Pengembangan Model Rasch untuk Butir Politomi

Partial Credit Model (PCM)

PCM merupakan pengembangan dari model Rasch butir dikotomi yang diterapkan pada butir politomi. Model Rasch butir dikotomi yang berisi satu parameter lokasi butir kemudian dikembangkan dengan menjabarkan lokasi butir menjadi kategori. Persamaan Model Rasch (Rasch Model atau RM) menurut Han & Hambleton (dalam [Widhiarso W.,2010]) dituliskan sebagai berikut:

 

¹_{ }

1 ⁱ

i D b

P

e ^

  _{ }

 (1)

Nilai peluang setiap peserta berhasil mengerjakan item i merupakan fungsi logistik perbedaan parameter kemampuan θ dengan tingkat kesukaran item bi.

Persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai berikut:

 

_{ }

   

 

 

0

 

¹ 1

 

1 exp

1 exp

1 ⁱ

i i

i D b

i i i

D b P

P e ^ D b P P

 

  

 

   

  

 (2)

Sehingga persamaan RM untuk peserta n dan item i dengan skor x sebesar 0 dan 1 dengan kemampuan sebesar dan tingkat kesuakaran item sebesar δ adalah sebagai berikut (Widhiarso W., 2010).



1



1 0

1 exp

nix

n i

P untuk x

   

  (3)

dan

 



¹ 1



exp 1

1 exp

n i

nix

n i

P   untuk x

 

  

  (4)

Model di atas merupakan model estimasi pada bentuk soal dengan skala penskoran dikotomi. Kemudian dikembangkan pada skala politomi yang memiliki pola skor x sebesar 0,1,2,3,..., mi. Sehingga peluang seorang peserta pada tingkat kemmpuan θ meraih skor x diatas x-1 dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut (Hambleton, dkk, 1991):

         

 

 

1

exp 0,1, 2,3,...,

1 exp

ix i

i

ix ix i

D b

P untuk x m

P P D b

 

  



  

   (5)

 

Pix  dan Pi x_{ }1_

 

 mengacu pada peluang seorang peserta dengan kemampuan θ meraih skor x dan x-1. Sehingga peluang seorang peserta dengan kemampuan θ untuk memperoleh skor x pada item i dengan tingkat kesukaran item sebesar δ dapat dituliskan sebagai berikut:

 

 

 

1 0 (6)

1 exp

exp 1, 2,3,..., (7)

1 exp

nix

n ij

n ij

nix i

n ij

P untuk x

P untuk x m

 

 

 

 

 

  

 

dimana:

Pnix(θ) = Peluang peserta ke-n dengan tingkat kemampuan θ memperoleh skor x pada butir i

θn = Tingkat kemampuan peserta

δij = Tingkat kesukaran tahap (j) pada butir (i).

PCM pada skala politomi yang merupakan pengembangan dari model Rasch pada skala dikotomi. Asumsi pada PCM yakni setiap butir mempunyai daya beda yang sama, namun indeks kesukaran dalam setiap

langkah tidak perlu terurut, suatu langkah dapat lebih sulit dibandingkan langkah berikutnya. Skor kategori pada PCM menunjukkan banyaknya langkah untuk menyelesaikan dengan benar butir tersebut. Skor yang lebih tinggi menunjukkan kemampuan yang lebih besar daripada skor kategori yang lebih rendah. Jika i adalah butir politomi dengan kategori skor x sebesar 0,1,2,…, mi,

Maka, probabilitas respons individu n dengan tingkat kemampuan

 memperoleh skor kategori j pada butir soal i, dinyatakan oleh (Master,1982) dengan persamaan, sebagaai berikut:

0

0

( _ij) 0

j

 



 



^dan

0 1

( ) ( )

h h

ij ij

j j

   

 

  

 

   

 

0

0

exp

0,1, 2,...,

iexp

x j ij

nix m h i

h j ij

P   untuk x m

  





  





 

(8)

dimana:

Pnix(θ) = Peluang peserta ke-n dengan tingkat kemampuan θ memperoleh skor x pada butir i

x = Skor peserta

j = Kategori/tahap dalam butir soal i = Butir soal

n = Peserta

θn = Tingkat kemampuan peserta ke n

δij = Tingkat kesukaran tahap (j) pada butir (i)

Langkah-Langkah Partial Credit Model (PCM) Untuk Analisis Butir Politomi Partial Credit Model (PCM) merupakan pengembangan dari Model Rasch butir dikotomi yang diterapkan pada butir politomi. Model

Rasch butir dikotomi yang hanya berisi satu parameter lokasi butir kemudian dikembangkan dngan menjabarkan lokasi butir menjadi beberapa kategori.

Dalam skala penskoran politomi memiliki skor x sebesar 0,1,2,3,…,mi. Peluang seorang peserta tes dengan tingkat kemampuan  meraih skor x dapat dihitung dengan menggunakna persamaan sebagai berikut :

   

 

0

0

exp

0,1, 2,...,

iexp

x j ij

nix m h i

h j ij

P   untuk x m

  





  





 

⁽⁸⁾

Persamaan diatas merupakan model Partial Credit Model (PCM) dalam skala politomi.

Adapun langkah-langkah dalam menganalisis butir politomi untuk menentukan peluangnya dengan menggunakan Partial Credit Model (PCM), sebagai berikut:

1) Siapkan data skor dari setiap butir soal yang diraih oleh seluruh responden. Urutkan skor sesuai urutan dari responden pertama sampai ke-n. Misalkan, urutkan data dengan menginput nomor butir soal secara horizontal / pada baris pertama. Kemudian, untuk nomor urut responden di input secara vertical / pada kolom pertama.

2) Urutkan data di atas berdasarkan jumlah skor tertinggi hingga jumlah skor terendah yang diraih oleh responden. Hal ini dilakukan dengan tujuan agar mempermudah dalam menentukan Kelompok Atas dan Kelompok Bawah.

3) Data yang sudah diurutkan tersebut akan dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu Kelompok Atas dan Kelompok Bawah. Dari data yang telah diurutkan di atas, Kelompok Atas diambil berdasarkan jumlah skor responden yang teratas atau dari urutan ke-1 sampai setengah dari jumlah datanya. Sedangkan Kelompok Bawah diambil berdasarkan

jumlah skor responden yang terendah dari urutan selanjutnya sampai dengan jumlah skor responden yang terakhir. Misalkan jumlah responden terdapat 10 orang, maka Kelompok Atas diambil dari urutan jumlah skor teratas dari urutan ke-1 sampai ke-5, dan untuk Kelompok Bawah diambil dari urutan jumlah skor terendah dari urutan ke-6 sampai ke-10.

4) Tentukanlah nilai



H (kelompok atas) dari setiap butir soal dan



L (kelompok bawah) dari setiap butir soal.

5) Untuk menghitung peluang menjawab butir soal dengan benar setiap responden, maka harus di hitung terlebih dahulu

6) Hitung nilai Indeks Kesukaran setiap butir soal, dengan tingkat kemampuan yang standar dari responden dengan  = 0,5.

Untuk rumus Indeks Kesukaran butir soal dapat digunakan yang jenis soal uraian.

7) Langkah terakhir, menghitung Peluang responden menjawab butir soal dengan benar, menggunakan persamaan Partial Credit Model (PCM) dalam skala politomi (persamaan 8).

Skor Tes Metakognitif Siswa

Menghitung Peluang/Probabilitas peserta tes dengan menggunakan rumus Partial Credit Model (PCM)

   

 

   

 

0

0 5

1

30,1,5 5

1

exp exp

exp 0,5 0, 233

0,5

exp 0,5 0, 233

i

x j ij

nix m h

h j ij

j j h

h j j

P

P

  

 









 



 





 



 

 

 

 

5 1

1 1

5 1 5 1 5 1

exp 0,5 (0, 233. ) exp 0,5 (0, 233.1) exp 0, 267

1,3

j_  j

 





 







 

   

 

 

 

5 2

2 1

5 2 5 2 5 2 5 2

exp 0,5 (0, 233. )

exp 0,5 (0, 233.1) 0,5 (0, 233.2 exp 0, 267 0.034

exp 0,301 1,35

j_  j

   

 





 









 

   

 

 

 

5 3

3 1

5 3 5 3 5 3 5 3

exp 0,5 (0, 233. )

0,5 (0, 233.1) 0,5 (0, 233.2) exp 0,5 (0, 233.3)

exp 0,301 ( 0,199) exp 0,102

1,11

j_  j

  

 

   

  





 









 

   

   

 

 

5 4

4 1

5 4 5 4 5 4 5 4

exp 0,5 (0, 233. )

0,5 (0, 233.1) 0,5 (0, 233.2) exp 0,5 (0, 233.3) 0,5 (0, 233.4) exp 0,102 ( 0, 432)

exp 0,33 0,72

j_  j

   

 

     

  

 



 









 

   

   

 

 

 

5 5

5 1

5 5

5 5 5 5 5 5

exp 0,5 (0, 233. )

0,5 (0, 233.1) 0,5 (0, 233.2) exp 0,5 (0, 233.3) 0,5 (0, 233.4)

0,5 (0, 233.5) exp 0,33 ( 0,665) exp 0,995

0,37

j_  j

   

 

 

     

  

 

   

 



 









   

 

   

   

 

 

 

5 1

30,1,5 5

1

exp 0,5 0, 233 0,5

exp 0,5 0, 233

0,5 (0, 233.1) 0,5 (0, 233.2) exp 0,5 (0, 233.3) 0,5 (0, 233.4)

0,5 (0, 233.5)

1,3 1,35 1,11 0,72 0,37 exp 0,995

4,85 0,37 4,85 0,076

j j h

h j j

P ^



 



  

 

 

   

 

  

 

    

 







 

Jadi, peluang siswa menjawab benar pada butir soal ke-1 sebesar 0,076