RADIASI BENDA HITAM pdf

RADIASI BENDA HITAM

Hukum Pergeseran Wien

Untuk sebuah benda hitam berlaku sebuah hubungan antara panjang gelombang pada intensitas radiasi maksimum dengan suhu mutlak yang dinyatakan:

λ_maks=C T

Dari persamaan juga dilihat dari grafik di atas, Wien menyatakan bahwa:

”Intensitas Radiasi Maksimum akan memiliki nilai panjang gelombang kecil (dengan kata lain frekuensi besar) pada benda dengan suhu tinggi. Dan

sebaliknya, intensitas radiasi maksimum akan memiliki nilai panjang gelombang besar (dengan kata lain frekuensinya kecil) ketika benda bersuhu lebih rendah.”

Gejala pergeseran nilai panjang gelombang meksimum dengan berkurangnya suhu disebut pergeseran Wien. Pada gambar di atas menunjukkan hubungan antara benda dan panjang gelombang yang dipancarkan, pada spektrum cahaya tampak warna merah mempunyai frekuensi terendah, sedangkan cahaya biru mempunyai frekuensi tertinggi.

Perubahan warna pada benda menunjukkan perubahan intensitas radiasi benda.

Jika suhu benda berubah, maka intensitas benda akan berubah atau terjadi pergeseran.

Pergeseran ini digunakan untuk memperkirakan suhu suatu benda.Panjang gelombang pada intensitas maksimum ini disebut sebagai panjang gelombang maks. Persamaan

λ_maks=C

T didapat dari menurunkan persamaan rapat energi foton:

ρ_T(λ)=8π λ⁵

h c e^{h c/λKT}−1

Jika sebuah kotak sama sekali hitam, maka cahaya yang jatuh padanya tidak ada yang ia pantulkan, sehingga sifat-sifat permukaannya tidak dapat diamati. Lubang itulah, bukan kotaknya yang diasumsikan sebagai benda hitam. Radiasi dari luar yang menembusi lubang ini akan lenyap pada bagian dalam kotak dan kecil kemungkinan untuk keluar kembali dari lubang tersebut.

Jika kotak dipanaskan, maka atom-atom pada dinding kotak akan menyerap energi panas dan bergetar. Lalu, atom-atom yang bergerak ini berperan sebagai

osilator harmonik yang menimbulkan Gelombang Elektromagnetik. Partikel pembawa radiasi dalam fenomena elektromagnetik disebut “foton”. Energi dalam GEM

dikuantisasi dalam paket diskrit yang disebut foton.

Sebuah foton memiliki energi yang bergantung pada frekuensi (v), dirumuskan:

Ɛ=hv diket ħ= h

2π h=2πħ

Ɛ=2πħv diket ω=2πv Ɛ=ħω (Persamaan 1)

Foton bergerak dengan kecepatan cahaya dan memiliki kerapatan gas sebesar:

g(Ɛ)= 8πv

h³c³Ɛ² (Persamaan 2)

g(Ɛ) adalah fungsi rapat gas foton, yang menggambarkan jumlah foton pada suatu rentang energi tertentu dalam suatu sistem. Fungsi ini sering digunakan dalam fisika kuantum untuk menjelaskan bagaimana energi foton terdistribusi pada berbagai keadaan energi yang tersedia. Fungsi rapat gas foton ini dinyatakan dalam satuan energi per satuan volume dan satuan energi per satuan frekuensi.

Foton-foton ini memiliki momentum angular integral dan secara alami berkelakuan sebagai boson. Oleh karena itu, distribusi energi foton dalam sistem ini dapat dijelaskan oleh statistik Bose-Einstein. Fungsi rapat gas foton menggambarkan jumlah foton pada suatu rentang energi tertentu dalam sistem ini.

n_i≈k_BT ϵi

Persamaan ini menggambarkan jumlah foton pada keadaan energi e_i dalam suatu sistem foton pada suhu tinggi

N=∑_in_i≈ V

π²

(

^kħ c^BT

)

³

^∫

0

∞ x²dx e^x−1

Oleh karena itu, persamaan gas foton dapat dituliskan sebagai:

N=V

π²

(

^kħ c^BT

)

^3ζ(3)

Persamaan ini menggambarkan jumlah total foton dalam suatu volume pada suhu absolut T. Persamaan ini juga menunjukkan bahwa jumlah foton dalam suatu volume meningkat dengan suhu dan volume, dan berbanding terbalik dengan kuasa tiga dari panjang gelombang foton.

