PENGENALAN MATLAB

MODUL 1

PENGENALAN MATLAB

I. Pendahuluan

Matlab singkatan dari Matrix Laboratory. Matlab merupakan bahasa pemrogaman yang dikembangkan oleh The Mathwork .Inc. Bahasa pemograman ini banyak digunakan untuk perhitungan numerik keteknikan, komputasi simbolik, visualisasi grafis, analisis data matematis, statistika, simulasi pemodelan, dan desain GUI (graphical user interface). Pada praktikum Sistem Instrumentasi ini matlab hanya digunakan untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan bidang instrumentasi elektronika walaupun Matlab merupakan alat yang sangat ampuh untuk berbagai macam keperluan scientific ataupun engineering lainnya.

Dalam bidang instrumentasi, matlab digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam persoalan, seperti simulasi sistem kontrol, pengolahan sinyal digital, pengolahan citra (image processing), wavelet, fuzzy logic, neural network, cdma dan sistem komunikasi, dan lain sebagainya. Pada modul ini hanya akan dibahas mengenai hal-hal yang berkaitan dengan pemecahan masalah-masalah matematik, visual grafis, kontrol dan statistik.

1.1 Memulai Matlab

Pada saat anda membuka matlab maka akan muncul tampilan seperti pada gambar berikut :

Work Space

Command Window

Command History

Gambar 1 Tampilan matlab 6.5

Terlihat terdapat 3 window utama yaitu : Work Place, Command Window dan Command History. Work Space adalah jendela yang berfungsi untuk menyimpan variabel- variabel dan nilai-nilai yang anda buat. Command window adalah jendela untuk menuliskan instruksi-instruksi untuk matlab. Pada bagian sebelah kiri pada window command terdapat tanda berikut : >> , tanda tersebut merupakan penanda instruksi , artinya instruksi dituliskan setelah tanda tersebut. Sedangkan solusi yang ditampilkan tidak disertakan tanda tersebut, artinya tanda >> merupakan pembeda anatara instruksi dengan solusi. Pada command window proses eksekusi dilakukan dengan menekan enter, artinya setelah menuliskan instruksi maka kita harus menekan enter untuk menuju pada solusi atau penulisan instruksi yang baru. Untuk lebih jelasnya perhatikan cuplikan proses menghitung pada command windows sbb :

>> gl = cos (3*pi / 4) ; merupakan instruksi yang diberikan pada matlab

gl = -0.7071 ; merupakan solusi/hasil yang diberikan oleh matlab

1.2 Berbagai Karakter Spesial

Tanda % merupakan penanda komentar. Keterangan setelah tanda tersebut akan diabaikan dalam proses perhitungan. Misalnya:

>> y = 2: 1: 5 %y = [2 3 4 5 ] y = 2.00 3.00 4.00 5.00

Tanda ; merupakan perintah pembatas yang tidak ditampilkan di jendela kerja, merupakan pemisah kolom dan baris dalam matriks.

Contoh:

Diberikan suatu Matriks sbb:

= A

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

6 5 4

3 2 1

Untuk merepresentasikan bentuk tersebut terlebih dahulu harus dilakukan penulisan instruksi pada command window sbb :

>> A = [1 2 3; 4 5 6]

Setelah intruksi dieksekusi /menekan enter maka pada command window akan ditampilkan bentuk matriks sbb :

A = 1 2 3 4 5 6

1.2.1 Tanda ( : ) merupakan pembatas jangkauan, pada command window, Perhatikan contoh berikut :

>> B = [0: 3: 9]

B = 0 3.00 6.00 9.00

Keterangan : Matriks baris akan dimulai dari angka 0 [0: 3: 9] kemudian ditambahakn 3 [0: 3: 9] dan berhenti pada angka 9 [0: 3: 9].

