terdapat busur yang menghubungkan dan , biasanya ditulis dengan busur atau . Banyaknya anggota ditulis dan

untuk banyaknya anggota . Banyaknya anggota di graf biasa disebut dengan order dari . Busur dikatakan hadir pada simpul , jika merupakan titik ujung dari . Simpul dikatakan hadir pada busur jika merupakan titik ujung dari . Derajat dari sebuah simpul adalah banyaknya busur yang hadir pada . Simpul dengan derajat 0 disebut simpul terpencil dan simpul berderajat 1 disebut simpul ujung atau daun. Graf dikatakan reguler

dengan derajat , atau -reguler, jika setiap simpul di berderajat .(Hartsfield & Ringel, 1990).

Subgraf dari graf adalah suatu graf yang setiap simpul dari meru-pakan simpul dari dan setiap busur dari merumeru-pakan busur dari . Dengan kata

lain, dan . Diberikan graf

dan , gabungan dari graf dan ditulis

dimana dan

(Hartsfield & Ringel, 1990).

(17)

5

Universitas Indonesia 2.2 Jenis-jenis Graf

Pada sub bab ini akan dibahas tentang beberapa jenis graf yang sudah dikenal secara umum dan akan banyak dipakai pada bab selanjutnya.

Graf lintasan (path), , adalah graf dengan n simpul yaitu

dengan busur . Simpul disebut sebagai simpul awal dan

sebagai simpul akhir. Semua simpul berderajat dua kecuali untuk simpul awal dan simpul akhir.Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk sembarang dua simpul

dan pada terdapat lintasan dari ke (Hartsfield & Ringel, 1990). Graf

lintasan memiliki dan . Pada Gambar 2.1 diberikan

contoh graf lintasan dengan banyak simpul 5 dan banyak busur 4.

Gambar 2. 1 Graf lintasan

Graf lingkaran (cycle) dengan panjang adalah graf dengan simpul

dan busur-busur (Hartsfield & Ringel,

1990). Graf lingkaran adalah graf reguler karena semua simpulnya berderajat 2. Graf unicyclic adalah graf yang memuat satu lingkaran (Gallian, 2010). Jadi graf lingkaran merupakan graf unicyclic. Untuk semua graf unicyclic berlaku

. Pada Gambar 2.2 diberikan contoh graf lingkaran yaitu graf lingkaran dengan jumlah simpul 4 dan jumlah busur 4.

Gambar 2. 2 Graf lingkaran .

(18)

6

Universitas Indonesia Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak mengandung subgraf

lingkaran. Pada graf pohon, simpul berderajat 1 disebut simpul daun (Hartsfield & Ringel, 1990). Gambar 2.3 memberikan contoh graf pohon dengan banyak simpul 23, dan banyak busur 22.

Gambar 2. 3 Graf pohon

Graf bintang adalah graf yang dibangun dari satu simpul pusat kemudian menambahkan sejumlah simpul daun pada simpul pusat tersebut. Graf bintang memiliki simpul dan busur (Choudum & Kishore, 1996). Pada graf bintang terdapat simpul ujung atau daun, dan 1 simpul pusat, yaitu simpul yang terhubung ke setiap simpul ujung. Graf bintang merupakan subkelas dari pohon, karena graf bintang tidak mempunyai subgraf lingkaran. Gambar 2.4 memberikan contoh graf bintang yaitu graf bintang dengan 6 simpul, dan 5 busur.

Gambar 2. 4 Graf bintang .

(19)

7

Universitas Indonesia Graf caterpillar adalah graf yang dibangun dari suatu lintasan dengan menambahkan sejumlah daun pada setiap simpul pada lintasan - yang disebut tulang belakang atau backbone - yaitu daun pada simpul ,

dimana , .

.

(Sugeng, dkk, 2005). Simpul disebut sebagai simpul pusat dan simpul

; disebut simpul daun untuk pusat . Pada Gambar 2.5 diberikan graf caterpillar yaitu graf caterpillar dengan 19 simpul (5 simpul pusat, dan 5,3,3,1,2 simpul-simpul daun yang terhubung pada tiap simpul pusat secara berurutan) dan 18 busur.

c1 c2 c3 c4 c5 x32 x13 x41 x22 x21 x12 x11 x31 x23 x15 x14 x52 x51 x33

Gambar 2. 5Graf caterpillar .

Sebuah graf caterpillar dikatakanreguler jika banyaknya simpul daun untuk setiap simpul pusatnya sama. Dengan kata lain dikatakan reguler

(20)

8

Universitas Indonesia

jika dan hanya jika dan . Pada Gambar 2.6

diberikan contoh graf caterpillar reguler .

c1 c2 c3 c4 c5 x32 x41 x22 x21 x12 x11 x31 x51 x52 x42

Gambar 2. 6Graf caterpillar reguler .

Graf bintang ganda adalah graf caterpillar dengan . Sebuah graf bintang ganda dikatakan reguler jika kedua graf bintang yang membentuk graf bintang ganda memiliki simpul daun yang sama. Dengan kata lain, dikatakan reguler jika . Pada Gambar 2.7 diberikan contoh graf bintang ganda dan graf bintang ganda reguler

(a) (b)

Gambar 2. 7 (a) Graf bintang ganda dan (b) graf bintang ganda reguler .

2.3 Pelabelan Graf

Pelabelan graf pertama kali dikenalkan secara formal oleh Kotzig dan Rosa (1967). Pelabelan pada graf adalah pemberian nilai bilangan bulat pada

(21)

9

Universitas Indonesia simpul, busur, atau keduanyapada graf . Sampai saat ini banyak jenis pelabelan yang telah dikenal, salah satunya adalah pelabelan graceful (Gallian, 2010).

Menurut Gallian (2010), Rosa mendefinisikan graf graceful pada tahun 1967. Sebuah graf disebut graceful jika terdapat fungsi injektif

sedemikian sehingga menginduksi pemetaan

bijektif yang didefinisikan oleh

untuk setiap .

Pada tahun 1985, Lo memperkenalkan sebuah konsep graf graceful-busur. Sebuah graf dikatakan graceful-busur jika terdapat fungsi

bijektif sedemikian sehingga menginduksi pemetaan

bijektif yang didefinisikan oleh

dengan . Nilai juga disebut sebagai bobot simpul . Syarat perlu sebuah graf dengan simpul dan busur dapat

dilabelkan secara graceful-busur adalah . Konsep dari

graf graceful-busur ini dapat dilihat sebagai konsep dual dari graf graceful (Lee, Seah, & Wang, 1990). Dual yang dimaksud di sini adalah pada graf graceful melibatkan pelabelan simpul yang menginduksi label busur yang merupakan selisih antara dua buah simpul yang hadir pada busur tersebut, sedangkan pada graf graceful-busur melibatkan pelabelan busur yang menginduksi label simpul yang merupakan penjumlahan dari label busur yang hadir modulo banyaknya simpul. Pada Gambar 2.8 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler . 5 2 7 1 6 3 0 8 4 5 7 2 6 3 4 1 8

Gambar 2. 8 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler .

(22)

10

Universitas Indonesia Busur-busur pada graf (Gambar 2.8) diberikan label dimana menyatakan banyak busur. Jika dihitung bobot simpulnya, maka dapat dilihat bahwa bobot simpul tersebut membentuk himpunan dimana menyatakan banyak simpul dikurangi .

2.4 Hasil-Hasil yang Telah Diketahui

Berikut ini diberikan hasil-hasil yang telah diketahui dari pelabelan graceful-busur untuk beberapa kelas graf.

Dalam sebuah makalah, Lee, dkk. (2002) membuktikan bahwa untuk sebuah nilai terdapat sejumlah hingga sedemikian sehingga graf grid dapat dilabelkan secara graceful-busur. Pada Gambar 2.9 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf grid .

2 5 8 14 6 15 3 1 4 9 13 12 0 10 11 7 16 20 24 18 13 12 7 6 21 23 2 1 14 19 15 17 8 9 10 11 3 22 4 5

Gambar 2. 9 Pelabelan graceful-busur pada graf grid .

Pada tahun 1988, Lee, dkk melakukan penelitian mengenai pelabelan graceful-busur pada graf lengkap yang membuktikan bahwa graf lengkap dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika Pada Gambar 2.10 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf lengkap .

(23)

11 Universitas Indonesia 4 0 3 1 7 2 1 9 10 8 3 2 6 5 4

Gambar 2. 10 Pelabelan graceful-busur pada graf lengkap .

Pada tahun 2005, Alifah membuktikan beberapa kelas graf memiliki pelabelan graceful-busur, antara lain : graf lintasan, graf lingkaran, dan graf bintang. Graf lintasan memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah bilangan ganjil. Graf lingkaran memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah

bilangan ganjil. Graf bintang memiliki pelabelan graceful-busur jika adalah bilangan ganjil. Pada Gambar 2.11 diberikan contoh pelabelan pada graf lintasan, graf lingkaran dan graf bintang.

1 1 3 2 0 3 2 4 4 3 1 0 1 2 2 4 4 5 3 1 0 3 1 3 4 6 4 5 5 2 6 2 (a) (b) (c)

Gambar 2. 11 Pelabelan graceful-busur pada (a) graf lintasan , (b) graf lingkaran , dan (c) graf bintang .

(24)

BAB 3

Pada bab ini akan diberikan kontruksi pelabelan graceful-busur dari kelas graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda dan graf caterpillar reguler. Pada Bab 2 telah dijelaskan bahwa sebuah fungsi bijektif

dikatakan pelabelan graceful-busur, jika menginduksi

sebuah pemetaan bijektif yang didefinisikan

oleh dengan (Lee, Seah, & Wang,

1990). Untuk mengkonstruksi pelabelan dan menunjukan bahwa konstruksi yang dibuat adalah graceful-busur, maka secara garis besar pembuktian dilakukan dengan alur sebagai berikut : definisikan fungsi pelabelan untuk busur, lalu ditunjukan bahwa semua bobot simpul yang diperoleh dari pelabelan tersebut merupakan penjumlahan bobot-bobot busur yang hadir dan membentuk barisan , pada akhirnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan tersebut adalah fungsi bijektif.

Dalam beberapa makalah, Lee dkk (2006) dan Venkatesan & Sattanathan (2010) menyebutkan bahwa,Lo memberikan syarat perlu sebuah graf dapat dilabelkan secara graceful-busur. Syarat perlu tersebut dituangkan dalam sebuah teorema. Teorema ini biasa dikenal dengan kondisi Lo.

Teorema 1. Kondisi Lo (Venkatesan & Sattanathan, 2010) : Syarat perlu sebuah graf terhubung , dengan simpul dan busur, dapat dilabelkan secara graceful-busur adalah :

Kondisi ini, dalam penggunaannya biasa dinyatakan sebagai atau tergantung pada nilai bilangan genap atau ganjil.

(25)

13

Bukti :

Misalkan merupakan graf terhubung, dengan dan

. merupakan himpunan simpul di , dan

merupakan himpunan busur di .

Jika dapat dilabelkan secara graceful-busur, maka label himpunan busur di adalah dan label himpunan simpul di adalah

. Karena setiap busur menghubungkan dua simpul, maka :

Sedemikian sehingga,

Jadi,

Maka syarat perlu sebuah graf terhubung , dengan simpul dan busur, dapat

dilabelkan secara graceful-busur adalah .

Selanjutnya, Lee meneliti penggunaan kondisi Lo pada kelas graf pohon. Dari penelitian tersebut, Lee mendapatkan sebuah conjecture mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf pohon.

Conjecture1. (Lee dkk, 2006) Semua pohon dengan order ganjil dapat dilabelkan secara graceful-busur.

Dalam usaha untuk menjawab bagian dari conjecture di atas, maka pada bab ini dibahas mengenai pelabelan graceful-busur untuk subkelas dari pohon yaitu graf lintasan, graf bintang, graf bintang ganda, dan graf caterpillar reguler yang semuanya berorder ganjil.

Graf caterpillar dibangun dari graf bintang yang simpul pusatnya dihubungkan oleh sebuah lintasan. Pada Subbab 3.1 akan dibahas mengenai

(26)

14

Universitas Indonesia konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf lintasan. Pada Subbab 3.2 akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang. Selanjutnya dari pelabelan graceful-busur pada graf bintang tersebut, pada Subbab 3.3 dijelaskan mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda. Akhirnya, pada Subbab 3.4 akan dijelaskan mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.

3.1 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Lintasan

Seperti yang telah dijelaskan pada Bab 2, sebuah graf lintasan memiliki sebanyak simpul dan busur. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada kelas graf lintasan akan digunakan kondisi Lo. Dengan menggunakan kondisi Lo pada graf lintasan, akan didapatkan sebuah persamaan yang memberikan syarat banyaknya simpul pada graf lintasan agar dapat

dilabelkan secara graceful-busur. Persamaan ini, didapatkan dengan

mensubstitusikan banyaknya busur dan banyaknya simpul pada graf lintasan ke dalam kondisi Lo, sehingga didapatkan :

Karena , jadi

Observasi 1 : Graf lintasan , dengan merupakan bilangan genap (order genap), tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

Jika merupakan bilangan genap, maka

sedangkan , dimana . Dengan demikian, graf lintasan dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak dapat memenuhi kondisi Lo, sehingga tidak dapat dilabelkan secara graceful-busur.

