Ekonomi Teknik PEMBAYARAN DERET SERAGAM
(2) & DERET GRADIEN Ekonomi Teknik PEMBAYARAN DERET SERAGAM
(2) & DERET GRADIEN
Pertemuan - 5 Oleh : Muji Rifai Semester : IV, 2 SKS Fakultas Teknik Program Studi Teknik Sipil
Universitas Sebelas Maret
SUB-MATERI – TATAP MUKA 4
Pembayaran Deret Seragam &
Gradien :
• Sinking Factor (Mencari A bila diketahui F)
• Compound Amount Factor (Mencari F bila diketahui A)
• Capital Recovery Factor (Mencari A bila diketahui P)
• Present Wort Factor (Mencari P bila diketahui A)
• Gradient Series Factor
• Aliran Kas Tak Teratur
A. Pembayaran Tunggal (Single Payment) SUDAH
1. Compoun Amount Factor (Mencari F bila diketahui P) 2. Present Wort Factor (Mencari P bila diketahui F) B. Deret Seragam (Uniform Series )
1. Sinking Fund Factor (Mencari A bila diketahui F)
2. Compound Amount Factor (Mencari F bila diketahui A) 3. Capital Recovery Factor (Mencari A bila diketahui P) 4. Present Wort Factor (Mencari P bila diketahui A)
C. Deret Gradien (Gradient Series)
Notasi :
• P (Present) : jumlah uang pada periode awal / periode ke-0
• F (Future) : jumlah uang pada periode akhir
• A (Annual) : transaksi/jumlah uang tiap periode
• G (gradient / gradual) : transaksi/jumlah uang yang berubah tiap periodenya menurut pola tertentu
DERET SEGARAM
(UNIFORM SERIES)
1. Faktor Singking Fund Deret Seragam
(Mencari A bila diketahui F)
Agar pada akhir periode n dapat diperoleh uang sejumlah F rupiah, maka berapa A rupiah yg harus dibayarkan pada setiap akhir periode dengan tingkat bunga i%
1 1 i
nF i
A
0 1 2 3 4 n-2 n-1 n/ /
A A A A A A A F
Contoh
• Ali ingin mengumpulkan uang untuk membeli rumah setelah dia pensiun. Diperkirakan 10 tahun lagi dia pensiun. Jumlah uang yang diperlukan Rp.
22.500.000,-. Tingkat bunga 12%. Berapa jumlah yang harus ditabung tiap tahun?
1.282.500,
1 12
. 0 1
12 . 000 0
. 500 .
22 10
A
Contoh :
Jono ingin mengumpulkan uang untuk membeli rumah setelah dia pensiun. Diperkirakan 10 tahun lagi dia pensiun. Jumlah uang yang diperlukan Rp 225.000.000,00. Tingkat bunga 12 % setahun. Berapa jumlah yang harus ditabung setiap tahunnya ?
Penyelesaian :
F = Rp 225.000.000,00 ; i = 12% ; n = 10 A = (Rp 225.000.000,00)*(A/F, 12% , 10) = (Rp 225.000.000,00)*( 0,0570)
= Rp 12.825.000,00.
Atau dengan tabel A = F ( A/F, i, n )
2.
Compound Amount Factor
(Mencari F bila diketahui A)
Bila uang sebesar A rupiah dibayarkan pada setiap akhir periode selama n periode dengan tingkat
bunga i%, maka berapa besar F rupiah yang terkumpul pada akhir periode tersebut.
i
A i F
n
1
1
Contoh
Bila tiap tahun ditabung uang sebesar 1.200.000,- selama 8 tahun dengan tingkat bunga 6%. Berapa besar uang yang terkumpul setelah akhir periode tersebut.
11.876.400,
06 . 0
1 06
. 0 000 1
. 200 .
1
8
Rp F
Atau dengan tabel F = A ( F/A, i , n )
Contoh :
Bila setiap tahun ditabung uang sebesar Rp
12.000.000,00 selama 8 tahun dengan tingkat bunga 6%.
Berapa besar uang yang akan terkumpul setelah akhir periode tersebut ?.
Penyelesaian :
A = Rp 12.000.000,00 ; i = 6% ; n = 8 F = ( Rp 12.000.000,00 )( F/A, 6%, 8 ) = ( Rp 12.000.000,00 )( 9,897 )
= Rp 118.764.000,00
3.
Capital Recovery Factor
(Mencari A bila diketahui P)
Bila uang sebesar P rupiah diinvestasikan pada saat sekarang dengan tingkat bunga i%, maka berapa A
rupiah yang dapat diterima setiap akhir periode selama n periode, sehinggga jumlah uang yang diterima selama n periode tersebut sesuai dengan modal P rupiah yang ditanam pada awal periode pertama.
1 1
1
n n
i i P i
A
Contoh
Tuan Amir menabung uang sebesar Rp 7.500.000, disebuah bank. Bank tersebut akan membayar sejumlah uang yang sama setiap tahun kepada Budi, anak Tuan Amir sebagai biaya pendidikan.
Pembayaran dimulai pada akhir tahun pertama selama 7 tahun. Jika tingkat bunga 10% setahun, berapa jumlah yang Budi diterima setiap tahun?
1 . 540 . 500 ,
1 1
. 0 1
1 . 0 1
1 . 000 0 .
500 .
7
77
Rp
A
Contoh (dengan menggunakan Tabel)
Seorang ayah menabung uang sebesar Rp
17.500.000,00 disebuah bank. Bank tersebut akan membayar sejumlah uang setiap tahun yang besarnya sama kepada udin anaknya, sebagai biaya pendidikan.
Pembayaran dimulai akhir tahun pertama selama 7 tahun. Jika tingkat bunga 10% setahun, berapa
jumlah yang akan diterima oleh udin setiap tahunnya ? Penyelesaian :
P = Rp 17.500.000,00 ; i = 10% ; n = 7 A = ( Rp 17.500.000,00 )( A/P, 10% , 7 ) = ( Rp 17.500.000,00 )( 0,2054 )
= Rp 3.594.500,00
3.
Present Wort Factor
(Mencari P bila diketahui A)
Untuk dapat menerima uang sebesar A rupiah setiap akhir periode, selama n periode dengan tingkat
bunga i%, maka berapa besar modal yang harus ditanam pada awal periode pertama.
nn
i i
A i
P 1
1
1
Contoh
Suatu perusahaan mempunyai kewajiban untuk membayar royalti sebesar Rp 25.000,- setiap akhir tahun selama 5 tahun berturut-turut. Jika perusahaan tersebut menyetujui untuk membayar pada awal tahun pertama dengan tingkat bunga 15%, maka berapa jumlah yang harus dibayar oleh perusahaan tersebut.
83 . 803 ,
15 . 0 1
15 . 0
1 15
. 0 000 1
.
25
55
Rp
P
Atau dengan tabel P = A ( P/A, i , n )
Contoh :
Perusahaan Go Public mempunyai kewajiban untuk
membayar ‘royalti’ sebesar Rp 250.000,00 setiap akhir tahun selama 5 tahun berturut-turut. Jika perusahaan tersebut menyetujui membayar sekaligus pada awal
tahun pertama dengan tingkat bunga sebesar 15%, maka berapa jumlah uang yang harus dibayar oleh perusahaan tersebut ?.
Penyelesaian :
A = Rp 250.000,00; i = 15%; n = 5 P = ( Rp 250.000,00 )( P/A , 15%, 5 ) = ( Rp 250.000,00 )( 3,3522 )
= Rp 838.050,00.
Ekuivalensi P dan F
Notasi :
Fn = P (1 + i)n
�=�
(
�� ,�%,�)
�=�(
�� ,�%,�)
Rumus :
Contoh :
Berapa yang harus ditabung Arif pada 1 Januari 2007 jika dengan suku bunga 20% tabungannya akan menjadi Rp 10.000.000,- pada 1 Januari 2012?
n} i) (1 F{ 1
P
Ekuivalensi A dan F
Notasi :
�=�
(
�� ,�%,�)
�=�(
�� ,�%,�)
Rumus :
Contoh :
1. Pak Anton memprediksi harga tanah yang ingin dibelinya setahun kedepan sebesar Rp 300.000.000,00. Jika bunga bank 6%/bulan, berapa jumlah yang harus ditabung Pak Anton setiap bulan, agar dapat membeli tanah tersebut setahun lagi ?
i
i) 1
(1 n A
F
(1i)n 1
F i
A
Ekuivalensi A dan P
Notasi :
�=�
(
�� ,� %,�)
�=�(
�� ,� %,�)
Rumus :
(1i)n n A
P (1 )
1 i
i
n 1 ) (1
)n P (1
A
i i i
Latihan Soal
1. Putri menabung Rp 1.000.000,- pada 1 Januari 2002, dengan suku bunga 15% / tahun. Berapa nilai tabungan Putri pada 1 Januari 2012?
2. Rp 45.000.000,00 didepositokan di bank. Berapa jumlah deposito tiga tahun kedepan bila (a) bunga 6%/tahun, (b) bunga 6%/tahun dibayar per 4 bulan ?
3. Pengusaha memprediksi pengeluaran usahanya 400 juta pada tahun ketiga dan 600 juta pada tahun kelima.
Berapa uang yang harus dia siapkan ? (bunga 12%/tahun)
0 1 2 3 4 5
600 400
P
Latihan Soal
1. Investor menawarkan mesin seharga 68 juta dengan pembayaran 1,4 juta/bulan dalam lima tahun. Jika tingkat suku bunga bank 1%/bulan, diterimakah tawaran investor ?
2. Berapa yang harus ditabung dari 1 Januari 2010 dengan suku bunga 20% per tahun agar bisa diambil Rp 1.000.000,- tiap tahunnya dari 1 Januari 2011 sampai dengan 2018?
DERET GRADIEN ARITMATIK
(GRADIENT ARITMATIC SERIES)
1. Gradient Series Factor
Pembayaran per periode kadang-kadang tidak dilakukan dalam suatu seri pembayaran yang besarnya sama,
tetapi dilakukan dengan penambahan/pengurangan yang seragam pada setiap akhir periode.
Misalnya : Rp 100.000,00 ; Rp 90.000,00 ; Rp
80.000,00 ; dst, untuk seri pembayaran dengan penurunan yang seragam atau Rp 100.000 ; Rp 150.000,00 ; Rp
200.000,00 ; dst, untuk seri pembayaran dengan kenaikan yang seragam.
Cara pembayaran tersebut di atas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Rumus : A = A1 + A2
A2 = G [ 1/i - n/(1 + i)n – 1]
A2 (tabel) = G (A/G, i , n)
Keterangan :
A = pembayaran per periode dengan jumlah yang sama / /
A+(n-1)G A1+(n-2)G
A1+2G
A1+G A1
0 1 2 3 n-1 n
Contoh :
Si Doel pada thn pertama merencanakan
menginvestasikan uangnya sebesar Rp 10.000.000,00 dari sebagian hasil usahanya. Ia merasa bahwa kemampuannya menginvestasikan uangnya bertambah Rp 200.000,00 tiap tahun, dimana hal ini berlangsung selama 9 tahun
berikutnya. Bila tingkat bunga adalah 8%, berapa rata- rata tabungan Si Doel setiap tahunnya ?
Keterangan : A = pembayaran per periode dengan jumlah yang sama
A1 = pembayaran pada akhir peroide pertama
G = “gradient”, perubahan per periode n = jumlah periode
Penyelesaian :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11.8 11.6
11.4 11 11.2
10.8 10.6
10.4 10 jt 10.2
A = A1 + A2
= A1 + G (A/G, 8, 10)
= Rp 10.000.000,00 + Rp 200.000,00 (3,8713) = Rp 10.000.000,00 + Rp 774.260,00
= Rp 10.744.260,00
2. Aliran Kas Yang Tidak Teratur
Pada pembahasan sebelumnya aliran kas yang teratur dimana aliran kas terjadi sekali (tunggal) atau terjadi beberapa kali atau terjadi perubahan tetapi secara seragam.
Pada aliran kas yang tidak teratur besarnya aliran kas pada tiap periode tidak memiliki pola yang teratur.
Untuk itu menangani permasalahan aliran kas yang tidak teratur harus melakukan konversi satu persatu ke awal atau ke akhir periode sehingga didapat nilai total dari P, F atau A dari aliran kas tersebut.
Contoh :
Dari diagram alir gambar dibawah, dengan tingkat bunga 12% tentukan nilai P, F dan A dari keseluruhan
aliran kas tersebut.
Gambar Cash Flow :
0 1 2 3 4 5
Rp 6.000
Rp 10.000
Rp 3.000
Rp 12.000
Rp 8.000
Untuk memperoleh nilai P dari keseluruhan diagram, maka dilakukan konversi pada setiap
ada aliran kas ke nilai sekarang/awal (pada titik/tahun 0), sehingga :
P0 = Rp 6.000
P1 = Rp 10.000 (P/F, 12%, 1) = Rp 10.000 (0.8929)
= Rp 8.929
P2 = Rp 3.000 (P/F, 12%, 2) = Rp 3.000 (0.7972)
= Rp 2.391,6 P3 = 0
P4 = Rp 12.000 (P/F, 12%, 4) = Rp 12.000 (0.6355)
= Rp 7.626
P5 = Rp 8.000 (P/F, 12%, 5) = Rp 8.000 (0.5674)
= Rp 4.359,2
Nilai P dari keseluruhan aliran kas tersebut adalah : P = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5
= Rp 6.000 + Rp 8.929 + Rp 2.391,6 + 0 + Rp 7.626 + Rp 4.359,2
= Rp 29.485,8
Dengan didapatkannya nilai P maka Nilai F (pada tahun ke 5) dan Nilai A (selama 5 tahun) dapat dihitung
sebagai berikut : F = P (F/P, i%, n)
= Rp 29.485,8 (F/P, 12%, 5)
= Rp 29.485,8 (1.762) = Rp 51.95398 dan A = P (A/P, i%, n)
= Rp 29.485,8 (A/P, 12%, 5)
= Rp 29.485,8 (0.27741)
= Rp 8.179,66
Soal-soal Latihan
1. Seorang investor meminjam uang dari sebuah bank sebesar Rp. 100.000.000 dengan suku bunga pertahun sebesar 12%. Investor bermaksud mengembalikan
pinjamannya tersebut pada akhir tahun ke 10. Berapakah uang yang harus dibayarkan kelak?
2. Seorang investor berkeinginan mengivestasikan uangnya pada tahun ini pada sebuah bank yang
memberikan suku bunga 15% pertahun. Dia berharap setelah 10 tahun jumlah uang yang diinvestasikan akan mencapai jumlah sebesar Rp. 200.000.000. Berapakah uang yang harus diinvestasikan sekarang?
3. Tentukan besarnya nilai sekarang (Present Value) dari cash flow berikut ini dengan suku bunga 10 % per tahun :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ( + )
( - )
$ 3.000
$ 3.000 $ 2.000 $ 4.000 $ 2.000
4. Berapa nilai cash flow diatas pada akhir periode ke 8 ?
Ekuivalensi G
Arithmetic Gradient
Peningkatan uang dalam jumlah yang sama pada setiap periode (linear).
Disimbolkan dengan huruf G besar.
Ekuivalensi P dan G
Ekuivalensi F dan G Ekuivalensi A dan G
0 1 2 3 4 5
A
P
A+G
A+2G
A+3G
A+(n-1)G
0 1 2 3 4 5
A
P
A A A A
0 10 2 3 4 5
P
G 2G 3G
(n-1)G
= +
n
i i i
1 1
F G
n
n i%, G ,
G P P
i 1 i
1 i.n i
G 1
P 2 n
n
n i%, G, G A A
i 1 i
1 i.n i
G 1
A n
n
i
Ekuivalensi G
Contoh :
Sebuah UKM keripik apel baru saja membeli alat pengemas baru. Estimasi biaya
perbaikan alat tersebut dalam lima tahun kedepan tertulis dibawah. Berapa yang harus UKM tabung sekarang untuk biaya tersebut ? (bunga bank 5%/tahun)
Tahun
ke- Biaya perbaikan 1 Rp 1.200.000,00 2 Rp 1.500.000,00 3 Rp 1.800.000,00 4 Rp 2.100.000,00 5 Rp 2.400.000,00
P = A(P/A,5%,5) + G(P/G,5%,5)
= 1.200.000(P/A,5%,5) + 300.000(P/G,5%,5) = 1.200.000 . 4,329 + 300.000 . (8,237)
= Rp 7.660.000,00
0 1 2 3 4 5
1,2
P ?
1,5 1,8 2,1 2,4
0 1 2 3 4 5
1,2
P
1,2 1,2 1,2 1,2
0 10 2 3 4 5
P
30 60 90 120
=
+
Ekuivalensi G
Contoh :
Sebuah pabrik mengestimasi biaya perawatan mesin seperti pada tabel dibawah. Bila bunga 6% digunakan, berapa ekuivalensi tahunan biaya perawatan tersebut ?
Tahun ke-
Biaya perawatan 1 Rp 1.000.000,00 2 Rp 2.000.000,00 3 Rp 3.000.000,00 4 Rp 4.000.000,00
A = 1.000.000 + 1.000.000 . (A/G,6%,4)
= 1.000.000 + 1.000.000 . 1,427 = Rp 2.427.000,00
1 2 3 4
1jt 2jt
3jt
4jt
=
+
1 2 3 4
1jt 1jt 1jt 1jt
1 2 3 4
0
1jt 2jt 3jt
Contoh :
1. Berapa harus ditabung pada 1-1-2006 dengan suku bunga 15 % per tahun agar bisa diambil setiap tahun berturut-turut sbb :
Tanggal Pengambilan 1-1-2007Rp 500.000 1-1-2008Rp1.000.000 1-1-2009Rp1.500.000 1-1-2010Rp2.000.000 1-1-2011Rp2.500.000
Sehingga sisa tabungan itu persis habis
2. Berapa modal yang harus diinvestasikan sekarang dengan suku bunga 5 % per tahun, agar dapat disediakan Rp 12.000.000,- pada tahun ke 5; Rp 12.000.000,- pada tahun ke 10; Rp. 12.000.000,- pada tahun ke 15, dan Rp 12.000.000,- pada tahun ke 20?
3. Biaya pengoperasian dan pemeliharaan suatu mesin pada akhir tahun pertama Rp 155.000.000,-, dan naik tiap tahun Rp 35.000.000,- selama 7 tahun. Berapa uang yang harus disediakan sekarang untuk pengoperasian dan pemeliharaan selama 8 tahun dengan suku bunga 6 % per tahun
Jawaban :
1. P = A (P/A ; 15% ; 5) + G (P/G ; 15 % ; 5)
= (500.000 x 3,352) + (500.000 x 5,7751)
= Rp 4.563.550,-
2. Jawab :
n1 = 5 ; n2 = 10; n3 = 15 ; n4 = 20
F1 = 12 juta F2 = 12 juta F3 = 12 juta F4 = 12 juta
P1 = F1 (P/F ; 5 %; 5) = 12.000.000 (0,7835) = 9.402.000,- (Menjadi P2) P2 = F2 (P/F ; 5 %; 5) = 9.402.000 (0,7835) = ……
P3 = F3 (P/F ; 5 %; 5) = …… (0,7835) = ……..
P4 = F4 (P/F ; 5 %; 20) = ……. (0,7835) = ……..
Jadi modal yang harus diinvestasikan : P1 + P2 + P3 + P4 = Rp ………..
Atau F1 = F2 = F3 = F4
P = F (A/F ; 5 %; 5) (P/A ; 5 %; 20)
= 12.000.000 (0,18097) (12,462)
= Rp 27.063.000
Jawaban :
3. P = 155 juta (P/A; 6 %; 8) + 35 juta (P/G; 6 %; 8)
= 155 juta (6,210) + 35 juta (19,842)
= Rp 1.657.020.000,-
Terima kasih...
Semoga bermanfaat