1.2.2 Tanda ( ’ )merupakan transpose matriks, misal :

>> A = [1 2 3; 4 5 6]

A = 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

>> A = A’

A = 1.00 4.00 2.00 5.00 3.00 6.00

Berikut ini adalah daftar operasi dasar aritmatika di matlab:

Operasi Simbol Penambahan +

Pengurangan - Perkalian * Pembagian / dan \ Perpangkatan ^

Dalam matlab tersedia file-file bantuan (help file) yang dapat anda gunakan jika diperlukan. Caranya, dengan mengetikkan “help” pada command window atau dengan mengklik menu Help pada daftar menu dan anda dapat mencari help file setiapkali anda membutuhkan penjelasan tambahan.

1.3 M-File

File-file yang mengandung perintah-perintah disebut M-File. Ada dua jenis M-File yaitu script file dan function file. Script File tidak menggunakan argumen input atau mengembalikan argumen output. Function file dapat menggunakan argumen input atau mengembalikan argumen output. Untuk membuka m-file klik menu File, kemudian pilih New dan klik M-File akan tampil matlab Editor/Debugger. Di m-file ini anda dapat mengetikkan kode, mengubah dan lain sebagainya. Selesai mengetik klik menu File dalam layar Matlab editor/debugger dan pilih save as... pilih atau tuliskan nama file anda, misalnya: firstgraph.m dan klik pada tombol Save. Pastikan File anda tersimpan dalam direktori yang ada dalam jalur pencarian matlab.

Gambar 2 Tampilan M-File

II. Pemecahan persoalan matematik dengan Matlab 2.1 Pendahuluan

Pada dasarnya untuk memanfaatkan matlab sebagai sebuah tools pemecah masalah matematik maka kita harus merepresentasikan masalah tersebut kedalam bahasa matlab.

Kemudian gunakan command yang berkaitan dengan masalah yang dihadapi untuk mencari solusi dari permasalahan yang dimaksud. Command-command untuk penanganan masalah matematika umum sudah built–in dalam matlab, artinya kita tidak perlu repot membuat program-program tertentu untuk membuat suatu fungsi tertentu.

2.2 Matrik

Untuk menangani masalah-masalah matrik, langkah awal yang harus kita lakukan adalah merepresentasikan bentuk matrik yang dimaksud kedalam bentuk tertentu yang dipahami oleh matlab. Coba tinjau kembali pada bab 1.2 mengenai representasi matrik pada matlab.

CONTOH :

Kepada anda diberikan matrik a yang dinyatakan sebagai berikut :

>> a = [ 1 2 3 4 ; 4 5 6 7 ; 7 8 9 10 ;5 6 7 8 ] a =

1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 10 5 6 7 8

Untuk mengambil nilai dari diagonal utama matrik gunakan command diag sbb :

>> diag(a) ans = 1 5 9 8

Untuk melakukan penjumlahan matrik dalam hal ini adalah penjumlahan dengan matrik transposenya, dapat dilakukan menurut langkah berikut :

>> a + a'

ans =

2 6 10 9 6 10 14 13 10 14 18 17 9 13 17 16

Untuk mencari determinannya gunakan command det sbb :

>> det(a) ans = 0

Note : Apabila determinan bernilai 0 maka matrik tersebut merupakan matrik singular !

Kepada anda diberikan suatu matrik y yang dinyatakan sbb :

>> y = [ 1 2 3; 4 5 6;7 5 4]

y =

1 2 3 4 5 6 7 5 4

Untuk mencari inversnya gunakan command inv sbb :

>> inv(y) ans =

3.3333 -2.3333 1.0000 -8.6667 5.6667 -2.0000 5.0000 -3.0000 1.0000

Note : Matrik dikatakan singular jika matrik tersebut tidak memiliki nilai invers !

2.3 Operasi Turunan dan Integral

Dengan menggunakan matlab untuk menghitung turunan pada semua fungsi matematik yang mungkin dapat dilakukan dengan menggunakan command diff.

Sedangkan untuk menghitung integral pada semua fungsi matematik yang mungkin pula dapat dilakukan dengan menggunakan command int.

Untuk maksud tersebut perhatikan contoh berikut ini :

Carilah turunan dan Integral dari X³ + 2X² +5 dengan menggunakan matlab !

>> ^{syms x} % mendeklarasikan variabel x sebagai simbol

>> diff(X^3 + 2*X^2 +5 ) % menghitung turunan

ans =

3*X^2 + 4*X

>> int( X^3 + 2*X^2 +5 ) % menghitung integral

ans =

1/4*X^4 + 2/3*X^3+5*X

2.4 Polinomial

Malab menyediakan fungsi operasi standar dari polinom, seperti akar polinomial, evaluasi , dan turunan. Sebagai tambahan, fungsi-fungsi berikut diberikan untuk aplikasi lebih lanjut, seperti pencocokan kurva dan ekspansi parsial.

CONTOH :

Kepada anda diberikan sebuah persamaan polinomial berikut :

p(x)= x³ −2x−5 ...(1) Untuk merepresentasikannya kedalam matlab, instruksi berikut :

>> p = [1 0 -2 -5];

Untuk mencari akar polinom pada contoh diatas gunakan command roots sbb :

r = roots(p) r =

2.0946

-1.0473 + 1.1359i -1.0473 - 1.1359i

Note : akar-akar tersebut disimpan dalam bentuk vektor kolom !

Untuk mengembalikan kepada koefisien polinomnya gunakan command poly sbb

>> p2 = poly(r) p2 =

1.0000 0 -2 -5

Untuk mencari nilai polinomial p(x) (lihat pers 1) pada x = 5, gunakan command polyval sbb :

>> Polyval(p,5) ans =

110

Kepada anda diberikan 2 buah persamaan polinomial berikut : a(s) =s²+2s+3 dan b(s) = 4s²+5s+6

Untuk menghitung hasil kalinya gunakan command conv sbb:

>> a = [1 2 3]; b = [4 5 6];

>> c = conv(a,b)

c =

4 13 28 27 18

Untuk mengerjakan operasi pembagian polinom gunakan command deconv. Pada kasus ini dilakukan pembagian antara hasil kali polinom a dan b /polinom c dibagi dengan polinom a, kerjakan langkah –langkah berikut :

>> [q,r] = deconv(c,a) q =

4 5 6 r =

0 0 0 0 0

>> [q,r] = deconv(c,b) q =

1 2 3 r =

0 0 0 0 0

Note : Notasi r menyatakan polinom sisa yang mungkin !

2.4.1 Turunan polinom

Fungsi polyder menghitung turunan setiap polinomial. Untuk mendapatkan turunan dari polinom x³ -2x+5 = 0 dengan menggunakan matlab:

>> p = [1 0 -2 5];

>> q = polyder(p) q =

3 0 -2

Polyder juga menghitung deviasi perkalian atau pembagian dua polinomial. Sebagai contoh, kita buat polinomial a dan b:

>> a = [1 3 5];

>> b = [2 4 6];

>> c = polyder(a,b) c =

8 30 56 38

2.4.2 Ekspansi fraksi parsial

Fungsi residu mencari rasio ekspansi fraksi parsial dari dua polinomial. Fungsi ini sangat berguna untuk menggambarkan sistem dalam bentuk fungsi transfer. Untuk polinomial b dan a, dirumuskan sebagai berikut:

s n

n k

p s

r p

s r p

s r p s

r s

a s

b +

+ −

− +

− +

− +

= ...

) (

) (

3 3 2 2 1 1

dimana r adalah vektor kolom residu, p adalah lokasi kutub vektor kolom dan k adalah vektor baris. Misalkan diberikan fungsi transfer berikut:

Contoh :

Diberikan fungsi transfer berikut:

6 11 6

6 3 5 2 ) (

) ) (

( _{3 2}

2 3

+ + +

+ +

= +

= s s s

s s s s A

s s B H

dalam matlab dapat dituliskan sebagai berikut:

>> num = [2 5 3 6];

>> den = [1 6 11 6];

>> [r,p,k] = residue(num,den) r =

-6.0000 -4.0000 3.0000 p =

-3.0000 -2.0000 -1.0000 k =

2

hasil diatas secara analitis dapat dituliskan sebagai berikut:

1 2 3 2 4 3 6 ) (

)

( +

+ + + + − +

= −

s s

s s A

s B

untuk mengembalikan ke bentuk semula kita ketikkan:

>> [num,den] = residue(r,p,k) num =

2.0000 5.0000 3.0000 6.0000 den =

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

2.5 Persamaan Differensial Biasa (ODE)

Persamaan differensial sulit untuk diselesaikan. Namun, matlab merupakan suatu alat canggih untuk menyelesaikaan persamaan differensial. Alat tersebut adalah suatu fungsi yang benama dsolve, sintaks yang digunakan oleh dsolve harus dalam bentuk string.

Untuk lebih jelasnya misalkan diberikan suatu persamaan differensial orde pertama sebagai berikut:

Contoh 1:

Kepada anda diberikan sebuah persamaan diferensial berikut : ay dt dy =−

Maka solusinya dapat dicari dengan menggunakan matlab sbb:

>> y = dsolve('Dy = -a*y') y =

C1*exp(-a*t)

Contoh 2:

Dari persamaan diatas a y dt

dy =− * , dengan menggunakan parameter y(0)=1 Solusi khususnya dapat dicari dengan matlab sbb:

>> y = dsolve('Dy = -a*y','y(0) = 1') y =

exp(-a*t)

Contoh 3:

Diberikan persamaan berikut:

0 3

2 2

2 − − y=

dt dy dt

y d

solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan matlab sebagai berikut:

>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’) y =

C1*exp(t)^3+C2/exp(t)

dengan menerapkan kondisi awal y(0)=0 dan y(1)=1 menghasilkan:

>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’, ’y(0)=0’, ‘y(1)=1’ ) y =

-1/(-exp(3)+exp(-1))*exp(3*t)+1/(-exp(3)+exp(-1))*exp(-t)

dengan menggunakan command simple (y) pada MATLAB maka solusinya menjadi :

>> simple(y) y =

-exp(3*t)+exp(-t))/(-exp(3)+exp(-1))

III. Import Data & Curve Fitting.

3.1 Import Data dari Microsoft Excel spreadsheet file (.xls) ke Matlab

Misalkan terdapat Microsoft Excel spreadsheet file dengan nama dataku.xls yang mengandung data berikut :

1 6 2 7 3 text 9 5 10

untuk membacanya dalam ruang MATLAB, maka digunakan command sebagai berikut :

>> A = xlsread('dataku.xls') A =

1 6 2 7 3 NaN NaN 9 5 10

Selain data numeric, MATLAB akan mengidentifikasikan data tersebut dengan NaN (Not a Number).

Untuk mengimport data tertentu saja pada lembar kerja Excel, misal range dari A4 ke B5 pada worksheet 1, maka gunakan command berikut :

A = xlsread('dataku.xls', 1, 'A4:B5') A =

NaN 9 5 10

Untuk mengimport kedua jenis data tersebut (numeric dan text) gunakan perintah berikut :

[ndata, text] = xlsread('dataku.xls') ndata =

1 6 2 7 3 NaN NaN 9 5 10 text =

'text'

3.2 Curve Fitting

Pencocokan kurva atau regresi ialah metoda untuk menemukan suatu kurva halus yang paling mendekati data yang sesungguhnya. Yang dimaksud dengan yang paling mendekati ialah meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat pada setiap point data dan kurva yang digunakan dibatasi pada polinomial. Perhatikan contoh dibawah.

Contoh : Perbandingan kurva

>>x = [0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]

>>y = [-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]

Dalam MATLAB, fungsi polyfit menyelesaikan masalah pencocokan kurva kuadrat terkecil. Data diatas kita masukkan dan tentukan derajat polinomial yang kita inginkan paling mendekati data. Derajat n=1 maka pendekatan garis lurus (regresi linear), namun pada contoh diatas kita akan menggunakan n=2 polinomial kuadratis.

>> p = polyfit (x,y,2) p =

-9.8108 20.1293 -0.0317

Hasil dari polyfit ialah vektor baris yang berisi koefisien- koefisien polinomial dengan solusi p = -9.8108x² + 20.1293x – 0.0317. Bandingkan kurva hasil curve fitting dengan data point to point-nya.

>> xi = linspace (0,1,100)

perintah diatas menciptakan data sumbu x untuk menggambarkan polinomial

>> z = polyval (p,xi)

perintah ini mengevaluasi polinomial p pada setiap point data dalam xi. Gambarkan data point to point dengan ‘o’ dan kurva hasil curve fitting dengan garis terputus-putus dengan perintah.

>> plot (x,y,’-o’,xi,z,’:’)

Gambar 3. Perbandingan Kurva Point to Point VS Curve Fitting.

IV Bode Plot

Bode plot adalah representasi dari magnitudo dan fase dari fungsi transfer G(ω) (dimana vektor frekuensi ω hanya berisi frekuensi positif). Bode plot berfungsi untuk melihat karakteristik dari suatu filter atau sistem kontrol.

Respon frekuensi suatu sistem dapat dipandang dalam dua cara. Memilih bode plot atau lewat diagram Nyquist. Keduanya memberikan informasi yang sama. Kita akan memperlajari dalam praktikum ini :

• Respon frekuensi digambarkan/direpresentasikan dari system repon atas masukan sinusoidal pada frekuensi yang beragam. Keluaran system linear atas masukan sinusoidal pada frekuensi yang sama namun berbeda ukuran dan fasenya.

• Respon frekuensi didefinisikan sebagai ukuran (magnitude) dan beda fase antara masukan dan keluaran sinusoidal. Dalam praktikum ini kita dapat mengetahui cara kerja respon frekuensi loop-terbuka suatu system untuk memprediksikan tingkah laku system dalam loop tertutup.

Contoh bode plot untuk filter lolos rendah (Low Pass Filter) LPF

Gambar 4. Rangkaian LPF RC.

Bentuk fungsi transfer dari rangkaian diatas ialah :

P P

j RC j 1

1 RC ) 1 (

G ω ω

ω ω ω

= + +

=

Apabila diketahui R = 150 ohm dan C = 10^-7 F maka fungsi transfer : 7

66666.6666 j

66667 . 66666 j

RC j 1

1 RC ) 1 ( G

P P

= +

= + +

= ω ω ω

ω ω

ω

Untuk membuat bode plot dengan menggunakan MATLAB dapat dilakukan dengan cara :

>> bode (66666.66667, [1 66666.66667])

Gambar 5. Bode Plot LPF RC.

Contoh bode plot untuk sistem kontrol :

Misalkan diberikan fungsi transfer sistem kontrol dalam Laplace sebagai berikut.

40 s 30 9s s G(s) _{3 2}50

+ +

= +

dalam MATLAB direpresentasikan sebagai berikut :

>> bode (50, [1 9 30 40])

maka hasilnya :

Gambar 6. Bode Plot Transformasi Laplace Fungsi di atas.

V. Transformasi Laplace 5.1 Pendahuluan.

Adakalanya suatu bentuk persamaan diferensial tertentu sulit untuk dipecahkan.

Oleh karena itu persamaan diferensial tersebut harus ditransformasikan kedalam bentuk aljabar biasa sehingga persamaan difrensial tersbut akan lebih mudah untuk dipecahkan.

Salah satu caranya adalah dengan menggunakan transformasi Laplace. Perlu diketahui bahwa persamaan diferensial yang menceritakan sebuah sistem tertentu dalam dunia instrumentasi terkadang tidak terkontrol, sehingga akan sulit jika tidak ditransformasikan dahulu dengan transformasi laplace.

Pada umumnnya transformasi laplace didefinisikan sebagai berikut:

F(s) = ⁼

∫

^{∞ −} ...(2)

0

dt e t F t

f

L{ ( )} ( ) ^st

dimana f(t) adalah fungsi yang akan ditransformasikan ; F(s) adalah fungsi hasil transformasi laplace ; Variabel s adalah bilangan kompleks ; L adalah simbol dari pernyataan transormasi laplace.

5.2 Sifat matematik transormasi Laplace Beberapa sifat transformasi laplace :

a. Sifat Linear

) ( ) ( ) ( )}

( ) ( ) (

{f t g t h t f s g s h s

L + + = + +

b. Pengubah Skala L{f(t)} = f(t) maka

) 1 ( }}

(

{ a

f s at a

f

L =

c. Laplace untuk turunan L{f(t)} = f(t) maka

) 0 ( ) ( }}

( '

{f t sf s f

L = −

d. Laplace untuk integral L{f(t)} = f(t) maka

) 1 ( } } (

{ f s

dt s t f

L

∫

=

Beberapa contoh hasil transformasi Laplace yang telah diturunkan : o f(t) = 1 ---Æ f(s) = 1/s

o f(t) = tⁿ ---Æ f(s) = n!/sⁿ⁺¹ o f(t) = e^at ---Æ f(s) = 1/s-a o f(t) = sin at ---Æ f(s) = a / (s² + a²) o f(t) = cos at ---Æ f(t) = s / (s² + a²)

5.2.1 Transformasi laplace dengan matlab

Dengan menggunakan matlab kita tidak perlu menggunakan persamaan 2 untuk melakukan tranformasi laplace. Matlab telah menyediakan sebuah command untuk menangani tranformasi laplace ,command tersbut adalah laplace.

Dibawah ini diperlihatkan mengenai penggunaan command laplace.

Contoh 1:

Misalkan diberikan fungsi , maka untuk mencari transformasi laplacenya dengan menggunakan matlab:

e at

t F( )= ⁻

>> syms t a

>>laplace (exp(-a*t)) ans =

1/(s+a)

Contoh 2:

) cos(

)

(t e bt

F = ^−at

maka untuk mencari transformasi laplacenya dengan menggunakan matlab:

>> syms t a b

>> laplace(exp(-a*t)*cos(b*t)) ans =

(s+a)/((s+a)^2+b^2)

5.3 Invers Laplace

Setelah suatu fungsi telah ditransformasikan kedalam tansformasi laplace dan berhasil dipecahkan maka fungsi laplace yang bersangkutan harus dikembalikan kedalam bentuk aslinya.

Invers matlab didefinisikan sbb:

ds e s L t

F

j c

j c

∫

^∞ st +

∞

−

= ( ) )

( ...(3)

dimana L(s) adalah hasil transformasi laplace; F(t) merupakan fungsi asli sebelum ditransformasikan ; c merupakan suatu bilangan real.

5.3.1 Invers Laplace dalam matlab

Dengan menggunakan matlab kita tidak perlu menggunakan persamaan 3 untuk melakukan invers laplace. Matlab telah menyediakan sebuah command untuk menangani tranformasi laplace ,command tersbut adalah ilaplace.

Dibawah ini diperlihatkan mengenai penggunaan command ilaplace Contoh 1:

Misal fungsi Laplace

) ( ) 1

(s s a

L = + , maka untuk mencari fungsi inversnya dengan menggunakan matlab:

>> syms s a

>> ilaplace(1/(s+a)) ans =

exp(-a*t)

Contoh 2:

2

2 b

a) a)/((s (s

)

(s = + + +

L

maka untuk mencari fungsi transformasinya dengan menggunakan matlab:

>> syms s a

>> ilaplace((s+a)/((s+a)^2+b^2)) ans =

exp(-a*t)*cos(b*t)

Contoh 3:

2 2

2 )

(s 2.a.s )

(s a

L = +

maka untuk mencari transformasi laplacenya dengan menggunakan matlab:

>> syms s a

>> ilaplace(2*a*s/(s^2+a^2)^2) ans =

t*sin((a^2)^(1/2)*t)

CURVE FITTING TOOLBOX

Misalnya, data pengukuran simpangan osilasi pegas setiap 2 detik ialah sebagai berikut.

30 -0.9 32 0.0 34 0.3 36 0.8 38 -0.2 40 0.7 42 -0.6 44 0.8 46 -0.6 48 0.9 50 0.4 52 0.2 54 1.0 56 0.2 58 0.2

Masukkan data ini ke Matlab. Ada beberapa cara, misalnya dengan membuat matrik x sebagai berikut.

X, detik Y, cm

0 5.5 2 3.1 4 -0.3 6 -3.0 8 -0.8 10 0.0 12 1.2 14 1.2 16 0.1 18 -0.1 20 -1.4 22 -1.0 24 0.5 26 1.3 28 -0.1

>> x = [0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58];

Begitu pula untuk y. Namun dengan cara ini sedikit sulit untuk mengedit data yang telah dimasukkan, apalagi jika datanya banyak. Cara yang lebih mudah ialah dengan membuat matrik kosong terlebih dahulu.

>> x=[];

>> y=[];

Kemudian klik tab ^workspace, klik ganda x, untuk menampilkan Array editor – x. Jika ingin mengedit data, cukup klik ganda pada data yang ingin diedit tersebut. Walaupun tentu saja untuk data x ini lebih mudah dengan menulis

>> x=[0:2:58];

karena untuk contoh ini data x teratur, tetapi tidak untuk data y.

Dengan cara ini anda dapat mengedit data semudah mengedit data di Ms-Excel.

Gambar 7. Window Workspace, memuat name, value, dan class dari variabel pada Command Window.

Gambar 8. Window Array Editor – x, input dan edit data berjumlah banyak menjadi lebih mudah.

Gambar 9. Mengaktifkan Toolbox Curve Fitting.

Aktifkan Toolbox Curve Fitting melalui Start > Toolboxes > Curve Fitting >

Curve Fitting Tool. Jika pada start menu tidak terdapat pilihan Toolboxes, maka Anda dapat mengaktifkan Curve Fitting dengan mengetik >> cftool pada comand window. Klik Data...,pilih x pada X Data, pilih y pada Y Data. Ketikkan nama data pada Data set name, misalnya “data osilasi”, klik Create data set, tutup window Data dengan mengklik Close.

Dapat juga menggunakan cara lain sebagai berikut. Pada window Curve Fitting Tool, klik

Fitting...untuk menampilkan window Fitting. Klik New fit, masukkan nama data fitting pada ^{Fit name}, misalnya “fit data osilasi”. Pilih data osilasi pada ^{Data set}. Tentukan tipe fitting pada Type of fit, tetapi dari kecenderungan data kita menduga

bahwa ini data osilasi teredam, maka pilih Custom equations, klik New equation..., klik tab General Equations. Tuliskan persamaan untuk mem-fit data, misalnya persamaan osilasi a*exp(-b*x)*sin(c*x+d). Anda dapat mengubah tebakan awal dengan mengganti nilai pada kolom ^StartPoint, klik ^OK. Klik ^Apply untuk memulai perhitungan.

Setelah beberapa detik, pada Results didapat hasil berikut.

General model:

f(x) = a*exp(-b*x)*sin(c*x+d)

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 5.353 (4.269, 6.438) b = 0.1004 (0.06505, 0.1358) c = 0.4956 (0.4509, 0.5403) d = 1.361 (1.034, 1.688)

Goodness of fit:

SSE: 9.442

R-square: 0.8426

Adjusted R-square: 0.8244 RMSE: 0.6026

Klik ^Close untuk keluar dari window Fitting. Pada window Curve Fitting muncul plot dari data dan hasil fitting. Untuk mengubah opsi plotting, klik Plotting..., cek data apa saja yang ingin diplot.

Untuk menganalisa data, klik Analysis.... Ubah titik-titik yang akan dianalisis pada

Analyze at Xi, misalnya masukkan ^0:2:58 untuk menganalisa range data dari 0 hingga 58 dengan kenaikan (increment) 2. Masukkan tingkat kepercayaan/konfidensi pada Level. Untuk melihat kecepatan dan percepatan, cek 1st derivative at Xi dan 2nd derivative at Xi. Jika ingin melihat integrasi data, cek Integrate to Xi. Klik ^Plot

results untuk menampilkan plot analisis. Klik Apply.

Gambar 10. Output plotting dari analisis data.

VI. Tugas Praktikum

1. Diberikan matriks berikut: A =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

12 3 11 5

6 4 5 3

7 7 6 2

12 6 4 10

a. Apakah matrik di atas termasuk matrik singular?

b. Tentukan determinannya?

c. Tentukan tranpose dari matrik A!

d. Tentukan invernya!

e. Tentukan hasil kali matrik A dengan tranposenya!

2. Carilah solusi dari persamaan berikut ini : a) (dy+(2ty−te^−t2)dt =0

b) (1−t²)dy−(ty+2t 1−t²)dt =0

c) (t ln(t))y’ + y = ln(t)

d) (2te^3y +e^t)dt+(3t²e^3y −y²)dy =0 e) y’’ + y’ – 2y = e^2t

f) y’’ + 2y’ + 10y = 100 cos(4t)

3. Suatu rangkaian RLC dengan V=0, memiliki persamaan V

cq dt Rdq dt

q

Ld + +1 =

2 2

diketahui R = 16 ohm, L = 0,02 H, C = 2 x 10 ^-4, V = 12 Volt. Carilah besarnya muatan sebagai fungsi dari waktu.

4. Suatu kurva memiliki persamaan Y = X⁴ +50X² +250X +14. Tentukan a. Perpotongan dengan sumbu x.

b. Y(x), untuk x = -4, -6, 4, 9 c. Y’(x), untuk x = -3, -2, 8, 3

5. Buatlah Bode plot dari fungsi transfer di bawah ini.

a) ( )

) ) (

(

p z z

p

j G j

ω ω

ω ω ω ω ω

+

= +

1 ) 2 1 (

1 C R

p = R +

ω

1 2

1 C

z = R

ω R1= 10K, R2=5K, C1= 8μF b)

j p

G j

ω ω ω ω

= + )

( 1 1

1 C

p = R ω

R1=100 ohm, C1 = 0.8μF

6. Suatu filter memiliki fungsi transfer sebagai berikut:

a) ₂

0 0

2 2 0

) ( )

) (

( ω ω ω ω

ω ω

+

= +

j a j j

G b) ₂

0 0

2

2

) ( )

(

) ) (

( ω ω ω ω

ω ω

+

= +

j a j

j j G

L1=1mH, C1=8mF

1 1 1

0 = L C

ω

Gambarlah bode plot untuk harga a = 0,1 , a = 0,3, a = 0,5, a = 0,7 , a = 0,9, a = 1,1, a = 1,3 , a = 1,5 , a = 1,7, a = 1,9, a = 2

7. Suatu sistem kontrol memiliki fungsi transfer sebagai berikiut:

a) 5 2 12 10 ) 2

( _{4 3}

3

+ + +

+

= +

s s s

s s s

G b)

20 2 5

2 ) 10

( ₃

− +

= −

s s s s G

c) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= +

s s s s

G 1 2

4 1 ) 1 (

Buatlah bode plot dari fungsi transfer tersebut.

8. Carilah transformasi laplace dari a. L{4t² – 3 cos(2t) + 5e^-t} b. L{e^-t sin(2t)}

c. Jika F(t) = t sin(3t) tentukan L{F’(t)}

d.

∫

^{e−tsin(bt)dt}

e.

∫

^{(1−cos(at))dt}

9. Carilah invers laplace dari persamaan berikut.

a). ₂

2 1

)

( +

+ s

s d).

25 10 3

2 − + s

s

b).

2 2 5

2 + −

− s s

s e).

20 4 6

2 + +

− s s

s

c).

10 2

1 2

2 − +

− s s

s

10. Suatu sistem control dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial berikut : Y’’ – 3Y’ + 2Y = exp (-3t)

Keadaan awal mensyaratkan :

Y’(0) = 3 ; Y(0) =1

Tentukan solusi khusus persamaan diferensial berikut dengan menggunakan transformasi laplace !!

Hint : Transformasikan pers diferensial tersebut dalam ruang s (laplace), tampilkan sebagai bentuk fungsi transfer kemudian carilah rasio ekspansi fraksi parsialnya. Berikutnya adalah gunakan invers laplace untuk memperlihatkan solusinya.