(27)

15

Observasi 2 : Graf lintasan , dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo.

Jika merupakan bilangan ganjil, maka .

Dengan demikian, graf lintasan , dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo.

Selanjutnya akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf lintasan dengan order ganjil. Alifah pada tahun 2005 telah membuktikan konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf lintasan dengan order ganjil, namun pada teorema berikut diberikan pembuktian dengan memodifikasi rumus

pelabelan graceful-busur pada graf lintasan, sehingga dapat digunakan untuk pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler.

Teorema 2. Graf lintasan dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika merupakan bilangan ganjil.

Bukti :

Dengan menggunakan Observasi 2 diketahui jika graf lintasan mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan ganjil.

Berikutnya akan dibuktikan untuk ganjil, maka graf lintasan dapat dilabelkan secara graceful-busur.

Misalkan merupakan graf lintasan, dengan dan

. merupakan himpunan simpul di , dan

merupakan himpunan busur di .

Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan didapatkan dengan

membe-rikan label ke busur secara berurutan. Lalu

diberikan label ke busur

secara berurutan. Sedemikian sehingga didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf lintasan secara graceful-busur, yaitu sebagai berikut.

(28)

16

Universitas Indonesia Fungsi tersebut menginduksi label simpul

sebagai berikut.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi dan bijektif.

Pertama, akan dibuktikan bijektif

Jelas terlihat untuk setiap busur :

Jadi, bila diurutkan label untuk busur-busur di , maka diperoleh :

Karena untuk setiap busur dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan

, maka bijektif.

Kedua, akan dibuktikan bijektif dengan

Untuk setiap simpul di berlaku

Untuk .

(29)

17 Universitas Indonesia . . . Untuk . Untuk . . .

(30)

18

Universitas Indonesia Sehingga terbukti bahwa

dan

Akibatnya,

dan

Jadi,

atau bisa dikatakan bahwa dengan

. Karena untuk setiap simpul dilabelkan dengan bilangan

yang berbeda dan , maka

bijektif.

Jadi, dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa

dan merupakan fungsi bijektif.

(31)

19

Universitas Indonesia Pada Gambar 3.1 diberikan pelabelan graceful-busur pada graf lintasan , dengan merupakan bilangan ganjil.

3 3 4 1 0 4 1 2 2 2 2 0 1 1 4 4 5 1 6 5 0 2 1 2 3 3 6 5 5 6 1 7 6 8 0 2 1 2 3 7 3 4 4 8 (b) (c) (a) (d)

Gambar 3. 1 Pelabelan graceful-busur pada graf lintasan (a) , (b) , (c) , dan (d)

3.2 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang

Selanjutnya, akan dibahas mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang.

Seperti yang telah dijelaskan pada Bab 2, sebuah graf bintang

memiliki sebanyak busur dan simpul. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada kelas graf bintang akan digunakan kondisi Lo. Dengan cara yang serupa dengan yang dilakukan pada graf lintasan, didapatkan :

Karena , jadi

(32)

20

Observasi 3 : Graf bintang , dengan merupakan bilangan genap (order genap), tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

Jika merupakan bilangan genap, maka

sedangkan , dimana . Dengan demikian, graf bintang

dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak dapat memenuhi kondisi Lo, sehingga tidak dapat dilabelkan secara graceful-busur.

Observasi 4 : Graf bintang , dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo.

Jika merupakan bilangan ganjil, maka .

Dengan demikian, graf bintang , dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil), memenuhi kondisi Lo.

Selanjutnya akan dibahas mengenai konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang dengan order ganjil. Alifah pada tahun 2005 telah membuktikan konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf bintang dengan order ganjil, namun pada teorema berikut diberikan pembuktian dengan penjelasan yang lebih

lengkap.

Teorema 3. Graf bintang , dengan busur dan simpul, dapat

dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika merupakan bilangan ganjil (order ganjil).

Bukti :

Dengan menggunakan Observasi 4 diketahui jika graf bintang mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan ganjil. Berikutnya akan dibuktikan untuk ganjil, maka graf bintang dapat dilabelkan secara graceful-busur.

(33)

21

Universitas Indonesia Misalkan adalah simpul pusat pada graf dan

merupakan himpunan simpul daunnya. Pelabelan graceful-busur pada graf bintang didapat dengan memberikan label 1, 2, 3, …, ke busur

secara berurutan. Sedemikian sehingga didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan

graf bintang secara graceful-busur, yaitu sebagai

berikut.

Fungsi tersebut menginduksi label simpul

… (3.2.1)

Dari persamaan (3.2.1), didapatkan bahwa .

Sekarang akan dibuktikan bahwa dimana .

Karena semua busur , terhubung dengan simpul pusat

dan diketahui bahwa , maka

Akan dibuktikan :

Karena ganjil, maka

(sebanyak kali)

Jadi, untuk bilangan ganjil.

Akibatnya fungsi merupakan fungsi bijektif.

Jadi, , dengan bilangan ganjil (order ganjil) mempunyai pelabelan graceful-busur.

Pada Gambar 3.2, 3.3, dan 3.4 diberikan pelabelan graceful-busur pada graf bintang , dengan merupakan bilangan ganjil.

(34)

22 Universitas Indonesia 3 4 0 3 2 1 4 2 1 0 1 2 1 2 (mod 3) (mod 5) S2 S4 (a) (b)

Gambar 3. 2 Pelabelan graceful-busur graf bintang (a) dan (b) .

8 1 0 3 1 2 2 8 4 7 3 6 5 6 4 7 1 0 3 1 3 4 6 4 5 5 2 6 2 (mod 7) S6 (mod 9) S8 5 (a) (b)

10 1 0 4 1 2 3 8 5 9 3 6 6 8 4 7 (mod 11) S10 5 7 2 10 9 1 0 3 1 2 2 n-1 3 n - 2 n-3 n-2 n - 1 n 3 . . . (mod n) Sn-1

. . .

(a) (b) n-4 n - 4

(35)

23

Universitas Indonesia 3.3 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Bintang Ganda

Pada Subbab 3.2 telah dibahas pelabelan graceful-busur pada graf bintang. Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda.

Graf bintang ganda merupakan sebuah graf yang terdiri dari dua buah graf bintang dan yang simpul pusatnya bertetangga satu sama lain. Graf bintang ganda memiliki sebanyak simpul dan sebanyak

busur. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda, pertama akan diperiksa persyaratannya dengan mengunakan kondisi Lo. Dengan mensubstitusi banyaknya simpul dan banyaknya busur ke kondisi Lo, akan didapatkan persamaan sebagai berikut :

Karena , jadi

Observasi 5 : Graf bintang ganda dengan merupakan bilangan genap (order genap) tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

Jika merupakan bilangan genap, maka merupakan bilangan

ganjil. Dari kondisi Lo diperoleh sedangkan

dimana Sehingga untuk bilangan genap, tidak dapat memenuhi kondisi Lo.

Diketahui . Maka bernilai genap, jika keduanya merupakan bilangan genap atau keduanya merupakan bilangan ganjil.

Dari Observasi 5 di atas dapat pula kita simpulkan bahwa, graf bintang ganda reguler tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

(36)

24

Observasi 6 : Graf bintang ganda dengan merupakan bilangan ganjil (order ganjil) dapat memenuhi kondisi Lo.

Jika merupakan bilangan ganjil, maka merupakan bilangan

genap. Dari kondisi Lo diperoleh . Sehingga

untuk bilangan ganjil, dapat memenuhi kondisi Lo.

Diketahui . Maka bernilai ganjil, jika bilangan genap dan bilangan ganjil atau bilangan ganjil dan bilangan genap.

Dari Observasi 5 dan Observasi 6, didapatkan sebuah conjecture mengenai pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda .

Conjecture 2. Graf bintang ganda dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil (order ganjil).

Pada Gambar 3.5, 3.6, 3.7 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda.

5 6 7 1 0 8 5 8 6 ₇ 1 4 3 2 4 2 3

Gambar 3. 5 Pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda ( ).

(37)

25 Universitas Indonesia 5 2 7 1 0 6 5 3 4 6 1 3 8 4 8 2 7

7 0 5 7 9 8 5 1 9 10 8 10 6 6 4 0 2 4 11 14 2 11 13 14 13 3 3 12 12

Karena penekanan pada skripsi ini adalah graf caterpillar reguler, maka pelabelan graceful-busur pada graf bintang ganda tidak dibahas lebih lanjut.

3.4 Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler

Pada tiga subbab sebelumnya telah dijelaskan tentang pelabelan graceful-busur pada graf lintasan, graf bintang dan graf bintang ganda. Meskipun pelabelan graceful-busur tidak ada untuk graf bintang ganda reguler, tetapi pelabelan

graceful-busur akan ada untuk graf caterpillar reguler, seperti yang akan

dijelaskan pada subbab ini. Pelabelan graceful-busur pada graf ceterpillar reguler,

(38)

26

Universitas Indonesia didapatkan dengan menggabungkan ide pelabelan graceful-busur pada graf

bintang dan graf lintasan. Untuk melabelkan busur yang menghubungkan simpul pusat dengan simpul daun, digunakan ide dari pelabelan graceful-busur pada graf bintang pada Teorema 3, yaitu penjumlahan setiap busur ganjil dan busur genap akan sama dengan . Sedangkan untuk melabelkan busur yang menghubungkan dua simpul pusat digunakan rumus dari pelabelan graceful-busur pada graf lintasan pada Teorema 2.

Graf caterpillar reguler merupakan graf caterpillar dengan dan . Misalkan banyaknya simpul pada graf caterpillar reguler adalah dan banyaknya busur pada graf caterpillar adalah

. Untuk melihat apakah terdapat pelabelan graceful-busur pada graf ceterpillar reguler, pertama akan diperiksa persyaratannya dengan menggunakan kondisi Lo. Dengan mensubstitusikan banyaknya simpul dan banyaknya busur ke kondisi Lo, akan didapatkan persamaan sebagai berikut :

Karena , jadi

Observasi 7 : Graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul merupakan bilangan genap (order genap) tidak mempunyai pelabelan graceful-busur.

Jika merupakan bilangan genap, maka merupakan bilangan

ganjil. Dari kondisi Lo diperoleh sedangkan

dimana Sehingga untuk bilangan genap, tidak dapat memenuhi kondisi Lo.

Diketahui Maka bernilai genap untuk setiap jika merupakan bilangan genap atau untuk setiap jika merupakan bilangan ganjil.

(39)

27

Observasi 8 : Graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul merupakan bilangan ganjil (order ganjil ) dapat memenuhi kondisi Lo.

Jika merupakan bilangan ganjil, maka merupakan bilangan

genap. Dari kondisi Lo diperoleh . Sehingga

untuk bilangan ganjil, dapat memenuhi kondisi Lo.

Diketahui . Maka bernilai ganjil untuk bilangan genap dan bilangan ganjil.

Jadi, pelabelan graceful-busur untuk graf caterpillar reguler dengan banyaknya simpul ganjil memenuhi kondisi Lo.

Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler dengan dan , didapat dengan memberikan label

secara berurutan ke busur

Lalu diberikan label

Selanjutnya diberikan label

Terakhir, diberikan label

(40)

28

Universitas Indonesia Dengan menggunakan pelabelan tersebut, maka akan didapatkan pelabelan

graceful-busur.

Dari penjelasan di atas didapatkan sebuah teorema mengenai pelabelan graceful-busur pada kelas graf caterpillar reguler.

Teorema4. Graf caterpillar reguler , dengan simpul, , dan busur dapat dilabelkan secara graceful-busur jika dan hanya jika mempunyai sejumlah ganjil simpul pusat ( ) dan sejumlah genap simpul daun pada tiap pusatnya ( ) (order ganjil).

Bukti :

Dengan menggunakan Observasi 8, diketahui jika graf caterpillar reguler mempunyai pelabelan graceful-busur, maka merupakan bilangan genap dan merupakan bilangan ganjil. Berikutnya akan dibuktikan untuk genap dan

ganjil, maka graf caterpillar reguler dapat dilabelkan secara graceful-busur.

Dengan mensubstitusi ke pelabelan

graceful-busur pada graf caterpillar yang telah dijelaskan di atas didapatkan fungsi yang melabelkan busur-busur pada graf caterpillar reguler, yaitu

sebagai berikut :

Fungsi tersebut menginduksi label simpul

dan

(41)

29

Universitas Indonesia Selanjutnya, akan ditunjukan bahwa dan merupakan fungsi bijektif.

Pertama, akan dibuktikan : bijektif

Jelas terlihat untuk setiap busur :

Jadi, bila diurutkan label untuk busur-busur di , maka diperoleh

Karena untuk setiap busur dilabelkan dengan bilangan yang berbeda dan

, maka bijektif.

Kedua, akan dibuktikan bijektif,

dengan

Untuk simpul daun, jelas bahwa , karena hanya

terdapat satu busur yang hadir pada simpul daun. Sehingga,

(42)

30 Universitas Indonesia Karena maka Dan karena maka

Jadi, untuk simpul daun didapatkan

Untuk semua simpul pusat berlaku

(43)

31 Universitas Indonesia Jadi, Untuk . . . . Untuk .

(44)

32 Universitas Indonesia Untuk . . . .

Sehingga terbukti bahwa

dan

Akibatnya,

(45)

33

Universitas Indonesia dan

Jadi,

atau bisa dikatakan bahwa dengan

Karena untuk setiap simpul dilabelkan dengan

bilangan yang berbeda dan , maka

bijektif.

Jadi, dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa

dan merupakan fungsi bijektif.

Pada Gambar 3.8, 3.9, 3.10 dan 3.11 diberikan contoh pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler dengan menggunakan rumus yang telah didapatkan. 14 11 16 25 15 12 24 23 13 14 16 11 15 12 13 1 23 17 8 19 1 18 9 0 26 10 17 19 8 18 9 10 25 2 20 5 22 4 21 6 3 2 7 20 22 5 21 6 7 4 26 24 3

(46)

34 Universitas Indonesia 17 13 12 34 14 15 33 32 16 17 16 15 14 13 12 1 32 18 19 20 21 22 23 19 18 20 21 23 22 8 9 1 10 11 0 8 9 10 11 2 25 24 26 27 25 24 27 26 33 4 5 3 6 7 2 4 5 6 7 3 29 28 30 31 29 28 31 30 34

24 18 16 48 13 11 47 46 3 24 16 18 30 28 22 1 46 10 12 1 10 12 36 25 0 36 34 2 47 39 37 39 37 20 18 33 31 6 4 27 25 8 19 21 19 15 13 15 13 5 12 19 35 38 11 14 17 9 2 38 35 32 29 26 11 14 17 20 23 6 4 3 4 6 42 40 2 42 40 3 45 43 45 43 9 7 9 7 41 44 5 8 44 41 5 8 48 30 28 22 34 33 31 27 25 21 26 29 32 20 23

1 0 44 43 3 22 19 1 43 2 1 2 44 26 23 26 23 25 21 24 21 22 19 24 20 20 1 3 18 15 17 17 18 15 16 16 1 3 14 11 13 13 14 11 12 12 1 3 10 7 9 9 10 7 8 8 1 3 6 3 5 5 6 3 4 4 25 30 27 30 27 29 28 28 29 34 31 34 31 33 32 32 33 38 35 38 35 37 36 36 37 42 39 42 39 41 40 40 41

(47)

35

Universitas Indonesia 3.5 Bentuk Lain Pelabelan Graceful-Busur pada Graf Caterpillar Reguler

Pelabelan yang telah dibahas pada Subbab 3.4, bukan merupakan

pelabelan tunggal. Graf caterpillar reguler juga dapat dilabelkan secara graceful-busur dengan beberapa cara lain. Pada subbab ini akan dibahas mengenai bentuk lain dari pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Pembahasan dibatasi hanya untuk graf caterpillar reguler dengan .

3.5.1 Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan

Pelabelan graceful-busur dengan menggunakan rumus ini hanya dapat dilakukan pada beberapa kelas graf ceterpillar reguler, yaitu dan .

Pelabelan graceful-busur dan didapat dengan memberikan

label ke busur

(dimana merupakan banyaknya simpul daun di tiap pusatnya, merupakan banyaknya simpul pusat). Lalu

meberikan label ke busur .

Jadi didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf tersebut secara graceful-busur, yaitu

…(3.5.1.1)

dan

…(3.5.1.2)

Persamaan (3.5.1.1) menginduksi label simpul daun

Persamaan (3.5.1.1) dan (3.5.1.2) menginduksi label simpul pusat

(48)

36

Universitas Indonesia Pada Gambar 3.12 dan 3.13 diberikan contoh pelabelan graceful-busur

pada graf dan .

1 7 8 9 5 4 18 6 2 1 7 8 5 4 2 6 3 13 19 20 15 17 16 3 12 14 13 20 19 17 16 14 15 0 11 10 12 11 10 9 18

1 15 17 0 13 11 14 28 3 1 17 15 13 11 3 14 7 31 29 7 31 29 27 25 21 27 25 28 21 34 32 34 32 20 18 20 18 6 4 6 4 8 10 8 10 22 24 22 24 5 12 19 26 33 30 23 16 9 2 33 26 19 12 5 30 23 16 9 2

Gambar 3. 13 Pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler

3.5.2 Pelabelan Graceful-Busur Untuk dan

Sama halnya dengan sub-subbab sebelumnya, pelabelan graceful-busur pada sub-subbab ini hanya dapat dilakukan pada beberapa kelas graf ceterpillar reguler, yaitu dan .

(49)

37

Universitas Indonesia Pelabelan graceful-busur dan didapat dengan melabelkan

ke busur

(dimana merupakan banyaknya simpul daun di tiap pusatnya, merupakan banyaknya simpul pusat). Lalu

memberikan label ke busur .

Jadi didapatkan sebuah fungsi yang melabelkan graf bintang secara graceful-busur, yaitu

…(3.5.2.1)

dan

…(3.5.2.2)

Persamaan (3.5.2.1) menginduksi label simpul daun

Persamaan (3.5.2.1) dan (3.5.2.2) menginduksi label simpul pusat

Pada Gambar 3.14, dan 3.15 diberikan contoh pelabelan graceful-busur

pada graf dan .

(50)

38 Universitas Indonesia 21 11 12 0 17 16 10 20 22 21 22 16 ₁₇ 11 12 10 5 23 24 18 19 13 14 24 23 18 19 14 13 2 1 5 7 6 15 2 1 7 6 20 9 8 3 4 9 8 4 3 15

23 11 0 22 27 23 27 22 11 32 28 32 28 31 24 29 24 29 26 25 31 25 30 26 30 12 16 12 16 13 13 15 14 14 15 1 5 1 5 2 2 4 3 3 4 21 17 21 17 20 18 18 20 19 19 6 10 10 6 9 7 7 9 8 8

Pada Bab ini telah diberikan konstruksi pelabelan graceful-busur dari graf lintasan, graf bintang, dan graf bintang ganda. Dari ketiga konstruksi pelabelan tersebut dikonstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler dengan sejumlah ganjil simpul pusat dan sejumlah genap simpul daun untuk setiap

pusatnya. Konstruksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler tidak tunggal, terdapat beberapa cara lain untuk mengkons-truksi pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Karena itu pada Bab ini ditunjukan konstruksi

alternatif untuk graf dan .

(51)

BAB 4 KESIMPULAN

Pada skripsi ini telah dibahas konstruksi pelabelan graceful-busur yang dirangkum pada Tabel 4.1 berikut :

Graf

Syarat

Graf lintasan (Alifah, 2005) bilangan ganjil Graf bintang (Alifah, 2005) bilangan ganjil

Graf bintang ganda dan berbeda paritas (conjecture)

Graf caterpillar reguler bilangan

genap, dan bilangan ganjil

Tabel 4. 1 Pelabelan graceful-busur pada beberapa kelas graf

Pelabelan graceful-busur untuk graf caterpillar reguler tidak tunggal. Graf caterpillar reguler juga dapat dilabelkan secara graceful-busur dengan beberapa cara lain. Pada skripsi ini juga dibahas mengenai bentuk lain dari pelabelan graceful-busur pada graf caterpillar reguler. Pembahasan dibatasi hanya untuk graf caterpillar reguler dengan .

(52)

40

DAFTAR PUSTAKA

Alifah. (2005). Pelabelan Edge-Graceful pada graf lintasan, graf sikel, graf bintang, dan graf superstar. Skripsi. Departemen Matematika Universitas Jember.

Choudum, S. A., & Kishore, S. P. (1996). All 5-star are Skolem graceful. Indian

J. Pure and Appl. Math,27 , 1101-1105.

Gallian, J. A. (2010). Dynamic survey of Graph Labeling. Electronic Journal of

Combinatorics 17 #DS6 .

Hartsfield, N., & Ringel, G. (1990). Pearls in graph theory: A Comprehensive

Introduction. Academic Press.

Lee, L., Lee, S., & Murthy, G. (1988). On Edge-Graceful Labelings of Complete Graphs. Congressus Numeratium 62 , 225-233.

Lee, S. M., et al. (2006). On Edge-graceful and Edge-Magic Maximal Outerplanar Graphs. J. Combin. Math. Combin. Comput., 59 , 119-129.

Lee, S. M., et al. (2002). On The Edge-Graceful Grids. Congressus Numerantium 154 , 61-77.

Lee, S. M., Seah, E., & Wang, P. (1990). On Edge-Gracefulness of The Kth Power Graph. Bulletin of The Institute of Mathematics Academia Sinica 18 , 1-11.

Rosen, K. H. (1991). Discrete Mathematics and Its Application 4th edition. Mc Graw Hill.

Sugeng, K. A., et al. (2005). (a,d)-edge-antimagic total labeling of caterpillars.

Lecture Notes Comput. Sci., 3330, 169-180.

Venkatesan, S., & Sattanathan, D. R. (2010). Is All The Wheel Graphs Are Edge-Graceful? International Journal of Algorithms, Computing and

Mathematics 3 , 37-43.

40