RANGKUMAN MATERI MATEMATIKA CONTOH SOAL

(1)

SDN 2 NGROTO - Bedah Kisi-Kisi USBN & Rangkuman Materi – MATEMATIKA – 2018 1

CAKUPAN MATERI KISI-KISI UJIAN SEKOLAH BERSTANDART NASIONAL (USBN) TAHUN PELAJARAN 2017/2018

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA I. Bilangan

A. Operasi hitung bilangan cacah B. Operasi hitung bilang bulat

C. Operasi hitung bilangan pangkat dua dan akar pangkat dua D. Operasi hitung bilangan pangkat tiga dan akar pangkat tiga E. KPK dan FPB

F. Pecahan G. Perbandingan H. Skala

II. Geometri dan Pengukuran A. Satuan ukuran kuantitas, B. Satuan berat,

C. Satuan panjang, D. Satuan waktu, E. Satuan volum,

F. Waktu, jarak, dan kecepatan, G. Sifat-sifat bangun datar H. Keliling dan luas segiempat, I. Keliling dan luas lingkaran, J. Sifat-sifat bangun ruang,

K. Luas permukaan dan Volume kubus, balok, dan tabung, L. Koordinat kartesius,

M. Simetri, dan N. Pencerminan III. Pengolahan Data

A. Penyajian data dalam bentuk tabel, diagram batang, dan diagram lingkaran B. Rata-rata hitung dan modus

(2)

BEDAH KISI-KISI UJIAN SEKOLAH BERSTANDART NASIONAL (USBN) TAHUN PELAJARAN 2017/2018

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA BAB I BILANGAN

A. Operasi hitung bilangan cacah

 Bilangan cacah adalah : Himpunan bilangan bulat positif dan bilangan nol. Yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... dst

 Operasi hitung bilangan cacah melibatkan operasi perkalian (x), Pembagian (:), Penjumlahan (+), dan Pengurangan (-)

 Prioritas penyelesaian Operasi hitung campuran bilangan cacah ; tanda kurung, perkalian/pembagian, penjumlahan/pengurangan

 Contoh penyelesaian operasi hitung campuran bilangan cacah 1. 25 x (75 – 45) : 15 = ... (soal US 2015)

Penyelesaian ;

25 x (75 – 45) : 15 = ...  terdapat operasi hitung bertanda kurung, sehingga diselesaikan dulu

25 x 30 : 15 = ... ^ perkalian dan pembagian sama kuat, sehingga diselesaikan dari kiri, beri tanda kurung (25 x 30) : 15 = ...

750 : 15 = 50

2. 24 – 2 x 5 + 3 = ... (Soal US 2014) Penyelesaian ;

24 – 2 x 5 + 3 = ...  perkalian diselesaikan dulu, beri tanda kurung ; 24 – (2 x 5) + 3 = ...

24 – 10 + 3 = ... ^ pengurangan dan penjumlahan sama kuat, selesaikan dari paling depan (kiri) dan beri tanda kurung (24 – 10) + 3 = ...

14 + 3 = 17

3. Rudi memiliki ayam sebanyak 287 ekor. Ayam tersebut dijual sebanyak 122 ekor. Sisanya

dimasukkan ke dalam 15 kandang dengan isi sama banyak. Setiap kandang berisi ...(Soal US 2015) Penyelesaian ;

Apabila soal di atas diubah menjadi kalimat operasi hitung menjadi ; (287 – 122) : 15 = ...

(287 – 122) : 15 = ...  Operasi hitung dalam tanda kurung diselesaikan terlebih dahulu

165 : 15 = 11

 LATIHAN 1 (Operasi hitung bilangan cacah ) Selesaikan soal-soal di bawah ini di buku latihanmu ! 1. Hasil dari 13.672 + 825 x 14 - 23.672 adalah . . .

2. Hasil dari 13.065 + 8.725 – 3.479 adalah ... (Soal US 2016) 3. Hasil dari 25 x 14 : 8 adalah ... (Soal US 2016)

4. Hasil panen wortel 35.693 buah dan hasil panen jagung 28.764 buah. Jumlah kesesluruhan hasil panennya adalah ... buah (Soal US 2017)

5. Sebuah toko memiliki persediaan kain sebanyak 1.296 potong. Kain tersebut terjual 144 potong dan sisanya dibeli oleh 12 penjual sama banyak. Berapa potong kain yang diterima setiap pedagang tersebut ? (Soal UN 2017)

6. Paman mempunyai 8 keranjang duku. Setiap keranjang berisi 164 jeruk. Jeruk itu akan dibagikan kepada 16 orang sama banyak. Maka setiap orang akan menerima buah jeruk sebanyak . . buah 7. Diketahui m = 1.265 + 2.186 dan n = 4.685 - 2653. Maka nilai m + n adalah . . .

8. Bu Idang memiliki 16 kantong plastik yang masing-masing berisi 39 buah rambutan. Rambutan- rambutan tersebut akan dibagikan kepada 52 anak sama banyak. Maka setiap anak akan

mendapatkan buah rambutan sebanyak. . . buah

+ -

x :

( )

(3)

B. Operasi hitung bilang bulat

 Bilangan bulat merupakan himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif Yaitu : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... dst

 Operasi hitung bilangan bulat melibatkan operasi perkalian (x), Pembagian (:), Penjumlahan (+), dan Pengurangan (-).

 Prioritas penyelesaian Operasi hitung campuran bilangan bulat ; tanda kurung, perkalian/pembagian, penjumlahan/pengurangan.

 Penyelesaian operasi hitung bilangan bulat yang melibatkan bilangan bulat negatif ;

1. -3 + 5 = 2 2. -3 – 5 = -8 3. 3 – 5 = -2

4. -6 + 4 = -2 5. -6 – 4 = -10 6. -6 + (-4) = -10

7. 7 – (-2) = 9 8. 7 + (-2) = 5 9. -7 – (-2) = -5

10. 3 x 2 = 6 11. -3 x 2 = -6 12. -3 x -2 = 6

13. 6 : 2 = 3 14. 6 : -2 = -3 15. -6 : -2 = 3

 Kaidah penyelesaian Operasi hitung bilangan bulat (perkalian dan pembagian)

 Contoh penyelesaian operasi hitung campuran bilangan bulat 1. 27 + (-19) – 35 = ... (Soal US 2017)

2. 450 – 125 + (-130) = ... (Soal US 2016) 3. (-20) x 3 + 24 : (-6) = ... (Soal US 2015) 4. 965 + (-34) x 27 = ... (Soal US 2014)

Penyelesaian :

1. (27 + (-19)) – 35 = ...

8 - 35 = -27

2. (450 – 125) + (-130) = ...

325 + (-130) = 195 3. ((-20) x 3) + (24 : (-6)) = ...

-60 + -4 = -64

4. 965 + ((-34) x 27) = ...

965 + (-918) = 47

5. Suhu es krim di lemari es mula-mula -3⁰ C. Lalu es krim tersebut dikeluarkan dari lemari es. Setiap 4 menit suhu es krim naik 2⁰C. Suhu es krim setelah 16 menit dikeluarkan dari lemari es adalah ...

0C (Soal US 2017) Penyelesaian :

Cara I : Soal di atas apabila diubah menjadi kalimat operasi hitung adalah : -3 + (16 : 4) x 2 = ...

Sehingga -3 + (16 : 4) x 2 = -3 + 4 x 2 = -3 + (4 x 2) = -3 + 8 = 5⁰C Cara II :

Suhu mula-mula = -3⁰ C

Setelah dikeluarkan dari lemari es mengalami perubahan (kenaikan) suhu ; Setelah 4 menit naik 2⁰ C

Setelah 8 menit naik 4⁰ C Setelah 12 menit naik 6⁰ C

Setelah 16 menit naik 8⁰ C  setelah 16 menit suhu mengalami kenaikan 8⁰ C, naik = bertambah, Sehingga, suhu akhir = suhu mula-mula + perubahan suhu = -3 + 8 = 5⁰C

x = x = x = x =

: = : = : = : =

= Bilangan Positif

= Bilangan Negatif

(4)

6. Suhu udara dalam lemari es mula-mula 5⁰ C di bawah nol. Jika suhu udara dalam lemari es itu dinaikkan 16⁰ C, maka suhu udara dalam lemari es sekarang adalah ... ⁰ C (Soal TO II 2018) Penyelesaian :

suhu akhir = suhu mula-mula + perubahan suhu = -5 + 16 = 11⁰C

 LATIHAN 2 (Operasi Hitung Bilangan Bulat)

Selesaikan soal-soal di bawah ini di buku latihanmu ! 1. Isilah titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat !

a. 7 – 4 = ... b. 4 – 7 = ... c. 28 – 45 = ...

d. 4 + 7 = ... e. 4 + (-7) = ... f. -4 + (-7) = ...

g. -4 – 7 = ... h. 18 + (-25) = ... i. -18 + (-25) = ...

j. 8 – 5 = ... k. 8 – (-5) = ... l. -8 – (-5) = ...

m. 8 x (-5) = ... n. -8 x (-5) = ... o. 40 : (-5) = ...

2. a. 25 + (-15) – 30 = ... b. 25 + (-35) – 20 = ... c. 32 + (-17) – 46 = ...

3. a. 350 – 225 + (-230) = ... b. (-25) x 4 + 15 : (-3) = ... c. 645 + (-45) x 24 = ...

4. Suhu udara dalam lemari es mula-mula 8⁰ C di bawah nol. Jika suhu udara dalam lemari es itu dinaikkan 12⁰ C, maka suhu udara dalam lemari es sekarang adalah ... ⁰ C

5. Suhu udara di kutub utara pada musim dingin mencapai 24 derajat celcius di bawah nol, sedangkan pada musim panas mencapai 28^oC. Berapa perbedaan suhu pada musim dingin dan musim panas di kutub utara ? 6. Nona sedang membuat es krim, campuran bahan-bahan yang semula bersuhu 15⁰ C dimasukkan ke

dalam freezer sehingga suhunya turun sebesar 20⁰ C. Karena listrik padam, suhunya kembali naik sebesar 8⁰ C. Suhu es krim sejarang adalah ...⁰ C.

7. Suhu di sebuah ruang pendingin mula-mula -5⁰ C. Karena mesin dimatikan mengakibatkan kenaikan suhu. Setiap 5 menit suhu ruang pendingin naik 1⁰C. Suhu ruangan setelah 1 jam mesin dimatikan menjadi ... ⁰C

...

(5)

C. Operasi hitung bilangan pangkat dua dan akar pangkat dua

 Menentukan pangkat dua dari suatu bilangan ;

 Bilangan kuadrat merupakan bilangan hasil pangkat dua, yaitu ; 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ..., dst

 Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua ;

 Menarik akar pangkat dua dari suatu bilangan kuadrat di atas 100 ;

Terdapat 3 cara dalam menarik akar pangkat dua dari suatu bilangan kuadrat, yaitu ; Pemisahan, Menaksir, dan Faktorisasi Prima. Perhatikan penjelasan di bawah ini !

1² = 1 1 = 1

2² = 4 4

= 2

3² = 9 9

= 3

4² = 16 16 = 4

5² = 25 25

= 5

6² = 36 36

= 6

7² = 49 49

= 7

8² = 64 64

= 8

9² = 81 81 = 9

10² = 100 100

= 10

A B

1² = 1 10² = 100 2² = 4 20² = 400 3² = 9 30² = 900 4² = 16 40² = 1.600 5² = 25 50² = 2.500 6² = 36 60² = 3.600 7² = 49 70² = 4.900 8² = 64 80² = 6.400 9² = 81 90² = 8.100 10² = 100 100² = 10.000 1² = 1 x 1 = 1 10² = 10 x 10 = 100

2² = 2 x 2 = 4 20² = 20 x 20 = 400 3² = 3 x 3 = 9 30² = 30 x 30 = 900 4² = 4 x 4 = 16 40² = 40 x 40 = 1.600 5² = 5 x 5 = 25 50² = 50 x 50 = 2.500 6² = 6 x 6 = 36 60² = 60 x 60 = 3.600 7² = 7 x 7 = 49 70² = 70 x 70 = 4.900 8² = 8 x 8 = 64 80² = 80 x 80 = 6.400 9² = 9 x 9 = 81 90² = 90 x 90 = 8.100 10² = 10 x 10 = 100 100² = 100 x 100 = 10.000

(6)

Cara Faktorisasi sebagai berikut ; misal = ...

2 196

196 = 2² x 7²

= 2^2:2 x 7^2:1

= 2¹ x 7¹

= 2 x 7

= 14 Jadi, = 14

Langkah penyelesaian :

a. Membuat pohon faktor. Pohon faktor dibuat seperti nampak pada gambar disamping dengan tujuan lebih menghemat tempat.

b. Menuliskan faktorisasi prima dari bilangan kuadrat tersebut.

c. Untuk menentukan akar pangkat dua dari suatu bilangan kuadrat, maka pangkat dari bilangan-bilangan prima pada faktorisasi primanya harus dibagi 2.

d. Menyelesaikan perhitungan untuk menentukan hasil akhir.

2 98 7 49

7 7

1

Cara Faktorisasi sebagai berikut ; misal . = ...

2 1600

1600 = 2⁶ x 5²

= 2^6:2 x 5^2:2

= 2³ x 5¹

= 8 x 5

= 40 Jadi, . = 40

c. Untuk menentukan akar pangkat dua dari suatu bilangan kuadrat, maka pangkat dari bilangan-bilangan prima pada faktorisasi primanya harus dibagi 2.

2 800 2 400 2 200 2 100 2 50 5 25 5 5

1

 LATIHAN 3 (Operasi Hitung Bilangan Pangkat Dua Dan Akar Pangkat Dua) Selesaikan soal-soal di bawah ini di buku latihanmu !

1. Isilah titik-titik di bawah ini !

2. 20² + (41 – 11)² = ...

3. 4² + 7² – 5² = ... (Soal US 2016) 4. 95²– 85² = ... (Soal US 2015) 5. 21² – 13² = ... (Soal US 2014)

6. Hasil dari + . = ... (Soal US 2016)

7. Jika n = 6² + (24 - 17)² x 3² = ..., maka nilai n adalah ... (Soal TO II 2018) 8. 11² + x 5² – 16² = ...

9. Sebuah kertas kado berbentuk persegi dengan panjang sisi 60 cm. Berapa cm² luas kertas kado tersebut ?

10. Halaman SDN 2 Ngroto yang berbentuk persegi memiliki luas 2.916 m². Panjang salah satu sisinya adalah ... m

(7)

D. Operasi hitung bilangan pangkat tiga dan akar pangkat tiga

 Menentukan pangkat tiga dari suatu bilangan ;

 Bilangan kubik merupakan bilangan hasil pangkat tiga, yaitu ; 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, ..., dst Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari pangkat tiga ;

 Menarik akar pangkat tiga dari suatu bilangan kuadrat di atas 1000 ;

Terdapat 3 cara dalam menarik akar pangkat tiga dari suatu bilangan kubik, yaitu ; Pemisahan, Faktorisasi Prima, Menaksir, dan. Perhatikan penjelasan di bawah ini !

Contoh ; Hasil dari . adalah ...

Cara I : Pemisahan

1) Angka 4.096 dipisahkan menjadi dua bagian, dihitung 3 angka dari sebelah kanan, sehingga ; - Bagian a, akan menjadi puluhannya,

- Bagian b, akan menjadi satuannya,

2) Untuk bagian a yaitu 4, yang akan menjadi puluhannya, carilah bilangan kubik yang sama dengan atau kurang dari 4 (dapat dilihat tabel di atas), yaitu 1  puluhannya = 1

3) Untuk bagian b yaitu 096, yang akan menjadi satuannya, kita hanya melihat angka yang paling kanan yaitu angka 6. Angka tersebut (jika melihat tabel di atas) merupakan satuan dari hasil 6³ = 216. Sehingga  Satuannya = 6

4) Dari 3 langkah di atas, didapatkan puluhan = 1, satuan = 6  . = 16

1³ = 1 x 1 x 1 = 1 10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000 2³ = 2 x 2 x 2 = 8 20³ = 20 x 20 x 20 = 8.000

3³ = 3 x 3 x 3 = 27 30³ = 30 x 30 x 30 = 27.000

4³ = 4 x 4 x 4 = 64 40³ = 40 x 40 x 40 = 64.000

5³ = 5 x 5 x 5 = 125 50³ = 50 x 50 x 50 = 125.000

6³ = 6 x 6 x 6 = 216 60³ = 60 x 60 x 60 = 216.000

7³ = 7 x 7 x 7 = 343 70³ = 70 x 70 x 70 = 343.000

8³ = 8 x 8 x 8 = 512 80³ = 80 x 80 x 80 = 512.000

9³ = 9 x 9 x 9 = 729 90³ = 90 x 90 x 90 = 729.000

10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000 100³ = 100 x 100 x 100 = 1.000.000

1³ = 1 ³1 = 1 2³ = 8 ³8 = 2 3³ = 27 ³27 = 3 4³ = 64 ³64 = 4 5³ = 125 ³125 = 5 6³ = 216 ³216 = 6 7³ = 343 ³343 = 7 8³ = 512 ³512 = 8 9³ = 729 ³729 = 9 10³ = 1.000 ³1000 = 10

10³ = 1.000 ³1.000 = 10 20³ = 8.000 ³8.000 = 20 30³ = 27.000 ³27.000 = 30 40³ = 64.000 ³64.000 = 40 50³ = 125.000 ³125.000 = 50 60³ = 216.000 ³216.000 = 60 70³ = 343.000 ³343.000 = 70 80³ = 512.000 ³512.000 = 80 90³ = 729.000 ³729.000 = 90 100³ = 1.000.000 ³1000.000 = 100

a b

4 096

(8)

Cara II : Faktorisasi Prima 4096 = 2¹²

= 2^{12 : 3}

= 2⁴

= 16 Jadi, _. = 16

c. Untuk menentukan akar pangkat tiga dari suatu bilangan kubik, maka pangkat dari bilangan-bilangan prima pada faktorisasi primanya harus dibagi 3.

Cara III : Menaksir

1) Bilangan kubik 4.096 berada diantara bilangan kubik 1.000 dan 8.000, sedangkan . = 10 dan . = 20. Artinya, hasil dari . berada diantara 10 dan 20 (bilangan 11 – 19)

2) Diantara bilangan 11 – 19, jika dipangkatkan tiga dan menghasilkan satuan 6 hanyalah bilangan 16, sehingga . = 16

 Latihan 4 (Operasi Hitung Bilangan Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga) Selesaikan soal-soal di bawah ini di buku latihanmu !

1. Isilah titik-titik di bawah ini !

a. 8³ = ... x ... x ... = ... c. 23³ = ... x ... x ... = ...

b. 15³ = ... x ... x ... = ... d. 27³ = ... x ... x ... = ...

2. Kerjakan seperti contoh !





3. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 12 cm. Volume kubus tersebut adalah ... cm³ 4. Hasil dari . adalah ... (Soal US 2017)

5. Hasil dari . adalah ... (Soal US 2015)

6. Sebuah bak mandi berbentuk kubus. Bila volume bak mandi tersebut 2.197 liter. Maka panjang sisi bak mandi tersebut adalah ... dm (Soal US 2015)

7. Hasil dari . adalah ... (Soal US 2014)

8. Susi membuat sebuah kardus berbentuk kubus untuk menempatkan sebuah kado yang akan diberikan kepada temannya. Jika volume kardus 35.937 cm3, maka panjang rusuk kardus tersebut adalah ... cm. (Soal US 2014)

9. (17³– 12³) × = . . .

10. Kardus pembungkus Tv 21” berbentuk kubus dengan volume 216 dm³. Kardus pembungkus Tv 14” berbentuk kubus dengan volume 64 dm³. Jika kedua kardus ditumpuk, tinggi tumpukan kardus tersebut adalah ... dm

2 4096

2048 2

1024 2 2 512 2 256 2 128 2 64 2 32

2 16

8

2

4

2

1

(9)

E. KPK dan FPB

 Untuk menguasai konsep KPK dan FPB, terdapat beberapa hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu, diantaranya adalah ;

1) Bilangan ganjil dan bilangan genap

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis jika dibagi dua, yaitu bilangan yang memiliki satuan 1, 3, 5, 7, dan 9. Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi dua, yaitu bilangan yang memiliki satuan ; 2, 4, 6, 8, dan 0

2) Kelipatan

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli, misal ; Kelipatan dari 4 adalah ; 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ..., dst

Kelipatan dari 5 adalah ; 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ..., dst

Lebih lengkapnya, kelipatan dapat dilihat pada tabel perkalian seperti di bawah ini ;

3) Faktor

Faktor adalah pembagi dari suatu bilangan, yaitu bilangan-bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Lihat pembahasan di bawah ini !

Faktor dari 6 adalah ; 1, 2, 3, dan 6 Faktor dari 8 adalah ; 1, 2, 4, dan 8 Faktor dari 12 adalah ; 1, 2, 3, 4, 6, dan 12 Faktor dari 15 adalah ; 1, 3, 5, dan 15 Angka-angka tersebut bisa didapatkan dengan membuat daftar perkalian seperti berikut ;

4) Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki 2 buah faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Perhatikan tabel di bawah ini !

Dari tabel di atas, terdapat bilangan-bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, bilangan tersebut adalah

; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan prima.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 ² ⁴ ⁶ ⁸ ¹⁰ ¹² ¹⁴ ¹⁶ ¹⁸ ²⁰ ²² ²⁴ ²⁶ ²⁸ ³⁰ ³² ³⁴ ³⁶ ³⁸ ⁴⁰ 3 ³ ⁶ ⁹ ¹² ¹⁵ ¹⁸ ²¹ ²⁴ ²⁷ ³⁰ ³³ ³⁶ ³⁹ ⁴² ⁴⁵ ⁴⁸ ⁵¹ ⁵⁴ ⁵⁷ ⁶⁰ 4 ⁴ ⁸ ¹² ¹⁶ ²⁰ ²⁴ ²⁸ ³² ³⁶ ⁴⁰ ⁴⁴ ⁴⁸ ⁵² ⁵⁶ ⁶⁰ ⁶⁴ ⁶⁸ ⁷² ⁷⁶ ⁸⁰ 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

6 ⁶ ¹² ¹⁸ ²⁴ ³⁰ ³⁶ ⁴² ⁴⁸ ⁵⁴ ⁶⁰ ⁶⁶ ⁷² ⁷⁸ ⁸⁴ ⁹⁰ ⁹⁶ 102 108 114 120

7 ⁷ ¹⁴ ²¹ ²⁸ ³⁵ ⁴² ⁴⁹ ⁵⁶ ⁶³ ⁷⁰ ⁷⁷ ⁸⁴ ⁹¹ ⁹⁸ 105 112 119 126 133 140

8 ⁸ ¹⁶ ²⁴ ³² ⁴⁰ ⁴⁸ ⁵⁶ ⁶⁴ ⁷² ⁸⁰ ⁸⁸ ⁹⁶ 104 112 120 128 136 144 152 160

9 ⁹ ¹⁸ ²⁷ ³⁶ ⁴⁵ ⁵⁴ ⁶³ ⁷² ⁸¹ ⁹⁰ ⁹⁹ 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 ¹⁰ ²⁰ ³⁰ ⁴⁰ ⁵⁰ ⁶⁰ ⁷⁰ ⁸⁰ ⁹⁰ 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

ya bukan ya bukan

1 1 1 v 11 1, 11 2 v

2 1, 2 2 v 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6 v

3 1, 3 2 v 13 1, 13 2 v

4 1, 2, 4 3 v 14 1, 2, 7, 14 4 v

5 1, 5 2 v 15 1, 3, 5, 15 4 v

6 1, 2, 3, 6 4 v 16 1, 2, 4, 8, 16 5 v

7 1, 7 2 v 17 1, 17 2 v

8 1, 2, 4, 8 4 v 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6 v

9 1, 3, 9 3 v 19 1, 19 2 v

10 1, 2, 5, 10 4 v 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 v

banyaknya faktor

Bil. Prima Bil. Prima

banyaknya faktor faktornya

Bilangan Bilangan faktornya

1 x 6 1 x 8 1 x 12 1 x 15 2 x 3 2 x 4 2 x 6 3 x 5

3 x 4

6 8 12 15

(10)

Jadi, yang termasuk bilangan prima adalah ; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., dst. Bilangan prima banyaknya tak terhingga, tapi yang paling sering digunakan dalam perhitungan di tingkat dasar adalah 2, 3, 5, dan 7.

5) Faktor prima dan faktorisasi prima

 Faktor dari 6 adalah ; 1, 2, 3, dan 6.  2 dan 3 merupakan bilangan prima, sehingga ; Faktor prima dari 6 adalah 2, dan 3, dengan cara yang sama bisa didapatkan ;

Faktor prima dari 8 adalah 2 Faktor prima dari 12 adalah 2 dan 3 Faktor prima dari 15 adalah 2, 3, dan 5

 Faktorisasi prima adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilangan-bilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Faktorisasi prima dapat dicari menggunakan pohon faktor. Perhatikan contoh di bawah ini !

Tentukan faktorisasi prima dari 36 ! 36 = 2 x 2 x 3 x 3

= 2² x 3²

 Perhatikan tabel di bawah ini untuk lebih memahami perbedaan antara faktor, faktor prima, dan faktorisasi prima

 Menentukan KPK dan FPB menggunakan Kelipatan dan Faktor

1) KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 2 atau lebih bilangan, maka untuk mencari KPK dapat menggunakan kelipatan dari masing-masing bilangan tersebut.

Contoh : Tentukan KPK dari pasangan bilangan-bilangan di bawah ini !

a. 6 dan 8 b. 12 dan 15 c. 9, 12, dan 15 d. 20, 30, dan 40

Penyelesaian ;

Kelipatan 6 : 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 dst Kelipatan 12 : 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120dst Kelipatan 8 : 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 dst Kelipatan 15 : 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150dst

Kelipatan 9 : 9 18 27 36 45 54 60 Kelipatan 20 : 20 40 60 80 100 120

Kelipatan 12 : 12 24 36 48 60 Kelipatan 30 : 30 60 90 120

Kelipatan 15 : 15 30 45 60 Kelipatan 40 : 40 80 120

24 dan 48 merupakan kelipatan persekutuan dari 6 dan 8.

yang terkecil adalah 24. sehingga KPK dari 6 dan 8 = 24

60 dan 120 merupakan kelipatan persekutuan dari 12 dan 15.

yang terkecil adalah 60. sehingga KPK dari 12 dan 15 = 60

KPK = 60 KPK = 120

Bilangan Faktor Faktor Prima

Faktorisasi Prima

4 1, 2, 4 2 2²

6 1, 2, 3, 6 2, 3 2 x 3

8 1, 2, 4 2 2³

9 1, 3, 9 3 3²

10 1, 2, 5 2, 5 2 x 5

12 1, 2, 3, 4, 6, 12 2, 3 2² x 3 14 1, 2, 7, 14 2, 7 2 x 7 15 1, 3, 5, 15 3, 5 3 x 5 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 2, 3 2 x 3² 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 2, 5 2² x 5

Bilangan Faktor Faktor

Prima

Faktorisasi Prima

24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 2, 3 2³ x 3

25 1, 5, 25 5 5²

27 1, 3, 9, 27 3 3³

28 1, 2, 4, 7, 14, 28 2, 7 2² x 7

30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 2, 3, 5 2 x 3 x 5

32 1, 2, 4, 8, 16, 32 2 2⁵

35 1, 5, 7, 35 5, 7 5 x 7

36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 2, 3 2² x 3²

40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 2, 5 2³ x 5

(11)

2) FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari 2 atau lebih bilangan, maka untuk mencari FPB dapat menggunakan faktor dari masing-masing bilangan tersebut.

Contoh : Tentukan FPB dari pasangan bilangan-bilangan di bawah ini !

b. 6 dan 8 b. 12 dan 15 c. 9, 12, dan 15 d. 20, 30, dan 40

Penyelesaian ;

 Menentukan KPK dan FPB menggunakan faktorisasi prima

Contoh : Tentukan KPK dan FPB dari pasangan bilangan-bilangan di bawah ini !

a. 6 dan 8 b. 12 dan 15 c. 9, 12, dan 15 d. 20, 30, dan 40

Penyelesaian ;

1) Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing bilangan, perhatikan cara penulisannya, usahakan lurus, rapi, dan teratur untuk memudahkan dalam pengerjaan.

2) Untuk menentukan FPB, dapat digunakan kaidah ; “ Faktor yang sama, pangkat yang kecil”

3) Untuk menentukan KPK, dapat digunakan kaidah ; “ Semua faktor, pangkat yang besar”

a. 6 = 2 x 3 FPB : Faktor ya g sa a, pa gkat ya g ke il

8 = 2³  Faktor yang sama yaitu 2 dan 2³

FPB = 2  Pilih yang pangkatnya kecil, yaitu 2 KPK = 2³ x 3  Sehingga FPB = 2

= 8 x 3 KPK : “e ua faktor, pa gkat ya g esar

= 24  Semua faktor, yaitu ; 2, 2³, dan 3

Jadi, FPB = 2 dan KPK = 24  Untuk angka 2, pilih salah satu yang pangkatnya besar, yaitu 2³

 Faktor yang tersisa adalah ; 2³ dan 3, selanjutnya dikalikan

 2³ x 3 = 8 x 3 = 24  KPK = 24

Dengan cara seperti di atas, maka didapatkan ;

b. 12 = 2² x 3 c. 9 = 3² d. 20 = 2² x 5

15 = 3 x 5 12 = 2²x 3 30 = 2 x 3 x 5

FPB = 3 15 = 3 x 5 40 = 2³ x 5

KPK = 2² x 3 x 5 FPB = 3 FPB = 2 x 5 = 10

= 4 x 3 x 5 KPK = 2² x 3² x 5 KPK = 2³ x 3 x 5

= 60 = 4 x 9 x 5 = 180 = 8 x 3 x 5 = 120

Jadi, FPB = 3 dan KPK = 60 Jadi, FPB = 3 dan KPK = 180 Jadi, FPB = 10 dan KPK = 120 Faktor 6 : 1 2 3 6

Faktor 8 : 1 2 4 8 Faktor yang sama (sekutu) terbesar

adalah 2, Sehingga FPB = 2

Faktor 12 : 1 2 3 4 6 12 Faktor 15 : 1 3 5 15

Faktor yang sama (sekutu) terbesar adalah 3, Sehingga FPB = 2

Faktor 9 : 1 3 9

Faktor 12 : 1 2 3 4 6 12 Faktor 15 : 1 3 5 15

Faktor yang sama (sekutu) terbesar adalah 3, Sehingga FPB = 3

Faktor 20 : 1 2 4 5 10 20 Faktor 30 : 1 2 3 5 6 10 15 30 Faktor 40 : 1 2 4 5 8 10 20 40 Faktor yang sama (sekutu) adalah 10,

Sehingga FPB = 10

(12)

 Menyelesaikan soal cerita KPK dan FPB

Soal cerita KPK memiliki ciri di dalamnya terdapat frekuensi sebuah kegiatan terhadap satuan waktu, misalnya ; 5 detik sekali, 2 menit sekali, 1 jam sekali, 7 hari sekali, dll. Pada dasarnya Soal cerita KPK mempermasalahkan tentang waktu. Sedangkan soal cerita FPB memiliki ciri di dalamnya mempermasalahkan jumlah yang sama dari beberapa bilangan. Perhatikan contoh soal cerita di bawah ini !

1. Riko dan Riki sama-sama memiliki jadwal kegiatan renang di Dewi Sri. Riko pergi ke Dewi Sri setiap 6 hari sekali sedangkan Riki pergi ke sana setiap 8 hari sekali. Jika pada hari ini mereka pergi bersama-sama, berapa hari lagi mereka akan pergi ke Dewi Sri bersama-sama lagi ?

2. Pak Eko sedang menyiapkan hadiah untuk kegiatan gerak jalan PGRI yang akan diadakan esok hari.

Hadiah yang telah disiapkan adalah 40 buah buku tulis, 30 buah bolpoint dan 20 buah pensil. Berapa paket hadiah terbanyak yang bisa disiapkan Pak Eko jika masing-masing paket berisi ketiganya dengan jumlah yang sama ?

Penyelelesaian ;

Soal nomor 1 mempermasalahkan tentang waktu dan frekuensi, diselesaikan dengan KPK.

Soal nomor 2 mempermasalahkan jumlah yang sama, diselesaikan dengan FPB.

1. Riko, 6 hari sekali dan Riki 8 hari sekali. Dicari KPK antara 6 dan 8 6 = 2 x 3

8 = 2³

KPK = 2³ x 3 = 8 x 3 = 24 hari

Artinya Riko dan Riki akan bertemu lagi di Dewi Sri 24 hari lagi atau setiap 24 hari mereka akan bertemu (bersama-sama) ke Dewi Sri.

2. Tersedia 40 buah buku tulis, 30 buah bolpoint dan 20 buah pensil. Dicari FPB dari 40, 30, dan 20 40 = 2³ x 5

30 = 2 x 3 x 5 20 = 2² x 5

FPB = 2 x 5 = 10 Paket

Artinya Pak Eko bisa membuat 10 paket hadiah dengan isi masing-masing paket sama.

(13)

LATIHAN 5 (KPK dan FPB)

1. Tentukan Faktor, Faktor Prima, dan Faktorisasi Prima dari bilangan-bilangan pada tabel di bawah ini !

Bilangan Faktor Faktor Prima Faktorisasi Prima

40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40 2 dan 5 2³ x 5

45 60 72 84

2. Tentukan KPK dan FPB dari pasangan bilangan di bawah ini !

a. 8 dan 12 b. 12 dan 18 c. 20 dan 24 d. 30 dan 45

3. FPB dari 24, 36, dan 40 adalah ... (Soal US 2017) 4. FPB dari 28, 42, dan 76 adalah ... (Soal US 2016)

5. KPK dari 48 dan 75 dalam bentuk faktorisasi prima adalah ... (Soal US 2015) 6. KPK dari 72 dan 189 dalam bentuk faktorisasi adalah ... (Soal US 2014) 7. KPK dari 10, 12, dan 15 adalah ... (Soal US 2015)

8. Sebuah pabrik HP akan mengirim paket ke toko langganannya. Di pabrik tersedia 48 buah HP merk Samsung, 60 buah HP merk Oppo, dan 90 buah HP merk Vivo. Setiap paket berisi ketiga merk HP tersebut sama banyak.

Paket paling banyak yang dapat dikirim oleh pabrik tersebut adalah ... paket (Soal US 2017)

9. Sabila, Salma, dan Nuke mengikuti latihan menari di sanggar yang sama. Sabila berlatih menari setiap 3 hari sekali, Salma setiap 4 hari sekali, dan Nuke setiap 6 hari sekali. Bila hari ini mereka berlatih menari bersama- sama, berapa hari lagi mereka akan berlatih menari bersama-sama? (Soal US 2015)

10. Bu Darsi membeli 280 kue bolu, 450 kue lapis, dan 500 kue donat. Kue-kue itu akan dimasukkan dalam kotak dengan jumlah masing-masing jenis sama banyak. Berapa kotak terbanyak yang diperlukan Bu Darsi untuk menyimpan kue tersebut ? (Soal US 2015)

11. Rapat Karang Taruna dihadiri remaja putra 84 orang putri 72 orang. Pengurus akan membuat sebanyak- banyaknya kelompok diskusi. Setiap kelompok terdiri dari remaja putra dan remaja putri dengan jenis dan jumlah yang sama banyak. Berapa banyak remaja putri pada setiap kelompok diskusi ? (Soal US 2014) 12. Dita les matematika setiap 3 hari sekali, Bunga setiap 4 hari sekali dan Syabila setiap 6 hari sekali. Jika

tanggal 22 April 2016 mereka les bersama-sama, maka mereka les bersama-sama lagi pada tanggal ... (Soal US 2016)

13. Firdha , Sabrina, dan Sekha kursus menari di sanggar yang sama. Firdha berlatih menari setiap 6 hari sekali, Sabrina setiap 8 hari sekali, dan Sekha setiap 4 hari sekali. Jika pada tanggal 9 September 2013 mereka berlatih bersama-sama. Mereka akan berlatih bersama-sama lagi untuk yang kedua kalinya pada tanggal ...

(Soal US 2014)

14. Alfriza, Bayu, dan Cika secara rutin melakukan pemeriksaan gigi ke Puskesmas Pujon. Alfriza periksa gigi setiap 45 hari sekali, Bayu setiap 30 hari sekali, dan Cika setiap 60 hari sekali. Pada hari Rabu, 10 Januari 2018 mereka periksa gigi bersama-sama. Pada hari dan tanggal berapa mereka akan periksa gigi bersama-sama lagi ?

(14)

F. Pecahan

Pecahan adalah sebagian dari sesuatu yang utuh. Pecahan dalam matematika dinyatakan sebagai dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan b ≠ 0. a dinamakan pembilang dan b dinamakan penyebut.

 Jenis-jenis pecahan

1) Pecahan Biasa, terdiri dari pembilang dan penyebut. Contoh ; . bilangan 1 adalah pembilang, bilangan 2 adalah penyebut. Contoh lain pecahan ; , , , , , , dll

2) Pecahan Campuran, pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar dari pada penyebutnya dapat dinyatakan ke dalam bentuk pecahan campuran. Contoh ; = 1 ; = 2 ; = 1 ; = 2 ; dll 3) Pecahan Desimal adalah pecahan yang mempunyai penyebut khusus yaitu sepuluh, seratus, seribu,

dan seterusnya. Untuk penyebut persepuluhan maka dibelakang koma ada 1 angka yang merupakan angka pembilang. Untuk penyebut perseratusan maka dibelakang koma ada 2 angka, yang merupakan angka pembilang. Contoh ;

a. = 0,3 b. = 1,3 c. = 0,03 d. = 0,17 e. = 0,025

4) Persen adalah pecahan yang mempunyai penyebut seratus, dimana penyebut seratus ditulis dalam bentuk “ % ”. Contoh ;

a. = 3 % b. = 17 % c. = 35 % d. = 125 % e. = 342 %

 Menyederhanakan pecahan

Menyederhanakan pecahan ditujukan untuk mengetahui nilai paling dasar dari sebuh pecahan dan juga untuk mempermudah penghitungan yang berhubungan dengan pecahan. Perhatikan contoh di bawah ini !

 Pecahan senilai

Pecahan senilai adalah pecahan yang memiliki nilai sama dengan pecahan lain, contoh ;

(15)

 Menyamakan Penyebut Pecahan untuk Penjumlahan atau Pengurangan Pecahan.

Untuk menjumlahkan, mengurangkan, ataupun membandingkan beberapa pecahan maka perlu disamakan penyebutnya terlebih dahulu. Menyamakan penyebut beberapa pecahan dapat dilakukan dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya. Perhatikan contoh di bawah ini !

1) Menjumlahkan Pecahan Contoh ; a. + = ^…

… b. + + = ^…

…

Penyelesaian ;

a. + = ^… + ^… = ^…  12 adalah KPK dari 4 dan 3,

= + = = 1

b. + + = ^… + ^… + ^…  24 adalah KPK dari 6, 8, dan 12

= + + =

2) Mengurangkan Pecahan Contoh ; a. - = ^…

… b. - - = ^…

… Penyelesaian ;

a. + = ^… - ^… = ^…  12 adalah KPK dari 4 dan 6,

= - =

b. - - = ^… + ^… + ^…  72 adalah KPK dari 6, 8, dan 9

= - - =

 Perkalian dan pembagian pecahan

Perhatikan contoh perkalian dan pembagian pecahan di bawah ini !

 Membandingkan Pecahan

Membandingkan pecahan bertujuan untuk mengetahui pecahan mana yang memiliki nilai lebih besar atau lebih kecil dari pecahan yang lainnya. Perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh ; Beri tanda lebih besar (>), lebih kecil (<), atau sama dengan (=) pada pasangan pecahan di bawah ini !

a. ... b. ... c. ...

(16)

Penyelesaian ;

Cara 1 : menyamakan penyebut

a. ... = ^… ... ^… = ... 9 lebih besar dari pada 4, maka >

b. ... = ^… ... ^… = ... 20 lebih kecil dari pada 21, maka <

a. ... = ^… ... ^… = ... 15 lebih besar dari pada 14, maka >

Cara 2 : Perkalian silang

Petunjuk ; kalikan pembilang kiri dengan penyebut kanan, pembilang kanan dengan penyebut kiri ! a. ...  (3 x 3) ... (1 x 4)

 9 ... 4 9 lebih besar dari pada 4, maka >

b. ...  (5 x 8) ... (7 x 6)

 40 ... 42 40 lebih kecil dari pada 42, maka <

a. ...  (5 x 6) ... (7 x 4)

 30 ... 28 30 lebih besar dari pada 28, maka >

 Mengubah berbagai bentuk pecahan

1) Pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya

Mengubah pecahan biasa menjadi desimal dapat dilakukan dengan dua cara. Perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh ; Ubahlah pecahan-pecahan di bawah ini menjadi bentuk desimal !

a. = ... b. = ... c. = ... d. = ...

Penyelesaian ;

Cara 1 ; mengubah penyebutnya menjadi bilangan 10, 100, atau 1.000 a. =

= = 0,5 a. =

= = 0,75 a. =

= = 0,4 a. =

=

. = 0,125

Cara 2 ; Pembagian bersusun

Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara melihat jumlah angka di belakang tanda koma.

 Jika terdapat 1 angka di belakang/disebelah kanan tanda koma, maka 1 angka tersebut menjadi pembilang dan penyebutnya adalah 10,

 Jika terdapat 2 angka di belakang/disebelah kanan tanda koma, maka 2 angka tersebut menjadi pembilang dan penyebutnya adalah 100,

 Jika terdapat 3 angka di belakang/disebelah kanan tanda koma, maka 3 angka tersebut menjadi pembilang dan penyebutnya adalah 1.000, dst. Perhatikan contoh di bawah ini !

2 1 = 0,5 4 3 = 0,75 5 2 = 0,4 8 1 = 0,125

0 0 0 0

1 0 3 0 2 0 1 0

1 0 2 8 2 0 8

2 0 2 0

2 0 1 6

0 4 0

4 0 0 - -

- 0 -

- - - -

0 -

- -

(17)

Ubahlah pecahan-pecahan desimal di bawah ini menjadi pecahan biasa ! a. 0,5 = ^…

… b. 0,75 = ^…

… c. 0,4 = ^…

… d. 0,125 = ^…

…

Penyelesaian ;

2) Pecahan biasa menjadi persen dan sebaliknya

Cara termudah mengubah pecahan biasa menjadi persen adalah dengan mengalikannya dengan 100.

Perhatikan contoh di bawah ini !

Ubahlah pecahan-pecahan di bawah ini menjadi bentuk persen ! a. = ... % b. = ... % c. = ... % d. = ... % Penyelesaian :

a. = x 100 = = 50 % c. = x 100 = = 40 % b. = x 100 = = 75 % d. = x 100 = = 12,5 %

Sedangkan untuk mengubah persen menjadi pecahan biasa, hanya dengan mengganti penulisan persen menjadi perseratus ( ^… ) dan selanjutnya disederhanakan. Perhatikan contoh di bawah ini ! Ubahlah bentuk persen di bawah ini menjadi bentuk pecahan biasa !

a. % = ^…

… b. % = ^…

… c. % = ^…

… d. , % = ^…

…

Penyelesaian :

a. % = = c. % = =

b. % = = d. % = ^, =

. =

3) Pecahan Desimal menjadi persen dan sebaliknya

 Mengurutkan pecahan

a) Mengurutkan pecahan biasa dengan penyebut berbeda

Dengan cara menyamakan penyebut dari seluruh pecahan, selanjutnya mengurutkan pecahan berdasarkan nilai pembilangnya. Perhatikan contoh di bawah ini !

5 1 75 3 4 2 125 1

10 2 100 4 0,4 = 10 = 5 0,125 = 1.000 = 8

0,5 = = 0,75 = =

(18)

b) Mengurutkan berbagai bentuk pecahan

Untuk mengurutkan berbagai bentuk pecahan (pec. biasa, desimal, persen) adalah dengan merubah seluruh pecahan tersebut menjadi satu jenis pecahan, misalnya diubah menjadi pecahan desimal semua. Perhatikan contoh di bawah ini !

Diketahui bilangan-bilangan pecahan sebagai berikut ; , 65%, 1 , dan 0,57. Urutan bilangan- blangan tersebut dari yang terkecil adalah....

 Mengerjakan soal operasi hitung pecahan (Contoh soal dan Pembahasan) 1. Bentuk paling sederhana dari pecahan adalah ...

2. Jika pecahan senilai dengan pecahan , maka nilai a adalah ...

3. Hasil dari + - adalah ...

4. Hasil dari x adalah ...

5. Hasil dari : adalah ...

6. Diantara pecahan dan , yang nilainya lebih besar adalah ...

7. Bentuk desimal dari pecahan adalah ...

8. Bentuk Persen dari pecahan adalah ... %

9. Pecahan desimal 0,7 apabila dirubah menjadi persen adalah ... %

10. Diketahui pecahan-pecahan sebagai berikut : ; 0,625; 12,5%; . Urutan dari pecahan terkecil ke pecahan terbesar adalah....

Pembahasan ; 1. = ^∶

∶ = (12 adalah FPB dari 36 dan 60) 2. = ,  a = = = 14. Jadi, a = 14 3. + - = + - = =

4. x =

= = 5. : = x =

= = 3

6. dan  (3 x 9 = 27)...(4 x 8 = 32)  32 lebih besar dari pada 27. Artinya, pecahan yang lebih besar adalah

7. = 0,35 atau =

= = 35 %

(19)

8. x 100 = = 48 % atau =

= = 48 % 9. 0,7 = = = 100 % atau 0,7 = = x 100 = = 70 % 10. ; 0,625; 12,5%; ;

 LATIHAN 6 (Pecahan)

Kerjakan Soal-soal di bawah ini di buku latihanmu ! 1. Bentuk sederhana pecahan dari adalah ... (Soal US 2017) 2. Bentuk sederhana pecahan dari adalah ... (Soal US 2016) 3. Bentuk persen dari bilangan adalah ... (Soal US 2017)

4. Bilangan 142% bila diubah menjadi pecahan campuran paling sederhana adalah ... (Soal US 2016) 5. Hasil dari 5,8 : adalah (Soal US 2016)

6. Hasil dari 5 - + adalah ... (Soal US 2017) 7. Hasil dari 5 - adalah ... (Soal US 2016) 8. Hasil dari 1 x 1,5 : 20% adalah ... (Soal US 2015)

9. Terdapat pecahan ; 0,25 ; 60% ; 0,8 ; dan . Urutan pecahan-pecahan tersebut dari yang terkecil adalah ... (Soal US 2017)

10. Urutan pecahan 1,6 ; 30% ; ; 1 dari yang terbesar adalah ... (Soal US 2016)

11. Diketahui bilangan pecahan sebagai berikut ; 2 ; 0,6 ; 82% ; . Urutan pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah ... (Soal US 2015)

12. Ibu membeli 3 kg beras, 2 kg minyak goreng, dan 1,25 kg gula pasir. Berapa kg total berat belanjaan ibu ?

13. Ibu membeli 7 kg gula pasir. 20% dari gula pasir tersebut digunakan untuk membuat kue. Sisa gula pasir ibu yang belum dipakai adalah ... kg (Soal US 2017)

14. Perpustakaan keliling mendapat sumbangan dari seorang donatur. Sebanyak 45% dari buku yang disumbangkan adalah buku cerita. 0,25 bagian buku tentang biografi, dan sisanya buku pelajaran.

Berapa bagian dari buku yang disumbangkan merupakan buku pelajaran ? (Soal US 2016)

No. Soal Jml Soal Skor @ Jml Skor

1 - 4 4 6 24

5 - 8 4 6 24

9 - 12 4 8 32

13 - 14 2 10 20

100 Jumlah Skor Total

(20)

G. Perbandingan

 Perbandingan adalah bentuk lain dari pecahan, terutama pada konsep pecahan senilai dan penyederhanaan pecahan.

 Perbandingan antara bilangan bulat a dan b dapat ditulis atau a : b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat, dan b tidak boleh sama dengan nol ( b ≠ 0 )

 Perhatikan gambar di bawah ini !

Terdapat 20 benda yang terdiri dari bintang sebanyak 12 buah dan segi lima sebanyak 8 buah. Dalam perbandingan dapat kita nyatakan sebagai berikut ; a. Perbandingan antara bintang dan segilima adalah 12 : 8 disederhanakan menjadi

3 : 2

b. Perbandingan antara segilima dan bintang adalah 8 : 12 disederhanakan menjadi 2 : 3

c. Perbandingan antara bintang dan seluruh benda adalah 12 : 20 disederhanakan menjadi 3 : 5

d. Perbandingan antara segilima dengan seluruh benda adalah 8 : 20 disederhanakan menjadi 2 : 5

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa perbandingan merupakan penyederhanaan dari jumlah yang sesungguhnya

Perhatikan tabel di bawah ini !

 Antara jumlah sesungguhnya dengan perbandingan memiliki faktor 4 (dikali/dibagi 4), karena 4 merupakan FPB dari 12 dan 8.

 Jumlah perbandingan = 5, jumlah sesungguhnya = 20

 Selisih perbandingan = 1, selisih sesungguhnya = 4

Perbandingan di atas memiliki skala/faktor 4, artinya antara perbandingan dengan sesungguhnya adalah 4 kali lipat (dikalikan 4)

 Menyelesaikan soal-soal perbandingan (contoh soal dan pembahasan)

1. Jumlah siswa di kelas V adalah 40 siswa, 24 diantaranya laki-laki dan sisanya perempuan.

Perbandingan antara siswa laki-laki dan perempuan adalah ... : ...

Jawab : Jumlah siswa seluruhnya = 40 siswa,

Jumlah siswa laki-laki = 24 siswa, maka ; Jumlah siswa perempuan = 40 – 24 = 16, sehingga,

Perbandingan antara siswa laki-laki dan perempuan adalah 24 : 16 disederhanakan menjadi 3 : 2

�

� = = ^∶

∶ =

2. Umur Ayu dibanding umur ibunya 3 : 8, Jika ayu berumur 12 tahun. Berapa umur Ibunya Ayu sekarang ?

Jawab : yang diketahui pada soal di atas adalah perbandingan dan nilai dari salah satunya, maka berlaku pecahan senilai atau perkalian silang ;

Jadi, umur ibunya Ayu sekarang 32 tahun.

3. Perbandingan jumlah kambing jantan dengan kambing betina di sebuah kandang adalah 2 : 5. Jika jumlah seluruh kambing di kandang tersebut adalah 42 ekor. Tentukan jumlah masing-masing !

(21)

Jawab :

Cara 1 : Logika / Taksiran

Gunakan bantuan tabel seperti di bawah ini untuk mempermudah, tebaklah angka-angka secara acak, gunakan logikamu, temukan yang jumlahnya 42.

Kambing Jantan 2 20 16 12 Kambing Betina 5 50 40 30 Jumlah 7 70 56 42

Kambing jantan = 12 ekor Kambing betina = 30 ekor

Cara 2 : Perbandingan

Data yang diketahui pada soal di atas adalah perbandingan dan jumlah sesungguhnya. Yaitu ; Perbandingannya = Jantan (J) : Betina (B)  J : B = 2 : 5

Jumlah sesungguhnya  J + B = 42 ekor

Karena diketahui jumlah sesungguhnya, maka harus juga dicari jumlah perbandingan, Jumlah perbandingannya = 2 + 5 = 7

Kambing Jantan (J = 2)  x 42 ekor = 12 ekor Kambing Betina (B = 5)  x 42 ekor = 30 ekor

4. Perbandingan kelereng Bayu dan Noval adalah 7 : 4. Selisih kelereng mereka 18 buah. Tentukan jumlah kelereng masing-masing !

Jawab :

Cara 1 : Logika / Taksiran

Gunakan bantuan tabel seperti di bawah ini untuk mempermudah, tebaklah angka-angka secara acak, gunakan logikamu, temukan yang jumlahnya 42.

Kelereng Bayu 7 21 35 42

Kelereng Noval 4 12 20 24 Selisih 3 9 15 18

Kelereng Bayu = 42 buah Kelereng Noval = 18 buah

Cara 2 : Perbandingan

Data yang diketahui pada soal di atas adalah perbandingan dan selisih sesungguhnya. Yaitu ; Perbandingannya = Kelereng Bayu (B) : Kelereng Noval (N)  B : N = 7 : 4

Selisih sesungguhnya  B - N = 18 buah

Karena diketahui selisih sesungguhnya, maka harus juga dicari selisih perbandingan, Selisih perbandingannya = 7 – 4 = 3

Kelereng Bayu (B = 7)  x 18 buah = 42 buah Kelereng Noval (N = 4)  x 18 buah = 12 buah

Kambing jantan dan kambing betina jika dijumlahkan hasilnya harus 42 ekor, seperti yang diketahui pada soal.

Kambing jantan dan kambing betina jika dijumlahkan hasilnya harus 42 ekor, seperti yang diketahui pada soal.

Kelereng Bayu dan kelereng Noval harus memiliki selisih 18 buah.