PPT PowerPoint Presentation

DIFFERENSIASI NUMERIK

Yuliana Setiowati

DIFFERENSIASI NUMERIK

 Salah satu perhitungan kalkulus yang banyak digunakan adalah differensial

 Differensial digunakan untuk keperluan perhitungan geometrik, yang berhubungan dengan perubahan nilai per-satuan waktu atau jarak.

 Secara kalkulus, didefinisikan sebagai perbandingan perubahan tinggi (selisih tinggi) dan perubahan jarak

 penentuan titik puncak kurva y = f(x)  dy/dx = 0

x y dx

dy

ax 

^lim_0 

Mengapa perlu Metode Numerik ?



Terkadang terdapat suatu fungsi yang sulit dihitung secara manual



Untuk mengotomatiskan, tanpa harus

menghitung manualnya

DIFFERENSIASI NUMERIK



Hubungan antara nilai fungsi dan perubahan fungsi untuk setiap titiknya didefinisikan :

 y = f(X) + f¹(x).h(x)

   

h

x f h

x x f

f _h  

^lim_0 )

( '

Diferensiasi dg MetNum



Metode Selisih Maju



Metode Selisih Tengahan



Metode Selisih Mundur

Metode Selisih Maju

 Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial

 Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil

 Error yang dihasilkan

h

x f h

x x f

f ( ) ( )

) (

'  



 

^x

hf ¹¹ 2

E(f)   1

Contoh :

 Hitung

differensial

 f(x)=e-^xsin(2x)

 +1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05

Metode Selisih Tengahan

 Metode selisih tengahan merupakan metode

pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur.

 Perhatikan selisih maju pada titik x-h

 selisih maju pada titik x

 Metode selisih tengahan merupakan rata-rata dari dua selisih maju :

     

h

h x f x h f

x

f₁¹    

     

h

x f h

x x f

f₂¹   

 

^{ }

) 2 ( '

1 2 1

1

f x

x x f

f 



   

h

h x f h

x x f

f '( )  2 



Metode Selisih Tengahan



Kesalahan pada metode ini

 

^

111 2

E(f) h6 f





Metode Selisih Mundur

     

h

h x

f x

x f

f  



'

Contoh

 Hitung differensial

f(x)=e-^xsin(2x)+1 dari range x=[0,1] dengan h=0.05

Differensiasi tingkat tinggi

 Differensiasi tingkat tinggi merupakan proses pendifferensialan secara terus-menerus, hingga tingkatan yang ditentukan.

 Differensial tingkat 2

 Differensial tingkat 3

 Differensial tingkat n

 

^{x f}



^f

 

^x



f "  ' '

 

^{x f}



^f

 

^x



f ⁽³⁾  ' "

 

 

^{x f}



^f

 

^x



f ⁿ  ^{1 n1}







  ^n_n¹_1

n n

dx f d

dx d dx

f d

Differensiasi tingkat tinggi

 Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Maju

   

 

 

^{( 2 ) 2} ₂^{( ) ( )}

"

) ( )

( )

( )

2 (

"

) ( '

" '

h

x f h

x f h

x x f

f

h

h

x f h

x f h

h x f h

x f x

f

h

x f h

x x f

f







 



 











 

Differensiasi tingkat tinggi



Differensiasi tingkat 2 untuk M. Selisih Tengahan

   

 

 

₂

4

) 2 (

) ( 2 ) 2

" (

2

2

) 2 (

) ( 2

) ( )

2 (

"

2

) (

'

" '

h

h x

f x

f h

x x f

f

h

h

h x

f x

f h

x f h

x f x

f

h

h x f h

x x f

f







 



 











 

   

h

h x

f h

x x f

f '( )   2 

Contoh :

Untuk f(x) = x³ – 2x² - x

Pemakaian Differensiasi Untuk

Menentukan Titik Puncak Kurva

Pemakaian Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva

 Definisi 5.1.

 Suatu titik a pada kurva y = f(x) dinamakan titik puncak bila dan hanya bila : f¹(a) = 0.

 Definisi 5.2.

 Sebuah titik puncak a dikatakan titik maksimum pada kurva y = f(x) bila : f¹¹(a) < 0.

 Definisi 5.3.

 Sebuah titik puncak a dikatakan titik minimum pada kurva y = F(x) bila : f¹¹(a) > 0.

Contoh :

•Terlihat bahwa nilai

puncak terjadi antara 0.75 dan 0.8, karena nilai f’(x) mendekati nol.

• Pada nilai tersebut

terlihat nilai f”(x)<0 maka nilai puncak tersebut

adalah nilai puncak maksimum.