ζ(3) 1 Γ(3)

∫

0

∞ x²dx

exp(x)−1

N=V

π²

(

^kħ c^BT

)

³

^∫

^∞₀ exp^x2(x^dx)−1=8πV h³c³

∫

0

∞ x²dx e^x−1

Dari sini, kita dapat mengekspresikan jumlah foton pada keadaan energi sebagai:

n(ϵ)= g(ϵ) exp

(

^kB^ϵT

)

⁻¹

Oleh karena itu, jumlah foton pada keadaan energi $\epsilon$ dapat dinyatakan sebagai:

n(ϵ)= 2 exp

(

^kB^ϵT

)

⁻¹

Kita dapat mengekspresikan jumlah foton dalam suatu volume sebagai:

N=

∫

0

∞

n(ϵ)g(ϵ)V

π²

(

^kħ c^BT

)

³exp^ϵ2(x^dϵ)−1

Dengan mengganti $g(\epsilon)$ dengan $2$ dan mengganti $\zeta(3)$ dengan integral Planck, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi:

ℏc/k_BT¿³

¿¿

N=8πV h³c³

∫

0

∞ ϵ²dϵ

exp(x)−1=8πV h³c³

1

¿

Dari sini, kita dapat mengekspresikan jumlah foton pada keadaan energi ε sebagai:

n(ϵ)=8πV h³c³

ϵ² exp

(

ϵ/k_BT

)

−1

Energi distribusi foton:

Dalam persamaan distribusi foton, fungsi rapat gas foton ini sering dikalikan dengan perubahan energi foton dƐ dan konstanta Planck yang direduksi ħ, sehingga diperoleh persamaan dE = g(Ɛ)ħ dƐ, di mana dE adalah jumlah foton pada rentang energi dƐ.

dE=g(Ɛ) ħ(Ɛ) Ɛ dƐ (Persamaan 3)

dengan

ħ(Ɛ)= 1

e^βε−1 (Persamaan 4) Substitusi persamaan 1, 2, dan 4 ke persamaan 3:

dE=g(Ɛ) ħ(Ɛ) Ɛ dƐ

dE= (8πv

h³c³Ɛ²) 1

e^βε−1 Ɛ dƐ dE

V =du dimana: dE=rapat energy; V=volume

maka:dE

V = 8π h³c³

ε³dε e^βε−1

du= 8π h³c³

ε³

e^βε−1 d ε (Rapat Energi) Diket:

Ɛ=ħω dengan ħ= h

2π ; maka:

Ɛ= h

2πω = h

2π2π v = hv dimana c=vλ maka v= c λ

Ɛ = h c λ dƐ=ħ dω Maka:

du= 8π h³c³

ε³dε

e^βε−1 = 8π (2π h)³c³

(ħ ω)³(ħ dω) e^{β ħ ω}−1

du = ħ π²c³

ω³dω e^{β ħ ω}−1

Ubah dalam fungsi λ:

ω=2πv= 2πc

λ = 2πc λ⁻¹ dω

dλ=−2π c² = −2πc

λ² maka dω= −2πc λ² dλ Jadi ,

du= ħ

π²c³

ω³dω e^{β ħ ω}−1 =

h 2π π²c³

(2πc λ )

3−2πc λ² dλ e^β

(

2^hπ

)

^(2πcλ )

−1

= h

π²c² 8π³c³

λ³

−c λ²

1 e^{β h c/λ}−1dλ

du=−8π h c λ⁵

1

e^{β h c/λ}−1dλ dengan β= 1 kT du=8π h c

λ⁵

1 e^{h c/λkT}−1dλ du

dλ = ρ_T(λ) (Rapat Energi tiap panjang gelombang) maka:

ρ_T(λ) = 8π λ⁵

h c e^{h c/λkT}−1 Untuk membuktikan λ_maks=C

T , maka turunkan ρ_T(λ) terhadap λ pada daerah maksimal sama dengan nol.

d ρ_T(λ)

dλ ❑_λ=λmaks =0 d

d λ

(

^{8π h cλm5 .}e ¹

h c λmkT

−1

)

⁼⁰

8π h c( d d λ{ 1

λ_m⁵. 1 e

hc λmkT−1

})=0

8π h c( d

d λ{λ_m⁻⁵. 1 e

h c λ_mkT

−1 })=0

misal:u=λ_m⁻⁵dan v= 1 e

h c λmkT

−1

maka:(uv)^'=u^'v+u v^'

u’=-5 λ_m⁻⁶ =- 5 λ_m⁶

mencari v ' ,diket:v= 1 e

h c λmkT

−1

misal a=1dan b=e

h c λ_mkT

−1

maka

(

^ab

)

^'=

(

^{a'b−a b}b^{2 '}

)

a^'=0dan b^'=−λ_m⁻²h c kT e

h c λ_mkT

Se hingga:v^'=

(

^ab

)

^'

e (¿¿ h c

λ_mkT)

2

v^'= h c kT λ_m²

e

h c λ_mkT

¿

Se hingga:

8π h c( d

d λ{λ_m⁻⁵. 1 e

h c λmkT−1

})=0

e (¿¿ h c

λ_mkT)

2

−5 λ_m⁶. 1

e

h c λmkT−1

+ 1 λ_m⁵

h c kT λ_m²

e

h c λmkT

¿ 8π h c¿ ¿

e (¿¿ h c

λ_mkT)

2

−5 λ_m⁶. 1

e

h c λmkT−1

+ 1 λ_m⁵

h c kT λ_m²

e

h c λmkT

¿

¿

¿ e (¿ ¿ h c

λ_mkT)

2

−5 λ_m⁶. 1

e

h c λmkT−1

+ h c kT λ_m⁷

e

h c λmkT

¿

¿¿

Keduaruas sama−¿ sama dikali dengan -5(λ λ_m⁶(e

h c λ_mkT

−1) , sehingga diperoleh:

−¿ 5+

e λ_m⁶(e

h c λmkT

−1) (¿¿ h c

λ_mkT)

2

¿ h c

kT λ_m⁷

e

h c λmkT

¿

)=0

−¿ 5+

h c kTe

h c λ_mkT

λ_m

(

e

h c λmkT

−1

)

⁼⁰

−5+ h c λmkT . e

h c λ_mkT

e

h c λmkT

−1

=0

misalkan : h c

λ_mkT=X , maka:

−5+X . e^X e^X−1=0

−¿ 5=-X. e^X e^X−1

5

X= e^X e^X−1x

1 e^X

1 e^X 5

X= 1 1−e^−X

X

5 =1−e^−X X

5 +e^−X=1

h C 4,965K.1

T=λ_m C . 1

T=λ_m λ_m=C

T

Keterangan:

m=¿

λ_¿ Panjang Gelombang saat intensitas dmaks (m) C=Konstanta Wien (2,898x 10⁻³ mK)

T=Suhu Mutlak Ɛ=Energi Foton v=Frekuensi Foton

g(Ɛ)=Kerapatan Gas Foton

c=Kecepatan Cahaya (3x 10⁸m/s² ) ħ(Ɛ)=Derajat Kebebasan Foton V=Volume ( m³¿

dE=Distribusi Energy Foton du=Rapat Energy

ω=Kecepatan Sudut (rad/ _s² ) λ=Panjang Gelombang (m)

ħ= h 2π

ρ_T(λ) =Rapat Energi tiap panjang gelombang

β= 1 kT

Melalui persamaan yang dikembangkan Wien maupun menjelaskan ditribusi intensitas untuk panjang gelombang pendek, namun gagal untuk menjelaskan

penjanggelombang panjang. Hal itu menunjukan bahwa radiasi elektromaknetik tidak dapat dianggap sederhana seperti proses termodinamika.

Teori ini selanjutnya dikembangkan oleh Reyleigh dan Jeans yang berlaku untuk panjang gelombang yang lebih panjang. Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang.